Lecture Notes in Physics 1B Michael Gedalin and Ephim Golbraikh
by user
Comments
Transcript
Lecture Notes in Physics 1B Michael Gedalin and Ephim Golbraikh
Lecture Notes in Physics 1B Michael Gedalin and Ephim Golbraikh ii תוכן העניינים 1 1 מבוא 2קינמטיקה 2.1מערכת יחוס וקואורדינטות . . . . . . . . . . . . 2.2תנועה חד-ממדית :מושגי יסוד . . . . . . . . . . 2.2.1העתק . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2העתק ,מסלול ,דרך . . . . . . . . . . . . 2.2.3מהירות ממוצעת . . . . . . . . . . . . . 2.2.4מהירות רגעית . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5תאוצה . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6דרך . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3תנועה בשניים ושלושה ממדים ,וקטורים . . . . . 2.3.1קואורדינטות . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2העתק ודרך . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3וקטורים . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4מכפלה סקלרית . . . . . . . . . . . . . 2.3.5וקטור המקום ותנועה בצורה וקטורית . . 2.3.6תנועה מעגלית . . . . . . . . . . . . . . 2.4תכונות כלליות של תנועה בשניים ושלושה ממדים 2.5זריקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3חוקי ניוטון 3.1חוק ראשון . . . . . . . . . 3.2חוק שני וחוק שלישי . . . . 3.3יחסות גלילאי . . . . . . . . 3.4ישומים של חוקי ניוטון . . . 3.4.1כוח הכבידה . . . . 3.4.2כוח התגובה ,משקל 3.4.3חיכוך . . . . . . . . 3.4.4כוח הגרר . . . . . . 3.5מערכות מואצות ומסתבבות 3.5.1מערכות מואצות . . 3.5.2מערכות מסתובבות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 4 5 6 9 9 11 11 12 13 15 17 18 20 23 25 25 25 27 29 29 29 37 43 44 44 46 49 4אנרגיה ועבודה 4.1אנרגיה קינטית ועבודה 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1עבודה כאינטגרל לאורך המסלול 54 . . . . . . . . . . . . . . . 4.2אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה 59 . . . . . . . . . . . . . . iii תוכן העניינים iv מושג אנרגיה פוטנציאלית . . . . . . . . . . . אנרגיה פוטנציאלית של כוחות מסוימים . . . . חוק שימור האנרגיה ומשפט אנרגיה-עבודה . . קשר בין אנרגיה פוטנציאלית וכוח . . . . . . . תכונות תנועה חד-ממדית באנרגיה פוטנציאלית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 61 62 65 65 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 70 70 71 77 78 79 82 6תנועה סיבובית של גוף קשיח 6.1מושגי יסוד :תנע זוויתי ,מומנט התמד ,מומנט פיתול . . . . . . . . 6.1.1מכפלה וקטורית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2תנע זוויתי ומומנט פיתול לחלקיק נקודתי . . . . . . . . . 6.1.3מומנט התמד של חלקיק )גוף נקודתי אחד( . . . . . . . . 6.1.4תנע זוויתי של מערכת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5מומנט פיתול של כוח הכבידה . . . . . . . . . . . . . . . 6.2גוף קשיח . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1ציר סיבוב ״קבוע״ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2הערות חשובות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3חישוב מומנט התמד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4אנרגיה קינטית של גוף קשיח מסתובב . . . . . . . . . . . 6.2.5שיווי משקל של גוף קשיח . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3יישומים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1יישומי החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית של גוף קשיח 6.3.2גלגול . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 85 85 86 88 90 93 93 95 96 97 103 104 104 104 110 7תנודות 7.1תנועה 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.1.5 117 117 . 119 . 120 . 120 . 122 . 124 . 5מערכות רב-חקליקיות )רב-גופיות( 5.1תנע וחוק שני של ניוטון . . . . . . . . . . . . 5.2ערכים של מערכת . . . . . . . . . . . . . . . 5.3מרכז המסה . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4אנרגיה של מערכת . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 5.5שימור האנרגיה ומשפט אנרגיה-עבודה למערכת 5.6התנגשויות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1התנגשות אלסטית של שני גופים . . . . . . . . . 8 הרמונית פשוטה . . . . . . . כוח בתנועה הרמונית פשוטה אנרגיה בתנודות הרמוניות . . למה תנודות הרמוניות ? . . . יישומים . . . . . . . . . . . מטוטלת פיזיקלית . . . . . . מילון אנגלי-עברי למונחי מכניקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 129 9תשובות לשאלות הבנה 9.1פתרונות לתרגילים 130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פרק 1 מבוא פיזיקה היא מדע ניסויי .ניסוי שולט וקובע את הכל .אם תיאוריה לא נתמכת ע״י ניסוי ,יש להחליף את התאוריה ולבנות חדשה .כך פיזיקה מתפתחת :הכל מתחיל מניסוי אשר לא מתאים לתיאוריות קיימות .הצעד הראשן לפיתוח תיאוריה חדשה הוא הסבר של הניסוי .אחריו חייב להגיע שלב של קפיצה מחשבתית .קפיצה זו לא נובעת מהניסוי והסברו אלא מרחיבה את התאוריה על מעבר לנודע באותו רגע ומובילה לניבוי תופעות חדשות אשר צריך לבדוק בניסויים חדשים ,שעוד לא היו דומים להם .במידה וכל הניסויים תומכים בתיאוריה ,היא הופכת לתיאוריה המקובלת .עד אשר נעשה ניסוי חדש אשר לא מסתדר עם התאוריה המקובלת ,וכל התהליך )הסבר, קפיצה מחשבתית ,ניבוי ,סדרת ניסויים תומכים( מתחיל מחדש. בספירלה הזאת הכרעות נעשות ע״י מדידה בניסוי וע״י עיבוד מתמטי של תיאוריה לצורך ניבוי .למעשה ,מתמטיקה היא השפה של פיזיקה .ללא מתמטיקה פיזיקה לא קיימת .חוק הפיזיקה )חוק הטבע( אינו תיאור מילולי של תופעות הטבע אלא תיאור כמותי )מתמטי( של הסיבות לתופעה .תיאור זה חייב להיות בצורת נוסחה מתמטית, אחרת הוא חסר משמעות ,כי אין דרך להשוות עם ניסוי שבו המדידות מתבטאות במספרים ,בסופו של דבר. 1 2 פרק .1 מבוא פרק 2 קינמטיקה מכניקה לומדת תנועה ,ז״א שינוי המיקום בזמן .לכן יש צורך לדעת למדוד ״מיקום״ ו״זמן״ .בפרק זה נלמד את הכלים הדרושים כדי לתאר תנועה ,ללא קשר לגורם לתנועה. 2.1 מערכת יחוס וקואורדינטות כדי למדוד מיקום וזמן אנחנו זקוקים למערכת ייחוס .למערכת ייחוס שלושה מרכיבים )כולם הכרחיים( :צופה -גוף פיזיקלי אשר מבצע )או יכול לבצע באופן עקרוני( מדידות מכל סוג שהוא ,שעון -למדידות הזמן ,ומערכת קואורדינטות -למדידת המיקום .קיום הצופה הכרחי ,למרות שבמקרים רבים הוא איננו מוזכר כלל דיון על מדידת התנועה. גם כאשר לא נאמר במפורש שום דבר על הצופה ,יש לזכור שכל המדידות נעשות ע״י מישהו ,כל תנועה מתוארת ע״י מישהו ,ולכן כל תיאור הוא ביחס למישהו )צופה(. ניתן הסבר מפורט יותר של יחסות יותר מאוחר .בינתיים מספיק לזכור שכל תנועה היא ביחס לצופה )או מערכת יחוס(. כדי למדוד זמן ,הצופה זקוק לשעון .נושא מדידות הזמן אינו פשוט ,אך במסגרת מכניקת גלילאי אנחנו נניח שניתן לבנות שעונים זהים ולספק לכל הצופים ואצל כולם שעונים אלה מודדים אותו זמן :הזמן אינו תלוי במערכת יחוס. כדי למדוד מיקום יש לבנות מערכת קואורדינטות .דוגמת מערכת קואורדינטות היא מערכת כתובות הדואר .מערכת קואורדינטות זו מספיקה לצורכי הדואר אבל לא לנו .דוגמה אחרת -מערכת שורה וכיסה באולם הקולנוע. בשלב זה אנחנו מטפלים בתנועה חד-ממדית ,כאשר יש צורך בקואורדינטה אחת בלבד .לצורך זה נניח שכל היקום שלנו נמצא על קו ישר )לא חייב להיות ישר ,אבל קל יותר לשרטט ולהסביר( .מערכת קואורדינטות אמורה לתאר מיקום של כל נקודה על הקו הזה ע״י מספר אחד .כדי לבנותה יש לבצע את הבא: • לבחור את נקודת הייחוס )ראשית הקואורדינטות( ,קואורדינטה של הנקודה הזו תהיה 0לפי ההגדרה. • לבחור כיוון חיובי ,לכל הנקודות שבצד החיובי מהראשית תהינה קואורדינטות חיוביות ,לכל השאר -שליליות. • לבחור אופן המדידה וקני מידה ,אנחנו נבחר מרחק כאופן המדידה .קואורדינטה של כל נקודה תהיה שווה למרחקה מראשית הקואורדינטות עם סימן פלוס ,אם הנקודה בצד החיובי ,ומינוס ,אם היא בצד השלילי מהראשית. 3 פרק .2 4 קינמטיקה איור :1.2מערכת קואורדינטות חד-ממדית לאחר שבנינו מערכות הקואורדינטות ,לכל נקודה Pמייחסים קואורדינטה xאשר מגדירה באופן מלא את מיקום הנקודה. התייחסנו לקואורדינטות של נקודות .בפיזיקה אנחנו מעוניינים בגופים פיזיקליים. בשלב זה של הקורס נתעלם מממדים של הגופים ונתייחס אליהם כאילו הם גופים נקודתיים )שם נרדף :חלקיק( .גופים אמתיים סביבנו אינם נקודתיים .אפשרות להתעלם מממדיהם תלויה בנסיבות )מצב פיזיקלי( .לדוגמה :כאשר מדובר על משך או אורך של נסיעות בינעירוניות אין חשיבות לגודל הרכב ,לכן אפשר )ואף צריך( להתייחס אליו כאל גוף נקודתי .לעומת זאת ,גודל של אותו רכב חשוב ביותר כאשר מחנים אותו. בנסיבות אלה הוא איננו גוף נקודתי. תנועה חד-ממדית :מושגי יסוד 2.2 2.2.1 העתק תנועה היא שינוי המיקום בזמן .אחרי שבנינו מערכת קואורדינטות )נזכיר ,שאנחנו מדברים על גוף נקודתי -לא נדגיש את זה בהמשך( ,שינוי המיקום הוא פשוט שינוי הקואורדינטה .אם הגוף עבר מנקודה P1עם קואורדינטה x1לנקודה P2עם קואורדינטה ,x2שינוי המיקום שלו הוא שינוי הקואורדינטה .∆x = x2 − x1לשינוי הקואורדינטה הזה קוראים העתק .להעתק יש גודל | ∆x = |x2 − x1וכיין :הגוף מעתיק את מקומו בכיוון חיובי מהראשית אם ∆x > 0ובכיוון שלילי אם .∆x < 0 תכונות ההעתק: • אם הגוף עבר מנקודה x1לנקודה x2ולאחר מכן לנקודה ,x3 )(2.1 )(2.2 ⇒ ) x3 − x1 = (x2 − x1 ) + (x3 − x2 ∆x13 = ∆x12 + ∆x23 = ∆x23 + ∆x12 זה חיבור ההעתקים .הסכום לא תלוי בסדר המחוברים ! • כפל של העתק במספר ממשי מוגדר בצורה הבאה :אם נתון העתק ∆xאז להעתק החדש a∆xגודל | |a||∆xוכיוון זהה לכיוון של ∆xאם a > 0והפוך לכיוון של ∆xאם .a < 0 2.2.2 העתק ,מסלול ,דרך נניח שגוף עבר דרך נקודות ,xn ,. . . ,x2 ,x1כך מנקודה xiלנקודה הבאה xi+1הוא היה נע באותו כיוון .כתוצאה בכל התנועה הגוף זז העתק .∆x = xn − x1העתק אינו 2.2. 5 תנועה חד-ממדית :מושגי יסוד תלוי בנקודות הביניים אלא רק בנקודה התחלתית ונקודה סופית .להעתק יש גודל וכיוון. איור :2.2העתק ,מסלול ,דרך כל הנקודות ביחד שבהן עבר הגוף במשך כך התנועה )כולל את כל הנקודות בין (xi מהוות מסלול .במילים פשוטות :אילו הגוף היה מצביע כל נקודה שהוא היה בה ,אז כל הנקודות הצבועות ביחד הן מסלול .למסלול אין ערך מספרי ,הוא צורה הנדסית. אם הגוף נע בין xiלבין xi+1באותו כיוון כל הזמן ,אז המרחק שלו מהנקודה xiגדל עד שהוא מגיע לנקודה xi+1בקטע זה של שתנוע הגוף עובר דרך = | si,i+1 = |∆xi,i+1 | .|xi+1 − xiדרך זה מרחק ולכן תמיד חיובי .במשך כל התנועה הגוף עובר דרך | |xi+1 − xi )(2.3 n−1 ∑ = si,i+1 i=1 2.2.3 n−1 ∑ =s i=1 מהירות ממוצעת עד כה דיברנו רק על שינוי המיקום .תנועה היא שינוי המיקום בזמן ,ז״א קואורדינטה כפונקציה של זמן .x(t) ,נניח שגוף היה בנקודה x1ברגע t1ובנקודה x2ברגע מאוחר יותר .t2הגוף זז העתק ∆x = x2 − x1תוך זמן .∆t = t2 − t1היחס )(2.4 ∆x ∆t = v̄x נקרא מהירות ממוצעת. איור :3.2מהירות ממוצעת פרק .2 6 קינמטיקה מכיוון שפרק זמן ∆tהוא מספר חיובי ,למהירות יש גודל וכיוון )כמו כיוון ההעתק(. אם ידועה מהירות ממוצעת v̄xבמשך זמן ,∆tגם ההעתק ידוע ושווה .∆x = v̄x ∆t ידע של ההעתק בלבד לא מספיק כדי לדעת איפה הגוף יימצא בסוף התנועה )כעבור זמן )∆tכי העתק הוא שינוי המיקום .כדי לדעת את המיקום הסופי צריך לדעת בנוסף את המיקום התחלתי ,ז״א באיזו קואורדינטה הגוף היה לפני התנועה .אם נסמן את הקואורדינטה הזאת ב ,x0אז הקואורדינטה בסוף תהיה x(∆t) = x0 + v̄x · ∆t )(2.5 אם כיוון התנועה לא השתנה במשך זמן ,∆tאז הקשר בין העתק לדרך נותן לנו .s = |v̄x |∆t שאלת הבנה 2.2.1גוף יצא מנקודה כלשהי וחזר אליה כעבור זמן מה .מהי המהירות הממוצעת שלו ? שאלת הבנה 2.2.2הגוף נע כל הזמן באותו כיוון .במשך זמן ∆t1הוא נע במהירות v1ובמשך זמן נוסף של ∆t1הוא נע במהירות .v2מהי המהירות הממוצע שלו ? שאלת הבנה 2.2.3גוף נע כל הזמן באותו כיוון .הוא עבר דרך s1במהירות ממוצע v1ועוד דרך s1במהירות ממוצאת .v2מהי המהירות הממוצעת במשך כל התנועה ? אם כל התנועה ,בין x(t1 ) = x1לבין x(t2 ) = x2מחולקת לקטעים ,x(ti ) = xiבכל חלק ,x(ti+1 ) − x(ti ) = v̄x (i)∆tכאשר ti+1 − ti = ∆tולפשטות ונוחות אנחנו מניחים שכל הפרשי הזמן זהים .ההעתק הכולל הוא סכום ההעתקים ,לכן )(2.6 v̄x (i)∆t ∑ = x2 − x1 i 2.2.4 מהירות רגעית מהירות ממוצעת מספקת רק מידע חלקי על תנועה .אם x(t1 ) = x1ו ,x(t2 ) = x2 -אז ) .v̄x = (x2 − x1 )/(t2 − t1מערך זה אי אפשר להסיק שום דבר על התנועה בין t1לבין .t2מצד שני ,כאשר נבחר t1ו t2 -שונים ,גם מהירות ממוצעת תשתנה בהתאם .אם נחלק את כל התנועה לחלקים קטנים ,בכל חלק קטן נמצא מהירות ממוצעת .ככל שגודל הקטעים )פרק זמן( יהיה קטן ,המידע יהיה מפורט יותר .היחס )(2.7 )(2.8 ∆x ∆t→0 ∆t )x(t + ∆t) − x(t = lim ∆t→0 ∆t vx = lim הוא מהירות ממוצעת בקטע של תנועה ששואף לאפס. 2.2. 7 תנועה חד-ממדית :מושגי יסוד איור :4.2מהירות רגעית מהירות זו נקראת מהירות רגעית .בהמשך מונח מהירות יהיה שמור למהירות רגעית .כאשר יהיה מדובר על מהירות ממוצעת ,זה ייאמר במפורש. מבחינה מתמטית ,היחס הנ״ל הוא נגזרת ,לכן )(2.9 dx dt = )vx (t איור :5.2תיאור גרפי :קואורדינטה כפונקציה של זמן בהמשך dtיסמן פרק זמן מאוד קצר פיזיקלית )שואף לאפס מבחינה מתמטית - אינפיניטזימאלי( ,ז״א .dt = ∆t∆t→0בהתאם ) dx = ∆x∆t→0דיפרנציאל של פונקציה פרק .2 8 קינמטיקה ) (.x(tבהתאם להגדרת מהירות רגעית )(2.10 dx = vx (t)dt ז״א העתק אינפיניטזימאלי )קטן מאוד( שווה למהירות רגעית כפול זמן אינפיניטזימאלי. אם אנחנו רוצים למצאו את ההעתק הכולל ,נשתמש נוסחה שכבר הוכחנו )(2.11 v̄x (i)∆t ∑ = x2 − x1 i ובה צריך לקחת .∆t → 0אז הסכום הופך לאינטגרל: )(2.12 vx (t′ )dt′ t2 ∫ = ) ∆x = x2 − x1 = x(t2 ) − x(t1 t1 כאשר ) vx (tהיא מהירות רגעית )פונקציה של זמן( .בביטוי הזה t′מסמן את כל הרגעים בין t1ו .t2 -הביטוי להעתק אפשר לרשום בצורה הבאה: )(2.13 vx (t′ )dt′ t ∫ = x(t) − x0 t0 כאן אנחנו מתייחסים לאינטגרל כאל פונקציה של זמן ,tוהוספנו תנאי התחלה .x(t0 ) = x0לבסוף ,הביטוי לקואורדינטה כפונקציה של זמן הוא )(2.14 vx (t′ )dt′ t ∫ x(t) = x0 + t0 איור :6.2תיאור גרפי :העתק כאינטגרל של המהירות 2.2. 2.2.5 9 תנועה חד-ממדית :מושגי יסוד תאוצה מהירות היא קצב השינוי של הקואורדינטה .להלן צמד המילים ״קצב השינוי״ צריך להבין כ״נגזרת לפי זמן״. מכיוון שמהירות היא פונקציה של זמן ,אפשר להתעניין בקצב השינוי של המהירות, אשר נקרא תאוצה: dvx dt )(2.15 = )ax (t איור :7.2תיאור גרפי :מהירות כפונקציה של זמן אם ידועה תאוצה ) ax (tאפשר למצוא גם את המהירות וגם את הקואורדינטה של הגוף .לצורך זה נשתמש בעקרונות חשובים :א(נוסחאות מתמטיות אינן ״יודעת״ מה משמעות האותיות בהן וב( משוואות דומות -פתרונות דומים .לכן מהביטויים ∫ t dx = vx ↔ x(t) = x0 + )(2.16 vx (t′ )dt′ dt t0 נקבל באופן מיידי את הבא ax (t′ )dt′ )(2.17 t ∫ t0 dvx ↔ vx (t) = vx0 + dt = ax היינו יכולים להמשיך לקצב השינוי של תאוצה והלאה ,או היינו יכולים להסתפק במהירות .התמקדות בתאוצה נובעת מעובדה ניסויית :השפעה של גופים אחרים מתבטאת בתאוצה ,לכן הבעיה העיקרית של מכניקה היא למצוא תאוצה ובהמשך מהירות וקואורדינטה. תרגיל 2.2.1יוסיין בולט התעייף ורץ 100מ׳ ב 10-ש׳ 10 .מטרים ראשונים הוא רץ בתאוצה קבועה ממצב מנוחה ולאחר מכן המשיך במהירות קבועה .מהי מהירות ממוצעת שלו ומהי המהירות המרבית שלו ? 2.2.6 דרך מהפונקציה ) x(tאפשר למצוא העתק כהפרש של קואורדינטות .דרך אי אפשר למצוא בצורה כה פשוטה .כדי למצוא דרך ,צריך לחלק את התנועה לקטעים קטנים ,שבהם פרק .2 10 קינמטיקה מהירות לא משנה כיוון .בכל קטע כזה )(2.18 si = |∆xi | = |v̄x (i)|∆t לכן )(2.19 |∆xi | = |v̄x (i)|∆t ∑ =s i כאשר ∆t → 0מהירות ממוצעת הופכת למהירות רגעית ,לכן ∫ t2 |vx (t′ )|dt′ = s12 )(2.20 t1 נתון .vx (t0 ) = v0 ,ax = a0 = constמצאו ביטויים להעתק ודרך תרגיל 2.2.2 כפונקציות של זמן. 2.3. 2.3 2.3.1 11 תנועה בשניים ושלושה ממדים ,וקטורים תנועה בשניים ושלושה ממדים ,וקטורים קואורדינטות העולם שלנו בעל שלושה ממדים .כדי לתאר תנועה היותר מממד אחד ,יש לבנות מערכת קואורדינטות בהתאם .בקורס זה אנחנו נשתמש בקואורדינטות קרטזיות ,אשר בנויות על קווים ישרים ניצבים )אורטוגונליים( זה לזה .x, y, zאם נתונה נקודה כלשהי ,Pקואורדינטות שלה מוגדרות לפי התהליך הבא :בונים מהנקודה ניצבים לכל אחד מהקווים הבסיסיים ומקבלים שלוש נקודות חדשות .Px , Py , Pz ,נקודה Pxנמצאת על קוו ישר ,xנקודה Pyנמצאת על קוו ישר yונקודה Pzנמצאת על קוו ישר .z קואורדינטה של כל נקודה חדשה קובעים לפי הכלל של ממד אחד ,ז״א לנקודה Px תהיה קואורדינטה xעל קוו ,xוכדומה .בסופו של דבר לנקודה Pתהינה שלוש קואורדינטות ) .