SISTEMI CONTINUI - ASPETTI GENERALI • Un mezzo continuo ha

Corso di Progettazione Assistita delle Strutture Meccaniche – Parte I
CdL Specialistica/Magistrale in Ingegneria Meccanica
SISTEMI CONTINUI ‐ ASPETTI GENERALI
• Un mezzo continuo ha infiniti gdl e, di conseguenza, infiniti modi propri di vibrare
• L’analisi delle vibrazioni di sistemi continui è molto complessa e sono disponibili soluzioni in forma chiusa (analitiche) solo per i casi più semplici
• Casi che saranno trattati
• Trave
• Vibrazioni estensionali (soluzione completa)
• Vibrazioni flessionali (soluzione completa)
• Piastra circolare
• Vibrazioni flessionali (caratteristiche della soluzione)
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SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI
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L
z
dz
Equazione di equilibrio:
N
N
dm  u
dz
u
N
dz
z
Adz  u  N 
Au 
N
z
N
dz  N
z
N  EA  EA
 2u
N
 EA 2
z
z
 2u
Au  EA 2
z
u
z
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L
z
N
N
dm  u
dz
u
N
dz
z
dz
 2u
u  E 2
z
2
u

u   2 2
z

E

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L
z
 2u
u  
z 2
2
dz
u  z, t   Z  z T t 
 2T t 
u z, t   Z  z 
t 2
 2u  z , t 
 2 Z z 
 T t 
2
z
z 2
2
Z z 
 2T t 

2



Z z 

T
t
t 2
z 2
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L
z
dz
 2T t 
 2 Z z 
2
Z z 
  T t 
2
t
z 2
 2T t 
 2 Z z 
t 2   2 z 2
T t 
Z z 
II
T
2 Z

T
Z
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L
z
dz
II
T
2 Z
 a 
T
Z
T  aT  0
a   2
 2 Z II  aZ  0
T   2T  0
T (t )  A  cos(t )  B  sin(t )
2
Z  2 Z 0


II
Z ( z )  C  cos(
v
z )  D  sin(

v
z)
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L
z
dz
Trave bloccata agli estremi
u 0, t   Z 0T t   0

u L, t   Z L T t   0

Z 0  C  cos( 0)  D  sin( 0)  C  0
v
v
Z L   D  sin(

v

v
L)  0
L  k

k k

L
L
E

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L
z
dz
k
  
Z k  z   Dk sin k z 
 L 
Si può introdurre il parametro: k 
2L
k
che corrisponde alla distanza tra punti corrispondenti in onde successive
(lunghezza d’onda), esprimendo la funzione normale come:
 2
Z k  z   Dk sin
 k

z 

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L
z
k 
2L
k
 2
Z k  z   Dk sin
 k

z 

dz
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L
z
dz
L’oscillazione libera secondo la generica forma modale sarà data da una
funzione del tipo:
uk ( z, t )  Ak Dk  cos(k t )  Bk Dk  sin(k t )sin(
k
v
z)
nella quale le due costanti AkDk e BkDk devono essere determinate in base
alle condizioni inziali. L’oscillazione libera generale sarà infine data da:


u ( z, t )   uk ( z, t )    Ak Dk  cos(k t )  Bk Dk  sin(k t )sin(
k 1
k 1
k
v
z)
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L
z
dz
L’oscillazione libera secondo la generica forma modale sarà data da una
funzione del tipo:
uk ( z, t )  Ek  cos(k t ) sin(
uk ( z , t ) 
Ek
2
k
v
z )  Fk  sin(k t ) sin(
k
v
z)



 

 cos(k t ) sin( k z )  sin(k t ) cos( k z )  sin(k t ) cos( k z )  cos(k t ) sin( k z )
v
v
v
v 




 

 sin(k t ) sin( k z )  cos(k t ) cos( k z )  cos(k t ) cos( k z )  sin(k t ) sin( k z )
v
v
v
v 

E 





 F 
uk ( z, t )  k  sin( k z  k t )  sin( k z  k t )  k  cos( k z  k t )  cos( k z  k t )
v
v
v
v
2 

 2 

Fk
2
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L
z
dz
Le frequenze proprie, per altre modalità di vincolo, sono date dalla seguente
relazione generale, nella quale il coefficiente K(k) dipende da queste ultime:
k  K ( k )

