F F/2 = + F/2 x

Torsione
(aggiornamento 21-12-2009)
La teoria tecnica delle travi (De Saint Venant) sottovaluta la resistenza e la rigidezza torsionale dei
profili aperti
teoria delle aree settoriali o della torsione non uniforme.
Per effetto del comportamento spaziale nascono deformazioni lungo le fibre longitudinali della
trave e conseguenti tensioni longitudinali
(tensioni da ingobbamento impedito).
Questo stato tensionale, detto complementare o secondario, è trascurato dalla teoria classica della
torsione. Le
possono essere dello stesso ordine di grandezza di quelle da flessione.
=
+
x
F
d
F/2
flessione semplice
sezioni piane
F/2
flesso-torsione
ingobbamento (warping)
Nella sezione di ascissa x ciascuna flangia è soggetta al momento flettente F/2 x.
Si dice che la sezione è soggetta ad una forza generalizzata detta momento da ingobbamento
impedito o bimomento.
B
F
d x [N m2 ]
2
Torsione pura (o uniforme)
Sezione circolare piena
T
x
dx
deformata a elica
+d
T
dx
max
d
d
r
dT
( 2
d )
essendo :
dT
max
2
3
r
d
r
dT
0
max
rd
G
d
max
r
r
T
2
2
max
r
2
3
max
d
r
0
Tr
I0
dx
I0
( flessione
d
dx
I0
modulo di elasticità tangenziale
/G
r
G = 80 700 N/mm2
T
GI o
E
2(1 )
= modulo (coefficiente) di Poisson =0.3
E = 210 000 N/mm2
Iy
Mz
)
I
max
r
momento d ' inerzia polare
( flessione
d 2z
dx 2
M
)
EI
Iz
d
= angolo unitario di torsione
dx
d
dx
In generale, per qualsiasi sezione:
IT = momento di inerzia torsionale
T
GI T
I0
Non esiste un’espressione generale per IT (così come non esiste per il taglio A/ ).
Sezione chiusa in parete sottile
T
t
T
A
r
t
T
( t2 r) r
T
2 At
2 tA
( formula di Bredt )
Il flusso tensionale t è tangente al perimetro ed è costante
d
dx
IT
r
2 Atr
Gr
T
2GAtr
T
GI T
4 A2
s/t
2 r
2 Atr
2 r
(s
perimetro medio)
La formula è valida per qualsiasi sezione chiusa in parete sottile, monoconnessa. Se lo spessore è
variabile:
IT
4 A2
s
ds / t
0
Sezione rettangolare piena
z
y
t
y
z
b
Il flusso delle è costante, cioè:
1
2
y
1
2
t
2
b
2
z
cioè il momento torcente T viene portato per metà dalle
Nel caso di sezioni sottili (b/t >> 2) le
y
y
e per metà dalle z.
rimangono pressoché costanti in tutta la larghezza b,
smorzandosi improvvisamente ai bordi. Si ha quindi:
fy
y
t
2/3t
b
1t
y
22
bt 2
T
y
3
T
y
bt 2
3
d
T
dx GI T
2
f yb t
3
T
2
fy
Tt
bt 3
3
con
Tt
IT
IT
bt 3
3
Sezione
r
b
IT
Tr
I0
I0
T
2At min
A
b
max
t
T
Tt
=
bt 2 /3 I T
2
4A
ds/t
bt
3
3
ESEMPIO
Per le sezioni di figura determinare:
1. il momento d’inerzia torsionale
2. il momento torcente Tadm che provoca una
max
= 90 N/mm2 (
adm
per acciaio Fe360)
3. la rotazione relativa fra le facce estreme distanti L=2000 mm nell’ipotesi di momento
torcente costante pari a Tadm
60
b)
7
Ø5
c)
3
60
c)
188
1. Momento d’inerzia torsionale
Sezione a)
A = 57 x 37 = 2109 mm2
(area racchiusa dal perimetro medio)
s = 2(57+37)= 188 mm
(perimetro medio)
IT =
4A 2
= 283 907 mm4
s/t
Sezione b)
A=
2
s=
= 188 mm
IT =
/4 = 2827 mm2
4A 2
= 510 280 mm4
s/t
Sezioni c)
Tutte e tre le sezioni aperte sono equivalenti dal punto di vista torsionale
IT =
bt 3
3
188 33
= 1692 mm4
3
2. Momento torcente ammissibile
Sezione a)
Tadm = 2A t
Sezione b)
adm
c)
3
7
Ø5
68
a)
40
3
= 2 · 2109 · 3 · 90 = 1 139 000 Nmm = 1,139 kNm
3
Tadm = 2A t
adm
= 2 · 2827 · 3 · 90 = 1 527 000 Nmm = 1,527 kNm
Sezione c)
Tadm =
IT
adm
t
= 1692 · 90/3 = 50 760 Nmm = 0.051 kNm
3. Rotazione torsionale
G = 80 700 N/mm2
T
L
GIT
Sezione a)
= 0.103 rad = 5.9°
Sezione b)
= 0.074 rad = 4.2°
Sezione c)
= 0.770 rad = 44.1° !!
