Risposte nel dominio del tempo

5
Capitolo
Il comportamento dei sistemi in
regime transitorio
5.1
Generalità sulla risposta dei sistemi nel dominio del
tempo
5.2
Risposta al gradino di un sistema del primo ordine.
5.3
Esercizi - Risposta al gradino dei sistemi del 1° ordine
reazionati e non reazionati
5.4
Generalità sui sistemi del 2° ordine
5.5
Risposta al gradino di ampiezza e di un sistema del 2°
ordine con ζ>1 (poli reali distinti e negativi)
5.6
Risposta al gradino di ampiezza e di un sistema del 2°
ordine con ζ=1 (poli reali coincidenti e negativi)
5.7
Risposta al gradino di ampiezza e di un sistema del 2°
ordine con 1≤ ζ <1 (poli complessi e coniugati con
parte reale negativa )
5.8
Esercizi - Risposta al gradino dei sistemi del 2°
ordine reazionati e non reazionati
5.9
Elementi caratteristici della risposta di un sistema
al gradino
5.10 Esercizi - Risposta al gradino e parametri
caratteristici
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
5.1
GENERALITÀ SULLA RISPOSTA DEI SISTEMI NEL DOMINIO DEL
TEMPO
Consideriamo un generico sistema
Se il segnale d’ingresso e(t) subisce brusche variazioni, il segnale d’uscita (risposta del sistema)
è costituito dalla somma di una risposta transitoria ed una risposta permanente (o risposta a
regime).
Per determinare il segnale d’uscita u(t), si procede nel seguente modo:
1.
2.
3.
4.
Si determina la G(s) G(s) = U(s)/E(s)
Si determina la E(s), facendo uso delle tabelle delle Td.L
Si calcola l’uscita U(s) =G(s)*E(s)
Si antitrasforma la U(s) per risalire alla u(t)
Calcolo del valore iniziale e del valore finale della risposta
a) Se è nota la u(t)
u(0) = lim u (t)
t→0
;
u(∞) = lim u(t)
t →∞
b) Se è nota la U(s)
•
Teorema del valore iniziale
U i = u(0) = lim s ⋅ U(s)
s →∞
•
Il teorema del valore iniziale ci fornisce la risposta di un
sistema all’istante t=0
Teorema del valore finale
U f = u(∞) = lim s ⋅ U(s)
s →0
Il teorema del valore finale ci fornisce la risposta di un
sistema all’istante t=∞
Nota: il teorema del valore finale si può applicare solo se U(s) non ha poli nel semipiano
positivo, incluso l’asse immaginario ed escluso l’origine.
Classificazioni dei sistemi per ordine
La classificazione per ordine di un sistemi viene fatto in relazione al numero di poli della sua
f.d.t.
Un sistema quindi dicesi di:
- ordine zero quando la sua f.d.t. non presenta poli
- ordine uno quando la sua f.d.t. presenta un polo (denominatore della f.d.t. è un
polinomio di primo grado)
- ordine due quando la sua f.d.t. presenta 2 poli (denominatore della f.d.t. è un
polinomio di secondo grado)
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V-2
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
5.2
RISPOSTA AL GRADINO DI UN SITEMA DEL 1° ORDINE
Consideriamo un sistema del 1° ordine con un polo reale negativo (a<0), eccitato da un gradino
di ampiezza E
•
Calcolo della U(s)
U(s) = E(s)*G(s)
Essendo l’ingresso un gradino di ampiezza E ⇒ E(s)=E/s,
E K
sostituendo si ha : U(s) = E(s)*G(s) =
s s+a
La risposta u(t) ha un andamento esponenziale crescente.
•
Calcolo del valore finale u(∞)
Uf = u(∞) = lim s ⋅ U(s) = lim s ⋅
s →0
•
s →0
E K
EK
=
s s+a
a
Calcolo della risposta u(t)
E K
s s+a
Antitrasformando facendo uso della tabella delle T.d.L rigo 9, si ricava la u(t)
U(s) = E(s)*G(s) =
u(t) =
EK
-at
( 1-e )
a
EK
EK
-at
(1-e ) =
a
a
t →∞
Ui = u(0) = lim u(t) = 0 ; Vfin = u(∞) = lim u(t) = lim
t→0
t →∞
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V-3
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
5.3
ESERCIZI - RISPOSTA AL GRADINO DEI SISTEMI DEL 1° ORDINE
REAZIONATI E NON REAZIONATI
Es.1.
Determinare l’uscita u(t) di un sistema del primo ordine caratterizzato dalla seguente f.d.t
