esercizio n. 1

Studio della convergenza delle seguenti serie numeriche
+3
+ 2 +2
2
Condizione necessaria (ma non suffic.) affinché una serie converga è che
lim
=0
→
⟹
lim
→
+3
=0
+ 2 +2
2
La condizione necessaria non ci dà informazioni.
Ora poiché il termine generale della nostra serie è asintotico con la serie
armonica generalizzata
1
→
⟹
~
, cioè:
2
+3
→
+ 2 +2
_________________________________________
!
lim
→
!
=0
La condizione necessaria non ci dà informazioni, quindi per studiare il
comportamento della serie uso il “Criterio del Rapporto”, cioè:
lim
=
→
lim
→
= lim
→
( + 1)!
∙
=
( + 1)
!
( + 1)
= lim
→
< 1
>1
=1
! ( + 1)
lim
∙
=
→
( + 1) ( + 1) !
1
1+
1
= lim
→
1
=
1
<1→
_________________________________________
+2
+4
cos
lim
→
cos
+2
=1
+4
Si nota che la condizione necessaria non è soddisfatta, quindi la serie
diverge.
_________________________________________
+2
+4
sin
lim
→
sin
+2
=0
+4
La condizione necessaria non ci dà informazioni.
Per studiare il carattere della serie, ricorro al limite notevole:
sin[ ( )]
lim
=1
( )→
( )
Questo significa che sin[ ( )] ~ ( ), quindi:
sin
+2
~
+4
sin
+2
→
+4
+2
ma
+4
+2
1
~ →
+4
, quindi
_________________________________________
1
√
−
1
lim
→
−
√
=0
La condizione necessaria non ci dà informazioni.
Si nota che il termine generale della serie, è asintotico alla serie
geometrica generalizzata
1
−
√
~
1
→
, con = , quindi;
⟹
1
√
−
→
_________________________________________
2 +1
3 +
lim
→
2 +1
=0
3 +
La condizione necessaria non ci dà informazioni.
Si nota che il termine generale della nostra serie è asintotico alla serie
geometrica di ragione < 1, che
2 +1
2
~
3 +
3
→
⟹
,quindi:
2 +1
→
3 +
_________________________________________
log
lim
log
=0
→
La condizione necessaria non ci dà informazioni.
Per studiare il comportamento della serie si ricorre al “Criterio degli
Integrali”:
Se f : [1,+∞]->R è una funzione non negativa, decrescente e infinitesima
per x->+∞, allora:
( )=
( )
⎧
⎪
( )
⎨
⎪
⎩
( )
= lim
→
La nostra ( ) =
< +∞
→ +∞
( )
e si nota che è una funzione non negativa, ed è
infinitesima per → +∞. Proviamo che è decrescente. Per studiare la
decrescenza studiamo il segno della derivata prima:
( )=
∙
1
– log ∙ 2
=
(1 − 2
)
<0
La soluzione di questa disequazione è > , quindi la mia funzione è
decrescente e posso applicare il Criterio degli Integrali, risolvendo
l’integrale per parti:
lim
log
= lim
→
= lim
→
+
→
log
→
lim
log
log
+
1
− (log 1) −
= lim
(log )
log
→
1
−1
=
+ −
1
=
=1→
_________________________________________