Pur essendo tutte le sezioni equivalenti come quantità di materiale, le sezioni chiuse sopportano
momenti torcenti di gran lunga maggiori con deformazioni di gran lunga inferiori.
I valori del momento di inerzia torsionale riportati nei profilari dei prodotti laminati
sono leggermente superiori a quelli ricavabili con le formule sopra esposte perché
tengono conto della presenza dei raccordi.
(Ballio)
Torsione da ingobbamento impedito
Torsione non uniforme.
L’incastro torsionale deve impedire l’ingobbamento
appoggio torsionale
semi-incastro torsionale
Illustriamo il fenomeno della torsione non uniforme per il caso di un’asta con sezione a doppio T
nel quale è particolarmente evidente.
Un’asta libera ad un estremo e vincolata all’altro estremo in modo da impedirne la rotazione
torsionale ma non l’ingobbamento (cerniera o appoggio torsionale o vincolo a forcella) si deforma
per effetto del momento torcente T come in figura 1a). L’asta è soggetta a momento torcente
costante e le sue sezioni si ingobbano liberamente. Si ha torsione pura, l’angolo unitario di torsione
d /dx è costante e valgono le formule del capitolo precedente.
Fig. 1
Se invece la base è impedita anche di ingobbarsi (incastro torsionale), l’asta si deforma come in
figura 1b). Ciascuna delle due ali si comporta parzialmente come un’asta isolata, di sezione
rettangolare, inflessa intorno al suo asse z di massima inerzia. All’incastro l’angolo unitario di
torsione d /dx è nullo e il momento torcente T è sopportato interamente dalla coppia H1d. Il flusso
delle tensioni tangenziali non è più quello della torsione pura (figg. 1d, 2a), ma è quello dovuto alla
forza di taglio H agente sulla sezione rettangolare dell’ala (figg. 1e, 2b), che chiameremo flusso
delle tensioni tangenziali secondarie da ingobbamento impedito e indicheremo con
.
Fig. 2
Le forze H decrescono verso l’estremo. Pertanto, allontanandosi dall’incastro torsionale, l’aliquota
del momento torcente sopportata dalle H diminuisce a favore di quella sopportata dal flusso
tensionale della torsione pura.
Il momento torcente esterno T è quindi sopportato (fig. 1d) dal flusso delle tensioni primarie di
torsione pura, che ha come risultante il momento torcente TT (momento torcente primario o torsione
alla De Saint Venant, pure torsion) e dal flusso delle tensioni secondarie, che indicheremo col
suffisso
, di risultante T (momento torcente secondario o da ingobbamento impedito, warping
torque).
Naturalmente la distribuzione delle H richiede in ogni ala la presenza di un momento flettente (M1
di fig. 1b) e quindi la presenza di tensioni
x
(fig. 2c) che indicheremo con
.
Lo stato tensionale ora descritto si chiama torsione mista o
torsione non uniforme o torsione da ingobbamento impedito e si
ha tutte le volte che l’ingobbamento delle sezioni non è costante
per la presenza di vincoli (ingobbamento impedito) o perché varia
il momento torcente (torsione non uniforme). Rispetto al caso
della torsione pura, l’asta risulta più rigida.