5
G(s) =
s+2
quando all’ingresso è applicato un gradino di ampiezza 10
•
Calcolo della u(t)
L’uscita vale: U(s) = E(s)*G(s)
Essendo in questo caso l’ingresso un gradino di ampiezza 10 ⇒ E(s)=10/s,
sostituendo si ha :
10 5
U(s) =
s s+2
Antitrasformando la U(s) si ha:
•
u(t) =
10 ⋅ 5
-2t
-2t
(1-e ) = 25(1-e )
2
Calcolo della costante di tempo τ, del valore iniziale e quello finale
τ =1/2 sec
-2t
Ui = u(0) = lim u (t) = lim 25(1-e ) = 0
t→0
t →0
-2t
Uf = u(∞) = lim u(t) = lim 25(1-e ) = 25
t →∞
t →∞
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V-4
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
Es. 2
Determinare l’uscita u(t) di un sistema del primo ordine retroazionato, per semplicità a reazione
unitaria
quando all’ingresso è applicato un gradino di ampiezza 10
•
Calcolo della f.d.t. del sistema retroazionato W(s)
Il circuito retroazionato è equivalente al circuito in figura con H(s)=1
5
W (s ) = s + 2 =
5
1+
s+2
•
5
5 s+2
5
s+2
=
⋅
=
s+2+5
s+2 s+7 s+7
s+2
Calcolo della u(t)
U(s) = E(s)*W(s)
Essendo anche in questo esempio l’ingresso un gradino di ampiezza 10 ⇒ E(s)=10/s,
10 5
sostituendo si ha : U(s) =
s s+7
50
10 ⋅ 5
-7t
-7t
Antitrasformando la U(s) si ha:
u(t) =
(1-e ) =
(1-e )
7
7
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V-5
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
•
Calcolo della costante di tempo τ, del valore iniziale e quello finale
τ =1/7 sec
URi = u(0) = lim u R (t) = lim
t →0
t →0
URf = u(∞) = lim u R (t) = lim
t →∞
50
-7t
(1-e )
7
t →∞
=0
50
-7t
(1-e ) = 25 ≅ 7,14
7
NOTA
Dal confronto con l’esercizio precedente si evince che il sistema reazionato rispetto a quello non
reazionato
- si porta a regime in un intervallo di tempo minore
l’ampiezza del segnale d’uscita è minore
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V-6
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
5.4
GENERALITÀ SUI SISTEMI DEL 2° ORDINE
La f.d.t. di un generico sistema del 2°ordine, scritta in forma standard e la seguente.
G (s ) =
k ⋅ ωn
2
s 2 + 2ζω n s + ω n
2
Parametri caratteristici:
ζ è detto coefficiente di smorzamento (determina il tipo di risposta)
ωn è chiamata pulsazione naturale
k = lim G (s) guadagno statico
s →0
Poli della f.d.t.
I poli della f.d.t. si ricavano annullando il denominatore della G(s)
p1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1 = − ω n (ζ ± ζ 2 − 1)
2
risulta inoltre che p1 ⋅ p 2 = ω n (il prodotto delle radici è uguale al termine noto)
I poli sono per
ζ >1, reali distinti negativi
ζ =1, reali coincidenti
⇒ p1 = p2 = -ωn
0< ζ <1, complessi coniugati
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V-7
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
5.5
RISPOSTA AL GRADINO DI AMPIEZZA E DI UN SISTEMA DEL 2°
ORDINE CON ζ>1, (POLI REALI DISTINTI E NEGATIVI)
Consideriamo un sistema del secondo ordine con poli reali e distinti negativi (ζ >1)
G (s ) =
k ⋅ ωn
2
s 2 + 2ζω n s + ω n
2
2
k ⋅ω n
=
(s − p1)(s − p2)
La risposta al gradino è aperiodica
Dal grafico si rileva quando diminuisce il coefficiente di smorzamento aumenta la velocità
della risposta.
• Calcolo del valore finale u(∞)
Sappiamo che l’uscita nel dominio complesso vale:
U(s) = E(s)*G(s)
Avendo in ingresso un gradino di ampiezza E ⇒ E(s)=E/s,
sostituendo si ha :
2
k ⋅ ωn
E
U(s) =
2
s s + 2ζω n s + ω n 2
- Il valore finale Uf = u(∞) = lim s ⋅ U(s) = E ⋅ k
s →0
•
Calcolo della risposta u(t)
2
U(s) =
2
k ⋅ ωn
E
E
k ⋅ω n
=
s s 2 + 2ζω n s + ω n 2
s (s − p1)(s − p2)
Antitrasformando la U(s), facendo uso della tabella delle T.d.L. al rigo 10
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V-8
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
u(t) =


