LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi proposti 1. Calcolare i

LIMITI E CONFRONTO LOCALE
Esercizi proposti
1. Calcolare i seguenti limiti:
x3 − 3x
x→±∞ x2 + 1 − 2x3
p
c) lim 2x − 4x2 + x
a)
lim
x→±∞
x−3
√
e) lim √
x→3
x− 3
√
3
10 − x − 2
g) lim
x→2
x−2
sin(sin x)
i) lim
x→0
x
sin x − tg x
x→0
x3
cos π x
o) lim− √ 4
x→2
4 − x2
1
q) lim x sin
x→+∞
x
1
cos x − 3
s) lim+
x
x→0
m) lim
x3 − 3x − 2
x→−1 x4 + 2x3 − 8x2 − 18x − 9
p
d) lim
x2 + 2x + x
b) lim
x→−∞
x+1
+ 3 + 3x
p
p
3
3
3
2
3
2 + x − 1 + 2x + x
lim
f ) lim √
x→−1
h)
6x2
x→+∞
sin x − 1
2
x→π/2 π − x
2
cos x − cos 2x
n) lim
x→0
1 − cos x
sin x − cos x
p) lim
sin(4x)
x→π/4
sin x − cos x
r) lim
x→+∞
x
1
t) lim √
.
x→−∞ 3 x(3 − cos x)
l)
lim
2. Dire se esistono (ed eventualmente calcolare) i seguenti limiti:
a)
c)
lim x3 (1 + sin x)
x→+∞
lim
x→+∞
x + x3 sin2 x
lim x3 (2 + sin x)
d) lim x + x3 sin x .
b)
x→+∞
x→+∞
3. Calcolare i seguenti limiti:
e −x
x→+∞
x
log3 (1 + 2x)
c) lim
x→0
sin x
√
n
1 + 2x − 1
e) lim
x→0
x
log sin x
g) lim
x→0 log x
a)
lim
1−
x2
i) lim+
2
x→0 log x sin x
ex sin (e−x sin x)
k) lim
x→+∞
x
2
x+3
x + 2x + 3
m) lim
x→+∞
x2 − x + 1
o) lim (2 − cos x)
1
sin2 x
x→0
log(cos x)
x→0
x2
x+3
s) lim x log
x→+∞
x
sin x
x
−1
u) lim+
x
x→0
q) lim
1
x) lim+ (ex − 1) log x
x→0
√
w)
lim
(tg x)
π−
x→ 2
cos x
x x3
b) lim 1 +
x→0
2
x2
3 −1
d) lim
x→0
x2
√ x
( 2) − 1
f ) lim
x→0 2x + sin x
x2 + log3 x − ex
h) lim
x→+∞ 3e−x + 5ex − x10
1
j) lim
1 + 2x
1
x→0±
3 + 2x
x5 3x + 2x
l) lim
x→−∞ x4 4x + 3x
1
n) lim x− log x
x→1
log 1 + tg 4 x
p) lim
4
x→0
e2 sin x − 1
1
x
r) lim x 2 − 1
x→+∞
1
t) lim (3 · 2x − 2 · 3x ) x
x→0
x
1
v) lim log e +
x→+∞
x
p
1
9 + sin (2x − 1) − 3
y) lim
x→0 x
√
sin x2 − 1
√
.
z) lim+
x→1 log x + 3 x2 − 1
√
4. Verificare che f (x) = 2x2 + x + 1 e g(x) = x − 1 sono infiniti dello stesso ordine per
x → +∞ e determinare k ∈ R tale che f (x) ∼ k g(x) (x → +∞).
√
5. Confrontare tra loro gli infiniti x3 e 3 x8 − 7x2 per x → +∞.
6. a) Verificare che se f (x) è infinitesima per x → x0 , allora sin f (x) ∼ f (x) (x → x0 ).
√
b) Dedurne che sin x2 + 1 − x è infinitesima dello stesso ordine di x1 per x → +∞.
7. Calcolare l’ordine di infinitesimo α e la parte principale kxα rispetto a x per x → 0
delle seguenti funzioni:
x
b) 1 − cos3 (2x)
p
d) 4 − 3x2 − 2
√
√
f) n 1 + x − m 1 − x
p
3
h) 1 + 2 sin2 x − cos x
a) e x+1 − 1
c) log(1 + tg 3 x)
√
e) cos x − 1
x3/2 + 5x2
√
g) √
x+ 3x
cos x
i)
−1
1 + x2
p
2
m) log
x + 9 − log 3
1 + sin x
√ −1
1− x
√
n) arctg 4 cos x − 1 .
l)
8. Determinare l’ordine di infinitesimo α e la parte principale
+∞ delle seguenti funzioni:
√
√
x+ 3x
a) 3/2
x + 5x2
√
√
c) 3 x + 1 − 3 x − 1
3
−1
e) log e +
x
k
xα
rispetto a
1
x
per x →
3
2
+
b) arctg
x x2
q
√
1
d) x2 + x − x +
x
√
√
1
f) x + 1 − x − √ .
