Studiare la seguente funzione (dominio, segno, comportamento agli

Studiare la seguente funzione (dominio, segno, comportamento agli estremi del dominio, intervalli di crescenza e decrescenza, massimi e minimi) e
tracciarne approssimativamente il grafico.
x3
x2 − 1
Soluzione. Il dominio della funzione è dato da tutti gli x ∈ R per i quali
il denominatore è diverso da zero, ovvero la funzione data è definita per tutti
gli x 6= ±1. In altre parole
Dominio(f ) = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞).
Per studiare il segno della funzione, basta studiare il segno del numeratore e
quello del denominatore. Si ha
−1
x3
x2 − 1
0
1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _◦
◦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _◦
−
×
+
−
0
×
+
Dunque f (x) > 0 per −1 < x < 0 e per x > 1; f (x) = 0 per x = 0; f (x) < 0
per x < −1 e per 0 < x < 1. Per x = −1 e per x = 1 la funzione non è
definita.
Studiamo adesso il comportamento di f (x) alla frontiera del dominio. Si
ha
x3
x→−∞ x2 (1 −
1
)
x2
x3
x→+∞ x2 (1 −
1
)
x2
lim f (x) = lim
x→−∞
lim f (x) = lim
x→+∞
= lim x
1
= −∞
1 − x12
= lim x
1
= +∞
1 − x12
x→−∞
x→+∞
Dal diagrammino scritto sopra per lo studio del segno ricaviamo inoltre
lim − f (x) =
x→−1
−1
= −∞;
0+
lim + f (x) =
x→−1
1
−1
= +∞
0−
1
1
= −∞;
lim+ f (x) = + = +∞
−
x→1
x→1
0
0
Infine studiamo la crescenza e la decrescenza di f (x) studiando il segno
della derivata f 0 (x). Si ha
lim− f (x) =
x2 (x2 − 3)
3x2 (x2 − 1) − x3 (2x)
=
.
f (x) =
(x2 − 1)2
(x2 − 1)2
0
Per studiare il segno di f 0 (x) basta studiare il segno del numeratore (ovvero
dei fattori del numeratore) e del denominatore:
√
− 3
−1
0
1
√
3
◦
x2
x2 − 3
(x2 − 1)2
◦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _◦
+
%
◦
0 − × − 0
→
& →
&
◦
− × − 0
& →
&
+
%
√
Dunque f (x) cresce tra −∞ e − 3, dove ha un massimo, poi decresce fino a
x = −1; avvicnandosi a x = −1 da sinistra f (x) decresce fino a −∞. Appena
superato x = −1, f (x) riparte da +∞ e decresce fino a x = 0, dove il grafico
ha una retta tangente orizzontale, poi continua a decrescere fino a x = 1;
avvicinandosi a x = 1 da sinistra f (x) decresce fino a√−∞. Appena superato
x = −1, f (x) riparte da +∞ e decresce fino a x = 3, dove ha un minimo,
dopodicé cresce fino a x = +∞.
Le coordinate
dei punti
√
√ di massimo e di minimo sul grafico di f (x) sono
√
√
(− 3, − 23 3) e ( 3, 32 3). Il punto di ascissa x = 0 individua sul grafico di
f (x) il punto (0, 0)
Un grafico approssimativo di f (x) è pertanto il seguente:
2
10
5
-3
-2
-1
1
-5
-10
3
2
3