2.Sistemi e problemi di I grado

Liceo Scientifico “G. Galilei” Trebisacce
Anno Scolastico 2012-2013
Prova di Matematica : Sistemi lineari
24.11.2012
prof. Mimmo Corrado
Alunno: ________________________________________________________ Classe: 2C
1. Fai un esempio di un sistema lineare di due equazioni in due incognite la cui soluzione è = 3; = −2
2. Fai un esempio di un sistema lineare di due equazioni in due incognite impossibile.
3. Senza risolvere il sistema, determina quale delle seguenti terne è la soluzione:
− + 3 = 9
2 + − = −2
+ 3 + 2 = −1
4. Il sistema ≠ −4
⊡ −1; −1; −1
− 9 = 1 + 3 = −1
⊡ 1; −1; −2
risulta determinato se è solo se:
≠ −3
≠ −2
5. Risolvi i seguenti sistemi di equazioni con i cinque metodi studiati:
⊡ 3; −1; 2
⊡ 1; −2; 2
≠ −1
−1
3−
+1=
2
4
− + 2
= − + 1
+ 1
6 − 3 − 8 = 0
3
1,2 − = 5
5
6. Risolvi ed effettua la discussione del seguente sistema letterale:
+ − − 9
= 3 2 − 1
+ − + 1 = 0
7. Risolvi il seguente sistema di equazioni con un metodo a tua scelta:
2 + − 1
4
+ =
3
5
5
+
−3=0
2 −
2
1
2
−
−
+2=0
3
8. Calcola il seguente prodotto di matrici (righe x colonne) :
1 −2 1
3 2 4
3
× "2
1
−4
−1#
−2
$
9. In un trapezio rettangolo ABCD di base maggiore AB, la somma delle basi supera di 80 m l’altezza, la base minore è i %
della base maggiore, l’altezza è congruente alla differenza delle basi. Calcola l’area del trapezio ABCD. Detto poi P, un
punto dell’altezza AD, ed E il punto di intersezione delle rette AB e CP, considera il triangolo BCE. Determina a quale
&
distanza dalla base minore CD si deve fissare il punto P affinché il triangolo BCE sia equivalente ai ' del trapezio ABCD.
10. Quando tu avrai la mia età, io avrò il quadruplo degli anni che tu avevi quando io avevo la tua età e insieme avremo 70
anni. Determinare le età attuali.
Valutazione
Punti
Voto
Esercizio
Punti
0-3
4-8
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Totale
3
3
3
3
30
7
7
4
10
10
80
9 - 13 14 - 19 20 - 25 26 - 31 32 - 37 38 - 43 44 - 49 50 - 55 56 - 61 62 - 67 68 - 72 73 - 77 78 - 80
3½
4
4½
5
5½
6
6½
7
7½
8
8½
9
10
Soluzione
1. Fai un esempio di un sistema lineare di due equazioni in due incognite la cui soluzione è = 3; = −2
+ = 1
− =5
+ = 2
+ =3
2. Fai un esempio di un sistema lineare di due equazioni in due incognite impossibile.
− + 3 = 9
2 + − = −2
+ 3 + 2 = −1
3. Senza risolvere il sistema, determina quale delle seguenti terne è la soluzione:
− 9 = 1 4. + 3 = −1
⊡ −1; −1; −1
⊡ 1; −1; −2
La terna soluzione è: = 1; − 2; = 2
|)| = *
1
−9
* = 3 + 9
3
⊡ 1; −2; 2
Il sistema risulta determinato se è solo se |)| ≠ 0 ; cioè 3 + 9 ≠ 0 ; 3 ≠ −9 ;
6 − 3 − 8 = 0
⊡ 3; −1; 2
≠ −3 .
5. Risolvi il seguente sistema di equazioni:
+
1,2 − % = 5
,
6 − 3 = 8 12 − 6 = 50
-
-.
= 0$ = $
/
0
moltiplicando la IIa equazione per 10 si ha:
1
1.
Il sistema è impossibile
= 2/ = $
2,
0
3
3.