(x, y, zהשלישייה הזאת קובעת באופן חד-משמעי את המיקום של ,P וזאת המטרה של מערכת הקואורדינטות. איור :8.2מערכת קואורדינטות קרטזיות בשני ממדים ייחודיות של קואורדינטות קרטזיות בכך שהמרחק בין שתי נקודות ) P1 (x1 , y1 , z1ו- ) P2 (x2 , y2 , z2מחושב לפי משפט פיתגורס: √ )(2.21 S12 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 לאחר קביעת מערכת הקואורדינטות נשתמש בעקרון אי-תלות הדדית של תנועות בכיוון כל קואורדינטה .כלומר ,לכל קואורדינטה יש מהירות ותאוצה באופן בלתי תלוי והקשרים נשארים בדיוק כפי שהיו במקרה של תנועה חד-ממדית: dx dy dz = vx = , vy = , vz )(2.22 dt dt dt dvi , i = x, y, z = ai )(2.23 ∫ dt )(2.24 ai (t′ )dt′ )(2.25 vi (t′ )dt′ t vi = vi0 + t0 t ∫ xi = xi0 + t0 פרק .2 12 קינמטיקה נא לשים לב :תנועה מתוארת ע״י כל השלישייה )) (x(t), y(t), z(tולכן מהירות הגוף גם היא שלישיה )) (vx (t), vy (t), vz (tכך גם תאוצה. 2.3.2 העתק ודרך העתק הוא שינוי המיקום ,לכן גם העתק הוא שלישיה ) .(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 אומרים שלהעתק יש שלושה רכיבים .כנ״ל למהירות ולתאוצה. איור :9.2מערכת קואורדינטות קרטזיות בשני ממדים :העתק העתק אשר גוף זז במשך זמן אינפיניטזימאלי )שואף לאפס( dtהוא )(2.26 ))(dx, dy, dz) = (x(t + dt) − x(t), y(t + dt) − y(t), z(t + dt) − z(t בדומה למקרה חד-ממדי, )(2.27 dz = vz dt dx = vx dt, dy = vy dt, המרחק בין שתי נקודות סמוכות )) (x(t), y(t), z(tו(x(t + dt), y(t + dt), z(t + dt)) - הוא √ √ ds = dx2 + dy 2 + dz 2 = vx2 + vy2 + vz2 dt )(2.28 מרחק זה הוא ,לפי הגדרה ,הדרך האינפיניטזימאלית אשר הגוף עובר תוך זמן .dtכדי לחשב את הדרך שהגוף עובר במשך כל התנועה ,יש לחבר את הדרכים הקטנות: )(2.29 √ vx2 + vy2 + vz2 dt′ t2 ∫ = s12 t1 נדגיש שוב :העתק הוא שלישיה )בעל שלושה רכיבים( ,דרך היא מספר חיובי אחד. תנועה בשניים ושלושה ממדים ,וקטורים 2.3. 2.3.3 13 וקטורים להעתק תלת-ממדי אותן תכונות כמו להעתק חד-ממדי )בהמשך אנחנו רושמים שני ממדים בלבד כדי לקצר ,אבל כל הביטויים נכונים גם לשלושה(: • חיבור ההעתקים: )(2.30 ) (x2 − x1 , y2 − y1 ) + (x3 − x2 , y3 − y2 ) = (x3 − x1 , y3 − y1 סכום ההעתקים הוא העתק ,סכום לא תלוי בסדר החיבור. איור :10.2חיבור העתקים • כפל במספר ממשי: )(2.31 )) a(x2 − x1 , y2 − y1 ) = (a(x2 − x1 ), a(y2 − y1 מכפלה של מספר והעתק היא העתק חדש .הכפלת העתק במספר נעשית ע״י הכפלה של כל אחד מרכיביו במספר זה. מערך עם תכונות אלה נקרא וקטור .כל מבנה כזה ,בעל שלושה רכיבים ,המקיים כללי חיבור והכפלה במספר ,הוא ווקטור .אנחנו נסמן ווקטורים א״י אות אם חץ מעליה: .⃗aהסימן הזה מסמן ,בעצם ,מבנה בעל שלושה רכיבים.⃗a = (ax , ay , az ) : פרק .2 14 קינמטיקה איור :11.2וקטור ורכיבים נניח שנתונים שני וקטורים ) ⃗a = (ax , ay , azו ⃗b = (bx , by , bz ) -ושני מספרים ממשיים αו .β -הלהלן כללי הפעולות שהווקטורים חייבים לקיים: )(2.32 )(2.33 )(2.34 )(2.35 ⇒ ⃗c = ⃗a + ⃗b = ⃗b + ⃗a cx = ax + bx , cy = ay + by , cz = az + bz d⃗ = α⃗a ⇒ dx = αax , dy = αay , dz = αaz (α + β)⃗a = α⃗a + β⃗a α(⃗a + ⃗b) = α⃗a + α⃗b זוהי גישה אלגברית לווקטורים .מבחינה הנדסית ,ווקטור הוא מבנה ,בעל גודל וכייון ,עם כללי חיבור והכפלה במספר מוגדרים באופן מסוים :החיבור הוא החיבור ההנדסי )משולש או מקבילית(. איור :12.2חיבור וקטורים הנדסי הכפלה במספר מכפילה את גודל הווקטור בערך מוחלט אל מספר זה .הכיוון של הווקטור החדש הוא כיוונו של הווקטור המוכפל ,אם המספר המכפיל חיובי ,וכיוון הפוך ,אם המספר שלישי .הגדרות אלה מסתדרות עם ההבנה היומיומית שלנו של כיוון. שאלת הבנה 2.3.1 האם כל מבנה בעל גודל וכיוון הוא וקטור ? 2.3. תנועה בשניים ושלושה ממדים ,וקטורים 15 מהדרך שבה הגענו לווקטורים די ברור שהעתק הוא וקטור .אכן ,כל הכללים הנ״ל מקוימים .הגדרנו וקטור כמערך של שלושה רכיבים .האם הרכיבים האלה משתנים כאשר בוחרים מערכת קואורדינטות אחרת ? נניח שאנחנו רוצים למצוא העתק בין שתי נקודות P1ו , P2 -הנמצאות במרחק sזו מזו .המרחק בלבד לא מספיק ,יש להוסיף כיוון .אותו אנחנו מוסיפים באמצעות מערכת קואורדינטות .נבחר מערכת קואורדינטות כך שראשיתה תהיה בנקודה P1וקוו xיעבור דרך שתי הנקודות .אז ההעתק יהיה ) .(s, 0אם ,לעומת זאת ,נבחר מערכת קואורדינטות כך שקוו yיעבור דרך שתי הנקודות ,ההעתק יהיה ) .(0, sהמסקנה :רכיבי הווקטור תלויים במערכת קואורדינטות .לעומת זאת ,גודל הווקטור אינו תלוי במערכת קואורדינטות .בהמשך גודל של וקטור ⃗aמסומן ע״י | .|⃗aמכיוון שגודל ההעתק קשור לרכיביו לפי משפט פיתגורס ,כך גם לכל וקטור אחר: √ |⃗a| = a2x + a2y + a2z )(2.36 2.3.4 מכפלה סקלרית קיימת פעולה אשר הופכת שני וקטורים לסקלר .סקלר הוא מספר אחד אשר אינו תלוי במערכת קואורדינטת .פעולה זו מכפילה וקטור בווקטור סקלרית :לכל שני וקטורים ) ⃗a = (ax , ay , azו ⃗b = (bx , by , bz ) -מכפלה סקלרית שלהם מוגדרת כדלקמן: )(2.37 ⃗a · ⃗b = ax bx + ay by + az bz בדרך הזאת משישה מספרים )שלושה רכיבים לכל וקטור( מתקבל מספר אחד .כדי להראות שהוא אכן סקלר ,נבטא אותו מאמצעות פרמטרים הנדסיים ,אשר אינם תלויים בקואורדינטות .נבחור קואורדינטות כך ,שווקטור ⃗aיימצא על ציר xויפנה בכיוון חיובי שלו ,ואילו וקטור ⃗bיימצא במישור .x − yבעקבות הבחירה הזאת הוקטורים מקבלים את הצורה הבאה: )(2.38 )⃗a = (|⃗a|, 0, 0 )(2.39 [ [ ⃗( ⃗b = (|⃗b| cos )a, ⃗b), |⃗b| sin (⃗a, ⃗b), 0 [ כאשר ) (⃗a, ⃗bזאת הזווית בין שני הווקטורים .לכן המכפלה הסקלרית של השניים תהיה )(2.40 [ )⃗a · ⃗b = ax bx + ay by + az bz = |⃗a||⃗b| cos (⃗a, ⃗b איור :13.2וקטורים וזווית פרק .2 16 קינמטיקה ביטוי זה כולל רק ערכים שאינם תלויים במערכת קואורדינטות ולכן התוצאה עצמה ,מכפלה סקלרית ,לא תלויה במערכת קואורדינטות ,דהיינו ,היא סקלר .אזהרה: זאת איננה הוכחה מתמטית מדוקדקת אלא המחשה המבוססת חקלית על תפיסה יומיומית של מרחק וזווית. תכונות מכפלה סקלרית: )(2.41 )(2.42 )(2.43 ⃗a · ⃗b = ⃗b · ⃗a ⃗a · ⃗a ≥ 0 ⃗a · ⃗a = 0 → ⃗a = 0 (α⃗a) · ⃗b = α⃗a · ⃗b )(2.45 (⃗a + ⃗b) · ⃗c = ⃗a · ⃗c + ⃗b · ⃗c )(2.44 שימושים במכפלה סקלרית: • גודל הווקטור: )(2.46 √ ⃗a · ⃗a = ||⃗a • זווית בין שני וקטורים אפשר למצוא בדרך הבאה: )(2.47 ⃗a · ⃗b [ = )cos (⃗a, ⃗b ||⃗a||⃗b מכאן התנאי לכך ששני ווקטרים ניצבים זה לזה הוא .⃗a · ⃗b • לכול וקטור ⃗a ̸= 0אפשר לבנות וקטור יחידה )(2.48 â · â = 1 )(2.49 ⃗a , ||⃗a ̂⃗a = |⃗a|a = ̂a בביטוי האחרון כל המידע על הכיוון נמצא בווקטור היחידה ̂ ,aואילו כל המידע על הגודל מופרד מהכיוון. דוגמה 2.3.1 )(2.50 אם שני וקטורים ⃗aו ⃗b -מקבילים ,אפשר לכתוב ̂⃗b = (⃗b · â)a אכן ,אם שני הווקטורים מקבילים ,אז הזווית בין שניים או 0או ,180ז״א או â · b̂ = 1 או .â · b̂ = −1אפשר לאחד את שני הביטיים האלה לאחד )(2.51 ̂b̂ = (b̂ · â)a מכפילים את הביטוי האחרון ב | |⃗bומשתמשים בתכונות מכפלה סקלרית. תרגיל 2.3.1 ⃗aוניצב לו. נתונים שני וקטורים ⃗a ,ו .⃗b -יש לפרק את הווקטור ⃗bלמקביל לווקטור 2.3. 17 תנועה בשניים ושלושה ממדים ,וקטורים איור :14.2פירוק של וקטור לרכיב מקביל לווקטור אחר ורכיב ניצב לו אנחנו נדרשים לבטא ⃗b = ⃗b∥ + ⃗b⊥ , ⃗b∥ ∥ ⃗a, ⃗b⊥ ⊥ ⃗a )(2.52 )(2.53 מהפיתוח הקודם )(2.54 )(2.55 )(2.56 )(2.57 2.3.5 ⇒ ̂⃗b∥ = (⃗b∥ · â)a ⃗b∥ = (⃗b · â)â, ⃗b⊥ · â = 0 ∥⃗b⊥ = ⃗b − ⃗b ⃗a ||⃗a = ̂a וקטור המקום ותנועה בצורה וקטורית נגדיר וקטור המקום כווקטור ההעתק המחבר את ראשית הקואורדינטות עם הנקודה שבה נמצא הגוף: פרק .2 18 קינמטיקה איור :15.2וקטור המקום )(2.58 )⃗r = (x − 0, y − 0, z − 0) = (x, y, z שינוי המיקום הופך לשינוי ווקטור המקום: )(2.59 ) ∆⃗r = ⃗r2 − ⃗r1 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 המשוואות שרמשנו קודם לשלוש הקואורדינטות x, t, zעכשיו אפשר לרשום בצורה מקוצרת באמצעות וקטורים: ∫ t d⃗r ⃗v = , ⃗r = ⃗r0 + )(2.60 ⃗v (t′ )dt′ dt t0 ∫ t d⃗v ⃗a = , ⃗v = ⃗v0 + )(2.61 ⃗a(t′ )dt′ dt t0 במקרים רבים נוח להשתמש בווקטורי יחידה ̂ x̂, ŷ, zאשר פונים בכיוונים חיוביים של הצירים .באמצעות וקטורים אלה )שלא תלויים בזמן( אפשר לרשום )(2.62 )(2.63 ̂⃗r = xx̂ + y ŷ + z z dx dy dz ̂x̂ + ŷ + z dt dt dt = ̂⃗v = vx x̂ + vy ŷ + vz z צורה וקטורית מאוד נוחה לניתוח כללי ,אבל לחישובים כמעט תמיד יש לעבור לקואורדינטות. 2.3.6 תנועה מעגלית בתנועה מעגלית גוף נע במישור וכל הזמן נמצא באותו מרחק מנקודה אחת .יהיה נוח לבחור את הנקודה הזאת כראשית הקואורדינטות ומישור x − yכמישור התנועה. נסמן את המרחק הקבוע מהגוף לראשית ב ,R -אז x2 + y 2 = Rוגם .|⃗r| = Rכדי לקבוע באופן יד משמעי את המיקום של הגוף אל המעגל מספיקה קואורדינטה אחד: זווית φבין הרדיוס המחבר את הגוף לראשית לבין ציר .x 2.3. תנועה בשניים ושלושה ממדים ,וקטורים 19 איור :16.2תנועה מעגלית :זווית ומהירות זוויתית לכן התנועה זאת היא תנועה חד-ממדית ואפשר להשתמש בכל הפיתוחים הקודמים שלנו אם שינוי קטן -הוספת לשמות המשתנים מילה אשר מראה שמדובר על זווית. .ω = dφסימן חיובי מראה שהגוף נע במעגל נגד כיוון השעון. מהירות זוויתית היא dt .α = dωהתאם ,שינוי מהירות זוויתית וזווית הסיבוב הם תאוצה זוויתית היא dt ∫ t )(2.64 = ∆ω α(t′ )dt′ t0 ∫ t = ∆φ )(2.65 ω(t′ )dt′ t0 בכל זאת ,תנועה מעגלית מתקיימת במרחב דו-ממדי )מישור ( ,x − yלכן יש צורך לדעת איך מתארים אותה בדרך הרגילה ,באמצעות קואורדינטות קרטזיות ו/או וקטור המקום .הקשר של כל אלה לזווי הוא כדלקדמן: )(2.66 )(2.67 )(2.68 )(2.69 )(2.70 x = R cos φ y = R sin φ ̂⃗r = R cos φx̂ + R sin φy ̂⃗r = |⃗r|r ̂|⃗r| = R, r̂ = cos φx̂ + sin φy כדי למצוא מהירות צריך לגזור את וקרטור המקום לפי זמן )שימוש בכלל שרשרת !(: )(2.71 )(2.72 ̂⃗v = ωRφ ̂φ̂ = − sin φx̂ + cos φy קל לבדוק שווקטור ̂ φהוא ווקטור יחידה אשר ניצב לווקטור ̂ .rלכן וקטור זה )וגם וקטור המהירות( ניצב לרדיוס ומשיק למעגל .גודל המהירות מכאן הוא )(2.73 |⃗v | = |ω|R פרק .2 20 קינמטיקה מהירות זוויתית מופיעה עם ערך מוחלט ,כי יכול להיות שלילית. כדי למצוא תאוצה ,יש לגזור את המהירות לפי זמן )שוב כלל שרשרת !(: )(2.74 ̂⃗a = αRφ̂ − ω 2 Rr לתאוצה שני רכיבים ניצבים זה לזה. איור :17.2תנועה מעגלית הרכיב המשיק למעגל αRφ̂ ,קיים רק כאשר מהירות זוויתית משתנה.α ̸= 0 , הרכיב השני ⃗ar = −ω 2 Rr̂ ,מכוון כלפי מרכז המעגל ונקרא בהתאם ״תאוצה צנטריפטלית״ )בכיוון המרכז ביוונית( .תאוצה זו קיימת תמיד אם הגוף נע במעגל .ω ̸= 0 ,גודל התאוצה הצנטריפטלית הוא )(2.75 |⃗v |2 R = |⃗ar | = ω 2 R אם נגזור את גודל המהירות לפי זמן ,נקבל )(2.76 d dω |⃗v | = | |R = |α|R dt dt ז״א ,אם תאוצה זוויתית מתאפסת ,גודל המהירות לא משתנה. 2.4 תכונות כלליות של תנועה בשניים ושלושה ממדים מביטוי להעתק קטן בצורה וקטורית d⃗r = ⃗v dtקל לקבל את הביטוי לדרך בקטע קטן: .ds = |d⃗r| = |⃗v |dtמכאן ,הדרך שהגוף עובר במשך כל התנועה היא )(2.77 |⃗v (t′ )|dt′ t2 ∫ = s12 t1 2.4. תכונות כלליות של תנועה בשניים ושלושה ממדים 21 ראינו שבתנועה מעגלית מהירות הייתה בכיוון המשיק למסלול )מעגל( .באופן כללי ,כיוון המהירות הוא כיוון ההעתק בין שתי נקודות סמוכות .כאשר הנקודות האלה שואפות זו לזו ,כיוון זה שואף למשיק ,לכן ,באופן כללי לחלוטין ,מהירות בנקודה כלשהי של מסלול תמיד מכוונת לאורך המשיק למסלול באותה נקודה .נפצל מהירות לגודל וכיוון .⃗v = |⃗v |v̂ :אפשר לומר שווקטור היחידה ̂ vמשיק למסלול. איור :18.2תנועה במסלול עקום :העתק ומהירות ממוצעת איור :19.2תנועה במסלול עקום :העתק קטן ומהירות איור :20.2תנועה במסלול עקום :מהירות ותאוצה פרק .2 22 קינמטיקה ראינו שבתנועה מעגלית התאוצה מורכבת מתאוצה בכיוון המשיק )שהוא גם כיוון המהירות( ומתאוצה בכיוון המרכז )כיוון ניצב למהירות( .כדי לנתח את המקרה הכללי ,נגזור את הביטי למהירות לפי זמן: ) ( ) ( d d = ⃗a | |⃗v | v̂ + |⃗v ̂v )(2.78 dt dt כדי להבין מה הכיוון של dv̂/dtנשתמש בזהות v̂ · v̂ = 1ונגזור אותה לפי זמן: ( ) d · ̂2v v̂ = 0 )(2.79 dt ז״א הווקטור dv̂/dtניצב למהירות .פרקנו את התאוצה לשני חלקים: )(2.80 )(2.81 )(2.82 ⃗a = ⃗at + ⃗an ( ) d = ⃗at ̂|⃗v | v dt ( ) d | ⃗an = |⃗v ̂v dt התאוצה המשיקית ⃗atהיא בכיוון המהירות ומתארת שינוי בגודל המהירות )אם הגודל לא משתנה ,התאוצה הזאת מתאפסת( .התאוצה הניצבת ⃗anהיא הכיוון ניצב למהירותה ומתארת שינוי בכיוון המהירות )אם הכיוון לא משתנה ,תאוצה זו מתאפסת(. נניח שאנחנו מעוניינים לתאר תנועה בנקודה כלשהי כאילו זאת תנועה מעגלית. במילים אחרות ,אנחנו רוצים להתאים מעגל למסלול בנקודה זו. איור :21.2רדיוס העקמומיות מבחינה פיזיקלית ,רדיוס מעגל זה חחיב להיות כזה שהתאוצה הניצבת הופכת לתאוצה צנטריפטלית בנקודה זו .הביטוי לתנאי זה הוא )(2.83 )(2.84 |⃗v |2 ⇒ R = |⃗an | = ω 2 R |⃗v |2 | |⃗an =R רדיוס המעגל המותאם בצורה כזאת נקרא רדיוס העקמומיות. 2.5. 2.5 23 זריקה זריקה כדי להראת את היישום של הפיתוחים הכלליים ננתח את תנועת הגוף אחרי שהוא נזרק מקרקע במהירות שגודלה v0בזווית θלאופק .נבחר מערכת קואורדינטות כך שציר xיהיה ציר אופקי וציר yאנכי עם כיוון חיובי כלפי מעלה .אפשר לבחור מערכת קואורדינטות בצורה אחרת ,זאת בחירתנו .בקואורדינטות האלה כל זמן שהגוף נע יש לו תאוצה קבועה .g > 0 ,⃗a = −g ŷ = const איור :22.2זריקה המהירות התחלתית היא ) .⃗v0 = (v0 cos θ, v0 sin θנבחר ראשית קואורדינטות במקום תחילת התנועה ותחילת התנועה ברגע אפס ,כך ש ⃗r0 = 0ו .t0 = 0 -מכאן )(2.85 )(2.86 ̂⃗v = v0 cos θx̂ + (v0 sin θ − gt)y ( ) 1 2 ̂⃗r = v0 cos θtx̂ + v0 sin θt − gt y 2 או ,בצורה אחרת, )(2.87 )(2.88 vy = v0 sin θ − gt 1 y = v0 sin θt − gt2 2 vx = v0 cos θ, x = v0 cos θt, , dyז״א ברגע t1כאשר .v0 sin θ − gt1 = 0הצבה של שיא הגובה מושג כאשר = vy = 0 dt t1לתוך הביטוי של yנותנת )(2.89 v02 sin2 θ 2g = ymax הגוף חוזר לקרקע כאשר ,y = 0לכן )(2.90 )(2.91 1 v0 sin θt2 − gt22 = 0 2 v02 sin 2θ = ) xmax = x(t2 2g פרק .2 24 קינמטיקה הדרך שהגוף עובר )אורך המסלול שלו( היא )(2.92 )(2.93 √∫ t = )s(t vx2 + vy2 dt′ ∫ t √0 = v02 cos2 θ + (v0 sin θ − gt′ )2 dt′ 0 נחשב גם את התאוצה המשיקית ,את התאוצה הניצבת ואת רדיוס העקמומיות: )(2.94 )(2.95 )(2.96 )(2.97 )(2.98 )(2.99 ̂v0 cos θx̂ + (v0 sin θ − gt)y v̂ = √ 2 v0 cos2 θ + (v0 sin θ − gt)2 ̂⃗a = −g y | g|vy at = |⃗at | = |⃗a · v̂| = √ 2 vx + vy2 √ √ an = |⃗an | = |⃗a|2 − a2t = g 2 − a2t gvx gv0 cos θ =√ 2 =√ 2 2 vx + vy vx + vy2 vx2 + vy2 (v 2 + vy )3/2 |⃗v |3 = x = an gv0 cos θ gv0 cos θ =R להשוואה :בשיא הגובה vy = 0, |⃗v | = v0 cos θורדיוס העקמומיות הוא .R = (v0 cos θ)2 /g בנקודה התחלתית ⃗v = v0ורדיוס העקמומיות הוא .R = v02 /g cos θ פרק 3 חוקי ניוטון אחרי שבנינו לעצמנו כלים לתיאור התנועה הגיע זמן לטפל בגורמי התנועה .הבסיס לזה שלושת חוקי ניוטון. קודם כל ,ננסח את שלושה הגדולים ואחר מכן נפרט: • קיימות מערכות התמדיות • F⃗ = m⃗a • F⃗1→2 = F⃗2→1 3.1 חוק ראשון מערכת יחוס מורכבת מצופה ,שעון ומערכת קואורדינטות .הצופה מודד תנועה של כל גוף אחר )לא עצמו( באמצעות השעון ומערכת הקואורדינטות שלו .נתמקד בגוף כלשהו .בהמשך נקרא לא ״גוף הבוחן״ .נניח גוף הבוחן נטול השפעת גופים אחרים )בודד ומבודד( .החוק הראשון של ניוטון טוען שקיימת מערכת יחוס שבה הגוף הזה נע במהירות קבועה .המערכת הזאת נקראת מערכת התמדית .החוק הראשון בלתי נפרד מעקרון אשר ידוע בשם ״יחסות גלילאי״ )ראו מטה( .יחסות גלילאי קובעת שאין מערכת יחוס מיוחדת :לחוקי הטבע אותה צורה בכל מערכות יחוס התמדיות .ביחד עם יחסות גלילאי החוק הראשון קובע שיש אינסוף מערכות יחוס התמדיות .משמעות של החוק הראשון היא שהוא קובע שאם מודדים במערכות יחוס מסוג מסוים ,השפעת גופים אחרים מתבטאת בשינוי התנועה. 3.2 חוק שני וחוק שלישי החוק השני של ניוטון קובע את בדברים הבאים: • השפעה של כל גוף אחר על גוף הבוחן בתבטאת בווקטור הכוח • כוח גורם לתאוצה ,תאוצה פרופורציונלית לכוח • במשוואה F⃗ = m⃗aמסה mהיא מדד כמותי של יכולת הגוף לקבל תאוצה בהשפעת הכוח ,מסה היא מספר חיובי וסקלר 25 פרק .3 26 חוקי ניוטון איור :1.3החוק השני • החוק השני של ניוטון קובע שגופים מפעילים כוחות באופן בלתי תלוי .נניח שגוף 2מפעיל אל גוף 1כוח F⃗2→1כאשר אין אף גוף נוסף ביקום חוץ מ 2-ו.1- נניח שגוף 3מפעיל על גוף 1כוח F⃗3→1כאשר אין אף גוף נוסף ביקום חוץ מ3- ו.1- איור :2.3החוק השני :חיבור הכוחות כאשר ישנם כל השלושה הכוח שמופעל על גוף 1יהיה סכום ווקטורי של הכוחות שהופעלו ע״י גופים 2ו 3-בנפרד )(3.1 הסכום הזה נקרא כוח שקול F⃗1 = F⃗2→1 + F⃗3→1 3.3. 27 יחסות גלילאי • בחוק השני של ניוטון F⃗ = m⃗aהכוח ⃗ Fהוא כוח שקול .