Se le due ali non fossero collegate dall’anima (Fig. 3) il momento
T sarebbe sopportato interamente dalle H (T=Hd ) che sarebbero
costanti. Questo caso limite rappresenta il comportamento di
un’asta che resiste a torsione per puro ingobbamento impedito,
mobilitando una resistenza biflessionale.
Ricaviamo le formule che reggono la torsione mista nel caso della
Fig. 3
sezione a doppio T, per poi estenderle al caso di sezione generica.
Il momento torcente T si divide nelle due aliquote TT e T :
T
TT
TT
GI T
T
1 )
Per quanto detto nel paragrafo precedente:
d
dx
2)
T è determinato dalla coppia Hd. A sua volta la forza di taglio H agente nell’ala è legata al
momento flettente M (che varia nell’ala raggiungendo il valore M1 alla base) dalla nota relazione:
H
dM
dx
3)
Il legame tra M e lo spostamento x è dato dall’equazione differenziale della linea elastica:
M
EI1z
d2y
dx 2
EI z d 2 y
2 dx 2
4)
avendo indicato con I1z il momento d’inerzia della singola ala intorno all’asse di flessione z, cioè,
trascurando il piccolo contributo dell’anima, metà del momento Iz della sezione.
Sostituendo la 4) nella 3) si ha pertanto:
H
EI z d 3 y
2 dx 3
5)
d/2
Dalla figura si ricava y= d/2.
Ricordando inoltre che H=T /d si ha infine:
d3
dx 3
T
EI z d 2 / 4
6)
Il termine Izd2/4 è una caratteristica della sezione che in generale viene chiamata momento di
inerzia settoriale I (dimensioni L6). In generale si ha quindi:
T
EI
d3
dx 3
7)
Combinando le (1), (2), (7) si ottiene l’equazione differenziale della torsione mista:
EI
d3
dx 3
GI T
d
dx
T
8)
Nel caso di momento torcente distribuito (fig. 4), di valore mt per unità di lunghezza, per
l’equilibrio si ha:
(T+dT)+mtdx =T
da cui:
dT=-mtdx
In
figura
4
sono
indicate
le
convenzioni di segno. Con freccia
doppia si indica il vettore momento
Fig. 4
Derivando la (8) si ha pertanto:
col segno dato dalla regola del
cacciavite (cavatappi !!).
EI
d4
dx 4
d2
dx 2
GI T
9)
mt
Questa equazione differenziale è formalmente uguale a quella che regge il problema dell’asta
sottoposta a carico trasversale q=q(x) in presenza di forza assiale P di compressione (v. Caironi
Instabilità dei telai piani par. 3.6). Si ha infatti:
Fig. 5
EI y
d 2z
dx 2
Pz
10)
M
Derivando due volte e ricordando che d2M/dx2=-q sia ha:
EI y
d 4z
dx 4
Si può quindi affermare che la rotazione
P
d 2z
dx 2
11)
q
provocata dal momento torcente mt è uguale
all’abbassamento z provocato dal carico distribuito q su una trave fittizia con momento d’inerzia
Iy=I , soggetta alla forza di compressione P=-GIT (cioè ad una forza di trazione). L’analogia è
illustrata in Fig. 5.
Lo stato flessionale che accompagna la torsione non uniforme è descritto da un parametro che è
funzione della distribuzione del momento flettente sulla sezione. Poiché globalmente il momento
flettente è nullo sulla sezione (v. fig. 1b ove sulla sezione agiscono le due coppie M1 uguali e
contrarie), tale parametro sarà funzione del valore e della posizione del momento massimo. Il
parametro normalmente usato viene detto bimomento (B) o momento da ingobbamento ed ha le
dimensioni di un momento per una distanza. Nel caso della sezione a doppio T si ha:
B=M d
ricordando la (3) si ha:
B
EI z d 2 y
d
2 dx 2
EI z d d 2
d
2 2 dx 2
B
EI
d2
dx 2
EI z
d2 d2
4 dx 2
12)
E’ evidente l’analogia della (12) con l’equazione differenziale della linea elastica:
M
Per quanto riguarda la distribuzione delle
Nell’ala si ha una
x
x
d 2z
EI y 2
dx
13)
si considera ancora il caso della sezione a doppio T.
data dalla nota formula:
x
M
y
I1z
M
y
Iz /2
Moltiplicando e dividendo per d2/2 si ha:
x
Md
d
y
2
Iz d
2
2 2
B d
y
2
I
Il prodotto yd/2 rappresenta il doppio dell’area tratteggiata in
figura 6, detta area settoriale
, che è l’area descritta dal
raggio vettore CP percorrendo il contorno medio della sezione
Fig. 6
con polo C (C = centro di taglio).