E
L

k  1,2,3...
K(k)
Incastrato‐incastrato
k
Libero‐libero
k
Incastrato‐libero
k+1/2
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L
z
y
v
T
dz
dz
Equazione di equilibrio:
T
dz
T
z
Adz  v  T 
Av 
v  k 2 v IV
k
EJ
A
T
dz  T
z
T
z
Av   EJv IV
T   EJv III
T
  EJv IV
z
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L
x
z
dz
v z, t   V  z T t 
v  k 2 v IV
IV
T
2V
 k
  2
V
T
T   2T  0
V
IV

2
k
2
V 0
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L
x
z
T   2T  0
dz
T (t )  A  cos(t )  B  sin(t )
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L
z
x
V
IV

2
k
2
dz

V 0

k
V IV   4V  0
s4   4  0
s    ; i
V ( z )  C1  e z  D1  e  z  E1  eiz  F1  e iz
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L
x
z
dz
V ( z )  C1  e z  D1  e  z  E1  eiz  F1  e iz
eiz  e iz
sin z  
2i
iz
e  e iz
cosz  
2
e z  e iz
sinh z  
2
iz
e  e iz
coshz  
2
V ( z )  C  sin z   D  cosz   E  sinh z   F1  coshz 
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L
x
sinh 0  0
z
dz
d
sinh t   cosht 
dt
d
cosh0  1
cosht   sinh t 
dt
cosht 2  sinht 2  1
V I ( z )  C cosz   D sin z   E coshz   F sinh z 
V II ( z )  C 2 sin z   D 2 cosz   E 2 sinh z   F 2 coshz 
V III ( z )  C 3 cosz   D 3 sin z   E 3 cosh z   F 3 sinh z 
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L
x
z
dz
Trave libera agli estremi (z=0, L)
V II (0)  V III (0)  V II ( L)  V III ( L)  0
V II (0)  C 2 sin 0  D 2 cos0  E 2 sinh 0  F 2 cosh0  F  D  0
V III (0)  C 3 cos0  D 3 sin 0  E 3 cosh0  F 3 sinh 0  E  C  0
V II ( L)  C 2 sin L   D 2 cosL   E 2 sinh L   F 2 coshL   0
V III ( L)  C 3 cosL   D 3 sin L   E 3 coshL   F 3 sinh L   0
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L
z
x
dz
Trave libera agli estremi (z=0, L)
F D0
E C  0
 C 2 sin L   D 2 cosL   E 2 sinh L   F 2 coshL   0
 C 3 cosL   D 3 sin L   E 3 coshL   F 3 sinh L   0
Per avere sln. non banale:
0
0
1
1




1
0
1
0

0
det 
2
2
2
2
   sin L    cosL   sinh L   coshL 

 3
3
3
3








cos
sin
cosh
sinh









L
L
L
L


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L
x
z
dz
Trave libera agli estremi (z=0, L)
0
0
1
1




1
0
1
0

0
det 
2
2
2
2
   sin L    cosL   sinh L   coshL 
 3

3
3
3









cos


sin


cosh


sinh


L
L
L
L




  2 sinh L  3 sinh L    2 coshL  3 coshL  


2
3
2
3

   sin L  sinh L    coshL  cosL 




   2 cosL  3 coshL    2 sinh L  3 sin L   


2
3
2
3

   sin L  sin L    cosL  cosL 


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L
z
x
dz
Trave libera agli estremi (z=0, L)



  5 sinh 2 L    5 cosh 2 L  


5
5
   sin L sinh L    coshL  cosL  
  5 cosL  coshL    5 sinh L sin L   
 

5
2
5
2

   sin L    cos L 









  5 cosh 2 L   sinh 2 L  
 5

  sin L sinh L   coshL  cosL 
  5 cosL  coshL   sinh L sin L  
 5

2
2

  sin L   cos L 


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L
x
z
dz
Trave libera agli estremi (z=0, L)
  5 1  sin L sinh L   coshL  cosL   cosL  coshL   sinh L sin L   1 
 2  5 1  coshL  cosL   0
cosh L  cosL   1
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L
z
x
dz
Trave libera agli estremi (z=0, L)
cosh  n L  cos n L   1
n   n2 k   n2
EJ
2 1
  n L  2
A
L
EJ
A
n
1
2
3
4
>4
nL
4.730
7.853
10.996
14.137
(n+1/2)
Valore asintotico
(valido dopo i
primi 3-4 termini)
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Trave libera agli estremi (z=0, L)
L
x
z
dz
FD
E C
 C sin  n L   D cos n L   C sinh  n L   D cosh n L   0
C sinh  n L   sin  n L   Dcos n L   cosh n L   0
sinh n L   sin  n L 
cos n L   cosh n L 
sinh n L   sin n L 
F C
cos n L   cosh n L 
DC
E C
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Trave libera agli estremi (z=0, L)
L
z
y