תאוצה לא נגרמת ע״י כוחות שונים בנפרד אלא ע״י כוח שקול )הגוף ״לא יכול לזהות מי הפעיל הכוח אלא מרגיש את הכל ביחד״(. • חשוב להדגיש שהמשוואה F⃗ = m⃗aמחברת בתוכה דברים שונים לגמרי :הערכים באגף ימין שייכים לגוף הבוחן )הגוף המואץ ,הגוף המושפע( ,ואילו הערך באגף שמאל שייך לשאר היקום להוציא את גוף הבוחן. החוק השלישי של ניוטון קובע שכל זוג הגופים )נקרא להם 1ו (2-מפעילים זה על זה כוחות באופן בלתי תלוי בגופים אחרים והכוחות האלה מכוונים לאורך קוו ישר המחבר את הגופים וגם מקיימים את הכלל .F⃗1→2 = −F⃗2→1 איור :3.3החוק השלישי המשמעות האמיתית של החוק השלישי תתברר יותר מאוחר ,כאשר נלמד מערכות חלקיקים. הערה חשובה :לא לשכוח שעד כה כל הדיון מתייחס לגופים נקודתיים ,ללא מימדים וללא מבנה פנימי כלשו. 3.3 יחסות גלילאי מדידות התנועה תמיד נעשות ע״י צופה )מערכת יחוס( .עקרון היחסות קובע שאין מערכת יחוס מיוחדת וכל אחד יכול ללמוד פיזיקה במערכת יחוס משלו .כדי לדעת לפרש את המדידות ,יש להבין מה הקשר בין המדידות של שני צופים שונים .נניח שצופה אחד עומד על כביש )מערכת ״עומדת״ (Sוצופה נוסף נוסע באוטובוס על אותו כביש )מערכת ״נעה״ (S ′לאורך קוו ישר .שני הצופים מודדים את תנועתו של גוף הבוחן )״פרפר״(. פרק .3 28 חוקי ניוטון איור :4.3שתי מערכות יחוס לשני הצופים שעונים זהים ושניהם בונים מערכות קואורדינטות כך שהצירים המתאימים מקבילים .x′ ∥ x, y ′ ∥ y, z ′ ∥ z :כל אחד מהצופים מודד את המיקום של הפרפר :העומד מודד ) ⃗r(tוהנע מודד ) .⃗r′ (tמהשרטור ,הקשר בין השניים הוא כדלקמן: )(3.2 ⃗ )⃗r(t) = ⃗r′ (t) + R(t ⃗ ) R(tהוא המיקום של הנע )ראשית הקואורדינטות במערכת שלו( לפי מדידות כאשר ′ ⃗ של העומד .שימו לב :כאן ⃗rו ⃗r -הם של הפרפר ,ו R -הוא של מערכת הייחוס הנעה. ברור ששני הצופים מודדים מיקומים שונים של אותו גוף )הפרפר( .כדי למצוא את הקשר בין המהירויות של הפרפר אשר השניים מודדים ,נגזור את הביטוי ) (3 . 2לפי זמן וניקח בחשבו ש:⃗v ′ = d⃗r′ /dt ,⃗v = d⃗r/dt - )(3.3 )⃗v (t) = ⃗v ′ (t) + V⃗ (t ⃗ V⃗ = dR/dtהיא המהירות של הנע לפי המדידות של העומד )מהירות יחסית כאשר ′ ⃗ של שתי מערכות הייחוס( .גם כאן ⃗vו ⃗v -הן של הפרפר ,ו V -היא של מערכת הייחוס הנעה .רואים ששני הצופים מודדים מהירויות שונות של אותו גוף .נניח עכשיו שהמערכת S ′נעה במהירות קבועה .V⃗ = const ,נגזור את הביטוי )(3 . 3 ונקבל )(3.4 ⃗a = ⃗a′ ז״א ,אם המהירות היחסית בין שתי מערכות ייחוס קבועה ,שתי המערכות מודדות אותה תאוצה של הגוף. נניח עכשיו שידוע לנו על המערכת העומדת שהיא מערכת התמדית .משמעות הדבר שאם גופים אחרים לא משפיעים אל הפרפר הוא )הפרפר( נע במהירות קבועה, .⃗a = 0אז מהביטוי ) (3 . 4נקבל ש ,⃗a′ = 0 -ז״א גם במערכת הנעה מהירות הגוף קבועה אם אין השפעה של גופים אחרים .המסקנה היא שגם המערכת הנעה היא מערכת התמדית .הניתוח שלנו מראה שכל מערכת ייחוס ,הנעה ביחס למערכת התמדית במהירות קבועה ,התמדית גם היא .לכן אם קיימת מערכת יחוס התמדים אחת אז יש אינסוף מערכות יחוס התמדיות. 3.4. 29 ישומים של חוקי ניוטון נרשום עכשיו את החוק השני של ניוטון במערכת יחוס התמדית .F⃗ = m⃗a :כאן ⃗F זה סכום כל הכוחות שמפעילים גופים אחרים על הפרפר .עם גם המערכת הנעה התמדית ,V⃗ = const ,אז נקבל F⃗ = m⃗a′ )(3.5 במילים אחרות ,לחוק השני של ניוטון אותה צורה בכל מערכות יחוס התמדיות ,כאשר הכוח השקול הוא סכום הכוחות שמפעילים גופים אחרים ,ללא כל תוספות או שינויים. תוצאה זו מהווה את עקרון היחסות של גלילאי :בכל מערכות יחוס התמדיות לחוקי פיזיקה אותה צורה .במקרה שלנו ,״כל חוקי פיזיקה״ משמעות החוק השני של ניוטון. 3.4 3.4.1 ישומים של חוקי ניוטון כוח הכבידה אחנחו יודעים שליד הקרקע כל הגופים נופילים בתאוצה קבועה ⃗gאם אין השפעה של גופים נוספים. איור :5.3כוח הכבידה F⃗g = m⃗gאשר נקרא כוח הכבידה .כוח זה מופעל ע״י כדור הארץ .בהתאם לחוק השלישה של ניוטון ,הגוף מפעיל על כדור הארץ כוח הפוך .מכיוון שמסת כדור הארץ גדולה בהרבה ממסת הגופים שמסביב ,תאוצת כדור הארץ בגלל כוחות אלה זניחה. ברוב הישומים אנחנו מתיחסים לכדור הארץ כאילו הוא מערכת התמדית ,בקירוב )אבל ראו את הדיון על מערכות מסתובבות מטה(. 3.4.2 כוח התגובה ,משקל דוגמה 3.4.1גוף נמצא במנוחה על משטח אופקי )שולחן( .אנחנו כבר יודעים שעל הגוף פועל כח הכבידה F⃗g = m⃗gבכיוון אנכי כלפי מטה .מכיוון שתאוצת הגוף היא פרק .3 30 חוקי ניוטון אפס ,סכום הכוחות שפועלים על הגוף ,חייב להיות אפס .זה אומר שהשולחן חייב להפעיל כוח על הגוף ,נסמן אותו ב⃗ - .Nהחוק השני קובע )(3.6 ⃗ =0⇒N ⃗ = −F⃗g = −m⃗g F⃗g + N כוח זה הוא כוח התגובה של המשטח .הגוף ,אשר נמצא על המשטח ,מעקם אותו והמשטח מחזיר כוח ,כמו קפיץ .כאשר עיקום המשטח קטן ,פשוט מזניחים את שינוי צורת שמשטח )משטח קשיח( .כיוון כוח זה הוא ניצב למשטח ולכן לעתים קרובות מכנים אותו ״נורמל״ .במקרה הזה ⃗ Nפועל בכיוון אנכי כלפי מעלה. איור :6.3כוח התגובה הניצב יש לשים לב :כוח התגובה של משטח יכול להיות מכוון רק מהמשטח לצד של הגוף )״דוחף״( .משטח לא יכול למשוך אליו את הגוף שעליו. ⃗ = −N לפי החוק השלישי ,הגוף מפעיל כוח ⃗ = m⃗g Wעל השולחן .הכוח הזה, הגוף מפעיל על המשענת )שולחן( נקרא משקל .הגדרה זו מתואמת עם הבנה יומיומית של המשקל ככוח שמופעל על מזניים. דוגמה 3.4.2 גוף תלוי בחוט שמחובר לתקרה ונמצא במנוחה. איור :7.3כוח התגובה :תלייה 3.4. 31 ישומים של חוקי ניוטון שוב סכום הכוחות שפועלים על הגוף חייב להיות אפס ,לכן אנחנו מסיקים שהחוט מפעיל כוח ⃗ Tאשר נקרא כוח המתיחות .גם כוח זה הוא כוח התגובה :הגוף מותח את החוט ומאריך אותו .החוט מחזיר כוח כמו קפיץ .גם כאן ,לעתים קרובות שינוי האורך זניח )החוט לא מתארך( .לפי החוק השני, F⃗g + T⃗ = 0 → T⃗ = −m⃗g )(3.7 יש לשים לב :כוח המתיחות יכול להיות מכוון רק מהגוף בכיוון החוט .חוט אינו יכול לדחוף את הגוף שמחובר אליו. לפי החוק השלישי ,הגוף מפעיל כוח ⃗⃗ = −T Wעל החוט .גם הכוח הזה הוא מקשל .באופן כללי ,משקל הוא הכוח שמפעיל גוף על משענת או תלייה. דוגמה 3.4.3נחזור לדוגמה של גוף נח על שולחן ,אלא שהפעם הכל מתרחש במעלית עולה או יורדת. איור :8.3משקל במעלית כדי לנתח את המצב ,נבחר מערכת קואורדינטות עם ציר xאנכי כאשר כיוון חיובי כלפי מעלה .נסמן את התאוצה של המעלית ב .a -אם a > 0המעלית עולה בתאוצה, אם a < 0המעלית יורדת בתאוצה .הגוף שעל השולחן נע בתאוצת המעלית .הכוחות )רכיבי )xשפועלים עליו הם כוח הכבידה Fg = −mgוכוח התוגבה .Nמכיוון שכוח התגובה לא יכול להיות כלפי מטה .N ≥ 0 ,החוק השני נותן )(3.8 N − mg = ma מכאן )(3.9 g+a≥0 if N = m(g + a), כאשר ,a < −gז״א ,המעלית יורדת התוצה גדולה יותר מתאוצת נפילה חופשית, המצב המתואר )הגוף נח על השולחן( בלתי אפשרי .גודל הכוח שהגוף מפעיל על השולחן )משקל( הוא ).W = N = m(g + a דוגמה 3.4.4 גוף מונח על מישור משופע בעל זווית θעם האופק. פרק .3 32 חוקי ניוטון איור :9.3מישור משופע מה התאוצה ? יהיה נוח לבחור קואורדינטות כך ש x -תהיה לאורך שמדרון כלפי מטה ו y -תהיה בכיוון ניצב למדרון .החוק השני יירשם בצורה הבאה: )(3.10 )(3.11 x : mg sin θ = ma y : N − mg cos θ = 0 מכאן התאוצה a = g sin θוגודל כוח התגובה )ומשקל( .N = mg cos θ דוגמה 3.4.5שני גופים מחוברים באמצעות חוט העובר מעל גלגלת שיכולה להסתובב סביב צירה. 3.4. 33 ישומים של חוקי ניוטון איור :10.3גופים וגלגלת החוט אינו מתארך ואין לו מסה .לגלגלת אין מסה ואין חיכוך לא בין החוט לגלגלת ולא בין הגלגלת לציר הסיבוב .מסות הגופים הן m1ו .m2 -מה התאוצות ? מכיוון ששני הגופים נעים בכיוון אנכי בלבד ,מספיק בקואורדינטה אחת .נבחר )שרירותית לחלוטין( כיוון חיובי כלפי מטה ונניח )שרירורתית לחלוטין( שתאוצת גוף 1היא a1 כלפי מטה .אם בסוף הפתרון יתברר שa1 > 0 -אז גוף 1אכן נע כלפי מטה .אם נמצא ש a1 < 0 -אז גוף 1נע כלפי מעלה .בהנחה שגוף 1נע כלפי מטה הגוף 2חייב לנוע כלפי מעלה .בהתאם נסמן את התאוצה שלו ב ,−a2 -כך שאם a2 > 0הוא אכן נע כלפי מעלה .החוק השני יהיה )(3.12 )(3.13 m1 g − T1 = m1 a1 m2 g − T2 = −m2 a2 כאשר T1ו T2 -הם כוחות המתיחות אשר החוט מפעיל על הגופים .בצורה כזאת אין אפשרות למצוא שום דבר ,אנחנו צריכים להוסיף אילוצים. נתון ,שהחוט אינו מתארך .זה אומר שהמרחק שגוף 1יורד שווה למרחק שגוף 2 עולה .מכאן | |v2 | = |v1ו .|a2 | = |a1 | -בהתחשב בסימנים שקבענו.a2 = a1 , מכיוון שאין לחוט ולגלגלת אין מסה ואין חיכוך )כוחות נוספים( ,לא דרש כוח כדי פרק .3 34 חוקי ניוטון להאיץ חוט וגלגלת ולכן .T1 = T2 = Tנציב את כל זה בחוק השני ונקבל )(3.14 )(3.15 )(3.16 )(3.17 m1 g − T = m1 a1 T − m2 g = m2 a1 ( ) m1 − m2 a1 = g m1 + m2 2m1 m2 g = T m1 + m2 נבדוק את התשובה במקרים קיצוניים ,כאשר התוצאה ידועה מראש .אם ,m1 = m2 הגופים לא אמורים לזוז כלל וכוח המתיחות אמור להיות שווה .m1 gאכן. אם ,m2 = 0גוף 1פשוט נופל נפילה חופשית ,a1 = g ,וכוח המתיחות מתאפס. אכן. דוגמה 3.4.6 על גוף תלי מופעל כוח אופקי כך החוט מוסט לזווית θביחס לאנך. איור :11.3כוח חיצוני מופעל על גוף תלוי מהו גודל כוח המתיחות ? סכום ווקטורי של כוח הכבידה )כלפי מטה( ,הכוח האופקי וכוח המתיחות )לאורך החוט( חייב להיות שווה לאפס .מהמשולש רואים ש- )(3.18 |T⃗ | cos θ = mg דוגמה 3.4.7גוף בעל מסה mתלוי בחוט שאורכו lמסתובוב במעגל אופקי )באותו גובה( במהירות זוויתי קבועה .ω 3.4. 35 ישומים של חוקי ניוטון איור :12.3גוף תלוי מסתובב מהי הזווית בין החוט לאנך ? נסמן את הזווית ב .θהגוף מבצע תנועה מעגלית במעגל בעל רדיוס ,R = l sin θלכן יש לו תאוצה צנטריפטלית שגודלה a = ω 2 Rבכיוון מרכז המעגל .נבחר מערכת קואורדינטות )רגעית( כך שציר xיהיה לאורך הרדיוס כלפי המרכז ,וציר yאנכית כלפי מעלה .החוק השני של ניוטון נותן: )(3.19 )(3.20 T sin θ = mω 2 R = mω 2 l sin θ T cos θ = mg x: y: מכאן או ,T = mg ,θ = 0או )(3.21 g ω2l = cos θ √ הפתרון השני אפשרי רק כאשר ,cos θ ≤ 1ז״א .ω ≥ ωc = g/lכאשר ω < ωcהחוט יישאר במצב אנכי .כאשר ω > ωcהמצב האנכי הוא אחד הפתרונות ,אבל פתרון זה אינו יציב :כל הפרעה קטנה יוציא את החוט ממצב זה והוא יהיה מוסט לזווית שמוגדרת ע״י .cos θ = g/ω 2 lאת האי-יציבות לא נוכל להוכיח כאן. דוגמה 3.4.8 מטוס שנע במהירות ) vגודל( עושה סיבוב במעגל שרדיוסו .R פרק .3 36 חוקי ניוטון איור :13.3סיבוב המטוס מה זווית בין מישור הכנפיים והאופק ? כוח האוויר פועל בכיוון ניצב הכנף .בדומה לדוגמה הקודמת )(3.22 )(3.23 )(3.24 דוגמה 3.4.9 mv 2 R Fair cos θ = mg v2 = tan θ gR = Fair sin θ רכב נוסע במעגל אופקי בעל רדיוס .R איור :14.3רכב במסלול מעגלי מהצד החיצוני מהי המהירות המקסימלית האפשרית בנקודה העלינה אם הרכב נוגע במשטח בנקודה זה ? מבחר כיוון חיובי של הקואורדינטה כלפי מעלה ,כך ש .N ≥ 0החוק 3.4. ישומים של חוקי ניוטון 37 השני: mv 2 N − mg = − )R ( 2 v N =m q− ⇒≥0 R v2 ≤ q → v 2 ≤ gR R )(3.25 )(3.26 )(3.27 אם הרכב רוצה לעבור במשטח הפנימי )מלמטה(, איור :15.3רכב במסלול מעגלי מהצד הפנימי אז כוח התגובה פועל כלפי מטה והחוק השני ייתן mv 2 = N + mg ) ( 2 R v N =m ⇒−g ≥0 R v 2 ≥ gR )(3.28 )(3.29 )(3.30 יש לשים לב :בשני המקרים התנאי היה שכוח התגובה פועל מהמשטח בכיוון הגוף הנשען ולא יכול למשוך את הגוך כלפי המשטח. 3.4.3 חיכוך עד כה דיברנו על כוח התגובה בין משטח לגוף .כוח זה מופעל על הגוף בנקודת המגע בכיוון ניצב למשטח .בין משטח לגוף קיים כוח תגובה נוסף ,אשר פועלה בכיוון משיק למשטח .גם כוח זה מופעל בנקודת המגע והוא גם תלוי במצב בנקודה זו .כוח זה הוא כוח החיכוך. קיימים שני סוגי החיכוך :חיכוך סטטי חיכוך קינטי .לשני הסוגים תכונות שונות. כוח חיכוך סטטי פועל בנקודת המגע בין הגוף למשטח כאשר בנקודה זו אין מהירות יחסית בין השניים ,ז״א נקודת הגוף שנמצאת במגע עם המשטח נחה ביחס למשטח. כוח חיכוך סטטי מכוון נגד כיוון התנועה של נקודת המגע שהייתה נוצרת פרק .3 38 חוקי ניוטון אילו כוח זה לא היה קיים .כל עוד מדובר על גוף נקודתי ,כוח חיכוך סטטי יהיה מנוגד לכוח חיצוני אחר אשר מופעל על הגוף כדי להזיזו .במקרה של גופים עם ממדים זה לא תמיד כך ,נלמד את זה בפרק על תנועה סיבובית של גוף קשיח. איור :16.3חיכוך סטטי אם מופעל כוח חיצוני )לא חיכוך( והגוף לא זז )אין תאוצה( אז סכום הכוחות חייב להיות אפס .זה אומר שכוח החיכוך סטטי שווה בגודלו וכוח החיצוני ומנוגד לו .מצב זה יכול להקיים רק עד גבול מסוים :קיים כוח חיכוך סטטי מרבי .בקירוב טוב )(3.31 |⃗ |f⃗s | ≤ µs |N כאן כוח חיכוך סטטי מסומן ב⃗ ,f⃗s - Nהוא כוח התגובה הניצב )״נורמל״( ,ו µs -הוא מקדם חיכוך סטטי ,אשר תלוי רק בחומרים שמהם עשויים הגוף והמשטח )בקירוב(. יש לשים לב :הביטוי נותן קשר רק בין הגדלים ,הכיוונים של ⃗ Nו f⃗s -ניצבים זה לזה. כל עוד המצב סטטי ,כוח חיכוך סטטי מתאים את עצמו לתנאים.גודלו אינו ידוע מראש ונדרש למצוא אותו יחדי עם שאר הנעלמים במהלך ניתוח של המצב הפיזיקלי. כאשר כוח חיכוך סטטי ,שנדרש כדי להשאיר את גוף במנוחה ביחס למשטח, גדול מהכוח המרבי | ⃗ ,|f⃗s |max = µs |Nלגוף יש מהירות ביחס למשטח בנקודת המגע. במקרה זה החיכוך הופך לחיכוך קינטי .כיוון כוח חיכוך קינטי הפוך לכיוון המהירות של הגוף ביחס למשטח בנקודת המגע , 3.4. 39 ישומים של חוקי ניוטון איור :17.3חיכוך קינטי וגודלו תלוי רק בגודל של כוח התגובה הניצב: )(3.32 |⃗ |f⃗k | = µk |N כאשר µkהוא מקדם חיכוך קינטי ,אשר לא יכול להיות גדול ממקדם חיכוך סטטי. בניגוד לכוח חיכוך סטטי ,כיוון כוח חיכוך קינטי ידוע ,כי הוא הפוך למהירות נקודת הגוף אשר נמצאת במגע עם משטח .אם נסמן את המהיורת הזאת באמצעות ⃗vcontact אז כיוון כוח חיכוך קינטי יהיה −v̂contactוהווקטור וכולו אפשר לרשום בצורה )(3.33 ⃗ |v̂contact f⃗k = −µk |N לגוף נקודתי ⃗vcontactשווה למהירות הגוף. למרות שבינתיים הדיון מתייחס רק לגופים נקודתיים ,בכל האמור על חיכוך הדגשנו שמדובר על המצב בנקודת המגע בין הגוף לבין המשטח .זאת נקודה חשובה מאור אם נזכרים בכך שלגופים ,בדרך כלל ,יש מידות וצורה .כאשר אנחנו מהלכים ,הגוף שלנו נע במהירות כלשהי ביחס לרצפה ,אבל את כף הרגל אנחנו משתדלים להצמיד למשטח כדי שלא תחליק .בכיוון שבנקובת המגע מהירות יחסית בין כף הרגל למשטח היא אפס ,החיכוך הוא חיכוך סטטי .לעובדה שהפלג העלין של הגוף נע ביחס לרצפה אין שום משמעות בקביעת סוג החיכוך ,כי הרצפה מגיבה רק למה שקורה בנקודת המגע .כוח חיכוך סטטי הוא זה שמניע גם אותנו וגם את הרכב שלנו )כאשר הגלגלים אינם מחליקים(. דוגמה 3.4.10 חיכוך סטטי .µs גוף נקודתי בעל מסה mנמצא על משטח אופקי מחוספס עם מקדם פרק .3 40 חוקי ניוטון איור :18.3כוח מינימלי הדרוש להזזת גוף מה הוא גודל הכוח הקטן ביות הנדרש כדי להזיז את הגוף ? נניח שמופעל כוח שגודלו Fבזווית θמעל לאופק .הרעיון הוא למצוא עד איזה Fהגוף עדיין נמצא במנוחה .הכוח במרבי בתנאי זה הוא יהיה הכוח הקטן ביותר הנדרש להזזה )הגבול בין שני המצבים -סטטי ותנועה( .נבחר מערכת קואורדינטות כך שציר xאופקי ובכיוון של הרכיב האופקי של הכוח המופעל וציר yאנכי כלפי מעלה .ברור שכוח חיכוך סטטי ,שגודלו ,fsיפעל נגד הרכיב האופקי של הכוח החיצוני .החוק השני של ניוטון קובע: )(3.34 )(3.35 x : F cos θ − fs = 0 y : F sin θ + N − mg = 0 במשוואות האלה N ,fs ,Fגדלים של הכוחות ,לכן כולם חיוביים .בנוסף ,מכיוון שהחיכוך הוא חיכוך סטטי ,חייב להתקיים התנאי: )(3.36 fs ≤ µs N פתרון המשוואות נותן: )(3.37 )(3.38 )(3.39 )(3.40 fs = F cos θ N = mg − F sin θ )F cos θ ≤ µs (mg − F cos θ µs mg ≤ F cos θ + µs sin θ לכל זווית θהכוח הקטן ביותר שנדרש להזזה הוא )(3.41 µs mg cos θ + µs sin θ = )Fmin (θ נותר למצוא את המינימום של הפונקציה הזאות .כדי שיחס יהיה מינימלי ,המכנה צריך להיות מקסימלי )המונה לא תלוי בזויית( .גוזרים את המכנה לפי θומשווים 3.4. 41 ישומים של חוקי ניוטון לאפס ,מקבלים tan θc = µs )(3.42 )(3.43 )(3.44 )(3.45 1 1 √ = cos θc √= 1 + µ2s 1 + tan2 θc tan θs µs √= √ = sin θc 2 1 + µ2s 1 + tan θc µs mg √ = Fmin 1 + µ2s כדי לוודא שזה מינימום ולא מקסימום ,נשווה את התוצאה עם שני מקרים קיצוניים. כאשר מפעילים כוח אופקית ,θ = 0 ,כוח המינימלי הוא .µs mg > Fminכאשר מפעילים כוח אנכית ,הכוח המינימלי הוא .mg > Fminהמסקנה :הכוח המינימלי הוא Fmin = √µs mg 2וצריך להפעילו בזווית .tan θ = µs 1+µs דוגמה 3.4.11גוף מונח על מישור משופע מחוספס .זווית המישור היא θומקדמי החיכוך הם .µs , µk איור :19.3מישור משופע עם חיכוך מהי תאוצת הגוף ? מערכת הקואורדינטות לאורך שמישור ובניצב לו החוק השני נותן: )(3.46 N − mg cos θ = 0 mg sin θ − f = ma מכיוון שלא ידוע מראש ,האם הגוף בכלל זז )חיכוך קינטי( או נח )חיכוך סטטי( ,יש צורך לנתח את האפשרויות .נניח בהתחלה שהגוף לא נע .a = 0 ,במקרה זה החיכוך פרק .3 42 חוקי ניוטון הוא חיכוך סטטי: )(3.47 )(3.48 )(3.49 )(3.50 mg sin θ − fs = 0 fs = mg sin θ N = mg cos θ fs ≤ µs N ⇒ tan θ ≤ µs לכן ,כאשר tan θ ≤ µsהגוף יישאר במצב מנוחה .כאשר tan θ > µsהגוף יתחיל לנוע והחיכוך יהיה חיכוך קינטי ,f = µk mg cos θ ,לכן )(3.51 )a = g(sin θ − µk cos θ על אותו מישור משופע מספקים לגוף מהירות התחלתית v0למטה תרגיל 3.4.1 במדרון .מצאו את הדרך שהגוף יעבור עד רגע .tהמדרון אינסופי. דוגמה 3.4.12רכב נכנס לסיבוב עם רדיוס העקמומיות .Rמקדמי החיכוך בין הצמיגים לקרקע הם .