1
E ⋅ k ⋅ ω n 2 ⋅ L−1 

 s(s − p1)(s − p2) 
u(t) =
E ⋅ k ⋅ ωn 2 ⋅
u(t) =


p2
p1
e − p1 t +
E ⋅ k 1 −
e − p 2 t 
p2 − p1
 p2 − p1


1 
p2
p1
1 −
e − p1 t +
e − p 2 t  ⇒
p1 ⋅ p2  p 2 − p1
p 2 − p1

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V-9
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
5.6
RISPOSTA AL GRADINO DI AMPIEZZA E DI UN SISTEMA DEL 2°
ORDINE CON ζ=1, (POLI REALI CCOINCIDENTI E NEGATIVI)
Consideriamo un sistema del secondo ordine con poli reali e distinti negativi (ζ >1)
G (s ) =
k ⋅ ωn
2
s 2 + 2ζω n s + ω n
2
2
=
k ⋅ωn
(s + ωn )2
;
p1= - ω n
La risposta al gradino è aperiodica
•
Calcolo del valore finale u(∞)
L’uscita vale: U(s) = E(s)*G(s)
Avendo in ingresso un gradino di ampiezza E ⇒ E(s)=E/s,
sostituendo si ha :
2
E k ⋅ωn
U(s) =
s (s + ωn )2
Tenendo presente che la funzione non presenta poli positivi, applicando il
Teorema del valore finale si ha :
U f = u(∞) = lim s ⋅ U(s) = E ⋅ k
s →0
•
Calcolo della risposta u(t)
2
U(s) =
2
k ⋅ ωn
E
E k ⋅ωn
=
s s 2 + 2ζω n s + ω n 2
s (s + ωn )2
Antitrasformando la U(s), facendo uso della tabella delle T.d.L. al rigo 18
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V-10
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio


1
u ( t ) = E ⋅ k ⋅ ω n 2 ⋅ L−1 

 s(s + ω n ) 2 
u(t ) = E ⋅ k ⋅ ωn 2 ⋅
1
ωn
2
(1 − e − ω t − ωn t ⋅ e − ω t ) = E ⋅ k ⋅ (1 − e −ω t − ωn t ⋅ e −ω t )
n
n
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n
n
V-11
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
5.7
RISPOSTA AL GRADINO DI AMPIEZZA E DI UN SISTEMA DEL 2°
ORDINE CON 0≤ ζ <1, (POLI COMPLESSI E CONIUGATI CON
PARTE REALE NEGATIVA )
Consideriamo un sistema del secondo ordine con 0< ζ <1, (poli complessi e coniugati con
parte reale negativa )
G (s ) =
k ⋅ ωn
2
s 2 + 2ζω n s + ω n
2
2
=
k ⋅ω n
(s − p1)(s − p2)
dove p1= − ωn (ζ + ζ 2 − 1) ; p2= − ωn (ζ − ζ 2 − 1)
La risposta al gradino è oscillatoria smorzata
Dal grafico si rileva che quando diminuisce il valore del coefficiente di smorzamento
ζ aumenta l’ampiezza delle oscillazioni la velocità della risposta
1
1
<ζ<1 l’oscillazione e ben smorzata. (
= 0,707)
Per
2
2
•
Calcolo del valore finale u(∞)
L’uscita nel dominio vale:
U(s) = E(s)*G(s)
Avendo in ingresso un gradino di ampiezza E ⇒ E(s)=E/s,
sostituendo si ha :
2
U(s) =
k ⋅ ωn
E
2
s s + 2ζω n s + ω n 2
Tenendo presente che la funzione U(s) non presenta poli a parte reale positiva, applicando il
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V-12
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
Teorema del valore finale si ha :
U f = u(∞) = lim s ⋅ U(s) = E ⋅ k
s →0
•
Calcolo della risposta u(t)
U(s) =
E
s
k ⋅ ωn
2
s 2 + 2ζω n s + ω n
2
Antitrasformando la U(s), facendo uso della tabella delle T.d.L. al rigo 34


