Istituzioni di Algebra superiore, 2013–2014. Esercizi per l`esame

Istituzioni di Algebra superiore, 2013–2014.
Esercizi per l’esame
Esercizio 1 Siano H e K gruppi finiti con (|H|, |K|) = 1, e sia G = H × K. Si provi
che Aut(G) = Aut(H) × Aut(K).
Esercizio 2 Sia Q il gruppo additivo dei razionali e sia N ≤ Q.
1) si provi che se [Q : N ] < ∞ allora N = Q;
2) si provi che se N è finitamente generato allora è ciclico;
3) si provi che se G/N è finitamente generato allora N = Q.
Esercizio 3 Sia n ≥ 2 e D2n il gruppo diedrale di ordine 2n. Si provi che le seguenti
condizioni sono equivalenti:
(1) n è dispari;
(2) le involuzioni di D2n sono a due a due coniugate.
Esercizio 4 Sia A = C2∞ il 2-gruppo di Prüfer, e α ∈ Aut(A) l’inversione. Si descriva
la serie centrale ascendente di G, e si provi che γ2 (G) = γ3 (G) = A. Si provi infine che
ogni sottogruppo proprio di G = Aohαi è nilpotente.
Esercizio 5 Sia G il prodotto semidiretto (interno) G = N oH. Si provi che le seguenti
condizioni sono equivalenti:
1) H g ∩ H = 1 per ogni g ∈ G \ H;
2) [a, h] 6= 1 per ogni 1 6= a ∈ N e 1 6= h ∈ H.
Esercizio 6 Sia G un gruppo di permutazioni transitivo su Ω. Sia N E G e sia ∆ =
{xN | x ∈ Ω} l’insieme delle orbite di N . Si provi che G opera transitivamente su ∆. Si
concluda che tutte le N -orbite su Ω hanno la stessa lunghezza.
Esercizio 7 Sia G un gruppo finito e p un numero primo che divide |G|. Si provi che
|{g ∈ G | g p = 1}| ≡ 0
(mod p).
Esercizio 8 Sia P un 3-sottogruppo di Sylow di S6 . Si provi che NG (P ) ' S3 o C2 .
Esercizio 9 Sia F un gruppo libero e sia 1 6= a ∈ F .
1. Si provi che CF (a) è ciclico.
2. Si provi che esiste n ≥ 1 tale che per ogni m > n non esiste alcun b ∈ F tale che
bm = a.
Esercizio 10 Siano a, b ∈ N diversi da 0 e coprimi, e sia
G = hx, y | x−1 y −1 xy a+1 = 1, y −1 x−1 yxb+1 = 1i.
Si provi che G = hxi × hyi ' Cb × Ca (prodotto diretto di gruppi ciclici).
Esercizio 11 Sia G un gruppo una cui presentazione ha n generatori e s relazioni. Si
provi che se s < n, G è infinito. [sugg.: osservare che se Fr è il gruppo libero di rango r
allora Fr /Fr0 ' Zr ]
Esercizio 12 Sia p ≥ 3 un primo. Si provi che il gruppo
G = hx, y | xp = y p = (xy)p = 1i
è infinito (mentre, per p = 2, il gruppo è abeliano di ordine 4).
Esercizio 13 Sia G = H ∗ K. Si provi che ogni elemento periodico di G è coniugato ad
un elemento di H ∪ K. Si deduca che se H e K sono senza torsione allora H ∗ K è senza
torsione.
Esercizio 14 Siano H e K gruppi finiti di ordine coprimo; si provi che
Out(H ∗ K) ' Aut(H) × Aut(K).
Esercizio 15 Sia G = Cp∞ , il p-gruppo di Prüfer. Si provi che {1} e G sono i soli
sottogruppi verbali di G.
Esercizio 16 Sia G un gruppo e N E G. Si provi che G soddisfa Max se e soltanto se
N e G/N soddisfano Max.
Esercizio 17 Sia G un gruppo nilpotente. Si provi che sono equivalenti:
(a) G soddisfa Max;
(b) G è finitamente generato;
(c) G/G0 è finitamente generato.
Esercizio 18 Un gruppo G soddisfa la condizione di minimo Min se ogni catena dsicendente G > G1 > G2 > . . . di sottogruppi di G è finita. Si osservi che un gruppo che
soddisfa Min è periodico. Si provi quindi che un gruppo risolubile fin.gen. soddisfa Min
se e soltanto se è finito.
Esercizio 19 Si provi che un gruppo risolubile finitamente generato e periodico è finito.
Esercizio 20 Si provi che il gruppo del lampionaio L = Z wr C2 è residualmente finito.
Esercizio 21 In G = S4 si consideri X = {(1 2), (1 3), (1 4)}; si provi che G = hXi e si
descriva il grafo di Cayley Γ[G; X].
Esercizio 22 Si determini la funzione di crescita, rispetto al sistema di generatori
{x, y}, del gruppo diedrale infinito D = hx, y | x2 = y 2 = 1i.
Esercizio 23 Sia G un gruppo f.g. a crescita polinomiale. Si provi che ogni sottogruppo
finitamente generato ed ogni quoziente di G hanno crescita polinomiale.
Esercizio 24 Sia G un gruppo finitamente generato e sia H ≤ G di indice finito: si
provi che se X e Y sono sistemi finiti di generatori, rispettivamente, di G e di H, allora
X ∼ γ Y (in particolare, se H ha crescita polinomiale, allora anche la crescita di G è
γG
H
polinomiale).