µs , µk איור :20.3סיבוב הרכב באיזו מהירות מרבית יכול לנוע רכב ולהישאר בסיבוב ? כדי להישאר בסיבוב הרכב חייב לא להחליק ,לכן החיכוך הוא חיכוך סטטי .כוח החיכוך הסטטי הוא הכוח היחיד אשר יכול לספק תאוצה צנטריפטלית ,a = v 2 /Rלכן )(3.52 )(3.53 mv 2 ≤ µs N = µs mg R v 2 ≤ µs gR = fs מרוץ אופניים באולמות מתקיים על משטח פנימי של חרוט חתוך תרגיל 3.4.2 שצירו אנכי .בחתך דרך הציר משטח זה הוא מישור משופע בעל זווית .θ 3.4. 43 ישומים של חוקי ניוטון איור :21.3מירוץ אופניים באולמות רוכב אופניים רוצה לנוע במהירות קבוע )גודל קבוע( בגובה קבוע ,כך שינוע במעגל בעל רדיוס .Rמקדם החיכוך הסטטי בין גלגלי האופניים לבין המשטח הוא .µsמהו טווח המהירויות האפשריות ? 3.4.4 כוח הגרר על כל גוף שנע בתווך )גז או נוזל( פועל כוח התנגדות התווך .כוח זה נוצר בגלל התנגשויות הגוף עם מולקולות התווך והעברת התנע אליהן )ראו תנע בהמשך( .כיוון כוח זה הפוך לכיוון מהירות הגוף .כאשר מהירות הגוף אינה גבוהה ,הכוח פרופורציוני למהירות .F⃗ = −b⃗v :המקדם bתלוי בתכונות התווך והגודל וצורה של הגוף ,אבף לא תלוי במהירות. דוגמה 3.4.13עד כה הזנחנו את כוח הגרר בטיפול בנפילה האוויר .הזנחה זו לא תהיה קטלנית לצנחנים .נניח שגוף נקודתי מתחיל ליפול ממצב מנוחה .נביר ציר x אנכית כלפי מטה ,אז החוק השני של ניוטון יירשם בצורה הבאה: )(3.54 )(3.55 ma = mg − bv dv m = mg − bv dt זאת משוואה דיפרנציאלית ונצטרך לפתור אותה .לפני כן ננסה להוציא לפחות חלק מהמידע .בהתחלה ,כשר מהירות קרובה לאפס ,כוח הגרר −bvזניח ביחס לכוח הכבידה mgוהגוף מתחיל ליפול בתאוצה .gככל שהמהירות גדלה ,גם גודל כוח הגרירה גדל הכוח השקול mg−bvקטן ,אבל כיוונה נשאר כלפי מטה .לכן הגוף ממשיך לנועה בתאוצה כלפי מטה ,אבל גודל התאוצה קטן .התאוצה מתאפסת ,כאשר הכוח השקול מתאפס ,mg = bv ∗ ,מרגע זה הגוף ממשיך לנוע במהירות קבועה .זאת אומרת, שהגוף מגיע למהירות מירבית .v ∗ = mg/b כדי לפתור את המשוואה ,במקום לחפש מהירות הפונקמיה של זמן ,נחפש זמן כפונקציה של מהירות :כאשר מהירות אפס הזמן אפס ,כאשר מהירות vהזמן ).t(v פרק .3 44 חוקי ניוטון מכאן נקבל: dt 1 m = = dv dv/dt mg − bv ∫ v |m |mg − bv m =t dv ′ = − ln ′ b mg 0 mg − bv ||mg − bv = e−bt/m mg )(3.56 )(3.57 )(3.58 מכיוון שנחנו כבר יודעים ש,mg − bv ≥ 0 - mg − bv = mge−bt/m ) ( mg =v 1 − e−bt/m b )(3.59 )(3.60 רצוי תמיד לבדוק במקרים ברורים מראש .כאשר bt/m ≪ 1פיתוח טיילור נותן )(3.61 bt m )(3.62 mg bt = gt b m e−bt/m ≈ 1 − ≈v כאשר bt/m ≫ 1 e−bt/m ≈ 0 mg ≈v b )(3.63 )(3.64 בהתאם לניתוח הקודם שלנו. 3.5 3.5.1 מערכות מואצות ומסתבבות מערכות מואצות לא כל מערכות יחוס התמדיות ורצוי לדעת איך לטפל באלה שאינן .נחזור לדוגמה שלנו של שתי מערכות יחוס ,עומדת ונעה ,ונאפשר למערכת הנעה להיות מואצת בכיוון התנועה )לאורך קוו ישר( .שני הצופים מודדים את התנועה של פרפר .הקשר בין המהירויות הוא )(3.65 ⃗⃗v = ⃗v ′ + V כאשר ⃗vהיא מהירות הפרפר לפי מדידות הצופה הועמד ⃗v ′ ,היא מהירותה של הפרפר לפי מדידות הנע ,ו V⃗ -היא מהירות של הצופה הנע לפי מדידות של העומד .אם נגזור לפי זמן ,נקבל )(3.66 ⃗ ⃗a = ⃗a′ + A כאשר ⃗aהיא תאוצת הפרפר לפי מדידות הצופה הועמד ⃗a′ ,היא תאוצת הפרפר לפי מדידות הנע ,ו⃗ - Aהיא תאוצת הצופה הנע לפי מדידות של העומד .החוק השני של ניוטון במערכת העומדת )הנחנו שהיא התמדית( נראה כדלקמן: )(3.67 F⃗other bodies = m⃗a 3.5. 45 מערכות מואצות ומסתבבות כאן הדגשנו שהכוח השקול נגרם ע״י גופים פיזיקליים אחרים .אם נציב את הקשר בין התאוצות ,נקבל: )(3.68 m⃗a′ = F⃗total F⃗total = F⃗other bodies + F⃗inertia )(3.70 ⃗ F⃗inertia = −mA )(3.69 לחוק השני של ניוטון במערכת הייחוס המואצת אותה מוצר כמו במערכת ההתמדית, אבל הכוח השקול הפעם מורכב מהכוחות שנגרמו ע״י גופים פיזיקליים אחרים וכוח נוסף ,כוח האינרציה ,אשר לא קשור לשום גוף פיזיקלי .כוח זה מופיע רק בגלל שהמערכת איננה התמדית .לעתים קרובות קוראים לכוחות אלה ״מדומים״ .מבחינתי האם אינם מדומים ,כי ניתן למדוד אותם .במקרה של מערכת מואצת כוח זה דומה לכוח הכבידה :הוא שווה למסה כפול ווקטור קבוע .למעשה ,אילו היה אפשר להסתיר את כדור הארץ מניסיונאי ,הוא לא היה יכולה להבדיל בין כוח האינרציה זה וכוח הכבידה. דוגמה 3.5.1 גוף תלוי בחוט שמחובר לתקרת האוטובוס הנע בתאוצה קבועה .⃗a איור :22.3גוף תלוי במערכת מואצת מהי הזווית בין החוט לאנך ? ננתח את המצב בשתי מערכות יחוס :התמדית )עומדת( ומואצת )אוטובוס( .ביחס למערכת עומדת הגוף נע בתאוצה קבועה ,לכן סכום הכוחות )כוח הכבידה וכוח המתיחות( שפועלים עליו )(3.71 m⃗g + T⃗ = m⃗a מהמשולש של הכוחות )(3.72 a g = tan θ במערכת האוטובוס הגוף נח ,לכן הכום הכוחות )כוח הכבידה ,כוח המתיחות וכוח האינרציה( חייב להיות אפס: )(3.73 m⃗g + T⃗ + (−m⃗a) = 0 זאת אותה משוואה ווקטורית כמו במערכת ההתמדית ,רק פרשנויות של שני הצופים שונות :הצופה העומד טוען שסכום הכוחות מספק לגוף תאוצה ואילו הצופה הנע טוען שבכום הכוחות )כולל את כוח האינרציה( הוא אפס. 46 3.5.2 פרק .3 חוקי ניוטון מערכות מסתובבות יש סוג נוסף של מערכות לא התמדיות ,סוג חשוב מאוד כי אנחנו חיים באחת כזאת: מערכות מסתובבות .נניח שצופה אחר )עומד( הוא מערכת התמדית .צופה אחר מסתובב עם קרוסלה במהירות זוויתית קבועה . ωנשווה את התמונה שרואים שני הצופים כאשר הם מודדים תנועה של גוף בוחן כלשהו. איור :23.3מערכת מסתובבת נתחיל בגוף בוחן אשר מסתובב עם הקרוסלה ונמצא כל הזמן באותה נקודה במרחק Rמציר הסיבוב .מבחינת הצופה העומד ,גוף זה נע בתאוצה צנטריפטלית אשר נגרמת ע״י חיכוך בינו לבין המשטח המסתובב: )(3.74 fs = mω 2 R כוח החיכוך זה מכוון כלפי המרכז .מבחינת הצופה המסתובב ,הגוף נמצא במנוחה וסכום הכוחות שפועלים עליו חייב להיות אפס .לכן קיים כוח נוסף ,כוח האינרציה, אשר פועל בכיוון מהמרכז החוצה ושווה בגודלו לכוח החיכוך )(3.75 )(3.76 fs + Finertia = 0 Finertia = −fs = −mω 2 R הסימן מינוס כאן מראה את הכיוון מהמרכז החוצה .כוח זה נקרא כוח צנטריפוגלי. על כל גוף במערכת מסתובבת פועל כוח צנטריפוגלי mω 2 Rבכיוון מהמרכז החוצה, כאשר Rזה המרחק מהגוף לציר הסיבוב .כוח זה פועל ללא קשר לתנועת הגוף במערכת המסתובבת. נניח שגוף בוחן אחר נע מהמרכז החוצה במהירות קבועה במערכת העומדת .לא פועלים עליו שום כוחות ,לפי המדידות של הצופה העומד ,כי אין לגוף תאוצה במערכת העומדת )התמדית( בה הוא נע לאורך קוו ישר .מבחינת הצופה המסתובב ,הגוף מתרחק מהמרכז אבל המסלול שלו מתעקם .כוח צנטריפוגלי בלבד לא היה יכול לעקם את המסלול ,כי הוא מכוון לאור הרדיוס ,ואילו לכוח המעקם חייב להיות ניצב למהירות )תאוצה משיקית ותאוצה ניצבת -זוכרים ?( .הכוח שמעקם את המסלול נקרא כוח קוריוליס .הוא תמיד ניצב למהירות הגוף במערכת המסתובבת .כדוגמה נוספת ניקח גוף בוחן אשר נח במערכת העומדת במרחק Rמציר הסיבוב . .מבחינת 3.5. מערכות מואצות ומסתבבות 47 הצופה העומד ,אין כוחות .מבחינת הצופה המסתובב ,הגוף נע במעגל במהירות ,v = ωRלכן יש לו תאוצה צנטריפטלית ar = ω 2 Rביכוון מרכז המעגל )כיוון חיובי לפי בחירתנו( .פועלים עליו כוח צנטריפוגלי −mω 2 Rבכיוון מהמרכז וכוח קוריוליס .Fcהחוק השני של ניוטון אומר )(3.77 )(3.78 − mω 2 R + Fc = mar = mω 2 R Fc = 2mω 2 R = 2mωv כוח קוריוליס משחק תפקיד חשוב בהיווצרות המערבולות באטמוספירה של כדור הארץ .הוא גם אחראי לסיבוב של מישור התנודות של מטוטלת פוקו )בניין פיזיקה(. 48 פרק .3 חוקי ניוטון פרק 4 אנרגיה ועבודה 4.1 אנרגיה קינטית ועבודה ננסה ניסוי מחשבתי )קצת מטומטם אבל בכל זאת מקורב להבנה יומיומית( :נניח שפיל ועכבר רצים ביחד .את מי מהם יותר קשה לעצור ? ברור שכדי לעצור ,צריך להפעיל כוח נגד התנועה .כאשר שואלים על ״יותר קשה״ הכוונה היא ״על מי צריך להפעיל כוח יותר גדול״ ,או ,אם אותו כוח מופעל על כל אחד מהם ,״על מי צריך להפעיל כוח במשך זמן רב יותר״ ? הניסיון היומיומי שלנו אומר שאת הפיל יהיה יותר קשה לעצור .ואם שני פילים ,אחד רץ ושני הולך באטיות ? גם כאן ברור שיותר קשה לעצור את זה שרץ .ניסוי מחשבתי זה מרמז שיש טעם לייחס לגוף נע ערך שקשור למסה שלו ומהירותו ,והוא ערך ווקטורי )כיוון הכוח היה חשוב( .הווקטור הטבעי שמורכב ממסה ווקטור המהירות הוא p⃗ = m⃗vונקרא תנע .בדיון מעלה אין כלום שמוכיח באמת שהערך החדש מועיל ובעל משמעות מעבר למה שאנחנו כבר יודעים. הסיבה להגדרה זו הרבה יותר עמוקה ומעבר לנושאים של הקורס .בכל זאת ,גם הרמז טוב. בדומה לניסוי המחשתי הנ״ל ,נשאל מי בין השניים )פיל ועכבר שרצים ביחד( לגרום להרס יותר גדול אם ננסה לעצור אותם באמצעות קיר זכוכית .התשובה די ברורה. אם נמשיך את קוו הדיון הזה ,נגיע למסקנה שגודל ההרס תלוי במסה ובמהירות, אבל לא תלוי בכיוון המהירות .לכן ישנו ערך סקלרי ,אשר בנוי ממסה ומהירות .את 2 הערך הזה ,אשר נקרא אנרגיה קינטית ,בונים בצורה הבאה ,K = mv2 :כאשר אנחנו מקצרים בכתיבה ומסמנים | .v = |⃗v המשמעות והתועלת האמתית של המושגים החדשים תתברר יותר מאוחר ,כאשר נגיע לחוקי שימור ומערכות מורכבות מגופים רבים )יותר מגוף אחד( .בפרק זה אנחנו נתמקד באנרגיה קינטית וכל הקשור לה .לפני זה כמה מילים על ״אז מה זה אנרגיה קינטית )תנע ,וכו׳(״ ,מעבר לנוסחה שכתבת ?״ .שאלה זו נשאלת הרבה פעמים. די ברור הרצון ״לראות״ או ״להרגיש״ כל מושג כפי שאנחנו ״רואים״ או ״מרגישים״ לפחות חלק מהם )מיקום ,כיוון ,מהירות( .אבל לא תמיד זה כל כך ישר כמו במקרה של ,נגיד ,מסה .יש להבין שלכל המושגים האלה יש משמעות כלשהי רק בגלל שישנה פעולת גומלין עם גופים אחרים .אילו היקום היה מורכב מגוף אחד בודד ,שלא משפיע עליו שום גוף אחר והוא לא משפיע על שום גוף אחר ,לא היה שום משמעות לכל המושגים ,כולל אלה שאנחנו ,כביכול ,״רואים״ .גם מהירות צריך למדוד מישהו, ותהליך המדידה כולל בתוכו השפעה מסוימת על הגוף הנמדד .מסה ,שלכאורה אנחנו מבינים כאילו זה כמות החומר )הבנה שגויה לגמרי( ,למעשה נמדדת לפי החוק השני של ניוטון :אנחנו מפעילים כוח תקני ולפי תאוצת הגוף מסיקים מה המסה שלו .האשליה שאנחנו מבינים מסה או מהירות בדרכים אחרות היא בגלל שהתרגלנו 49 פרק .4 50 אנרגיה ועבודה למושגים אלה והם נכנסו לחיי היומיום שלנו ,אמנם לא בצורה מדעית .המצב לא היה כזה לפני כמה מאות שנים .המושגים של פיזיקה נכנסים חלקם לחיי יומיום דרך טכנולוגיות חדשות .לעתים קרובות מושגים אלה נתפסים כאילו מובנים אבל למעשה מעוותים ומופשטים ומשמעותם לא מדעית שונה מזו שיש להם במדע )למשל ,חשמל לא מקבלים משקע( .מושגים פיזיקליים רבים לא מצאו את דרכם לשפת היומיום ,או בגלל שחלקם בטכנולוגיה מוסתר או בגלל שהומצאו שמות אחרים .מושגים כאלה לא ניתן ״לראות״ אלה להבין כפי שצריך להבין את כל מושגי פיזיקה :מה הביטוי למושגים אלה בפעולת גומלין בין הגופים .כך נעשה. ברוח הדברים ,אנחנו מתעניינים כאן בשינוי אנרגיה קינטית .מכיוון שמסת גוף נקודתי איננה משתנה ,אנרגיה קינטית יכולה להשתנות רק בגלל שינוי גודל המהירות. מהירות משתנה בגלל הכוח אשר מופעל ע״י גופים אחרים )כל הדיון מכאן ואילך מתקיים במערכת התמדית( .כאשר מהירות משתנה ,גם גודל וגם כיוון יכולים להשתנות. אנרגיה קינטית משתנה רק כאשר גודל המהירות משתנה ,שינוי הכיוון לא משפיע .לכן לא רק ידע של כוח בלבד חשוב כדי לדעת את השינוי ,אלא גם כיוונו ביחס למהירות. כדי לתאר את זה כמותית ,ננתח את קצב השינוי של אנרגיה קוניטית: )(4.1 )(4.2 m 2 m v = ⃗v · ⃗v 2 2 dK d⃗v · = m⃗v = m⃗a · ⃗v = F⃗ · ⃗v dt dt =K המכפלה הסקלרית של כוח ומהירות נקראת הספק הכוח .קצב השינוי של אנרגיה קינטית שווה להספק הכוח השקול המופעל על הגוף .בין היתר ,הביטוי שקיבלנו מראה שרק רכיב הכוח שמקביל למהירות תורם לשינוי האנרגיה הקינטית .כדי למצוא את השינוי כולו מרגע t1עד לרגע ,t2יש לסכום את כל השיניים במשך זמן זה: ∫ t2 = ∆K )(4.3 F⃗ (t′ ) · ⃗v (t′ )dt′ t1 בנוסחה זו הדגשנו שאנחנו צריכים לדעת את התלות של הכוח ושל המהירות בזמן, כדי לחשב את האינטגרל .האינטגרל עצמו, ∫ t2 = W12 F⃗ (t′ ) · ⃗v (t′ )dt′ )(4.4 t1 נקרא עבודה של הכוח Fאשר נעשתה במשך זמן התנועה ,מרגע t1עד לרגע .t2 יכול להיות שבמקום שתהיה ידועה לנו תלות בזמן של הכוח ⃗ ,Fנדע מה היה הכוח בכול נקודות המסלול ,זאת אומרת ,הכוח יהיה פונקציה של וקטור המקום, ) .F⃗ = F⃗ (⃗rנשים לב שהעתק אינפיניטזימאלי )קטן( הוא ,d⃗r = ⃗v dtלכן האינטגרל לעבודה יהפוך לאינטגרל מסוג אחר: ∫ 2 F⃗ · d⃗r = W12 )(4.5 1 יש להדגיש שעבודה נעשית במשך תנועה בין הרגעים t1ו t2 -או בין הנקודות 1ו2- במסלול .אין עבודה בלי מסלול ,לכן הדגשנו את זה בסימון .W12משמעות הביטוי )??( שצריך לחלק את המסלול לקטעים קטנים ,בכל קטע לחשב מכפלה סקלרית של הכוח השקול בהעתק הקטן .מכפלה זו תיתן לנו את העבודה הקטנה שנעשית בקטע הקטן הזה .בסופו של דבר יש לסכום את כל העבודות שנעשות בכל הקטעים של המסלול. 4.1. 51 אנרגיה קינטית ועבודה איור :1.4עבודה בקטע קטן. הערה :1אם ידוע הכוח כפונקציה של המיקום F⃗ = F⃗ (⃗r) ,בכל נקודות המסלול, ואין תלות הכוח במהירות ,עבודה לאורך המסלול לא תהיה תלויה בזמן הנדרש כדי לעבור במסלול זה .חשוב אמנם שהגוף נע מנקודה 1לנקודה .2אם נהפוך את כיוון התנועה ,מ 2-ל ,1-נקבל עבודה W21ולא .W12במקרה ,כאשר הכוח תלוי רק במיקום ולא תלוי בכיוון המהירות.W21 = −W12 , הערה :2עבודה כוללת נעשית ע״י כוח שקול .עבודה של הכוח השקול שווה לשינוי אנרגיה קינטית שהוא אנרגיה קינטית בסוף פחות אנרגיה קינטית בהתחלה: )(4.6 )(4.7 )(4.8 t2 > t 1 K(t2 ) − K(t1 ) = W12 , ∫ t2 = W12 F⃗ · ⃗v dt t1 ∫ 2 = F⃗ · d⃗r 1 יחד עם זאת ,כל כוח עושה עבודה באופן בלתי תלוי ,ועבודת הכוח השקול שווה לסכום העבודות שכל כוח עושה בנפרד: F⃗ = F⃗1 + F⃗2 + . . . )(4.9 ∫ 2 )(4.10 = W12,tot F⃗ · d⃗r 1 ∫ 2 ∫ 2 ⃗ = F1 · d⃗r + F⃗2 · d⃗r + . . . )(4.11 1 )(4.12 1 W12,tot = W12,F1 + W12,F2 + W12,... תכונה זו מאפשרת לנו לדון בנפרד בעבודות שעושים כוחות שונים. דוגמה 4.1.1 )(4.13 עבודה של כוח קבוע .F⃗ = const ,במקרה זה ) (∫ 2 ∫ 2 = · ⃗F⃗ · d⃗r = F ) d⃗r = F⃗ · (⃗r2 − ⃗r1 1 1 W12 פרק .4 52 אנרגיה ועבודה עבודה זו איננה תלויה במסלול אלא רק בנקודת ההתחלה ⃗r1ונקודת הסוף .⃗r2ממש לא משנה איך הגוף הגיע מ ⃗r1 -ל .⃗r2 -אם הגוף חוזר לנקודת התחלה העבודה היא אפס .כוח הכבידה הוא כוח כזה ועבודתו )(4.14 ) Wg = m⃗g · (⃗r2 − ⃗r1 איור :2.4עבודת כח הכבידה. אם נבחר מערכת הקואורדינטות כך שציר xיהיה אופקי וציר yיהיה אנכי עם כיוון חיובי כלפי מעלה ,⃗g = (0, −g) ,נקבל )(4.15 ) Wg = −mg(y2 − y1 דוגמה 4.1.2עבודה של כוח חיכוך קינטי על מישור אופקי אחיד .כוח חיכוך קינטי תלוי במהירות כי כיוונו נגד המהירות. איור :3.4עבודת כוח חיכוך קינטי לאורך המסלול במישור אופקי. 4.1. 53 אנרגיה קינטית ועבודה על מישור אופקי אחיד גודלו ⃗ | = µk mg .|f⃗k | = µk |Nביחד עם הכיוון וקטור הכוח יירשם בצורה הבאה )(4.16 ̂f⃗k = −µk mgv בגלל התלות במהירות הביטוי המתאים לחישוב העבודה הוא ):(4 . 4 t2 )(4.17 )(4.18 ∫ (−µk mgv̂) · ⃗v dt′ t1 ∫ t2 = −µk mg |⃗v |dt′ = −µk mgs12 = W12 t1 כאשר s12היא הדרך שעבר הגוף במשך התנועה .הדרך תמיד חיובית והעבודה של חיכוך קינטי תמיד שלילית .אפשר היה לומר את זה מראש כי כיוון כוח החיכוך הפוך לכיוון המהירות בנקודת המגע ,לכן המכפלה הסקלרית F⃗k ·⃗v < 0בכל נקודות המסלול ובכל רגעי התנועה .במקרה זה העבודה תלויה במסלול ואיננה אפס כאשר הגוף חוזר לנקודת ההתחלה. דוגמה 4.1.3עבודה של כוח תגובה ניצב )נורמל( של משטח נח .אם המשטח נח, מהירות של הגוף בנקודת במגע עם המשטח משיקית למשטח וניצבת לכוח התגובה, לכן ⃗ · ⃗v Nוכוח זה אינו עושה עבודה .אם המשטח עצמו נע ,זה כבר לא נכון :שולחן עולה עושה עבודה על הגוף ששוכב עליו. דוגמה 4.1.4 עבודה של כוח גרר. פרק .4 54 אנרגיה ועבודה איור :4.4כוח גרר. במקרה הזה )(4.19 )(4.20 )(4.21 F⃗ = −b⃗v ∫ t2 = W (−b⃗v ) · ⃗v dt′ t ∫1 t2 = −b v(t′ )dt′ t1 וכדי לחשב את העבודה צריך לדעת את גודל המהירות כפונקציה של זמן. 4.1.1 עבודה כאינטגרל לאורך המסלול הביטוי 2 )(4.22 ∫ 2 ∫ = F⃗ · d⃗r )(Fx (x, y, z)dx + Fy (x, y, z)dy + Fz (x, y, z)dz 1 = W 1 מציג עבודה כאינטגרל לאורך המסלול .אינטגרל זה שונה מהאינטגרלים הקודמים שנפגשנו אתם .כדי להבין איך מתמודדים עם האינטגרל הזה ,נטפל בדוגמה .נניח 4.1. 55 אנרגיה קינטית ועבודה שהכוח ניתן ע״י )(4.23 Fz = 0 Fy = Cx2 + Dxy, Fx = Ax2 + By 2 , כאשר A, B, C, Dהם קבועים .משמעות הביטויים האלה היא שבכל נקודה )(x, y, z אנחנו יודעים את הכוח באופן מיידי .כנקודה התחלתית ניקח את ראשית הקואורדינטות, ) ⃗r1 = (0, 0, 0והנקודה הסופית תהיה ) .⃗r2 = (a, a, 0נחשב את העבודה של הכוח הזה בשלושה מסלולים שונים אשר מתחילים בנקודה 1ומסתיימים בנקודה .2 איור :5.4עבודה במסלולים שונים. מסלול ) Aשחור( :הגוף נע לאורך ציר xמ (0, 0) -ל) (a, 0) -קטע (1ולאחר מכן במקביל לציור yלנקודה הסופית )) (a, aקטע .(2 העבודה תהיה סכום העבודות בשני בקטעים: ∫ ∫ )WA = (Fx dx + Fy dy) + (Fx dx + Fy dy )(4.24 1 2 הרכיב השלישי של הכוח Fz = 0 ,ולכן לא רושמים אותו כלל .