Fig. 7
La coordinata s viene misurata a partire da un punto P0 detto punto settoriale nullo (Fig. 7). Si ha
quindi:
B
I
z
(s )
(14)
Rinviando alla letteratura specializzata1 per gli ulteriori approfondimenti sulla teoria delle aree
settoriali, si riassumono i parametri caratteristici della torsione non uniforme, notando che hanno
nomi e utilizzo analoghi a quelli della flessione e del taglio e che il parametro area settoriale , che
è funzione della posizione del punto considerato, sostituisce il parametro distanza dall’asse
baricentrico.
s
- area settoriale
( s)
rt ( s )ds
[L2]
0
s
- momento statico settoriale
dA
[L4]
2
[L6]
S
0
s
- momento d’inerzia settoriale
I
dA
0
- tensione tangenziale primaria
- tensione tangenziale secondaria
- tensione normale
1
T
TT
t
IT
T
S
tI
z
B
I
(s )
Cfr. “La torsione nei profilati e nelle travi metalliche”, F. M. Mazzolani, Ed. Cisia. Vedi anche il Ballio.
Nello specchietto che segue viene riassunta l’analogia tra la presso-flessione e la torsione mista. Per
una migliore comprensione si vedano gli esempi numerici.
Analogia presso-flessione torsione mista
presso-flessione
torsione mista
q(x)
mt(x)
P
-GIT
I
Iw
P
EI y
GI T
EI
i
GI T
EI
z
TT
GI T
d
dx
dz
dx
TT
GI T
d 2z
dx 2
M
EI y
d2
dx 2
V
EI y
3
M
3
d z
dx 3
B
EI
B
T
EI
d
dx 3
V
Tw
Si ricava in particolare che il bimomento B corrisponde nell’analogia al momento flettente del
secondo ordine M e il momento torcente da ingobbamento Tw corrisponde al taglio V.
G
G
T
sse
r (a
d
on
azi
t
o
ir
e)
C
C=centro di taglio
Fig. 8 – Asse di rotazione
C
Per quanto riguarda l’asse intorno al quale avviene la rotazione per torsione, esso è parallelo all’asse
baricentrico e passa per il centro di taglio (retta r fig. 8). Questa affermazione è dimostrabile
applicando il teorema di reciprocità di Betti. E’ noto infatti che un carico trasversale Q con retta di
applicazione passante per il centro di taglio non dà torsione e quindi determina traslazione della
sezione senza rotazione. Il momento torcente T compirà quindi lavoro nullo per la deformazione
prodotta da Q. Reciprocamente il carico Q compie lavoro nullo per la deformazione prodotta da T e
quindi la retta r non può traslare ed è l’asse di rotazione.
E’ utile introdurre il coefficiente k che rappresenta la “lunghezza dimensionale caratteristica” della
trave:
k
L
GI T
EI
La torsione secondaria è tanto maggiore quanto più è piccolo il valore di k, cioè quanto più è grande
la “rigidezza torsionale secondaria” EI L2 rispetto a quella primaria GIT.
In Fig. 9 (Fig 8.34 Ballio) è evidenziato il comportamento torsionale di vari tipologie di travi in
funzione del parametro k.
Fig. 9
Per i profili laminati a caldo con le luci usuali per la flessione prevale la torsione pura (5<k<20).
Ad esempio per un profilo HE300B, con una luce di 3 m (rapporto luce/altezza=10, valore modesto
nel caso di flessione), si ha:
k
L
GI T
EI
3000
80 769 185 10 4
210 000 1 688 000 10 6
1.95
Siamo al limite del campo della torsione mista, nonostante la luce modesta per il tipo di profilo.