1
u ( t ) = E ⋅ k ⋅ ω n 2 ⋅ L−1 

 s(s 2 + 2ζω n s + ω n 2 ) 
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⇒
V-13
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
5.8
ESERCIZI - RISPOSTA AL GRADINO DEI SISTEMI DEL 2° ORDINE
REAZIONATI E NON REAZIONATI.
Es.1.
Studiare la risposta dei sistemi riportati in figura quando sono sollecitati da un segnale a gradino
di ampiezza E = 4
Soluzione
a) Studio della riposta del sistema non retroazionato
Ricavo dei parametri caratteristici del sistema
- Dal confrontando della a nostra G(s) =
G (s ) =
del 2°ordine
k ⋅ ωn
10
2
s + 2s + 2
con quella standard di un sistema
2
s 2 + 2ζω n s + ω n
2
si ha:
2
ω n = 2 ⇒ ω n = 2 ≅ 1,41 rad/sec (pulsazione naturale)
1
1
2ζω n = 2 ⇒ ζ =
=
≅ 0,707 (coefficiente di smorzamento)
ωn
2
k = lim
s→0
10
s 2 + 2s + 2
= 5 (guadagno statico)
Calcolo della U(s)
G(s) =
10
2
s + 2s + 2
;
U(s) = E(s)*G(s)
Avendo in ingresso un gradino di ampiezza 4 ⇒ E(s) = 4/s
U(s) =
sostituendo si ha :
10
4
2
s s + 2s + 2
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V-14
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
Calcolo del valore finale Uf
Calcolo dei poli
s 2 + 2s + 2 = 0 ⇒ s1= -1-j1; s2= -1+j1
Tenendo presente che la U(s) non presenta poli a parte reale positiva applicando il teorema del
valore finale si ricava l’ampiezza della risposta a regime.
Uf = u(∞) = lim s ⋅ U(s) =
s →0
4 ⋅ 10
= 20
2
Grafico e risposta:
Essendo ζ ≅ 0,707 la risposta al gradino è oscillatoria smorzata
La risposta si ricava antitrasformando la U(s), facendo uso delle tabelle delle T.d.L.
U(s) =
ζ=
1
10
4
s s 2 + 2s + 2
2
≅ 0,707 ; ω n = 2 ; ω n = 2 ≅ 1,41
2
θ = ar cos 0,707 = 0,785 = 45°


1
u ( t ) = 40⋅ L−1 

2
 s + 2s + 2 

1
1
u ( t ) = 40  −
e − t sen ( 2 1 − 0,5 ⋅ t + 0,785) ⇒

 2 2 1 − 0,5
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V-15
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
[


1
u ( t ) =20 1 −
⋅ e − t sen ( 2 0,5 ⋅t + 0,785) = 20 ⋅ 1 − 2 ⋅ e − t sen ( t + 0,785)
0,5