בקטע 1רק xמשתנה מ 0-עד aואילו ,y = 0 = constלכן ∫ ∫ a ∫ a )(4.25 = )(Fx dx + Fy dy = Fx (x, y = 0)dx Ax2 dx = Aa3 /3 0 0 בקטע 2רק yמשתנה מ 0-עד aואילו ,x = a = constלכן ∫ a a Fy (x = a, y)dy )(Ca2 + Day)dy = Ca3 + Da3 /2 (4.26 0 1 ∫ ∫ = )(Fx dx + Fy dy 0 2 56 אנרגיה ועבודה פרק .4 העבודה במסלול Aתהיה WA = Aa3 /3 + Ca3 + Da3 /2 )(4.27 מסלול ) Bכחול( :הגוף נע לאורך ציר yמ (0, 0) -עד )) (0, aקטע (1ולאחר מכן במקביל לציר xעד ) .(a, aשוב העבודה היא סכום של עבודות בשני הקטעים .בקטע 1רק yמשתנה מ 0 -עד aואילו ,x = 0 = constלכן a )(4.28 ∫ 0dy = 0 a ∫ = Fy (x = 0, y)dy 0 ∫ = )(Fx dx + Fy dy 0 1 בקטע 2רק xמשתנה מ 0 -עד aואילו ,y = a = constלכן ∫ a (Ax2 + Ba2 )dx = Aa3 /3 + Ba3 a ∫ = Fx (x, y = a)dx 0 ∫ = )(Fx dx + Fy dy 2 0 )(4.29 העבודה במסלול Bשווה ל- WB = Aa3 /3 + Ba3 )(4.30 מסלול ) Cאדום( :הגוף נע לאורך קוו ישר y = xמ (0, 0) -ל .(a, a) -הפעם יש רק קטע אחד שבו ,y = x, dy = dxלכן a )(4.31 ∫ = WC (Fx (x, y = x) + Fy (x, y = x))dx 0 ∫ a = (A + B + C + D)x2 dx = (A + B + C + D)a3 /3 0 בשלושת המסלולים העבודות שונות .כוח זה הוא כוח לא משמר .הכוח ,שעבודתו איננה תלויה במסלול אלא רק בנקודה התחלתית ובנקודה סופית )כמו במקרה של כוח הכבידה( נקרא כוח משמר .כוח החיכוך הוא כוח לא משמר. שאלת הבנה 4.1.1 דוגמה 4.1.5 האם הכוח ) F⃗ = (Fx (x), 0, 0הוא כוח משמר או לא ? עבודה של כוח הקפיץ )כוח אלסטי(. 4.1. 57 אנרגיה קינטית ועבודה איור :6.4עבודת כוח הקפיץ. על הגוף שנע לאורך קוו ישר xפועל כוח אשר תלוי בקואורדינטה בצורה הבאה: Fx = −kxכאשר kהוא קבוע .עבודה של הכוח הזה היא )(4.32 kx21 kx22 − 2 2 x2 ∫ = W = (−kx)dx x1 תרגיל 4.1.1מעבירים גוף בעל מסה mעל משטח עקום )ראו שרטוט( באטיות רבה )להזניח את המהירות( מנקודה ) (0, 0לנקודה ) .(L, Hמקדם החיכוך הקינטי עם המשטח הוא .µkלחשב את העבודה של כוח החיכוך וכוח הכבידה .מה התפקיד של תנאי האטיות ? איור :7.4עבודה של חיכוך במסלול עקום. פרק .4 58 אנרגיה ועבודה נחשב תחילה את העבודות כאשר המסלול הוא מישור משופע עם בסיס Lוגובה ) Hהזווית של השיפוע היא ,tan θ = H/Lבהתאם(. איור :8.4עבודת כח החיכוך בעלייה במישור משופע. עבודת כוח הכבידה לא תלויה במסלול ושווה .Wg = −mgHהחיכוך הנו חיכוך קינטי ,גודל הכוח הוא ,|fk | = µNכאשר Nהוא גודל כוח התגובה הניצב )״נורמל״(. כיוון כוח החיכוך הוא נגד כיוון התנועה ,לכן ∫ )(4.33 µN ds Wk = − כאשר dsהיא דרך בקטע קטן .במדרון N = mg cos θלכן )(4.34 Wk = −µmg cos θS כאן Sהוא אורך השיפוע אשר קשור לאורך הבסיס בצורה הבאה .S cos θ = L :בסופו של דבר נקבל )(4.35 Wk = −µmgL עכשיו נחזור לשאלה המקורית ונחלק את העליה העקומה לקטעים קטנים ,כל אחד בערך משולש עם בסיס ,∆Lוגובה .∆H 4.2. אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה 59 איור :9.4חלוקת מסלול עקום לקטעים קטנים. עבוד vשל כוח החיכוך בקטע זה תהיה )(4.36 ∆Wk = −µN ∆s אבל כוח התגובה הניצב כבר איננו mg cos θ = mg∆L/∆sאלא חייב לקיים את החוק השני של ניוטון )רכיב ניצב למשיק(: mv 2 )(4.37 R בביטוי זה anהיא תאוצה ניצבת ,אשר מכוונת למרכז המעגל המותאם )אל תוך המשטח אם הוא קמור בנקודה זו או כלפי חוץ אם הוא קעור ,לכן מופיע ±במשוואה( ,ו Rהוא רדיוס המעגל המותאם )רדיוס העקמומיות( .מכיוון שנאמר שהמהירות זניחה, אפשר להזניח את התאוצה הניצבת .אז נקבל mg cos θ − N = man = ± )(4.38 )(4.39 )(4.40 4.2 4.2.1 N = mg cos θ = mg∆L/∆s ∆Wk = −µN ∆s = −µmg∆L ∑ ∑ = Wk ∆Wk = −µmg ∆L = −µmgL אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה מושג אנרגיה פוטנציאלית נתמקד עכשיו בכוחות משמרים .נניח שעל גוף כלשהו פועל רק כוח משמר אחד. לפשטות ,נדבר על כוח הכבידה ונסתפק בתנועה אנכית ,כאשר ציר yאנכי וכיוונו חיובי פרק .4 60 אנרגיה ועבודה כלפי מעלה .אם משחררים את הגוף מגובה y1ונותנים לו ליפול חופשית ,בהשפעת כוח הכבידה בלבד ,כאשר הוא מגיע לנקודה ,y2אנרגיה קינטית שהוא מקבל תהיה שווה לעבודה של כוח הכבידה ∫ 2 = W ) F⃗g · d⃗r = −mg(y2 − y1 ) = mg(y1 − y2 )(4.41 1 נניח עכשיו שאנחנו מרימים את הגוף מ y2 -ל y1 -באטיות ,כך שאפשר להזניח את המהירות שלו .במהלך תנועה זו פועלים על הגוף שני כוחות :כוח הכבידה F⃗g = m⃗g וכוח שלנו ,שהוא כוח חיצוני .F⃗extהעבודה של הכוח השקול F⃗ = F⃗g + F⃗extהיא 1 )(4.42 ∫ F⃗ext · d⃗r = K2 − K1 = 0 ∫ 1 F⃗g · d⃗r + 2 = W 2 כי המהירות זניחה .לכן העבודה שאנחנו עשינו כדי להרים את הגוף ∫ 1 ∫ 1 = Wext F⃗ext · d⃗r = − F⃗g · d⃗r )(4.43 2 2 ∫ 2 = ) F⃗g · d⃗r = mg(y1 − y2 )(4.44 1 וזאת בדיוק האנרגיה הקינטית שהגוף יקבל אם נשחרר אותו והוא יחזור לנקודה .y2כל פעם שהגוף ישתחרר מהנקודה y1ויגיע לנקודה y2הוא יקבל אותה אנרגיה קינטית .אפשר לפרש את זה בצורה הבאה :קיים מאגר האנרגיה שמשתחררת כאשר גוף יורד מגובה אחד לאחר .כמות האנרגיה שמשתחררת כאשר הגוף יורד מהנקודה y1לנקודה y2שווה בדיוק לעבודה שאנחנו עשינו כאשר העברנו את הגוף מ y2 -ל- ,y1נגד כוח הכבידה .לאנרגיה הזאת קוראים אנרגיה פוטנציאלית .לפי הדיון שלנו, אנרגיה פוטנציאלית תלויה במיקום .מכאן ברור ,למה רק לכוח משמר יש אנרגיה פוטנציאלית :אילו עבודת הכוח הייתה תלויה במסלול לא היינו יכולים לייחס אנרגיה למיקום אלא היינו צריכים לייחס ״אנרגיות״ שונות לכל מסלול .דבר זה אינו הגיוני. נסמן אנרגיה פוטנציאלית באמצעות )) .U (⃗rכאן הדגשנו שהיא תלויה במיקום( ואת הכוח ששייך לאנרגיה זאת באמצעות ) .F⃗ (⃗rכפי שהראנה: ∫ 2 = ) U2 − U1 = U (⃗r2 ) − U (⃗r1 )(4.45 F⃗ext · d⃗r 1 ∫ 2 =− F⃗ · d⃗r )(4.46 1 להזכירכם: אנחנו ״מכניסים״ אנרגיה פוטנציאלית כאשר מעבירים את הגוף מ 1-ל 2-ע״י הפעלת כוח חיצוני ⃗ F⃗ext = −Fבמהירות אפסית. מצד שני ,העבודה שווה לשינוי אנרגיה קינטית: ∫ 2 )(4.47 = W12 F⃗ · d⃗r = K2 − K1 1 ביחד שני הביטויים נותנים לנו את חוק שימור האנרגיה בצורה הבאה: )(4.48 E1 = K1 + U1 = K2 + U2 = E2 4.2. 61 אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה לסכום )(4.49 E =K +U קוראים אנרגיה מכנית. חשוב להדגיש: • יש משמעות רק להפרש אנרגיות פוטנציאליות בין שתי נקודות ,לכן ניתן לבחור ערך של אנרגיה פוטנציאלית בנקודה כלשהי )נקודת ייחוס( באופן שרירותי .לערך זה אין השפעה על תנועה. • אנרגיה פוטנציאלית היא אנרגיית פעולת גומלין ושייכת לכל הגופים אשר נמצאים בפעולת גומלין זו .לדוגמה :אנרגיה פוטנציאלית של כוח הכבידה היא אנרגיית פעולת גומלין בין גוף לכדור הארץ ושייכת לגוף ולכדור הארץ גם יחד )אנרגיה פוטנציאלית אחת לשני הגופים ,לא פעמיים( .מכיוון שמסת כדור הארץ גדולה מאוד ואפשר להזניח את תנועתו ,מקובל לייחס את האנרגיה הפוטנציאלית של הכבידה לגוף ו״לשכוח״ מכדור הארץ. 4.2.2 אנרגיה פוטנציאלית של כוחות מסוימים אנרגיה פוטנציאלית של כוח הכבידה )לא ״אנרגיית גובה״ !( :מהביטויים שקיבלנו קודם ∫ 2 Ug (2) − Ug (1) = − (m⃗g ) · d⃗r )(4.50 1 )(4.51 ) = −m⃗g (⃗r2 − ⃗r1 אם נבחר קואורדינטות כך ש y -היא קואורדינטה אנכית עם כיוון חיובי כלפי מעלה, נקבל )(4.52 ) Ug (2) − Ug (1) = mg(y2 − y1 ננצל את זכותנו לבחור את נקודת הייחוס לאנרגיה פוטנציאלית ונקבע שכאשר y = y0 ארנגיה .Ug = U0כאן U0הוא קבוע כלשהו )שרירותי( .אז אנרגיה פוטנציאלית של כוח הכבידה כפונקציה של קואורדינטה yתהיה )(4.53 ) Ug (y) = U0 + mg(y − y0 את y0ו U0 -ניתן לבחור מטעמי נוחות. אנרגיה פוטנציאלית של כוח אלסטי )כוח הקפיץ( :לפי הפיתוח הקודם, ∫ x2 kx2 kx2 Uk (2) − Uk (1) = − )(4.54 (−kx)dx = 2 − 1 2 2 x1 גם כאן ניתן לבחור נקודת יחוס באופן שריריותי .ישנה בחירה טבעית :כאשר הקפיץ אינו מתוח ,x = 0 ,הוא אינו יכול לעשות עבודה אם ישוחרר ,לכן טבעי לבחור = )Uk (0 0ולקבל kx2 )(4.55 2 אם נשים לב לכך שכאן | |xמהווה שינוי אורך הקפיץ לעומת אורכו במצב הרפוי ,נקבל ביטוי לאנרגיה פוטנציאלית של קפיץ בצורה הבאה: = )Uk (x (∆l)2 , ∆l = l − l0 )(4.56 2 כאשר l0הוא אורך הקפיץ הרפוי ו l -הוא אורכו בפועל. = Uk 62 4.2.3 פרק .4 אנרגיה ועבודה חוק שימור האנרגיה ומשפט אנרגיה-עבודה כפי שמצאנו קודם ,עבודה של כוח שקול שווה לשינוי אנרגיה קינטית: )(4.57 K2 − K1 = W12 , mv 2 =K ∫2 )(4.59 F⃗ · d⃗r )(4.58 2 = W12 1 זה הביטוי הכללי ביותר למשפט אנרגיה-עבודה .חשוב להדגיש שבמשפט זה עבודה תמיד שווה לאנרגיה קינטית בסוף ) (2פחות אנרגיה קינטית בהתחלה ).(1 אם הכוח השקול הוא כוח משמר ,אפשר לרשום את עבודתו כהפרש אנרגיות פוטנציאלית: ∫ 2 = W12 ])F⃗ · d⃗r = −[U (2) − U (1 )(4.60 1 הצבה למשפטר אנרגיה-עבודה מביאה אותנו לחוק שימור האנרגיה בצורה הבאה: )(4.61 E1 = K1 + U1 = K2 + U2 = E2 כאשר הכוח השקול מורכב מכמה כוחות ,חלקם משמרים וחלקם לא משמרים, אפשר לפצל: F⃗ = F⃗U + F⃗no ∫ 2 = W12 F⃗ · d⃗r 1 ∫ 2 ∫ = = W12 F⃗U · d⃗r + )(4.62 )(4.63 2 )(4.64 F⃗no · d⃗r 1 1 )(4.65 = −[U (2) − U (1)] + W12,no כאשר האנרגיה הפוטנציאלית היא של הכוח המשמר F⃗Uושאר העבודה W12,noהיא עבודה של כל הכוחות האחרים להוציא את הכוח .F⃗Uנחבר את האנרגיה הקינטית Kואת האנרגיה הפוטנציאלית של הכוח המשמר F⃗Uונקבל: )(4.66 E =K +U E2 − E1 = W12,no , הפיצול של עבודה יכול להעשות בדרכים שונות. דוגמה 4.2.1נניח שעל הגוף פועל כוח הכבידה , F⃗gכוח הקפיץ F⃗kוכוח חיכוך קינטי .F⃗tot = F⃗g + F⃗k + F⃗µ : f⃗µכל הצורות הבאות של משפט אנרגיה-עבודה נכונות: ∫ 2 F⃗tot · d⃗r = K2 − K1 = W12 )(4.67 1 כאן השינוי של אנרגיה קינטית שווה לעבודת הכוח השקול. 2 )(4.68 ∫ = ] [K2 + U2,g ] − [K1 + U1,g [F⃗k + F⃗µ ] · d⃗r 1 4.2. אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה 63 כאן רק עבודת כוח הכבידה מבוטאת באמצעות אנרגיה פוטנציאלית שלו ,שינוי סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית של הכבידה שווה לעבודה של שני הכוחות הנוספים ,קפיץ וחיכוך. ∫ 2 )(4.69 = ] [K2 + U2,k ] − [K1 + U1,k [F⃗g + F⃗µ ] · d⃗r 1 כאן רק עבודת כוח הקפיץ מבוטאת באמצעות אנרגיה פוטנציאלית שלו ,שינוי סכום הארנגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ שווה לעבודה של שני הכוחות הנוספים ,כבידה וחיכוך. 2 )(4.70 ∫ = ] [K2 + U2,g + U2,k ] − [K1 + U1,g + U1,k F⃗µ · d⃗r 1 כאן כל הכוחות המשמרים מיוצגים באמצעות אנרגיה פוטנציאלית שלהם ,שינוי האנרגיה המכנית )סכום של אנרגיה קינטית וכל האנרגיות הפוטנציאוליות( שווה לעבודה של הכוח הלא משמר הנותר. שימו לב :בלתי אפשרי לבטא את העבודה של כח לא משמר באמצעות אנרגיה פוטנציאלית ,עבודה של כוח זה איננה אנרגיה ואי אפשר לחבר אותה לאנרגיה בכל צורה שהיא. תרגיל 4.2.1לולאת המוות :גוף קטן מחליק ללא חיכוך מגובה כלשהו כדי לעבור ללא התנתקות במסלול מעגלי שרדיוסו Rמלמטה )לאורך המשטח הפנימי של המסלול(. מאיזה גובה התחלתי מינימלי מעל לנקודה התחתונה של המעגל הוא צריך להתחיל לנוע ? איור :10.4לולאת המוות. למה נדרש גובה מינימלי ? כי נדרשת מהירות מינימלית בנקודה העליונה: )(4.71 )(4.72 mv 2 = N + mg R N ≥ 0 → v 2 ≥ gR פרק .4 64 אנרגיה ועבודה כדי לקשור את המהירות בנקודה העלינה של המעגל לגובה התחלתי ניעזר בחוק שימור האנרגיה )הכוח היחיד שמבצע עבודה הוא כח הכבידה ,והוא משמר( .נבחר את נקודת הייחוס לאנרגיה פוטנציאלית בנקודה העליונה של המעגל ,אז בנקודה זו 2 לגוף תהיה רק אנרגיה קינטית ו .E = mv2 -בנקודת ההתחלה לגוף יש רק אנרגיה פוטנציאלית ולכן ) .E = mg(H − 2Rחוק שימור האנרגיה קובע שלגוף אותה אנרגיה בכל נקודות המסלול ,לכן )(4.73 )(4.74 )(4.75 mv 2 )= mg(H − 2R 2 v 2 = 2g(H − 2R) ≥ gR 5 H≥ R 2 תרגיל 4.2.2גוף קטן בעל מסה mנופל אנכית ממצב מנוחה מגובה hעל קפיץ אנכי רפוי בעל קבוע קפיץ .kהקפיץ מספיק ארוך .מהי ההתכווצות המירבית של הקפיץ ומהי המהירות המירבית של הגוף ? אין חיכוך ואין איבוד האנרגיה כאשר הגוף פוגע בקפיץ. איור :11.4נפילה על קפיץ. הקפיץ ,שניהם משמרים ולשניהם אנרגיה ישנם שני כוחות :כוח הכבידה וכוח k(∆l)2 mv 2 פוטנציאלית .לכן האנרגיה המכנית E = 2 + mgy + 2 = constנשמרת .כאן בחרנו את הציר yאנכית כלפי מעלה ואת נקודות הייחוס לשתי האנרגיות הפוטנציאליות במיקום הקצה העליון של הקפיץ הרפוי .אנרגיה זו שווה לאנרגיה בהתחלה שהיא ,E = mghכי בהתחלה .v = 0, y = h, ∆l = 0 כאשר הגוף פוגע בקפיץ והקפיץ מתכווץ, )(4.76 )(4.77 )(4.78 y = −∆l, ∆l > 0 2 mv k(∆l)2 − mg∆l + = mgh 2 2 4.2. 65 אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה הקפיץ ממשיך להתכווץ עד אשר הגוף נעצר ,v = 0 ,לכן k(∆l)2max = mgh ( √ 2 ) mg mg mg = + +h k k k )(4.79 − mg(∆l)max + )(4.80 (∆l)max הגוף מגיע למהירות המירבית שלו ברגע כאשר תאוצתו מתאפסת ,ז״א סכום הכוחות מתאפס: )(4.81 )(4.82 )(4.83 )(4.84 4.2.4 mg − k(∆l)c = 0 mg = (∆l)c k 2 mvmax k(∆l)2c = mgh + mg(∆l)c − 2 2 ( ) mg 2 vmax = 2g h + 2k קשר בין אנרגיה פוטנציאלית וכוח מצאנו קשר בין כוח משמר לבין אנרגיה פוטנציאלית שלו באמצעות אינטגרל העבודה: ∫ 2 )(4.85 U (2) − U (1) = − F⃗ · d⃗r 1 אם ניתנת אנרגיה פוטנציאלית ,אפשר למצוא את הכוח .אנחנו נעשה את זה רק במקרה חד-ממדי ,כאשר הביטוי הנ״ל מקבל צורה פשוטה יותר: )(4.86 Fx (x′ )dx′ 2 ∫ U (x2 ) − U (x1 ) = − 1 לצורך זה נרשום את הנוסחה לשתי נקודות סמוכות x1 = x ,ו:x2 = x + dx - )(4.87 )(4.88 )(4.89 U (x + dx) − U (x) = −Fx dx ) ( dU = )U (x + dx) − U (x dx dx dU Fx = − dx שאלת הבנה 4.2.1האיור מראה אנרגיה פוטנציאלית כפונקציה של הקואורדינטה .xמהו כיוון הכוח בנקודות המסומנות ? 4.2.5 תכונות תנועה חד-ממדית באנרגיה פוטנציאלית חוק שימור האנרגיה מאפשר ניתוח איכותני מלא של תנועת החלקיק באנרגיה פוטנציאלית ) .U (xנתבונן בדוגמה שבאיור. 66 פרק .4 אנרגיה ועבודה איור :12.4תנועת חלקיק באנרגיה פטנצניאלית. משמעות העקומה של ) U (xהיא שכאשר חלקיק נמצא בנקודה xאנרגיה פוטנציאלית שלו ידועה מידית ושווה ) .U (xאם אין כוחות אחרים ,אנרגיה מכנית ( )2 mv 2 m dx = K +U = )+ U (x + U (x) = E = const )(4.90 2 2 dt נשמרת ושווה לאותו ערך Eבכל רגע של תנועת החלקיק ובכל נקודה שבה יימצא החלקיק במהלך התנועה .אם האנרגיה המכנית Eידועה ,והחלקיק נמצא בנקודה ,xאז אנחנו מיד יודעים גם את האנרגיה הקינטית שלו בנקודה זו .K = E −Uאנרגיה 2 קינטית K = mv2 ≥ 0ושווה לאפס רק אם המהירות שווה לאפס .אם נעביר קוו y = E באיור עם האנרגיה הפוטנציאלית ,אז בכול נקודה xההפרש בין y = Eלבין )y = U (x ייתן לנו אנרגיה קינטית .המסקנה המיידית :חלקיק לא יכול להימצא בנקודה xשבה ) ,E < U (xכי זה היה אומר שלחלקיק יש אנרגיה קינטית שלילית -דבר בלתי אפשרי. בנקודות שבהן ) E = U (xמהירות החלקיק מתאפסת .אם בנקודה כזאת שיפוע של קוו ) U (xאינו אפס )המשיק אינו מקביל לציר )xאז הכוח על החלקיק לא מתאפס. ,F = − dUכיוון הכוח מנוגד לכיוון עליית האנרגיה אם יש כוח ,יש תאוצה .מכיוון ש dx , dUז״א בנקודות מקסימום ומינימום של אנרגיה פוטנציאלית, הפוטנציאלית .אם = 0 dx הכוח מתאפס ותאוצה שם אפס. ננתח כמה מסלולים אם אנרגיות מכניות שונות. במסלול הירוק הקוו הישר של אנרגיה מכנית בכל הנקודות xנמצא מעל הקוו של אנרגיה פוטנציאלית .זה אומר שמהירות לא מתאפסת באף נקודה ולכן כיוון המהירות לא יכול להשתנות .הגוף נע כל הזמן באותו כיוון עד אינסוף. במסלול הכחול אנרגיה מכנית שווה לאנרגיה פוטנציאלית בנקודה אחת בלבד. Fx = − dUולכן התאוצה איננה אפס .אם בנקודה זו מהירות הגוף מתאפסת ,אבל < 0 dx הגוף התחיל את תנועתו בכיוון הנקודה הזאת ,הוא יגיע עד לנקודה שבה מהירותו אפס ותאוצתו בכיוון הפוך לתנועתו המקורית .לכן הוא חוזר ומתחיל לנוע לכיוון ההפוך לכיוון התחלתי .נקודה זו ,שבה המהירות התאפסה ,נקראת נקודת החזרה. לאחר שהגוף מוחזר כיוון מהירותו כבר לא משתנה והוא ממשיך עד אינסוף. במסלול האדום ישנן שתי נקודות החזרה ,בכל אחת מהן מהירות הגוף מתהפכת. זה אומר ,שהוא מבצע תנועה מחזורית )מתנדנד( בין שתי נקודות החזרה .בכל שלושת המקרים הנ״ל הקטעים המקווקווים של המסלולים מסמנים אזורים אסורים :הגוף 4.2. אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה 67 אינו יכול להימצא באזורים אלה כי אחרת אנרגיה קינטית שלו הייתה חייבת להיות שלילית. אם נשים גוף אם אנרגיה מכנית ,השווה לאנרגיה פוטנציאלית מקסימלית ,בנקודת המקסימום עצמה ,אז גם המהירות וגם התאוצה שלו תהינה שוות לאפס .זאת נקודת שיווי משקל .אם נוסיף קצת אנרגיה לגוף ,הוא יתחיל לנוע .ככל שהוא יתרחק מנקודת שיווי המשקל אנרגיה קינטית שלו תגדל ומהירות שלו תגדל ,לכן הוא יברח מהנקודה הזאת .נקודה זו היא נקודת שיווי משקל לא יציב. אם נשים גוף אם אנרגיה מכנית ,השווה לאנרגיה פוטנציאלית מינימלית ,בנקודת המינימום עצמה ,אז גם המהירות וגם התאוצה שלו תהינה שוות לאפס .גם זאת נקודת שיווי משקל .אם נוסיף קצת אנרגיה לגוף ,הוא יתחיל לנוע .ככל שהוא יתרחק מנקודת שיווי המשקל הזו ,אנרגיה קינטית שלו תקטן ובהתאם גם המהירות ,והגוף יישאר מתנדנד בין שתי נקודות החזרה לא רחוק משיווי המשקל .