sinh  n L   sin  n L 
cos n z   cosh n z 
Vn ( z )  Cn sin  n z   sinh  n z  
cos n L   cosh n L 


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L
z
y
Trave incastrata ad un estremo (z=0) e libera all’altro (z=L)
Condizioni al contorno
n   n L 2
1
L2
EJ
A
V (0)  V I (0)  0
V II ( L)  V III ( L)  0
n
1
2
3
4
>4
nL
1.875
4.694
7.855
10.996
(n‐1/2)
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L
z
y
Trave incastrata ad un estremo (z=0) e libera all’altro (z=L)


sinh  n L   sin  n L 
cos n z   cosh n z 
Vn ( z )  Cn sin  n z   sinh  n z  
cos n L   cosh n L 


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SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI FLESSIONALI
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L
z
y
Trave incastrata agli estremi (z=0, L)
Condizioni al contorno
n   n L 2
1
L2
EJ
A
V (0)  V I (0)  0
V II ( L)  V III ( L)  0
n
1
2
3
4
>4
nL
4.730
7.853
10.996
14.137
(n+1/2)
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SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI FLESSIONALI
L
z
y
Trave incastrata agli estremi (z=0, L)


sinh  n L   sin  n L 
cosh n z   cos n z 
Vn ( z )  Cn sinh  n z   sin  n z  
cos n L   cosh n L 


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SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI FLESSIONALI
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L
z
y
Trave appoggiata agli estremi (z=0, L)
Condizioni al contorno
n   n L 2
1
L2
EJ
A
V (0)  V II (0)  0
V ( L)  V II ( L)  0
n
1
2
3
4
>4
nL

2
3
4
n
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L
CdL Specialistica/Magistrale in Ingegneria Meccanica
z
y
Trave appoggiata agli estremi (z=0, L)
Vn ( z )  Cn sin  n z 
Corso di Progettazione Assistita delle Strutture Meccaniche – Parte I
CdL Specialistica/Magistrale in Ingegneria Meccanica
SISTEMI CONTINUI PIASTRA CIRCOLARE
Le vibrazioni proprie di una piastra circolare possono prevedere:
• forme modali simmetriche, che presentano circonferenze nodali, i cui punti
non si spostano durante la vibrazione
Corso di Progettazione Assistita delle Strutture Meccaniche – Parte I
CdL Specialistica/Magistrale in Ingegneria Meccanica
SISTEMI CONTINUI PIASTRA CIRCOLARE
Le vibrazioni proprie di una piastra circolare possono prevedere:
• forme modali simmetriche, che presentano circonferenze nodali, i cui
punti non si spostano durante la vibrazione
• forme modali anti-simmetriche, che presentano diametri nodali, i cui punti
non si spostano durante la vibrazione
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CdL Specialistica/Magistrale in Ingegneria Meccanica
SISTEMI CONTINUI PIASTRA CIRCOLARE
Le vibrazioni proprie di una piastra circolare possono prevedere:
• forme modali simmetriche, che presentano circonferenze nodali, i cui
punti non si spostano durante la vibrazione
• forme modali anti-simmetriche, che presentano diametri nodali, i cui punti
non si spostano durante la vibrazione
• forme modali miste, che presentano sia circonferenze che diametri
nodali, i cui punti non si spostano durante la vibrazione
Corso di Progettazione Assistita delle Strutture Meccaniche – Parte I
SISTEMI CONTINUI PIASTRA CIRCOLARE
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Le vibrazioni proprie di una piastra circolare di raggio R, sono date dalla
seguente relazione:
n,m 
 n ,m
R2
Eh 3
D
12 1  2

D
h
Libera al bordo esterno

Incastrata al bordo esterno