]
b) Studio della riposta del sistema retroazionato
Calcolo della f.d.t. del sistema retroazionato W(s)
Il circuito retroazionato è equivalente al circuito in figura con H(s)=1
10
2
10
W (s ) = s + 2s + 2 =
10
s 2 + 2s + 12
1+
s 2 + 2s + 2
Ricavo dei parametri caratteristici del sistema
10
- Dal confrontando della a nostra W(s) =
sistema del 2°ordine
G (s ) =
k ⋅ ωn
s 2 + 2s + 12
con quella standard di un
2
s 2 + 2ζω n s + ω n
2
si ha:
ω Rn 2 = 12 ⇒ ω Rn = 12 = 3,464 rad/sec
1
1
≅ 0,289
2ζ R ω Rn = 2 ⇒ ζ R =
=
ω Rn
12
k R = lim
10
=
2
s→0 s + 2s + 12
5
6
Calcolo della UR(s)
W(s) =
10
s 2 + 2s + 12
;
UR(s) = E(s)*W(s)
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V-16
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
Avendo in ingresso un gradino di ampiezza 4 ⇒ E(s) = 4/s
sostituendo si ha :
10
4
UR(s) =
s s 2 + 2s + 12
Calcolo del valore finale Uf
Calcolo dei poli
s 2 + 2s + 2 = 0 ⇒ s1 = -1- j; s2 = -1 + j
Tenendo presente che la UR(s) non presenta poli a parte reale positiva applicando il teorema del
valore finale si ricava l’ampiezza della risposta a regime.
U Rf = u(∞) = lim s ⋅ U(s) =
s →0
4 ⋅ 10 10
=
12
3
Grafico e risposta:
Essendo ζ R ≅ 0,29
la risposta al gradino è oscillatoria smorzata
La risposta si ricava antitrasformando la U(s), facendo uso delle tabelle delle T.d.L.
U(s) = U(s) =
ζ=
1
12
4
10
2
s s + 2s + 12
≅ 0,289; ζ 2 =



 s 2 + 2s + 12 
⇒ u ( t ) = 40⋅ L−1 
1
1
2
=0,083; ω n = 12; ω n = 12 ≅ 3,464 rad/sec
12
ω = ω n 1 − ζ 2 = 3,464⋅ 1 − 0,083 = 3,464⋅0,957 = 3,32 rad/sec
θ = ar cos 0,29 = 1 , 2 7 8
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V-17
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
1
1

u ( t ) = 40  −
e − t sen (3,32 ⋅ t + 1,278) ⇒
12 12 ⋅ 0,957

u(t) =
40
12
1


−t
1 − 0,957 ⋅ e sen (3,32 ⋅ t + 1,278) ⇒


u(t) =
10
3
1


−t
1 − 0,957 ⋅ e sen (3,32 ⋅ t + 1,278)