זו נקודת שיווי משקל יציב. 68 פרק .4 אנרגיה ועבודה פרק 5 מערכות רב-חקליקיות )רב-גופיות( עד כה כל העיסוק שלנו היה בתנועה של חלקיק )גוף נקודתי( בודד .בפועל ,הגופים שמסביב אינם נקודתיים )יש להם מבנה פנימי( ולעתים קרובות יש צורך להתייחס למספר גופים ביחד .כאשר ישנו מספר קטן של גופים נקודתיים )שניים( או הקשר בין הגופים פשוט )כמו במקרה של מערכות תלייה עם גלגלות( ,עוד אפשר לרשום את החוק השני של ניוטון עם כל האילוצים במערכת ולנסות לפתור את המשוואות. המשימה מתחילה להיות בלתי אפשרית מהר מאוד ולכן יש צורך לפתח שיטות מתאימות למערכות גופים .בהמשך אנחנו נדבר ,לפחות בהתחלה ,אל מערכות גופים נקודתיים )חלקיקים( ,כי כל גוף לא נקודתי אפשר לתאר כאוסף חלקיקים. נחלק את כל היקום לשני חלקים :נשייך מספר גופים למערכת הגופים שבה אנחנו מתעניינים ,ואת שאר הגופים לעולם החיצוני .בדרך זו כל גוף ביקום או שייך למערכת שלנו או הוא גוף חיצוני. איור :1.5מערכת ועולם חיצוני. כדי שיהיה נוח ,נמספר את חלקיקי המערכת :חלקיק iיהיה מתואר ע״י מסה שלו ,miוקטור המקום שלו ⃗riומהירות שלו .⃗viבהתאם ,כל ערך פיזיקלי ששייך לגוף זה, יסומן באותו אינדקס .iלפני שנתחיל לטפל במערכת ,נצטרך להכיר מושג נוסף :תנע. 69 70 5.1 מערכות רב-חקליקיות )רב-גופיות( פרק .5 תנע וחוק שני של ניוטון ניזכר בניסוי המחשבתי עם פיל ועכבר .הגענו אז למסקנה שלכול גוף בלע מסה m ונע במהירות ⃗vאפשר לשייך ערך וקטורי ,p⃗ = m⃗vאשר נקרא תנע .כדי להבין מה המשמעות של הערך הזה ,קודם כל נבדוק את קצב השינוי שלו )נגזרת לפי זמן(: )(5.1 d⃗p d⃗v ⃗= m = m⃗a = F dt dt הביטוי האחרון הוא החוק השני של ניוטון בצורה כללית יותר )למה -נראה יותר מאוחר( .אנחנו רואים שכוח שווה לקצב שינוי התנע .שינוי התנע במשך זמן כלשהו יתקבל מכאן בצורה הבאה: ∫ t2 = ) ∆⃗p = p⃗(t2 ) − p⃗(t1 F⃗ (t′ )dt′ )(5.2 t1 האינטגרל באגף ימין נקרא מתקף .מבנהו הגיוני ביותר :כדי לשנות תנע צריך להפעיל כוח במשך זמן. 5.2 ערכים של מערכת נחזור למערכת חלקיקם ממוספרים .הניוסי קובע שקיימים מושגים של מסת המערכת, תנע המערכת ואנרגית המערכת .מסת המערכת היא סכום המסות של כל החלקיקים במערכת: ∑ )(5.3 =M mi i גם תנע המערכת הוא סכום התנעים של כל החלקיקים במערכת: ∑ ∑ = ⃗P = p⃗i mi⃗vi )(5.4 i i אזהרה :אין כלל דומה ל״מהירות המערכת״. גם אנרגיה קינטית של המערכית היא סכום אנרגיות קינטיות של כל מרכיביה: )(5.5 ∑ mv 2 i 2 i = Ki ∑ =K i לאנרגיה פוטנציאלית של המערכת יש צורה מורכבת יותר .לכל חלקיק iשבמערכת יכולה להיות פעולת גומלין אם העולם החיצוני .פעולת גומלין זו יכולה להתבטא בצורת אנרגיה פוטנציאלית שתסומן כ ,Ui,ext (⃗ri ) -כאשר כאן מודגש שאנרגיה פוטנציאלית זו תלויה במיקום של החלקיק .בנוסף ,לכול זוג חלקיקים i ,ו ,j -יכולה להיות פעולת גומלין בין השניים שמתבטאת באנרגיה פוטנציאלית ) .Uij (⃗ri , ⃗rjכאן מודגש שאנרגיה זו תלויה במיקומם של שני הגופים .חשוב לזכור שהאנרגיה Uijשייכת לזוג הגופים ולא לכל אחד מהם בנפרד .הניסוי קובע שאנרגיה פוטנציאלית של המערכת היא סכום של כל האנרגיות הנ״ל: ∑ ∑1 )(5.6 ) Uij (⃗ri , ⃗rj =U Ui,ext (⃗ri ) + 2 i̸=j i 5.3. 71 מרכז המסה בסכום השני המקדם 1/2דואג לחישוב של האנרגיות רק פעם אחת )לזוג( ולכך שלא תיכנס )בטעות( אנרגית הגוף בגלל הפעולה על עצמו )לא קיים דבר כזה( .בסופו של דבר ,אנרגיה מכנית של המערכת תהיה )(5.7 ∑1 ) Uij (⃗ri , ⃗rj 2 i̸=j Ui,ext (⃗ri ) + ∑ + ∑ mv 2 i 2 i = E =K +U i אם נדייק עוד יותר ,אנרגיה פוטנציאלית של זוגות תלויה רק במרחק בין הגופים ,לכן הביטוי הסופי ייראה כך: )(5.8 5.3 ∑1 )| Uij (|⃗ri − ⃗rj 2 i̸=j Ui,ext (⃗ri ) + ∑ + i ∑ mv 2 i 2 = E =K +U i מרכז המסה במקרים רבים אנחנו מעוניינים בתיאור של המערכת כאילו היא גוף אחד :במטוס עם 200נוסעים כל אחד מהם יכול לנוע כרצונו )במסגרת האילוצים של המרחב הפנימי של המטוס( ואין לנו שום עניין להתייחס לתנועתם כאשר מדובר על מסלול הטיסה. רץ מרתון אינו גוף נקודתי ,ידיו ורגליו נעות בכיוונים שונים ,ובכל זאת זה לא הדבר המעניין אותנו .כדי לתאר מערכת כאילו היא גוף נקודתי )אם בכלל זה אפשרי( ,יש להגדיר את המשימה בצורה טובה יותר .אנחנו נהיה מעוניינים להיות כמה שיותר קרוב לחוק השני של ניוטון ,כפי שהוא נראה לחלקיק נקודתי: )(5.9 d⃗p ⃗= F dt אנחנו מתייחסים לתנע בגלל שידוע מהו תנע המערכת אבל מהירות המערכת לא הוגדרה כראוי .בכל זאת ,לחלקיק נקודתי הקשר בין תנע ,מסה ומהירות הוא כדלקמן: )(5.10 p⃗ = m⃗v אם אנחנו רוצים לתאר את המערכת שלנו כגוף נקודתי )במידת האפשר( ,כדאי שיהיה קשר דומה ,לכן אנחנו מגדירים את מהירות המערכת בצורה הבאה: )(5.11 )(5.12 P⃗ = M V⃗cm ∑ ⃗ mi⃗vi P = V⃗cm = ∑i M i mi מהירות זו נקראת מהירות מרכז המסה .האם מהירות זו היא מהירות של נקודה כלשהי )מרכז המסה( ,ז״א האם ניתן להגדיר נקודה עם וקטור המיקום ⃗ cm Rכך ש- ⃗ ⃗cm ? dRdtcm = Vאכן כן: ∑ )(5.13 )(5.14 mi⃗vi 1 ∑ d⃗ri = mi M M i dt ∑( ) ri d ⃗ i mi = dt M i = V⃗cm 72 לכן ,אם = V⃗cm )(5.15 פרק .5 ⃗ cm dR dt מערכות רב-חקליקיות )רב-גופיות( אז ⃗ mi⃗ri + R0 M i ∑ = ⃗ cm R כאשר ⃗ 0 Rהוא וקטור קבוע שלא קשור לשום פרמטר של המערכת .כאשר המערכת מורכבת מחלקיק אחד בלבד ,הגיוני לזהות את מיקום מרכז המסה כמיקום של החלקיק עצמו ,לכן ⃗ 0 = 0 .R משמעות הדבר ,שהצלחנו לאתר נקודה במרחב שאפשר לשייך לנקודה הזאת את כל המסה ואת כל התנע של המערכת .הקשר בין מהירות הנקודה זאת ,המסה והתנע הוא בדיוק כמו הקשר במקרה של חלקיק נקודתי בודד. נבדוק עכשיו מהו קצב השינוי של תנע המערכת )הרי אנחנו מעוניים בחוק השני של ניוטון !(: )(5.16 ∑ d⃗pi ⃗dP = dt dt i לכל חלקיק )(5.17 d⃗pi = F⃗i dt כאשר הכוח השקול אשר פועל על חלקיק iמורכב מהכוח שמפעיל שאר העולםF⃗i,ext , ∑ והכוחות שמפעילים עליו כל החלקיקים האחרים של המערכת: j̸=i F⃗j→i : )(5.18 ∑ d⃗pi F⃗j→i = F⃗i,ext + dt j̸=i )(5.19 ∑ ∑ ⃗dP F⃗j→i = F⃗i,ext + dt i i,j̸=i הסכום השני מתאפס זהותית בגלל החוק השלישי של ניוטון ,ואנחנו נשארים עם החוק השני של ניוטון למערכת בצורה הבאה: )(5.20 ∑ ⃗dP = F⃗i,ext ≡ F⃗ext dt i זאת תוצאה משמעותית ביותר ,היא מראה שרק כוחות חיצוניים יכולים לשנות את תנע המערכת .אם אין כוחות חיצוניים ,התנע נשאר קבוע ,ואם התנע נשאר קבוע, אז גם מהירות מרכז המסה V⃗cm = P⃗ /Mנשארת קבועה. דוגמה 5.3.1 נחשב את מיקום מרכז המסה של הריבוע שלצלעותיו אין מסה. 5.3. 73 מרכז המסה איור :2.5מרכז המסה של מערכת גופים נקודתיים. בקדקוד ) (0, 0נמצאת מסה נקודתית ,mבקדקוד ) (a, 0נמצאת מסה נקודתית ,2m בקדקוד ) (0, aנמצאה מסה נקודתית 3mובקדקוד ) (a, aנמצאת מסה נקודתית .4m כל החישוב הוא הצבה לביטוי )(5.21 mi ∑ i )(5.22 )(5.23 )(5.24 =M mi⃗ri , M i ∑ = ⃗ cm R M = m + 2m + 3m + 4m = 10m ∑ mi x i m · 0 + 2m · a + 3m · 0 + 4m · a 3a Xcm = i = = 10m 5 ∑ M m y m · 0 + 2m · 0 + 3m · a + 4m · a 7a i i Ycm = i = = M 10m 10 דוגמה 5.3.2מערכת מורכבת משתי תת-מערכות שמסות שלהן M1 ,ו M2 -ידועות. Rו⃗ 2,cm - כמו כן ,מרכזי המסה שלהן ידועים גם כן⃗ 1,cm : .Rיש למצוא את מרכז המסה של כל המערכת. פרק .5 74 מערכות רב-חקליקיות )רב-גופיות( איור :3.5מרכז המסה של מערכת מורכבת. לפי הביטוי שהוכחנו, )(5.25 )(5.26 ∑ ⃗ cm = ∑mi⃗ri R mi ∑ ∑ m ⃗r m ⃗ r + i i 1 ∑2 i i ∑ = 2 mi 1 mi + מכיוון שכל חלקיק שייך או לתת-מערכת 1או לתת-מערכת .2בנוסף ,ידוע )(5.27 mi = M2 ∑ 2 mi = M1 , ∑ ∑ 1 ⇒ ⃗ 1,cm = 1 mi⃗ri R M1 ∑ ⃗ 1,cm mi⃗ri = M1 R )(5.28 )(5.29 1 ⃗ 2,cm mi⃗ri = M2 R )(5.30 ∑ 2 עכשיו הצבה פשוטה נותנת לנו )(5.31 ⃗ ⃗ ⃗ cm = M1 R1,cm + M2 R2,cm R M1 + M2 תרגיל 5.3.1בדיסקה אחידה בעלת רדיוס Rעושים חור מעגלי בעל רדיוס rבמרחק dממרכז הדיסקה .מצאו את מרכז המסה של הגוף הנותר )דיסקה עם חור(. 5.3. 75 מרכז המסה איור :4.5מרכז המסה של דיסקה עם חור. אם נחזירה את החומר שהוצא נקבל דיסקה אחידה שמרכז המסה שלה במרכזה )מטעמי סימטריה( .שוב מטעמי סימטריה ,מרכז המסה של הדיסקה עם חור נמצא בקוטר שמחבר את מרכז הדיסקה עם מרכז החור ,בצד שהחומר נשאר .נבחר ציר xלאורך הקוטר הזה וראשית הקואורדינטות במרכז הדיסקה .נסמן את מיקום מרכז המסה ב .Xcmנסמן ב M0את מסת הדיסקה לפני שהחומר הוצא ממנה .בגלל אחידות הדיסקה ,מסת החומר שהוצא פרופורציונית לשטח שלו, πr2 πR2 )(5.32 mhole = M0 לפיכך ,מסת הגוף הנוצר היא )(5.33 R2 − r 2 R2 Mrest = M0 − Mhole = M0 אם נחזיר את החומר שהוצא ,נקבל דיסקה אחידה שמורכבת משתי תת-מערכות: דיסקה קטנה עם המסה Mholeומרכז המסה ,Xhole = −dוהגוף המחורר עם המסה Mrestומרכז המסה ב .Xcmמרכז המסה של הדיסקה כולה נמצא בראשית הקואורדינטות. לפי הדוגמה הקודמת ,נקבל )(5.34 )(5.35 Mhole · (−d) + Mrest · Xcm M0 Mhole r2 Xcm = d =d 2 Mrest R − r2 =0 תרגיל 5.3.2בן אדם ,שמסתו ,mנמצא בקצה אחד של סירה בעלת מסה Mואורך .Lקצה זה הוא הרחוק מהגדה .האיש מחליט לעבור לקצה השני ולהתקרב לגדה. באיזה מרחק הוא יהיה קרוב יותר לגדה כאשר יגיע לקצה השני ? אין חיכוך בין הסירה למים. 76 פרק .5 מערכות רב-חקליקיות )רב-גופיות( איור :5.5בן אדם על סירה. האיש והסירה הם מערכת שלא פועלים אליה כוחות חיצוניים בכיוון אופקי .לכן רכיב אופקי של תנע המערכת נשאר קבוע במשך כל התנועה .תנע זה היה אפס בהתחלה )הכל היה במנוחה( ,לכן הוא יישאר אפס במשך כל התנועה .מהירות מרכז המסה היא V⃗cm = P⃗ /Mובמקרה זה גם היא אפס .המסקנה :מרכז המסה של המערכת לא זז ,מיקומו בהתחלה זהה למיקומו בסוף .כאשר האיש נע לקראת הגדה )ימינה ,כדי לקצר( ,הסירה נעה שמאלה .נניח שמרכז המזה של הסירה נמצא במרחק dמהקצה השמאלי של הסירה .נבחר ראשית הקואורדינטות בנקודה שבה היה האיש בהתחלה .מערכת הקואורדינטות הזאת היא מערכת של הגדה ולא נעה עם הסירה. כאשר האיש בקצה השני ,הקואורדינטה שלו תהיה ,xוזה בדיוק מה שאנחנו מחפשים: שינוי המיקום שלו ביחס לגדה .בהתחלה מרכז המסה של המערכת סירה+איש נמצא ב )(5.36 m · 0 + Md m+M = Xcm כאשר האיש נמצא בקצה השני של הסירה ,בקואורדינטה ,xהקצה השמאלי של הסירה נמצא בקואורדינטה x − Lואילו מרכז המזה של הסירה )הסירה בלבד( נמצא ב .x − L + d -לכן מרכז המסה של המערכת יהיה בנקודה )(5.37 )mx + M (x − L + d m+M = Xcm משווים את שני ביטויים )מרכס המסה של המערכת לא זז !( ומקבלים: )(5.38 ML M +m =x בדיקת סבירות התוצאה :אם מסת האיש קטנה בהרבה ממסת הסירה ,די ברור שהסירה כמעט ולא תזוז .אכן ,נזניח את mביחס ל M -ונקבל .x = Lאם ,להפך, הסירה קלה מאוד ,אז היא תזוז והאיש יישאר במקום ביחס לגדה .אכן ,אם ,M ≪ m אז .x = LM /m ≈ 0 5.4. 5.4 77 אנרגיה של מערכת אנרגיה של מערכת אחרי שהצלחנו לשייך את כל המסה וכל התנע למרכז המסה ,נבדוק האם אפשר לעשות אותו דבר עם אנרגיה .אנרגיה קינטית של המערכת היא ∑ mv 2 i )(5.39 2 =K i נחלק את המהירות של גוף iלמהירות מרכז המסה ומהירות שלו ביחס למרכז המסה: ⃗vi = V⃗cm + ⃗v ′ ⃗v ′ = ⃗vi − V⃗cm )(5.40 )(5.41 הצבה לביטוי של אנרגיה קינטית תיתן )(5.42 mi V⃗cm · ⃗vi′ ∑ i )(5.43 mi⃗vi′ + ∑ ∑ mi v ′ 2 i 2 · + V⃗cm i ∑ mi V 2 cm + i mi v ′ 2i 2 2 =K i 2 ∑ M Vcm + 2 i = נבדוק בנפרד את הסכום האחרון: )(5.44 ) mi (⃗vi − V⃗cm ∑ = mi⃗vi′ i )(5.45 ∑ ( mi⃗vi − mi )V⃗cm = P⃗ − M V⃗cm = 0 i ∑ ∑ i = i לכן אנרגיה קינטית של המערכת מקבלת את הצורה הבאה: )(5.46 2 ∑ mi v ′ 2 M Vcm i =K + 2 2 i האנרגיה מורכבת משני חלקים .החלק הראשון הוא האנרגיה הקינטית של מרכז המסה :אילו המערכת הייתה באמת גוף נקודתי זאת הייתה אנרגיה קינטית שלה. החלק השני הוא אנרגיה קינטית של תנועת חלקי המערכת ביחס למרכז המסה. החלק הזה תמיד חיובי ומתאפס רק כאשר כל חלקי המערכת נעים באותה מהירות, ז״א המערכת כולה נעה כגוף נקודתי אחד .לחלק השני קוראים אנרגיה קינטית פנימית .המסקנה :בניגוד לתנע אי אפשר לשייך את כל האנרגיה הקינטית למרכז המסה. נבדוק עכשיו את קצב השינוי של אנרגיה קינטית של המערכת: )(5.47 )(5.48 ⃗ ∑ dK ∑ dKi = = Fi · ⃗vi dt dt i i ∑ ∑ = [F⃗i,ext + F⃗j→i ] · ⃗vi j̸=i i באופן כללי ,אנרגיה קינטית של המערכת משתנה גם בגלל עבודת כוחות חיצוניים וגם בגלל עבודת כוחות פנימיים. פרק .5 78 מערכות רב-חקליקיות )רב-גופיות( נפנה עכשיו לטיפול באנרגיה פוטנציאלית: )(5.49 U = Uext + Uint ∑ = Uext ) Ui,ext (⃗ri )(5.50 i ∑1 ) U(⃗ri , r⃗j 2 i̸=j )(5.51 = Uint החלק הראשון הוא בגלל פעולת גומלין עם העולם החיצוני והוא ,באופן כללי ,תלוי במיקומם של כל חלקי המערכת .לכן אי אפשר לשייך אותו למרכז המסה ,בדרך כלל, להוציא מקרה מיוחד של כוח הכבידה: ∑ ∑ ⃗ cm mi⃗ri ) = ⃗g · M R ( · mi⃗g · ⃗ri = ⃗g = Ug,ext )(5.52 i i ז״א ,אנרגיה פוטנציאלית של כוח כבידה שווה לאנרגית הכבידה שייתה אילו כל המסה הייתה מרוכזת במרכז המסה. האנרגיה הפוטנציאלית הפנימית לא קשורה למרכז המסה כלל. 5.5 ∗ שימור האנרגיה ומשפט אנרגיה-עבודה למערכת כדי להבין את שימור האנרגיה למערכת ,ננתח קודם מקרה מיוחד של שני חלקיקים וכוח משמר בלבד בין השניים ,ללא כוחות נוספים .שינוי האנרגיה הקינטית של השניים הוא )(5.53 )(5.54 dK = dK1 + dK2 = F⃗2→1 · d⃗r1 + F⃗1→2 · d⃗r2 ) = F⃗2→1 · d(⃗r1 − ⃗r2 השורה האחרונה התקבלה מהחוק שלישי של ניוטון: )(5.55 F⃗1→2 = −F⃗2→1 · d⃗r1 וזהות )(5.56 ) d⃗r1 − d⃗r2 = d(⃗r1 − ⃗r2 אם הכוח בין השניים כוח משמר ,הקשר שלו לאנרגיה פוטנציאלית כדלקמן: )(5.57 F⃗2→1 · d(⃗r1 − ⃗r2 ) = −dU12 במילים פשוטות :העבודה שנעשית על שני הגופים מגיעה מהאנרגיה הפוטנציאלית של השניים .אפשר לכתוב את זה בצורה הבאה: )(5.58 dK = −dU12 ⇒ K + U12 = const ז״א סכום האנרגיות הקינטיות והאנרגיה הפוטנציאלית הפנימית לא משתנה. 5.6. 79 התנגשויות נרחיב עכשיו את הניתוח שלנו למערכת חלקיקים שרירותית ,כאשר יש גם כוחות חיצוניים ,חלקם משמירם )מסומנים ב (U -וחלקם לא משמרים )מסומנים ב( .N O - שינוי האנרגיה הקינטית יהיה ∑ ∑ F⃗j→i ]d⃗ri [F⃗i,ext,U + F⃗i,ext,no + = dK )(5.59 j̸=i )(5.60 ∑1 dUint,ij 2 i,j̸=i dWi,no − ∑ i dUi,ext + i ∑ =− i = −dUext + dWext,no − dUint )(5.61 בסופו של דבר ,נקבל את משפט אנרגיה-עבודה למערכת חלקיקים בצורה הבאה: )(5.62 K + Uext + Uint = Wext,no במערכת חלקיקים אין כוחות פנימיים לא משמרים .אם אנחנו רוצים להרחיב את המשפט למערכת גופים עם מבנה פנימי ,יש להוסיף לאגף ימין גם את העבודה של כוחות לא משמרים בין גופי המערכת .אחת המסקנות החשובות היא שגם אם אין כוחות לא משמרים ואין אנרגיה פוטנציאלית חיצונית ,ייתכן מעבר האנרגיה בין אנרגיה קינטית לבין אנרגיה פוטנציאלית פנימית .מסקנה נוספת היא שאם המבנה הפנימי של המערכת לא משתנה )המרחקים בין זוגות הגופים לא משתנים( ,אנרגיה פוטנציאלית פנימית נשארת קבועה ואז )(5.63 K + Uext = Wext,no אנחנו נראה את החשיבות של המסקנה הזו בתנועה סיבובית של גוף קשיח. 5.6 התנגשויות סוג חשוב של פעולת גומלין הוא התנגשויות .בהתנגשות אנחנו מתייחסים לזמן הפעולה של הכוחות בין הגופים כזמן קצר מאוד )זניח ,אפסי( .כתוצאה מכך ,הכוחות שפועלים במהלך ההתנגשות ובגללה גדולים מאוד )שואפים לאין סוף אם זמן ההתנגשות שואף לאפס( ,והשפעת שאר הכוחות ,שנשארים סופיים ,זניחה .דוגמה פשוטה היא פגיעת כדור בקיר .כתוצאה של ההתנגשות תנע של הכדור משתנה ,לכן ∫ F⃗ dt )(5.64 שונה מאפס .כאן ⃗ Fהוא כוח שמפעיל הקיר על הכדור .אם זמן המגע עם הקיר )זמן ההתנגשות( שואף לאפס אז כוח הקיר שואף לאינסוף .בזמן ההתנגשות פועל על הכדור גם כוח הכבידה ,אבל המתקף שלו ∫ m⃗g dt )(5.65 זניח בגלל הזמן הקצר .לכן ,מבחינה פיזיקלית ,התנגשות זאת פעולת גומלין שבה השפעת כל הכוחות החיצוניים זניחה ביחס להשפעה של הכוחות בין הגופים המתנגשים. בהתאם לנאמר ,הבעיה הפיזיקלית שמעניינת אותנו היא כזאת :נתון מצב של הגופים ״מיד לפני ההתנגשות״ ,מהו המצב שלהם ״מיד אחרי ההתנגשות״ ? ה״מיד״ 80 פרק .5 מערכות רב-חקליקיות )רב-גופיות( הזה אומר שזמן ההתנגשות נחשב כאפסי לצורך החישובים ,והמצבים ״מיד לפני״ ו״מיד אחרי״ מתייחסים אף הם לזמנים קצרים עד כדי כך שאפשר להזניח את ההשפעה של כל הכוחות האחרים. בצורה פשוטה יותר ,ניתנים מסות miומהירויות ⃗viשל הגופים לפני ההתנגשות. צריך למצוא את המצב אחרי ההתנגשות .במהלך ההתנגשות הגופים יכולים להתפרק או להתאחד ,כך שהמסות אחרי ההתנגשות Mjיכולות להיות שונות ,כמו גם מספר הגופים .בעיקר אנחנו נהיה מעוניינים במציאת מהירויות ⃗ujאחרי ההתנגשות. בפרק זה אנחנו נסתפק בהתנגשויות כאשר כל הכוחות הגדולים הם בין הגופים המתנגשים ,ז״א אין כוחות חיצוניים )הם זניחים( .בהיעדר כוחות חיצוניים תנע המערכת חייב להישמר: ∑ ∑ Mj ⃗uj = mi⃗vi )(5.66 j i לעומת זאת ,אנרגיה קינטית של הגופים לא חייבת להישמר כי ייתכן מעבר בין אנרגיה קינטית לבין אנרגיה פנימית ,בשני הכיוונים .