ESEMPIO 1
Studiare la ripartizione fra TT e T e lo stato tensionale per la trave di figura, torsionalmente
appoggiata (vincolo a forcella) agli estremi e soggetta al momento torcente T=4.5 kN concentrato in
mezzaria.
Q
T=4.5 kNm
250 cm
250 cm
TT
b)
2.25
1.83
T
2.25 kNm
IPE 450
h (mm) = 450
b (mm) = 190
tw (mm) = 9,4
tf (mm) = 14,6
d (mm) = 435,4
Iy (cm4) = 33740
Iz (cm4) = 1676
Wz (cm3) = 176,4
IT (cm4) = 66,87
Iw (cm6) = 791000
B
2.46 kNm
E (MPa) = 210000
G (MPa) = 80769
= 0.00746 rad
a)
Fig. 1
Le caratteristiche meccaniche della sezione, ricavate dal programma profili, sono riportate in figura.
Per un confronto si ricavano con le formule illustrate in precedenza, che sono approssimate perché
non tengono conto dei raccordi fra ali e anima:
I
momento d’inerzia settoriale
bd
22
area settoriale
Iz
b 43.54
2 2
s
momento statico settoriale
S
dA
0
momento d’inerzia torsionale I T
d2
4
bt 3
3
btf
4
1676
43.54 2
4
794311 cm 6
206.8 cm 2
206.8 19.0 1.46
1434 cm 4
4
2 19 1.46 3
42.08 0.94 3
3
51.04 cm 4
La trave è soggetta a torsione non uniforme (il momento torcente varia) con ingobbamento nullo in
mezzaria per ragioni di simmetria. Il coefficiente k vale:
k
L
GIT
EI
80 769 66,87 10 4
210 000 791 000 106
2500
1.43
2
Siamo nel campo della torsione da ingobbamento impedito.
CALCOLO APPROSSIMATO
F
z
ala
d=435.4 mm
y
1z
x
L
1z
F
Fig. 2
Se consideriamo il solo comportamento biflessionale, con ali separate dall’anima, possiamo
interpretare l’effetto del momento torcente T come l’effetto della coppia di forze F agenti sulle ali
(fig. 2). La forza F vale:
F = T/d = 10.3 kN
F
d/2
F
F
Fig. 3
Ciascuna ala è quindi inflessa dalla forza F in senso contrapposto (fig. 3). Si ha:
M = FL/4 = 6.44 kNm
I1z = b3 tf/12 = 834.5 cm4
W1z = b2 tf/6 = 87.84 cm3
(singola ala)
Spostamento dell’ala in direzione di F e rotazione torsionale (fig. 3):
F
FL3
48 EI1z
1.91 mm
T
F
d /2
8.79 10 3 rad
Se consideriamo il solo comportamento alla De Saint Venant si ha:
TT
d L
dx 2
T /2 L
GI T 2
2.25
1.25 10 5
80769 66.87
52.1 10 3 rad
Dal confronto fra le rotazioni si evince che il comportamento è prevalentemente bi-flessionale. Si
possono quindi calcolare le tensioni massime in mezzaria, dove comunque si ha TT = 0:
x
M
W1z
6.44 3
10
87.84
73.3 MPa
y
3 F /2
2 A1
3 5150
2 190 14.6
2.79 MPa
Con il calcolo esatto si ha (v. più avanti):
63.3 MPa
2.8 MPa
Il calcolo approssimato è quindi leggermente a favore di sicurezza.
CALCOLO CON PROGRAMMA AGLI ELEMENTI FINITI
Gli elementi “beam” normalmente implementati nei programmi commerciali non considerano il
comportamento biflessionale. Per cogliere il comportamento della trave dell’esempio è quindi
necessario schematizzarla con elementi plate (fig. 4).
Fig. 4 – Mesh con elementi plate (a sinistra) e con elementi beam (a destra)
Nella mesh con elementi plate la rotazione torsionale in mezzeria vale
con elementi beam si ha invece
precedente
-3
T=52,1·10 rad.
-3
T=68,7·10 rad,
-3
T=7,72·10 rad.