Nota:
Dall’analisi dei parametri, si nota che l’ampiezza della risposta a regime, il coefficiente di
smorzamento ζ e il guadagno statico del sistema retroazionato sono minori di quelli del
sistema non reazionato
Sistema non retroazionato
Uf
k
5
0,709
20
ζ
Sistema retroazionato
ζR
kR
0,289
5/6
U Rf =Uf /k+1
10
3
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V-18
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
Es.2.
Studiare la risposta dei sistemi riportati in figura quando sono sollecitati da un segnale a gradino
di ampiezza E = 4
Soluzione
c) Studio della riposta del sistema non retroazionato
Ricavo dei parametri caratteristici del sistema
- Confrontando la nostra G(s)) con quella standard di un sistema del 2°ordine
2
k ⋅ ωn
si ricavano i parametri caratteristici:
G (s ) = 2
2
s + 2ζω n s + ω n
2
ω n = 6 ⇒ ω n = 6 rad/sec
5
5
≅ 1,02
2ζω n = 5 ⇒ ζ =
=
2ω n 2 6
k=
30
=5
6
Calcolo della U(s)
G(s) =
30
s + 5s + 6
2
;
U(s) = E(s)*G(s)
Avendo in ingresso un gradino di ampiezza 4 ⇒ E(s) = 4/s
sostituendo si ha :
U(s) =
30
4
2
s s + 5s + 6
Calcolo del valore finale Uf
I poli sono reali distinti e negativi
s 2 + 5s + 6 = 0 ⇒ p1= -2; p2= -3
Tenendo presente che la U(s) non presenta poli a parte reale positiva applicando il teorema del
valore finale si ricava l’ampiezza della risposta a regime.
u(∞) = lim s ⋅ U(s) =
s →0
4 ⋅ 30
= 20
6
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V-19
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
Grafico e risposta:
Essendo ζ ≅ 1,02>1 la risposta al gradino è aperiodica
La risposta si ricava antitrasformando la U(s), facendo uso delle tabelle delle T.d.L.
U(s) = U(s) =
30
4
=
2
s s + 5s + 6
4
30
s (s + 2)(s + 3)
d) Studio della riposta del sistema retroazionato
Calcolo della f.d.t. del sistema retroazionato W(s)
Il circuito retroazionato è equivalente al circuito in figura con H(s)=1
30
2
30
W (s ) = s + 5s + 6 =
2
30
s + 2s + 36
1+
2
s + 5s + 6
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V-20
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
Ricavo dei parametri caratteristici del sistema
30
- Dal confrontando della a nostra W(s) =
sistema del 2°ordine
G (s ) =
k ⋅ ωn
s 2 + 2s + 36
con quella standard di un
2
s 2 + 2ζω n s + ω n
2
si ha:
ω Rn 2 = 6 ⇒ ω Rn = 36 = 6 rad/sec
2
1
2ζ R ω Rn = 2 ⇒ ζ R =
= = 0,17
2ω Rn 6
k R = lim
30
= 5/6 ≅ 0,83
2
s→0 s + 2s + 36
Calcolo della UR(s)
W(s) =
30
;
s 2 + 2s + 36
UR(s) = E(s)*W(s)
Avendo in ingresso un gradino di ampiezza 4 ⇒ E(s) = 4/s
UR(s) =
sostituendo si ha :
30
4
2
s s + 2s + 36
Calcolo del valore finale URf
Calcolo dei poli
s 2 + 2s + 36 = 0 ⇒ s1 = −1 − j 35 ; s 2 = −1 + j 35
Tenendo presente che la UR(s) non presenta poli a parte reale positiva applicando il teorema del
valore finale si ricava l’ampiezza della risposta a regime.
U Rf
= u(∞) = lim s ⋅ U(s) =
s →0
4 ⋅ 30 10
=
≅ 3,33
36
3
Grafico e risposta:
Essendo ζ R ≅ 0,17 la risposta al gradino è oscillatoria smorzata
La risposta si ricava antitrasformando la U(s), facendo uso delle tabelle delle T.d.L.
UR(s) =
30
4
s s 2 + 2s + 36
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V-21
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
5.9
ELEMENTI CARATTERISTICI DELLA RISPOSTA DI UN SISTEMA AL
GRADINO
Se applichiamo un segnale a gradino all’ingresso di un sistema stabile questo risponde con un
segnale che può avere l’andamento di fig.1 o quello di fig.2
Fig.1
Risposta aperiodica o smorzata
Fig.2