התנגשויות שבהן אנרגיה קינטית של הגופים לא משתנה )אין מעבר לאנרגיה פנימית או ממנה( נקראות התנגשויות אלסטיות. בהתנגשויות אלה אנרגיה קינטית נשמרת: ∑ mi v 2 ∑ Mj u2j i = )(5.67 2 2 i j התנגשויות ,שבהן יש מעבר בין האנרגיות ואנרגיה קינטית משתנה ,נקראות אי- אלסטיות ובהן 2 2 ∑ mi v ∑ Mj uj i − ̸= 0 )(5.68 2 2 i j אנרגיה קינטית יכולה ללכת לאיבוד )להפוך לאנרגיה פנימית( ויכולה גם להשתחרר מאנרגיה פנימית ,לכן ההפרש בביטוי למעלה יכול להיות גם שלילי וגם חיובי. דוגמה 5.6.1גוף בעל מסה m1ונע במהירות v1פוגע בגוף שמסתו m2אשר נמצא במנוחה .לאחר הפגיעה שני הגופים ממשיכים לנוע כגוף אחד בעל מסה .m1 + m2 מהי מהירות הגוף ומהו איבוד האנרגיה. הידבקות הגופים מלווה בשינויי הצורה )תחשבו על פלסטלינה( ,לכן ברור שאנרגיה פנימית מתשנה ואין שימור אנרגיה קינטית של הגופים .זוהי התנגשות אי-אלסטית. אין כוחות חיצוניים ,לכן תנע המערכת נשמר. איור :6.5גוף פוגע בגוף אחר ונדבק אליו. 5.6. 81 התנגשויות זה אומר ששני הגופים נעים במהירות uבכיוון התנועה של הגוף הפוגע ו- )(5.69 )(5.70 m1 v1 = (m1 + m2 )u m1 v1 =u m1 + m2 איבוד האנרגיה הוא אנרגיה קינטית התחלתית פחות אנרגיה קינטית סופית: )(5.71 )(5.72 m1 v12 (m1 + m2 )u2 − 2 2 m1 m2 v12 = ) 2(m1 + m2 = ∆E זאת כמות האנרגיה אשר הולכת לשינוי הצורה ולחום. דוגמה 5.6.2 גוף בעל מסה ,Mאשר נמצא במנוחה ,פתאום מתחלק לשני חלקים. איור :7.5פיצוץ. מסת אחד החלקים היא .m1בפיצוץ משתחררת אנרגיה .Eמהן מהירויות החלקים. שימור התנע )אין כוחות חיצוניים( נותן: )(5.73 m 2 = M − m1 mv1 + m2 v2 = 0, האנרגיה הפנימית המשוחחרת הופכת לאנרגיה קינטית של שהחלקים: )(5.74 m1 v12 m2 v22 + 2 2 =E מכאן )(5.75 )(5.76 )(5.77 )(5.78 m1 v1 m2 2 m2 M v22 m1 M v 1 = =E 2m2 m1 √ 2Em2 = v1 Mm √ 1 2Em1 v2 = − M m2 v2 = − פרק .5 82 5.6.1 מערכות רב-חקליקיות )רב-גופיות( התנגשות אלסטית של שני גופים התנגשות אלסטית של שני גופים זכאית לניתוח נפרד .בהתנגשות זו נשמר גם תנע P⃗ = m1⃗v1 + m2⃗v2 = m1⃗u1 + m2⃗u2 )(5.79 וגם אנרגיה קינטית )(5.80 m1 v12 m2 v22 m1 u21 m2 u22 + = + 2 2 2 2 =K אנחנו נטפל רק במקרה פרטי ,כאשר גוף m1פוגע בגוף m2נח ,ז״א ,⃗v2 = 0ואחרי ההתנגשות לשני הגופים מהירויות לאורך קוו התנועה המקורי של הגוף הפוגע. איור :8.5התנגשות אלסטית של שני גופים. במקרה הזה למהירויות רק רכיב אחד והמשוואות מקבלות את הצורה הבאה: )(5.81 )(5.82 m1 v1 = m1 u1 + m2 u2 m1 v12 + m1 u21 + m2 u22 אלה שתי משאוות עם שני נעלמים .הפתרון של המשוואות הוא (m1 − m2 )v1 m1 + m2 2m1 v1 = u2 m1 + m2 )(5.83 = u1 )(5.84 בדיקת סבירות התוצאה: אם מסת הגוף הפוגע קטנה בהרבה ממסת גוף המטרה) m1 ≪ m2 ,כדור פוגע בקיר( ,אז אפשר לצפות שגודל מהירות הגוף הפוגע לא ישתנה וכיוונה יתהפך ,ואילו מהירות הקיר תהיה אפס .אכן ,זה המצב: )(5.85 m1 v1 ≈0 m2 = u2 m2 v1 ≈ −v1 , m2 u1 = − שימו לב :תנע הכדור משנה כיוון ,לכן הקיר ״בולע״ את התנע העודף )פעמיים התנע התחלתי( ,אבל כל האנרגיה נשארת אצל הכדור. אם מסת הגוף הפוגע גדולה בהרבה ממסת המטרה )קיר פוגע בכדור( ,למה אפשר לצפות ? הצופה שנע עם הקיר ,יראה את הכדור פוגע בקיר וחוזר באותו גודל המהירות. 5.6. 83 התנגשויות מהירות הכדור ביחס הצופה העומד תהיה מהירות ביחס לקיר בתוספת מהירות הקיר, ז״א פעמיים מהירות הקיר .הצבה m1 ≫ m2נותנת )(5.86 2m1 v1 = 2v1 m1 = u2 m1 v1 = v1 , m1 = u1 מהירות הקיר לא משתנה .מכיוון שתנע הכדור ואנרגיה שלו זניחים ביחס לאלה של הקיר ,השינויים בתנועה של הקיר זניחים גם הם. אם לשני הגופים אותה מסה ,הגוף הפוגע אמור לעצור וגוף המטרה אמור להמשיך במהירות של הגוף הפוגע )נא לבדוק(. 84 פרק .5 מערכות רב-חקליקיות )רב-גופיות( פרק 6 תנועה סיבובית של גוף קשיח 6.1 מושגי יסוד :תנע זוויתי ,מומנט התמד ,מומנט פיתול לפני שמתחילים לדבר על גוף קשיח ,עלינו להכיר כמה מושגים .מושגים אלה מתאימים גם לתנועת גוף נקודתי וממנה אנחנו נתחיל. 6.1.1 מכפלה וקטורית משני וקטורים )(6.1 )(6.2 ̂⃗a = (ax , ay , az ) = ax x̂ + ay ŷ + az z ̂⃗b = (bx , by , bz ) = bx x̂ + by ŷ + bz z אפשר לבנות וקטור חדש ,⃗c = ⃗a ×⃗b ,אשר נקרא מכפלה וקטורית .גודל הווקטור החדש )(6.3 [ )|⃗c| = |⃗a||⃗b| sin (⃗a, ⃗b וכיוונו נקבע לפי כלל כף ימין :אם נכוון אגודל לאורך ,⃗aאצבע לאורך ⃗bואמה בניצב למישור הבנוי על אגודל ואצבע ,אז כיוון האמה יהיה כיוון הווקטור .⃗cמההגדרה ברור ששינוי הסדר ישנה את הכיוון להפוך: )(6.4 ⃗a × ⃗b = −⃗b × ⃗a 85 פרק .6 86 תנועה סיבובית של גוף קשיח איור :1.6מכפלה וקטורית. אפשר להגדיר מכפלה וקטורית בדרך אחרת: ̂x̂ × ŷ = −ŷ × x̂ = z ̂ŷ × ẑ = −ẑ × ŷ = x ̂ẑ × x̂ = −x̂ × ẑ = y )(6.5 )(6.6 )(6.7 השימוש בהגדרה זו כדלקמן: )(6.8 )(6.9 )̂⃗c = ⃗a × ⃗b = (ax x̂ + ay ŷ + az ẑ) × (bx x̂ + by ŷ + bz z ̂= (ay bz − az by )x̂ + (az bx − ax bz )ŷ + (ax by − ay bx )z נראה שההגדרה השנייה תואמת את הראשונה .לצורך זה נבחר קואורדינטות כך ש- )(6.10 ̂⃗a = |⃗a|x )(6.11 [ [ ⃗( ⃗b = |⃗b| cos ̂a, ⃗b)x̂ + |⃗b| sin (⃗a, ⃗b)y )(6.12 [ ̂⃗a × ⃗b = |⃗a||⃗b| sin (⃗a, ⃗b)z תכונות מכפלה וקטורית: • שינוי הסדר משנה סימן⃗a × ⃗b = −⃗b × ⃗a : • אפשר להכפיל במספר(α⃗a) × ⃗b = α(⃗a × ⃗b) : • מכפלה וקטורית של וקטורים מקבילים מתאפסת :אם ⃗a ∥ ⃗bאז ,⃗a × ⃗b = 0בפרט ⃗a × ⃗a = 0 6.1.2 תנע זוויתי ומומנט פיתול לחלקיק נקודתי אם חלקיקי נקודתי בעל מסה mנמצא ברגע כלשהו בנקודה ⃗rונע ברגע זה במהירות ,⃗vלמבנה )(6.13 J⃗ = ⃗r × p⃗ = m⃗r × ⃗v 6.1. מושגי יסוד :תנע זוויתי ,מומנט התמד ,מומנט פיתול 87 קוראים תנע זוויתי. איור :2.6תנע זוויתי של חלקיק. כמו תמיד ,משמעות של מושג זה מתבררת ,כאשר אנחנו בודקים פעולת גומלין עם גופים אחרים .נתחיל בשאלה :מה גורם לשינוי תנע זוויתי זה ? כפי שעשינו בעבר, עלינו לנתח את קצב השינוי של תנע זוויתי )נגזרת לפי זמן(: )(6.14 )(6.15 )(6.16 ⃗dJ d ) = (m⃗r × ⃗v ) dt (dt ) ( d⃗r d⃗v =m × × ⃗v + m⃗r dt dt ⃗= m⃗v × ⃗v + m⃗r × ⃗a = ⃗r × (m⃗a) = ⃗r × F למכפלה וקטורית ⃗ ⃗τ = ⃗r × Fקוראים מומנט פיתול. פרק .6 88 תנועה סיבובית של גוף קשיח איור :3.6מומנט פיתול. הביטוי שקיבלנו ,החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית, )(6.17 ⃗dJ ⃗= ⃗τ = ⃗r × F dt מראה שכדי לשנות תנע זוויתי לא מספיק סתם להפעיל כוח ,חשוב גם מיקום הפעלתו וכיוונו ביחס לווקטור המקום .אם ,F⃗ ∥ ⃗rתנע זוויתי לא משתנה .יש לשים לב ,שגם תנע זוויתי וגם מומנט פיתול תלויים בבחירת מערכת הקואורדינטות ,כי וקטור המקום מחבר את ראשית הקואורדינטות עם החלקיק. שאלת הבנה 6.1.1הכינוי ״תנע זוויתי״ מרמז על תנועה סיבובית .האם חלקיק נקודתי מסתובב סביב ראשית הקואורדינטות ? נניח שחלקיק נקודתי נע לאורך קוו ישר שלא עובר דרך ראשית הקואורדינטות .האם יש טעם לומר שהוא מסתובב סביב הראשית ? נניח שצופה ,אשר נמצא בראשית הקואורדינטות ,מחליט כל הזמן להסתכל על הגוף הנע .כדי לעשות זאת ,הוא יצטרך לסובב את ראשו )או להסתובב כולו( .משמעות הדבר שהגוף אכן מסתובב סביב הראשית. 6.1.3 מומנט התמד של חלקיק )גוף נקודתי אחד( נניח שחלקיק מחובר לראשית הקואורדינטות באמצעות מוט ללא מסה והמוט מאפשר לחלקיק לנוע רק במישור x − yבמעגל שרדיוסו .R 6.1. מושגי יסוד :תנע זוויתי ,מומנט התמד ,מומנט פיתול 89 איור :4.6תנועה מעגלית של גוף נקודתי. אם מהירות זוויתית של החלקיק היא ) ωכולל סימן -חיובי לתנועה נגד כיוון השעון( אז המהירות שלו היא ) v = ωRכולל אותו סימן( .לפי הגדרת תנע זוויתי ,גודלו |⃗ = m|v|R = mR2 |ω | |Jוכיוונו בכיוון חיובי של ציר zאם ,ω > 0ובכיוון שלילי של ציר zכאשר .ω < 0 כדאי לחשב את זה בצורה מפורטת יותר: )(6.18 )(6.19 )(6.20 )(6.21 ̂⃗r = R cos φx̂ + R sin φy ̂⃗v = −ωR sin φx̂ + ωR cos φy dφ =ω dt ⃗ ̂J = m⃗r × ⃗v = mR2 ωz מהירות זוויתית יכולה להשתנות ,אבל מסה נשארת קבועה ורדיוס הסיבוב נקבע ע״י אורך המוט .רכיב התנע הזוויתי בכיוון ציר הסיבוב הוא )(6.22 I = mR2 Jz = Iω, למבנה Iקוראים מומנט התמד. נסיר עכשיו את המגבלה שהחלקיק נע במישור .x − yנניח שהוא מסתובב במעגל בעל רדיוס Rסביב ציר zאבל בקואורדינטה ) z = hמישור הסיבוב מקביל למישור (.x − yעכשיו וקטור המקום שונה: )(6.23 ̂⃗r = R cos φx̂ + R sin φŷ + hz פרק .6 90 תנועה סיבובית של גוף קשיח המהירות נשארת אותו דבר )(6.24 ̂⃗v = −ωR sin φx̂ + ωR cos φy כי .h = constוקטור התנע הזוויתי הפעם יהיה )(6.25 ̂J⃗ = −(mRh)ω cos φx̂ − (mRh)ω sin φŷ + (mR2 )ωz בנוסף לרכיב Jzיש עכשיו שני רכיבים נוספים Jx , Jyשלהם יש מבנה אחר .יחד עם זאת ,הרכיב בכיוון ציר הסיבוב zלא שינה את צורתו :הוא שווה למומנט ההתמד כפול מהירות זוויתית .מומנט ההתמד שווה למסה כפול רדיוס הסיבוב בריבוע .חשוב להדגיש שוב :מומנט התמד קשור לרדיוס הסיבוב ולא למרחק מראשית הקואורדינטות. בהמשך אנחנו נתמקד ברכיב של תנע זוויתי בכיוון ציר הסיבוב. 6.1.4 תנע זוויתי של מערכת מניסוי ידוע שתנע זוויתי של מערכת הוא סכום וקטורי של תנעים זוויתיים של כל הגופים במערכת: ∑ ∑ mi⃗ri × ⃗vi = ⃗J = J⃗i )(6.26 i i איור :5.6תנע זוויתי של מערכת. נבטא את וקטור המקום של כל חלקיק כסכום של וקטור המקום של מרכז המסה ⃗ cm Rווקטור המקום ביחס למרכז המסה :⃗ri′ )(6.27 ⃗ cm + ⃗r′ ⃗ri = R i נבטא את המהירות של החלקיק כסכום של מהירות מרכז המסה ומהירות ביחס למרכז המסה: )(6.28 ⃗vi = V⃗cm + ⃗vi′ 6.1. 91 מושגי יסוד :תנע זוויתי ,מומנט התמד ,מומנט פיתול נציב את הביטויים לביטוי של תנע זוויתי ונקבל mi⃗ri′ × ⃗vi′ )(6.29 ∑ ⃗ cm × V⃗cm + J⃗ = M R i ∑ ∑ ( × ⃗ cm (+ mi⃗ri′ ) × V⃗cm + R ) mi⃗vi′ )(6.30 i i כפי שראינו קודם, )(6.31 ⃗ cm = 0 mi⃗ri − M R )(6.32 mi⃗vi − M V⃗cm = 0 ∑ = ) ⃗ cm mi (⃗ri − R i ∑ ∑ = mi⃗ri′ i = ) mi (⃗vi − V⃗cm ∑ i ∑ i = mi⃗vi′ i ∑ i לכן תנע זוויתי של המערכת הוא סכום וקטורי של תנע זוויתי של מרכז המסה ותנע זוויתי פנימי -סכום תנעים זוויתיים של חלקי המערכת ביחס למרכז המסה: )(6.33 )(6.34 )(6.35 J⃗ = J⃗cm + J⃗int ⃗ cm × V⃗cm = R ⃗⃗ cm × P J⃗cm = M R ∑ = J⃗int mi⃗ri′ × ⃗vi′ i נבדוק עכשיו את החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית: )(6.36 )(6.37 ∑ dJ⃗ ∑ dJ⃗i = = ⃗ri × F⃗i dt dt i i ) ( ∑ ∑ F⃗j→i = ⃗ri × F⃗i,ext + i j̸=i )(6.38 ⃗ri × F⃗j→i ∑ ⃗ri × F⃗i,ext + i,j̸=i ∑ = i החוק השלישי של ניוטון קובע שסכום מומנטי הפיתול הפנימיים מתאפס. החוק השלישי של ניוטון בצורה נכונה :בכל מערכת סכום הכוחות הפנימיים הוא אפס וסכום מומנטי הפיתול הפנימיים הוא אפס. כתוצאה ,נקבל )(6.39 ∑ ⃗dJ = ⃗ri × F⃗i,ext dt i ז״א ,קצב השינוי של תנע זוויתי של המערכת שווה לסכום וקטורי של כל מומנטי הפיתול החיצוניים שמופעלים על המערכת. 92 תנועה סיבובית של גוף קשיח פרק .6 איור :6.6סכום וקטורי של כל מומנטי הפיתול החיצוניים שמופעלים על המערכת. מעניין לדעת ,איזה חלק ממומנט הפיתול הכולל הולך לשינוי של תנע זוויתי של מרכז המסה ואיזה חולך לשינוי של התנע הזוויתי הפנימי ובכלל האם אפשר להבדיל. כדי לברר ,נגזור את התנע הזוויתי של מרכז המסה לפי זמן: )(6.40 )(6.41 )(6.42 dJ⃗cm ⃗ d ⃗ = (R ) cm × P dt dt ⃗ cm × F⃗ext = V⃗cm × (M V⃗cm ) + R ∑ ⃗ cm × F⃗i,ext = R i אנחנו רואים שמומנט הפיתול ,אשר משנה את התנע הזוויתי של מרכז המסה ,מחושב כאילו כל הסכום של הכוחות החיצוניים מופעל במרכז המסה .כדי למצוא את מומנט הפיתול אשר משנה את התנע הזוויתי הפנימי ,נחסר את הביטוי לתנע זוויתי של מרכז המסה מהביטוי לתנע זהוויתית הכולל: )(6.43 )(6.44 dJ⃗ dJ⃗cm dJ⃗int = − dt∑ dt ∑ dt ∑ ⃗ = ⃗ cm × F⃗i,ext = ⃗ri × Fi,ext − R ⃗ri′ × F⃗i,ext i i i ז״א ,מומנט הפיתול ,אשר משנה את התנע הזוויתי הפנימי ,מחושב ביחס למרכז המסה. 6.2. 6.1.5 93 גוף קשיח מומנט פיתול של כוח הכבידה כדי לדעת את מומנט הפיתול הכולל אשר מופעל על המערכת ,בדרך כלל אין מנוס מלחשב את הסכום ⃗ri × F⃗i,ext )(6.45 ∑ = ⃗τ i יש אמנם מקרה מיוחד ,כאשר החישוב פשוט יותר .אם הכוחות F⃗i,extהם כוחות הכבידה F⃗i,ext = mi⃗g ,אז נקבל )(6.46 ⃗ cm × ⃗g = R ) ⃗ cm × (M⃗g ⃗ri × mi × ⃗g = M R ∑ = ⃗τ i ז״א ,מומנט הפיתול מחושב כאילו מרכז המסה הוא אכן גוף נקודתי וסכום הכוחות הלחצוניים מופעל במרכז המסה .מכאן אפשר גם להסיק שכוח הכבידה לא גורם למומנט פיתול ביחס למרכז המסה ולא יכול לשנות את התנע הזוויתי הפנימי. 6.2 גוף קשיח גוף קשיח הוא מערכת חלקיקים מיוחדת :המרחק בין כל שתי נקודות של גוף קשיח אינו משתנה במהלך התנועה .המסקנה המיידית היא :אנרגיה פוטנציאלית פנימית של גוף קשיח לא משתנה ולכן אין צורך לקחת אותה בחשבון במשפט אנרגיה-עבודה. אם נקבע נקודה אחת של הגוף ,O ,אז בכל רגע נקודות אחרות מבצעות תנועה מעגלית סביבה .לכל נקודת רדיוס המעגל משלה ,אבל תוך זמן קצר dtכולן מסתובבות סביב אותו ציר ולאותה זווית ,dφלכן לכולן אותה מהירות זוויתית ω = dφואותו ציר dt סיבוב. 94 פרק .6 תנועה סיבובית של גוף קשיח איור :7.6גוף קשיח :מרחקים בין נקודות הגוף לא משתנים. איור :8.6סיבוב של גוף קשיח :אותה זווית הסיבוב לכל הנקודות. לנקודה עם מסה ,miורדיוס הסיבוב Riיהיה תנע זוויתי בכיוון ציר הסיבוב )אנחנו מדברים על רכיב אחד בלבד ולא מתעניינים ברכיבים אחרים של תנע זוויתי( )(6.47 Ji = mi Ri2 ω 6.2. 95 גוף קשיח כפי שחישבנו קודם לחלקיק נקודתי .לכל חלקי הגוף ביחד רכיב תנע זוויתי בכיוון ציר הסיבוב יהיה ∑ ∑ =I =J mi Ri2 ω = Iω, mi Ri2 )(6.48 i i כאשר Iהוא מומנט ההתמד של הגוף .לגוף קשיח miו Ri -אינם משתנים במהלך התנועה ,לכן Iהוא קבוע שמאפיין את הגוף כולו. עכשיו אפשר להשתמש בחוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית למערכת: dJ =τ dt )(6.49 כאשר τהוא רכיב של מומנט הפיתול בכיוון ציר הסיבוב. 6.2.1 ציר סיבוב ״קבוע״ בהמשך אנחנו נסתפק בסיבוב גוף קשיח סביב הציר שכיוונו לא משתנה )ציר סיבוב ״קבוע״( .זה קורה בשני מצבים :א( כאשר ציר הסיבוב מקובע וב( כאשר גוף סימטרי נע ומסתובב סביב אותו ציר שעובר דרך מרכז המסה שלו .במצב זה אין צורך בווקטורים אלא מספיק לבחור כיוון חיובי של הסיבוב סביב הציר ולחשב את הכל בהתאם לבחירה. באיור ציר הסיבוב ניצב למישור האיור וכיוון הסיבוב נגד כיוון השעון נבחר ככיוון חיובי .רכיב הכוח לאורך ציר הסיבוב אינו תורם למומנט הפיתול בכיוון ציר הסיבוב, לכן אנחנו נניח שווקטור הכוח שוכב במישור האיור .חישוב מומנט פיתול במקרה זה מצטמצם למכפלה של גודל הכוח בזרוע שלו .זרוע היא המרחק בין ציר הסיבוב לבין קוו פעולת הכוח. איור :9.6מומנט הפיתול :כוח כפול זרוע עם סימן בהתאם לכיוון חיובי של סיבוב. פרק .6 96 תנועה סיבובית של גוף קשיח סימן של מומנט הפיתול נקבע בהתאם לכיוון הסיבוב שהיה נוצר אילו מומנט הפיתול הזה )ורק הוא( היה מופעל על גוף במנוחה. אם כל הנאמר ,במקרה של ציר סיבוב ״קבוע״ החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית מקבל את הצורה הבאה: dω =τ dt )(6.50 Iα = I כאשר αהיא תאוצה זוויתית. 6.2.2 הערות חשובות בתחילת הדיון על תנועה סיבובית של גוף קשיח הנחנו שנקודה Oשל הגוף נמצאת במנוחה )״מקובעת״( .כל הפיתוחים היו מבוססים על כך ששאר נקודות הגוף הסתובבו סביב הציר העובר דרך נקודה מקובעת זו .במציאות גופים לא תמיד מסתובבים סביב ציר מקובע :כדור רגבי נע ומסתובב ,כדור הארץ מסתובב סביב השמש וגם סביב צירו, ציר גלגל הרכב נע והגלגל מסתובב סביב צירו .איך להשתמש בפיתוחים היפים שלנו לתיאור של מצבים אלה ? נניח שבנוקדה Aשל הגוף נמצא צופה .מהי מבחינתו תנועה של הגוף ? מבחינתו כל נקודה אחרת נעה במעגל ,לכן מבחינתו תנועת הגוף ,בכל רגע נתון ,היא סיבוב סביב ציר העובר דרך Aבמהירות זוויתית כלשהי .ωאם בנקודה אחרת ,B ,של הגוף נמצא צופה אחר ,מהי מבחינתו תנועת הגוף באותו רגע ? ברור שהיא סיבוב סביב ציר העובר דרך .Bאם נשים לב שתוך זמן קצר dtשני הצופים ימדדו אותה זווית הסיבוב dφואותו כיוון הסיבוב ,המסקנה תהיה שהצופה Bימדוד אותה מהירות זוויתית ω וצירי הסיבוב ,לפי Aולפי ,Bמקבילים. איור :10.6סיבוב של גוף קשיח מבחינת מבט של שני צופים. נניח ,שברגע כלשהו ניתן לאתר נקודה Oבגוף שמהירות שלה אפס ותאוצה שלה אפס .אם כך ,ברגע זה הגוף כולו מסתובב סביב הציר העובר דרך נקודה זו ,וכל 6.2. 97 גוף קשיח הפיתוחים שלנו )מומנט התמד ,מומנט פיתול ,החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית לציר ״קבוע״( תקפים לסיבוב סביב ציר זה וכל התנועה מתוארת ע״י משוואה אחת: dω =τ dt )(6.51 I כאשר מומנט הפיתול ומומנט ההתמד מחושבים ביחס לציר העובר דרך הנקודה O ברגע זה .לא ניתן להשתמש במשוואה זו כאשר מהירות הנקודה או תאוצתה שונות מאפס ברגע זה. מצד שני ,ראינו שאפשר לחלק את החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית לחלק של מרכז המסה וחלק של תנע זוויתי פנימי .חלוקה זאת תמיד נכונה ,גם כאשר נקודה אחרת )לא מרכז המסה( מקובעת .במקרה זה החוק בצורת ״ציר קבוע״ dω =τ dt )(6.52 I מתייחס לסיבוב סביר הציר העובר דרך מרכז המסה )תנע זוויתי פנימי( ומומנט הפיתול ומומנט ההתמד מחושבים ביחס לציר זה .לכך יש להוסיף גם את החוק השני למרכז המסה: F⃗ext )(6.53 ∑ = M⃗acm לתנועה קווית או )(6.54 ∑ ⃗ cm × ⃗acm = R ( × ⃗ cm ) F⃗ext MR לתנועה סיבובית .השני נובע מהראשון ,לכן מספיק באחד מהם .