2 x
9. Determinare l’ordine di infinitesimo α e la parte principale k(x−x0 )α rispetto a x−x0
per x che tende al valore indicato x0 delle seguenti funzioni:
a) sin x (x → π)
√
c) x − 1 (x → 1)
π e) (x2 − 1) 1 − sin x
2
(x → 1)
b) cos x (x → π/2)
√
√
d) 1 + 2x − 5 (x → 2)
√
f ) log x + 7 − 2
(x → 2).
10. Determinare l’ordine di infinito α e la parte principale kxα rispetto a x per x → +∞
delle seguenti funzioni:
a) log e2x + 3
b) √
√
x4
− x3 + x.
x2 + 1
11. Determinare a in modo che la funzione
f (x) =
x3 + ax2 + x
3x2 − ax + 1
abbia y = 13 x + 2 come asintoto obliquo.
12. Determinare il dominio e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni:
a) f (x) =
1
1+
x
x
13. Dire se esiste
lim √
x→+∞
b) f (x) =
p
x2 − x + 2.
x − 2x3 + sin x
.
2
2 + x6 − cos x esin x
14. Confrontare fra loro i seguenti infinitesimi per x → 0+ mettendoli in ordine crescente
di infinitesimo:
2
−
1
x2
√
, x , x x,
2
2
1
1
ex − 1
x
sin x x2
.
, xx ,
, x2 log x, e− x , x log2 x, √ ,
x
log x
x log x
Soluzioni
1.
1
a) −
2
d) − 1
1
g) −
12
1
l) −
2
o) 0
r) 0
3
b)
8
√
e) 2 3
2
h) −
3
1
m) −
√2
2
p) −
4
s) − ∞
c)
−∞ per x → −∞,
− 14 per x → +∞
f) 1
i) 1
n) 3
q) 1
t) 0.
2.
3
0
a) non esiste xn = 2nπ,
= π + 2nπ, f (xn ) → +∞, f (xn ) → 0
2
b) + ∞ (x3 (2 + sin x) ≥ x3 ∀x ∈ R
c) + ∞ x + x3 sin2 x ≥ x ∀x > 0
3
0
0
d) non esiste xn = 2nπ, xn = π + 2nπ, f (xn ) → +∞, f (xn ) → −∞ .
2
x0n
3.
a) ee
b) e3/2
d) log 3
e)
g) 1
1
j)
1/3
h) −
m) e3
p) −
per x → 0+
per x → 0−
1
5
1
e
q) −
8
9
s) 3
t)
v) e1/e
x) e
w) 1
z)
1
.
3
i) 0
l) + ∞
k) 0
n)
1
2
2
n
2
log 3
log 2
f)
6
c)
o)
1
2
√
e
r) log 2
u) − ∞
y)
log 2
6
√
4. Si verifica √
subito che f (x) ∼ 2 g(x) (x → +∞).
5. L’infinito 3 x8 − 7x2 ∼ x8/3 (x → +∞) ha ordine 8/3 < 3.
6. a) Infatti facendo il cambio di variabile f (x) = t si ha
lim
x→x0
sin t
sin f (x)
= lim
= 1.
t→0 t
f (x)
b) Essendo
p
x2 + 1 − x = √
si ha
x2
1
1
∼
2x
+1+x
p
1
sin( x2 + 1 − x) ∼
2x
(x → +∞),
(x → +∞)
per il punto a).
7.
b) 6x2
1
e) − x2
4
7
h) x2
6
1 2
x
m)
18
a) x
3
d) − x2
4
g) x7/6
l) x1/2
c) x3
1
1
f)
+
x
n m
3
i) − x2
2
1
n) − x2 .
8
8.
1
5x3/2
1
d) 1/2
2x
2
x
3
e)
ex
a)
b)
c)
2
3x2/3
f) −
1
.
8x3/2
9.
π
)
2
a) − (x − π)
b) − (x −
1
d) √ (x − 2)
5
π2
e)
(x − 1)3
4
1
(x − 1)
2
1
f ) (x − 2).
6
c)
10.
a) 2x
11. a = 29 .
1
b) − x.
2
S
12. a) dom(f ) = (−∞, −1) (0, +∞). La retta y = e è asintoto orizzontale completo per
f . La retta x = −1 è asintoto verticale per f .
b) dom(f ) = R. La retta y = x− 12 è asintoto obliquo destro per f . La retta y = −x+ 12
è asintoto obliquo sinistro per f .
x−2x3 +sin x
13. Il limite non esiste. Infatti posto f (x) = √2+x
, consideriamo le due suc6 −cos xesin2 x
π
0
cessioni xn = nπ e xn = 2 + nπ, che divergono a +∞. Essendo limn→∞ f (xn ) = −2
e limn→∞ f (x0n ) = − 2e , il limite non esiste.
14. In ordine crescente di infinitesimo per x → 0+ si ha
2
√
1
1
1
sin x
ex − 1 x
x2
√ , x log2 x,
, x x, x2 log x, x2 ,
, e− x , x x , 2− x2 .
x
log x
log x
x