Risposta oscillante smorzata
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V-22
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
Parametri caratteristici che permettono di valutare le prestazioni di un
sistema
Tr = tempo di salita (rise time) è definito come il tempo necessario perché
il valore della risposta aumenti dal 10% al 90% del valore finale
Td = tempo di ritardo (delay time) è definito come il tempo necessario
perché il valore della risposta sia uguale al 50% del suo valore finale
Ts = tempo di assestamento (setting time) è definito come il tempo
necessario perché il valore della risposta sia compreso entro una fascia di
valori prestabiliti che si discostano dell’ 1% ÷ 5% dal valore finale U f
•
Per un sistema del 1° ordine:
G(s)=
τ=
1 1
=
(costante di tempo)
p a
k
s+a
con a>0
Tr ≅ 2,2τ
;
;
Td ≅ 0,7τ
Ts al 1% ≅ 4,6τ ; Ts al 2% ≅ 3,9τ ; Ts al 5% ≅ 3τ
•
Per un sistema del secondo ordine con poli complessi e coniugati per un ingresso a
gradino unitario.
k ⋅ ωn
G (s ) =
1 + 1,1ζ + 1,4ζ 2
ωn
4
Ts al 2% =
ζω n
π
Tp =
ωn 1 − ζ
2
2
con 0<ζ<1
1 + 0,7 ⋅ ζ
ωn
3
Ts al 5% =
ζω n
Td =
;
tempo per raggiungere il max della risposta UM
−
M = UM − Uf = Uf ⋅ e
π⋅ζ
1− ζ 2
UM = Uf + M
UM − Uf
100 = e
Uf
M%
UM = Uf +
Uf
100
M% =
s 2 + 2ζω n s + ω n
;
Tr =
2
altezza del picco (overshoot)
valore massimo raggiunto dall’uscita
−
π⋅ζ
1− ζ 2
⋅ 100
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V-23
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
5.10
ESERCIZI - RISPOSTA AL GRADINO E PARAMETRI CARATTERISTICI
Es.1
Un segnale a gradino di ampiezza 2 è applicato ad un sistema del I° ordine la cui fdt è la
seguente
G(s) =
12000
4s + 24000
Determinare: a) la risposta in funzione del tempo; b)il tempo di salita del segnale d’uscita; c)il
tempo necessario per raggiungere il 99% del valore a regime; d)il valore a regime del segnale
d’uscita.
Soluzione
•
Calcolo della risposta in funzione del tempo
L’uscita vale: U(s) = E(s)*G(s)
Essendo in questo caso l’ingresso un gradino di ampiezza 2 ⇒ E(s)=2/s,
sostituendo si ha :
2 12000
2 3000
6000
=
=
s 4s + 24000 s s + 600 s(s + 600)
6000
-600t
-600t
u(t) =
) = 10(1-e
)
(1-e
600
U(s) =
Antitrasformando si ha:
•
Calcolo del tempo di salita del segnale d’uscita Tr
τ=
1
=1/600 sec dove p= -600 (polo)
p
Tr ≅ 2,2τ =
•
2,2
= 3,67 msec
600
Calcolo del tempo necessario per raggiungere il 99% del valore a regime
Ts al 1% ≅ 4,6τ =
•
4,6
= 7,67 msec
600
Calcolo del valore a regime del segnale d’uscita.
Uf = u(∞) = lim u(t) = lim 10(1-e
t →∞
-600t
t →∞
) = 10
oppure con il teorema del valore finale
Uf = u(∞) = lim s ⋅ U(s) = lim s ⋅
s →0
s →0
6000
=10
s(s + 600)
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V-24
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
Es.2
Un segnale a gradino di ampiezza 2 è applicato ad un sistema del II ordine la cui fdt è la
seguente:
G (s) =
90
s + 6s + 18
2
Determinare: a) la risposta in funzione del tempo; b) il valore a regime; c)l’istante se esiste
in cui avviene l’overshoot del segnale d’uscita; d)il valore max del segnale d’uscita
Soluzione
•
Calcolo della risposta in funzione del tempo
2
G (s) =
Confrontiamo la nostra fdt con quella standard
k ⋅ ωn
90
= 2
2
s + 6s + 18 s + 2ζω n s + ωn 2
2
ω n = 18 ⇒ ω n = 18 rad/sec (pulsazione naturale)
3
1
3
6
=
≅ 0,707 (coefficiente di smorzamento)
=
2ζω n = 6 ⇒ ζ =
=
2ωn
18 3 2
2
90
= 90/18 (guadagno statico)
s→0 s + 6s + 18
k = lim G (s) = lim
s→0
2