= %5 = $%
4
6
Metodo Grafico
6 − 3 − 8 = 0
12 − 6 = 50
Matematica
y
8
0 −
3
4
0
3
x
x
0
25
6
y
25
−
3
0
www.mimmocorrado.it
2
−1
3−
+1=
2
4
− + 2
= − + 1
+ 1
Risolvi il seguente sistema di equazioni:
2 + = 1 = −1
-
-.
Metodo di sostituzione
2 + = 1 = −1
Metodo del confronto
2 + = 1 = −1
Metodo di riduzione
2 + = +1
−
= −1
=
2 = 2 ; = 1
=
$
5
2 − 1 = 1 = −1
= 1 − 2
= −1
1
1.
2 − 2 + 4 = 3 − $
+ 2 − − 2 = $ − + + − + 1
= = 1 Il sistema è determinato
0
0
2 = 2
= −1
−1 = 1 − 2
= −1
=1 = −1
=1 = −1
2 = 2 = −1
Metodo di Cramer
2 + = 1 |)| = *2 1* = 2 − 0 = 2
|)7 | = * 1 1* = 1 + 1 = 2
= −1
0 1
−1 1
|)7 | 2
8)9 8 −2
= =1 ; =
=
= −1;
: =
|)|
|)| 2
2
8)9 8 = *
=1 = −1
2 1
* = −2 + 0 = −2
0 −1
Metodo Grafico
x
2 + = 1
0 1
1
0
2
= −1
x
y
3 -1
0 -1
<1; −1
Matematica
y
www.mimmocorrado.it
3
+ − − 9
= 3 2 − 1
+ − + 1 = 0
6. Risolvi ed effettua la discussione del seguente sistema letterale:
+ − − 9
= 3 2 − 1
+ − + 1 = 0
Il determinante del sistema è: |)| = *
1
+ − + 9 = 3 2 − 2 + − + 1 = 0
9
* = $ − 9
3 9
Il determinante dell’incognita x è: |)7 | = *
* = 3 − 9
1 3
Il determinante dell’incognita y è: 8)9 8 = *
* = −3
1 1
C> = −3
Discussione:
=> |)| = 0 , ?@Aè C> $ − 9 = 0,
= ∓3 ⇒
C> = +3
=> ≠ ∓3 @K C@CN>H è M>N>OH@LNA, > K CAKP@AL> è:
+ 9 = 3 + = 1
|)7 | 3 ∙ −3
− 9 −18
=
=
C. @HIACC@J@K>
|)|
3$ − 9
0
8)9 8 3 ∙ 3 − 9 0
= $
=
C. @LM>N>OH@LNA
=
|)|
3 −9
0
=
3 − 3
3
= |)7 | = 3 − 9 =
=
$
|)|
− 9 + 3
− 3
+ 3 8)9 8
−3
1
=
= |)| = + 3
− 3
+ 3
7. Risolvi il seguente sistema di equazioni con un metodo a tua scelta:
$9R72S
0
6
+ % = %
,
7RS
2 − $ − 3 = 0
2 − − 0 + 2
,
−
=
4
−
−6
+
−
42 − 13 = 60
−
18 − 7 = 30
=0
234
390
+
= 60
42 −
7
7
T
−
−
30 1
=
=
60 2
T
−
−
= −1
1 Z =
2
= −3
10 + 5 − 5 + 3 = 12
T 4 − − − 6 = 0
2 − 2 − , + 2 = 0
0
84 − − 6
+ 10 − 5 = 12
−
64 − − 6
− 6 − = −6
−
−
T
18
30
=
−
7
7
294 − 234 + 390 = 420
−
−
−
−
T
18 1 30 9 30
21
=
∙ −
= −
=−
= −3
7 2 7
7 7
7
3 −4
1∙3−2∙2+1∙1
× "2 −1# = [
3∙3+2∙2+4∙1
1 −2
8 + 10 − 5 = 12
− + 4 − = 6 6 − 6 − = −6
32 − 8 − 48 + 10 − 5 = 12
−
24 − 6 − 36 − 6 − = −6
18
30
+42 − 13 V 7 − 7 W = 60
—
60 = 30
Y
—
1
= 4 ∙ − −3
− 6 = −1
2
T
−
−
8. Calcola il seguente prodotto di matrici (righe x colonne) :
1
3
−2 1
2 4
Matematica
1 ∙ −4
− 2 ∙ −1
+ 1 ∙ −2
0
−4
\ = 3 ∙ −4
+ 2 ∙ −1
+ 4 ∙ −2
17 −22
www.mimmocorrado.it
4
$
9. In un trapezio rettangolo ABCD di base maggiore AB, la somma delle basi supera di 80 m l’altezza, la base minore è i %
della base maggiore, l’altezza è congruente alla differenza delle basi. Calcola l’area del trapezio ABCD. Detto poi P, un
punto dell’altezza AD, ed E il punto di intersezione delle rette AB e CP, considera il triangolo BCE. Determina a quale
&
distanza dalla base minore CD si deve fissare il punto P affinché il triangolo BCE sia equivalente ai del trapezio ABCD.