Nella mesh
valore inferiore a quello calcolato nel paragrafo
La differenza si spiega col fatto che nel programma si sono caricati i
dati della sezione dalla libreria dei profili, che evidentemente non comprende il valore del momento
di inerzia torsionale che viene calcolato con la formula approssimata I T
bt 3 / 3 , trascurando la
presenza dei raccordi che hanno un’influenza sensibile (il programma adotta IT=51,1 cm4 anziché
66,87).
Il valore massimo della tensione nelle ali è (v. Fig. 5)
69.9 MPa
Fig. 5 – Tensioni massime negli elementi plate.
CALCOLO ESATTO
Il calcolo viene eseguito utilizzando l’analogia con la presso-flessione (teoria del secondo ordine).
La trave, con rigidezza flessionale fittizia EI , va studiata come se fosse soggetta al carico Q = T
concentrato in mezzaria e alla forza assiale di compressione P = - GIT (fig. 1b).
Si ha pertanto:
Q T
4.5 kNm 4.5 10 6 N mm
210000 791000 10 6
EI
GI T
EI
P
EI
P
GI T
5.401 1010 N mm 2
1.661 1017 N mm 4
0.5702 10
3
1 0.5702 10 3 i mm
1
L 1.426 i
L’espressione della deformata del secondo ordine, che rappresenta nell’analogia la rotazione
torsionale , è 2:
Q sen ( L / 2)
x
sen ( x)
P
sen ( L)
2
z
Derivando si ha:
d
dx
2
dz
dx
Q sen( L / 2)
1
cos( x)
P sen( L)
2
Si veda ad esempio “Teoria e tecnica delle costruzioni – Instabilità dei telai”, Mario Caironi, Ed. CLUP, par. 3.6.1.1
eq. (1).
Queste espressioni contengono numeri complessi. Se non si ha a disposizione un programma che
opera con i numeri complessi, si possono trasformare ricordando le relazioni tra funzioni circolari e
iperboliche:
sen(i ) i Sh
Ponendo
cos( i ) i Ch
= i si ha:
Q i Sh( L / 2)
x
[i Sh( x)]
P i i Sh( L)
2
z
d
dx
dz
dx
Q Sh( L / 2)
x
Sh( x)
P
Sh( L)
2
Q Sh( L / 2)
1
Ch( x)
P Sh( L)
2
Introducendo i valori numerici otteniamo:
Sh( L / 2)
Sh(1.426 / 2) 0.7750
Sh( L)
3
Sh( L) 0.5702 10 Sh(1.426) 1.118 10
Ch( L / 2) 1.265
4.5 10 6
0.7750
x
Sh( x)
10
3
2
5.401 10 1.118 10
z
d
dx
0.0833 10
3
Sh(1.426) 1.961
3
0.0833 10
3
693.2Sh( x)
x
2
1
2
0.3952 Ch( x)
Valori in corrispondenza degli appoggi (x=0)
d
dx
0
8.730 10
6
rad / mm
Momento torcente primario:
TT
GI T
d
dx
471500 Nmm 0.471 kNm
Il momento torcente secondario è uguale al taglio del secondo ordine nella trave fittizia:
T
T
Q
dz 4.5 10 6
P
( 5.401 1010 ) 8.730 10 6 (2.25 0.472)10 6
2
dx
2
1.778 10 6 Nmm 1.778 kNm
TT T 2.25 (O.K .)
V
Valori in mezzaria (x=L/2)
z
0.0833 10
d
dx
T
T
0.0833 10
3
3
7.31 10 3 rad
693.2 0.7750 625
0.3952 1.265 0.5
Q
dz 4.5 10 6
P
0
2
dx
2
2.25 10 6 Nmm 2.25 kNm
0
TT
0
V
TT
T
2.25 (O.K .)
Il bimomento è uguale al momento flettente del secondo ordine nella trave fittizia:
4.5 10 6 2500
QL
Pz
5.401 1010 7.31 10
4
4
6
B (2812 395) 10 Nmm 2 24.2 kNm 2
B
M
Lo stato tensionale è il seguente:
B
I
24.2 108 206.8 10 2
791000 10 6
63.3 MPa
T S
tI
2.25 10 6 1434 10 4
14.6 791000 10 6
2.8 MPa
3