I poli della f.d.t. sono complessi e coniugati, la risposta e oscillatoria smorzata e sarà presente
un overshoot.
L’uscita vale: U(s) = E(s)*G(s)
Essendo in questo caso l’ingresso un gradino di ampiezza 2 ⇒ E(s)=2/s sostituendo si ha :
90
2
2
s s + 6s + 18
3t
u(t) = 10 -14,14 e- ⋅ sen(3t +π/4)
U(s) =
Antitrasformando si ha:
•
Calcolo del valore a regime del segnale d’uscita.
3t
Uf = u(∞) = lim u(t) = lim 10 -14,14 et →∞
t →∞
sen(3t +π/4) = 10
oppure con il teorema del valore finale in quanto i poli della G(s) hanno parte reale negativa.
Uf= u(∞) = lim s ⋅ U(s) = lim s
s →0
•
s →0
90
2
=10
2
s s + 6s + 18
Calcolo dell’istante in cui avviene l’overshoot del segnale d’uscita
Tp =
π
ωn 1 − ζ 2
=
π
18 1 − 0,5
=
3,14
π
=
= 1,047 sec
3
18 0,5
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V-25
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
Metodo alternativo:
Per trovare l’istante in cui l’uscita è massima calcoliamo e annulliamo la
derivata prima
3t
3t
D[u(t)] = D[10 -14,14 e - ⋅sen(3t+π/4)] = -14,14 e - ⋅(-3)⋅cos(3t+π/4)⋅(+3) ⇒
3t
D[u(t)] =9⋅14,14⋅ e - cos(3t +π/4) = 0 ⇒
3t +
•
π 3
π
= π ⇒ t= t
4 2
3
⇒
t =1,047 sec
Calcolo del massimo valore raggiunto del segnale d’uscita
−
π⋅ζ
1− ζ
2
M = UM − Uf = Uf ⋅ e
= 10 e
U M = U f + M = 10+0,43 =10,43
−
π⋅ζ
1− ζ 2
= 0,43 altezza del picco
Metodo alternativo:
Il valore max si ha per t=1,047 pertanto:
3t
U M = u(t=1,047) = 10 -14,14 e - ⋅sen(3t +π/4) = 10.43
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V-26
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
Es.3
Il sistema descritto dallo schema a blocchi è sottoposto ad un gradino di
ampiezza 5
Determinare:
a) il valore a regime
c) il tempo a cui avviene l’overshoot
e) il valore max del segnale d’uscita
b) il tempo di salita
d) il valore dell’overshoot
f) il tempo di assestamento al 2%
Soluzione
•
Calcolo della risposta U(s)
Il circuito retroazionato è equivalente al circuito in figura con H(s)=1
W (s) =
10 6
s(s + 400)
1+
10 6
s(s + 400)
10 6
=
s(s + 400) + 10 6
=
10 6
s 2 + 400s + 10 6
Confrontiamo la nostra fdt con quella standard
W (s) =
10 6
s 2 + 400s + 10 6
=
k ⋅ ωn
2
s 2 + 2ζω n s + ωn
2
ω n = 106 ⇒ ω n = 10 6 =103 =1000 rad/sec (pulsazione naturale)
400
400
2ζω n = 400 ⇒ ζ =
=
= 0,2 (coefficiente di smorzamento)
2ω n 2 ⋅ 1000
2
k = lim W (s) = lim =
s→0
s→0
10 6
s 2 + 400s + 10 6
= 1 (guadagno statico)
I poli della f.d.t. sono complessi e coniugati, la risposta e oscillatoria smorzata e sarà presente
un overshoot.
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V-27
Il comportamento dei sistemi in regime transitorio
L’uscita vale: U(s) = E(s)*W(s)
Essendo in questo caso l’ingresso un gradino di ampiezza 5 ⇒ E(s)=5/s sostituendo si ha :
U(s) =
•
5 ⋅ 10 6
10 6
5
=
s s 2 + 400s + 10 6 s(s 2 + 400s + 10 6 )
Calcolo del valore a regime del segnale d’uscita.
Uf = u(∞) = lim s ⋅ U(s) = lim s
s →0
•
•
s(s 2 + 400s + 10 6 )
Calcolo del tempo di salita
1 + 1,1 ⋅ 0,2 + 1,4 ⋅ 0,2 2
1 + 1,1ζ + 1,4ζ 2
Tr =
=
1000
ωn
=5
=1,276 msec
Calcolo del tempo a cui avviene l’overshoot
π
3,14
Tp =
•
s →0
5 ⋅ 10 6
ωn 1 − ζ
2
=
1000 1 − 0,2
2
=3,20 msec
Calcolo del massimo valore raggiunto del segnale d’uscita
−
M = UM − Uf = Uf ⋅ e
π⋅ζ
1− ζ 2
−
=5⋅e
π ⋅ 0, 2
1− 0, 2 2
= 2,63 valore del picco (overshoot)
U M = U f + M = 5 +2,63 = 7,63 valore massimo raggiunto dall’uscita
•
Calcolo del tempo di assestamento al 2%
4
4
Ts al 2% =
=
= 20 msec
ζω n 0,2 ⋅ 1000
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V-28