'
____ = ,
Poniamo: ]^
____
)` = Soluzione
+ = + 80
2
Z = 5
=−
si ha:
____
)a = e
+ − = 80 −
−
−− = 0 =
5
= ∙ 40 = 100
2
____ = 100 H
Pertanto: ]^
−
−
+
= 100 − 40 = 60
____
)` = 40 H
L’area del trapezio ABCD è: =bcde =
____
ed
bc R ____
$
2 = 80 ;
= 40
____
)a = 60 H
____ =
∙ )a
055R65
∙
$
60 H$ = 4200 H$
L’area del triangolo BCE è: =cdf = ' ∙ =bcde = ' ∙ 4200 H$ = 5400 H$
L’area del triangolo ABC è: =bcd =
____ = g con 0 < g < 60
Ponendo ]<
&
____
____
bc ∙ be
$
=
&
055∙/5
$
H$ = 3000 H$
si ha: ____
)< = 60 − L’area del triangolo ACE è: =bdf = =cdf − =bcd = 5400 − 3000
H$ = 2400 H$ .
$∙jklm
$∙$655
La misura del segmento ____
i] = ____
= /5 = 80 H.
be
Dalla relazione: =bnf + =bdn + =bcd = 5400 H$ si determina l’incognita X.
____
____ ]<
____ ∙ )`
____ ]^
____ ∙ ])
____
]i ∙ ]<
+
+
= 5400
2
2
2
80 ∙ g 40 ∙ g 100 ∙ 60
+
+
= 5400 ;
2
2
2
40g + 20g + 3000 = 5400 ;
60g = 5400 − 3000 ;
60g = 2400 ;
g=
$655
/5
= 40
Matematica
⇒
____ = 40 H
]<
e
____ = 60 − 40
H = 20 H .
<)
www.mimmocorrado.it
5
10. Quando tu avrai la mia età, io avrò il quadruplo degli anni che tu avevi quando io avevo la tua età e insieme avremo 70
anni. Determinare le età attuali.
Poniamo la mia età attuale = e la tua età attuale = .
Soluzione
Tu avrai la mia età, cioè anni, fra − anni.
Io avevo la tua età − anni fa.
Fra − anni io avrò + − anni, cioè 2 − anni
− anni fa, tu avevi − − anni, cioè 2 − anni.
Pertanto la frase: “quando tu avrai la mia età, io avrò il quadruplo degli anni che tu avevi quando io avevo la tua età” è
espressa dall’equazione: 2 − = 4 ∙ 2 − .
Mentre la frase: “insieme avremo 70 anni” è espressa dall’equazione: 2 − + = 70 .
2 − = 4 ∙ 2 − 2 − + = 70
Per determinare le età attuali occorre quindi risolvere il sistema:
2 − = 8 − 4 3 − = 70
6 − 27 + 630 = 0
Y
−
6 − 9 = 0
3 − = 70
−21 = −630
Y
−
La mia età attuale è 30 anni e la tua è 20 anni.
Matematica
6 − 9 = 0 = 3 − 70
= 30
Y
−
www.mimmocorrado.it
6 − 9 ∙ 3 − 70
= 0 Y
−
= 30
= 3 ∙ 30 − 70 = 20
6