כמובן שצריך לקחת בחשבון את קשר בין תאוצת מרכז המסה לתאוצה זוויתית ,אם השתיים אנין בלתי תלויות ) למשל ,במקרה של ציר מקובע( .גישה זו תמיד נכונה. במקרים אחרים לא ניתן להשתמש בחוק השני של ניטון לתנועה סיבובית בצורה מופשטת אלא רק בצורה מלאה. 6.2.3 חישוב מומנט התמד דוגמה 6.2.1נחשב מומנט התמד של שמונה גופים נקודתיים הנמצאים בקדקודי קובייה ומחוברים ביניהם באמצעות מוטות ללא מסה. פרק .6 98 תנועה סיבובית של גוף קשיח איור :11.6מומנט התמד של מערכת גופים נקודתיים. מסה mנמצאת בנקודה ) 2m ,(0, 0, 0ב 3m ,(a, 0, 0) -ב 4m ,(a, a, 0) -ב,(0, a, 0) - 5mב 6m ,(0, 0, a) -ב 7m ,(a, 0, a) -ב 8m ,(a, a, a) -ב.(0, a, a) - למומנט התמד יש משמעות רק אם הוגדר ציר הסיבוב .נבחר ציר zכציר הסיבוב )ציר כחול( .מומנט ההתמד הוא ∑ =I mi ri2 )(6.55 i כאשר riהוא מרחק בין גוף נקודתי וציר הסיבוב .לכן )(6.56 ) Iz = m · 0 + 2m · a2 + 3m · (2a2 + 4m · a2 + 5m · 0 + 6m · a2 + 7m · (2a2 ) + 8m · a2 = 40ma2 עכשיו נחשב מומנט התמד ביחס לציר המתלכד עם הצלע )) (0, a, a) − (a, a, aציר אדום(: )(6.57 I ′ = m · (2a2 ) + 2m · (2a2 ) + 3m · a2 + 4m · a2 + 5m · a2 + 6m · a2 + 7m · 0 + 8m · 0 = 24ma2 דוגמה 6.2.2נחשב מומנט התמד של מוט אחיד ביחס לציר העובר דרך קצה המוט וניצב למוט .מסת המוט ,mאורך המוט .l זאת התפלגות רציפה של חומר .יש לחלק את הגוף לחלקים קטנים ,להתייחס לכל חלק קטן כאילו הוא גוף נקודתי ולסכום )לחשב אינטגרל( .נבחר ציר xלאורך המוט כך שהציר עובר דרך .x = 0נחלק לחלקים קטנים בגודל .dx 6.2. 99 גוף קשיח איור :12.6מומנט התמד של מוט אחיד. מסת כל חלק כזה היא .dm = (m/l)dxהחלק שנמצא בקואורדינטה xתורם dI = dmx2למומנט ההתמד .לכן )(6.58 ml2 3 ∫ l = x2 (m/l)dx =I 0 נחשב עכשיו מומנט התמד של אותו מוט ,אבל ביחס לציר העובר דרך מרכז המסה )אמצע המוט( ומקביל לציר הקודם )ז״א ניצב למוט(. איור :13.6צירים מקבילים. שיטת החישוב לא תשתנה ,חוץ מגבולות האינטגרציה: )(6.59 ml2 12 l/2 ∫ = x2 (m/l)dx −l/2 = Icm אם נשים לב שהמרחק בין הצירים הוא ,d = l/2נראה ש- )(6.60 I = Icm + md2 הביטוי האחרון מהווה משפט צירים מקבילים )משפט שטיינר( :אם יש שני צירים מקבילים שעוברים דרך שתי נקודות הגוף ,אחד דרך מרכז המסה cmוהשני דרך נקודה ,Oאז הקשר בין מומנטי ההתמד ביחס לשני הצירים הוא )(6.61 IO = Icm + md2O,cm כאשר dO,cmהוא המרחק בין שני הצירים )נמדד בכיוון ניצב בין שני הצירים המקבילים(. משפט זה תקף לכל הגופים. פרק .6 100 תנועה סיבובית של גוף קשיח איור :14.6משפט שטיינר. דוגמה 6.2.3גוף מורכב משני חלקים מחוברים .לכל חלק מומנט ההתמד שלו ביחס לציר OידועI1,O , ו .I2,O -מהו מומנט ההתמד של כל הגוף ביחס לציר ?O איור :15.6מומנט התמד של גוף מורכב. )(6.62 mi ri2 = I1,O + I2,O ∑ 2,i mi ri2 + ∑ 1,i = mi ri2 ∑ = IO i במילים אחרות ,מומנט התמד של מספר גופים ביחס לציר מסוים הוא סכום מומנטי ההתמד של כול הגופים האלה ביחס לציר זה. דוגמה 6.2.4נחשב את מומנט ההתמד של טבעת מעגלית דקה )חישוק( בעלת רדיוס Rומסה mביחס לציר העובר דרך מרכז המעגל בניצב למישור המעגל .הטבעת לא חייבת להיות אחידה. 6.2. 101 גוף קשיח איור :16.6מומנט התמד של טבעת דקה. מומנט התמד הוא mi ri2 )(6.63 ∑ =I i לכול נקודות הטבעת ,ri = Rלכן )(6.64 mi )R2 = mR2 ∑ (=I i אם הטבעת אחידה ,מרכזה הוא מרכז המסה ,לכן מומנט ההתמד של טבעת מעגלית אחדיה ביחס לציר העובר דרך מרכז המסה בניצב למישור הטבעת הוא )(6.65 Icm = mR2 מה יהיה מומנט ההתמד ביחס לציר מקביל אבל עובר דרך אחת הנקודות בחישוק ? פרק .6 102 תנועה סיבובית של גוף קשיח איור :17.6ציר עובר דרך החישוק. לפי משפט שטיינר )(6.66 I = Icm + mR2 = 2mR2 דוגמה 6.2.5דרך שתי נקודות הגוף A ,ו B -עוברים שני צירים מקבילים .מומנט התמד ביחס לציר Aידוע ושווה .IAאם נעביר ציר מקביל דרך מרכז המסה ,המרחקים בין הצירים יהיו dAו ,dB -בהתאמה .מהו מומנט ההתמד ביחס לציר ?ֿ Bמסת הגוף היא .mלפי משפט שטיינר: )(6.67 )(6.68 )(6.69 IA = Icm + md2A IB = Icm + md2B ) IB = IA + m(d2B − d2A דוגמה 6.2.6נחשב את מומנט ההתמד של דיסקה שטוחה אחידה ,בעלת רדיוס R ומסה ,mביחס לציר העובר דרך מרכז המסה בניצב למישור הדיסקה. נחלק את הדיסקה לטבעות בעובי .dr 6.2. 103 גוף קשיח איור :18.6מומנט התמד של דיסקה אחידה. היחס של מסת הטבעת ברדיוס rועובי drלמסת הדיסקה כולה כיחס השטחים )כי הדיסקה אחידה(: dm 2πrdr = m πR2 2mrdr = dm R2 )(6.70 )(6.71 כל טבעת תורמת למומנט ההתמד את החלק משלה השווה 2mr3 dr R2 )(6.72 = dI = dmr2 לכן מומנט ההתמד של הדיסקה הוא 2mr3 dr mR2 = R2 2 )(6.73 שאלת הבנה 6.2.1 6.2.4 R ∫ ∫ = dI =I 0 מהו מומנט ההתמד של גליל אחיד ביחס לציר הגליל ? אנרגיה קינטית של גוף קשיח מסתובב נניח שציר Oמקובע .אנרגיה קינטית של הגוף ברגע שמהירות זוויתי שלו סביב ציר O היא ωשווה ל- ∑ mi v 2 ∑ mi (ωri )2 1 ∑ 1 i = ( = mi ri2 )ω 2 = IO ω 2 =K )(6.74 2 2 2 i 2 i i זאת כל האנרגיה הקינטתי של הגוף .האנרגיה הקינטית הפנימית היא אנרגיית התנועה ביחס למרכז המסה .כל נקודה בגוף באותו רגע מסתובבת באותה מהירות פרק .6 104 תנועה סיבובית של גוף קשיח זוויתי סביב ציר מקביל העובר דרך מרכז המסה ,רק רדיוס הסיבוב שלה הוא הפעם המרחק לציר חדש ,לכן 1 Kint = Icm ω 2 2 )(6.75 אנרגיה קינטית זו היא רק חלק מאנרגיה קינטית של הגוף ,כדי לקבל את כול האנרגיה הקינטית יש להוסיף את האנרגיה הקינטית של מרכז המסה 1 2 Kcm = M Vcm 2 )(6.76 6.2.5 שיווי משקל של גוף קשיח בשיווי משקל אין תנועה ,לא קווית ולא סיבובית .לכן בשיווי משקל V⃗cm = 0 → P⃗ = 0 ω = 0 → J⃗ = 0 )(6.77 )(6.78 אם המערכת נמצאת בשיווי משקל ,היא תישאר בו כל עוד התנאים לא משתנים )זאת הגדרת שיווי משקל( .לכן ∑ ⃗dP F⃗ext = 0 →=0 dt ∑ ⃗dJ →=0 ⃗τext = 0 dt )(6.79 )(6.80 בשיווי משקל הכוח השקול מתאפס ומומנט הפיתול הכולל מתאפס. שאלת הבנה 6.2.2מומנט פיתול תמיד מחושב ביחס לנקודת יחוס כלשהי .ביחס לאיזו נקודה מתאפס מומנט הפיתול בשיווי משקל ? ביחס לכל נקודה שנבחר כנקודת יחוס. 6.3 יישומים 6.3.1 יישומי החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית של גוף קשיח דוגמה 6.3.1 גוף אחיד בצורה מלבנית )אורך ,lגובה (hנח על מישור אופקי .מקדם החיכוך הסטטי בין הגוף למישור הוא .µsלפאה העליונה מפעילים כוח אופקי שגדל בהדרגה מאפס .האם הגוף יתחיל להחליק או יתחיל להסתובב סביב אחת הצלעות )להתהפך( ? 6.3. 105 יישומים איור :19.6יחליק או יתהפך ? כדי לענות לשאלה צריך לחשב כוח אופקי מירבי אשר מאפשר לגוף לא להחליק וכוח אופקי מירבי אשר מאפשר לגוף לא להסתובב .הקטן בין השניים ייתן תשובה לשאלה .במילים אחרות ,אנחנו בודקים את המערכת במצב שיווי משקל ,כאשר סכום הכוחות מתאפס וסכום מומנטי הפיתול מתאפס. החלקה :החוק השני של ניוטון )רגיל ,לא לתנועה סיבובית( קובע: )(6.81 )(6.82 )(6.83 )(6.84 N − mg = 0 F − fs = 0 fs ≤ µs N F ≤ µs mg לכן הכוח המירבי שמאפשר לגוף לא להחליק הוא .Fmax,sliding = µs mg סיבוב :נבחר את הכיוון הסיבוב של הכוח החיצוני כחיובי .מומנט הפיתול של הכוח הזה הוא גודל הכוח כפול זרוע .הזרוע היא המרחק בין ציר הסיבוב לקוו פעולת הכוח ,ז״א ארך האנך מציר הסיבוב על קוו ישר שעליו יושב וקטור ⃗ .Fלכן .τF = F hגם תגובת המשטח גורמת למומנט הפיתול בכיוון חיובי ,נסמן את המומנט הזה באמצעות τNולא נשכח ש .τN ≥ 0 -מומנט הפיתול של כוח הכבידה מחושב כאילו כל כוח הכבידה ,אשר פועל על הגוף ,מופעל במרכז המסה ,לכן )(6.85 )τg = −mg(l/2 כי מומנט הפיתול הזה מסובב בכיוון הפוך לזה של ,Fז״א בכיוון שלילי .לכן )(6.86 )(6.87 )(6.88 F h + τN − mgl/2 = 0 τN = mgl/2 − F h ≥ 0 F ≤ mgl/2h הכוח המירבי שמאפשר לגוף לא להתהפך הוא .Fmax,overturning = mgl/2h אם ,Fmax,overturning < Fmax,slidingז״א ,l/2h < µsהגוף יתהפך כאשר מגדילים את הכוח Fבהדרגה ,אחרת הוא יחליק. דוגמה 6.3.2מוט שמסתו mנשען על שני משולשים במצב אופקי .המרחקים בין מרכז המסה של המוט לבין נקודות התמיכה הם l1ו ,l2 -בהתאמה .המוט נמצא בשיווי משקל .מצאו את הכוחות שמפעילים המשענות על המוט. פרק .6 106 תנועה סיבובית של גוף קשיח איור :20.6מוט אחיד על שתי משענות. נסמן את הכוחות ב N1 -ו .N2 -בשיווי משקל סכום הכוחות שפועלים על המוט מתאפס: N1 + N2 − mg = 0 )(6.89 גם סכום מומנטי הפיתול ,ביחס לכל נקודה שנבחר ,חייב להתאפס .אפשר לבחור נקודת יחוס כך שיהיה נוח .אם נבחר נקודה 1כציר הסיבוב )נקודת יחוס( וכיוון הסיבוב לפי השעון כחיובי ,נקבל את סכום המומנטים בצורה הבאה: )(6.90 mgl1 l1 + l2 = N1 · 0 + mgl1 − N2 (l1 + l2 ) = 0 → N2 באותה מידה אפשר לבחור נקודה 2כציר הסיבוב וכיוון נגד השעון )שרירותית( כחיובי, אז נקבל )(6.91 mgl2 l1 + l2 = N1 · 0 + mgl2 − N1 (l1 + l2 ) = 0 → N1 קל לבדוק שסכום הכוחות מתאפס. הבחירה המוצלחת אפשרה למצוא את הכוחות בדרך הקצרה ביותר .אפשר היה לבחור נקודה אחרת ,למשל ,מרכז המסה ,אז היינו מקבלים )(6.92 N1 l1 − N2 l2 = 0 ביחד אם המשוואה לכוחות היינו מקבלים אותן תוצאות בדרך קצת יותר ארוכה. דוגמה 6.3.3מוט אחיד נשען על רצפה אופקית וקיר אנכי בפינה .מקדם החיכוך הסטטי בין המוט לבין הרצפה הוא .µsמהי הזווית המינימלית בין המוט לרצפה בשיווי משקל ? 6.3. 107 יישומים איור :21.6מוט נשען על רצפה וקיר. בשיווי משקל )(6.93 )(6.94 )(6.95 )(6.96 )(6.97 )(6.98 )(6.99 Nwall − fs = 0 Nf loor − mg = 0 fs ≤ µs Nf loor Nwall l sin θ − mgl cos θ/2 = 0 fs = Nwall = mg cot θ/2 mg cot θ/2 ≤ µs mg cot θ ≤ 2µs דוגמה 6.3.4שני גופים מחוברים באמצעות חוט שעובר מעל גלגלת .הגלגלת יכולה להסתובב סביר צירה ללא חיכוך ,מומנט ההתמד שלה ביחס לצירה .Iהחוט אינו מתארך ואינו מחליק על הגלגלת )הדבר האחרון אומר שישנו חיכוך סטטי מספיק גדול בין החוט לבין הגלגלת( .מסות הגופים הן m1ו ,m2 -ורדיוס הגלגלת הוא .Rמצאו את תאוצות הגופים ,תאוצה זוויתית של הגלגלת ומתיחויות בחוט. 108 פרק .6 תנועה סיבובית של גוף קשיח איור :22.6גופים מחוברים בחוט וגלגלת. נסמן את התאוצה של גוף 1כ a -ונניח שהיא כלפי מטה .בגלל שהחוט אינו מתארך תאוצת הגוף 2היא aכלפי מעלה .בגלל שהחוט אינו מחליק על הגלגלת, היא מסתובבת נגד השעון ומהירות נקודת הגלגלת בנקודה המגע שווה למהירות החוט )מהירות הגוף .v = ωR (1אם נגזור את הביטוי הזה לפי זמן ,נקבל )(6.100 a = αR 6.3. 109 יישומים כאשר αהיא תאוצה זוויתית של הגלגלת .עכשיו נותר רק לרשום את החוק השני של ניוטון לכל שלושת הגופים: m1 g − T1 = m1 a T2 − m2 g = m2 a )(6.101 )(6.102 )(6.103 Ia R 1: 2: = R : T1 R − T2 R = Iα מכאן )(6.104 (m1 − m2 )g m1 + m2 + RI2 =a מצאו את הנותר לבד. דוגמה 6.3.5מוט אופקי אחיד מחובר בקצה אחד לציר סיבוב אופקי שסביבו הוא יכול להסתובב ללא חיכוך במישור אנכי .מחזיקים את המוט במצב אופקי ומשחררים. מהי תאוצת הקצה החופשי של המוט מיד לאחר השחרור ומה הכוח שהוא מפעיל על הציר ברגע זה ? מסת המוט היא .m איור :23.6נפילת המוט. מרגע השחרור המוט מתחיל להסתובב סביב ציר הסיבוב .הכוח היחיד שתורם למומנט הפיתול ביחס לציר הסיבוב הזה הוא כוח הכבידה .אם אורך המוט ,lהחוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית הוא )(6.105 )(6.106 )(6.107 Iα = mgl/2 ml2 =I 3 3g =α 2l כאשר αהיא תאוצה זוויתית של המוט ו I -הוא מומנט ההתמד של המוט ביחס לציר שעובר דרך הקצה בניצב למוט .גודל המהירות של נקודת המוט ,הנמצאת במרחק R מהציר ,קשורה למהירות הזוויתית של המוט ,כמו בכל תנועה מעגלית: )(6.108 v = ωR לכן הקשר בין התאוצה הזוויתית לבין התאוצה המשיקית של נקודה זו הוא )(6.109 at = αR פרק .6 110 תנועה סיבובית של גוף קשיח ברגע השחרור מהירות של כל נקודה במוט עדיין אפס ,לכן תאוצה ניצבת גם היא אפס .בקצה ,R = lלכן 3 al = αl = g 2 )(6.110 את הכוח שהמוט מפעיל על המשענת נמצא מחוקי ניוטון לתנועה קווית: )mg − N = macm = mαRcm = mα(l/2 N = mg/4 )(6.111 )(6.112 דרך אחרת :נרשום את החוק השני של ניוטון לתנועת מרכז המסה: mg − N = macm )(6.113 ואת החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית סביב מרכז המסה: )(6.114 N (l/2) = Icm α יש להוסיף את הקשר בין תאוצת מרכז המסה ותאוצה זוויתית: )(6.115 )acm = α(l/2 וגם להשתמש במשפר שטיינר ml2 12 )(6.116 I = Icm + תראו שפתרון המשוואות האלה נותן אותם αו.N - האם ניתן להשתמש בחוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית כאשר נבחר ,למשל, את הקצה החופשי כציר סיבוב ? אם ננסה ,נקבל: N l − mg(l/2) = Iα mg − N = macm )acm = α(l/2 3g =α 5l )(6.117 )(6.118 )(6.119 )(6.120 וזה לא נכון .איפה הטעות ? הגוף איננו מסתובב כגוף קשיח סביב הנקודה שברגע השחרור נמצאת בקצה החופשי )אמנם מהירות של נקודה זו אפס ברגע הראשון אבל תאוצתה איננה אפס( ,לכן בשורה הראשונה של המשוואות מומנט הפיתול חייב להיות שווה לקצב השינוי של תנע זוויתי כולו .J = Icm ω − mvcm (l/2) ,המשוואה הנכונה תהיה )N l − mg(l/2) = Icm α − macm (l/2 )(6.121 6.3.2 גלגול גלגול זה סוג התנועה )בדרך כלל ,של גופים סימטריים( כאשר מרכז המסה של הגוף נע ,הגוף מסתובב סביב מרכז המסה ונקודה אחת של הגוף בכל רגע נמצאת במגע עם משטח .אנחנו נסתפק בגלגול של גופים עם סימטריה מעגלית בחתך ,על משטחים 6.3. 111 יישומים מישוריים .אם מהירות מרכז המסה היא ) vcmמהירות זו היא בכיוון המשיק למשטח(, ומהירות זוויתית של סיבוב הגוף סביב מרכז המסה היא ,ωאז מהירות הנקודה שנמצאת במגע עם המשטח היא vO = vcm − ωRביחס למשטח. איור :24.6גלגול :מהירות בנקודת המגע. כאשר ) vO = 0גלגול ללא החלקה( המהירות היחסית בנקודת המגע היא אפס, לכן החיכוך ,אם ישנו ,הוא חיכוך סטטי ,עם כל התכונות של חיכוך סטטי .אם v0 ̸= 0 )גלגול עם החלקה( החיכוך הוא חיכוך קינטי ,תכונותיו שונות לגמרי מאלה של חיכוך סטטי. במקרה של גלגול ללא החלקה ,בכל רגע נתון אפשר לתאר את תנועת הגוף כסיבוב של גוף קשיח כולו סביב הציר שעובר בנקודת המגע ,וזה בגלל הקשר .vO = vcm − ωR = 0 ⇒ aO = acm − αR = 0 במקרה של גלגול עם החלקה תיאור כזה בלתי אפשרי. דוגמה 6.3.6גוף בעל רדיוס Rמסה mומומנט התמד ביחס למרכז המסה Icm מתגלגל במדרון בעל זווית θללא החלקה .מה התאוצה של הגוף ומהו מקדם החיכוך הסטטי המינימלי שמאפשר תנועה זו ? 112 תנועה סיבובית של גוף קשיח פרק .6 איור :25.6גלגול במדרון. נפתור בשתי דרכים. דרך ראשונה :נרשום את החוק השני של ניוטון לתנועה קווית של מרכז המסה ותנועה סיבובית סביב מרכז המסה )מומנט הפיתול היחיד הוא של כוח החיכוך ,כי כוח הכבידה לא יוצר מומנט פיתול סביב מרכז המסה וזרועה של כוח התגובה הניצב היא אפס -קוו פעולתו עובר דרך המרכז(: mg sin θ − f = macm N − mg cos θ = 0 f R = Icm α )(6.122 )(6.123 )(6.124 עד כה המשוואות מתאימות גם לגלגול עם החלקה .בגלגול ללא החלקה אנחנו מוסיפים את הקשר )(6.125 acm = αR ואת התנאי על חיכוך סטטי |f | ≤ µs N = µs mg cos θ )(6.126 הצבות פשוטות מביאות את התוצאה: g sin θ Icm 1 + mR 2 )(6.127 )(6.128 )(6.129 Icm mR2 Icm + mR 2 1 = acm f = mg sin θ − macm = mg sin θ Icm mR2 Icm + mR 2 1 µs ≥ tan θ דרך שנייה :נתייחס לתנועה של הגוף כסיבוב של גוף קשיח סביב נקודת המגע. מומנט הפיתול היחיד הוא של כוח הכבידה ,כי זרועות של כוח החיכוך וכוח התגובה הניצב הן אפס כי הם מופעלים בנקודת המגע. 6.3. 113 יישומים איור :26.6גלגול במדרון :דרך שנייה. לכן )(6.130 )(6.131 )(6.132 )(6.133 mg sin θR = Iα I = Icm + mR2 g sin θ =α Icm R(1 + mR )2 g sin θ = acm Icm 1 + mR 2 במקרה הזה ,כאשר אין החלקה ,שתי הדרכים טובות ומביאות לאותה תוצאה. כאשר יש החלקה הדרך השנייה בלתי אפשרית .הדרך הראשונה תמיד נכונה ובמקרה עם החלקה נותנת: )(6.134 )(6.135 )(6.136 )(6.137 )(6.138 N − mg cos θ = 0 mg sin θ − µk mg cos θ = macm )acm = g(sin θ − µk cos θ µk mg cos θR = Icm α µk g cos θ =α Icm /mR דוגמה 6.3.7גליל סימטרי )לא בהכרח אחיד( בעל רדיוס ,Rמסה mומומנט התמד Icmביחס למרכז המסה )מרכז המסה נמצא על ציר הגליל בגלל הסימטריה( נח על 114 פרק .6 תנועה סיבובית של גוף קשיח מישור אופקי .באיזה גובה hצריך להפעיל כוח אופקי כדי שהגליל יתחיל להתגלגל ללא החלקה ? אין חיכוך. איור :27.6דחיפת גליל ללא החלקה. אנחנו נשתמש בחוק השני של ניוטון לתנועת מרכז המסה ולתנועה סיבובית סביב נקודת המגע )אין החלקה !(: )(6.139 )(6.140 )(6.141 )(6.142 )(6.143 F = macm F h = Iα acm = αR I = Icm + mR2 ( ) Iα Icm =⇒h =R 1+ macm mR2 דוגמה 6.3.8נתונים שני גלגלים ,בעלי מסות m1ו ,m2 -רדיוסים R1ו ,R2 -ומומנטי התמד ביחס למרכז המסה I1ו ,I2 -בהתאמה .כל גלגל יכול להסתובב סביב צירו ללא חיכוך .בהתחלה גלגל 1מסתובב במהירות זוויתית .ω0הגלגלים מובאים למגע .צירי הגלגלים מקבילים זה לזה .מה תהינה מהירויות זוויתיות של הגלגלים כעבור זמן רב ? 6.3. 115 יישומים איור :28.6שני גלגלים במגע. כאשר הגלגלים מובאים במגע ,בין השניים פועלים כוחות חיכוך קינטי .כוח חיכוך fגורם למומנט הפיתול f R1אשר מאט את הסיבוב של הגלגל הראשון .אותו כוח )הפוך ,למעשה( גורם למומנט הפיתול f R2אשר מאיץ את הסיבוב של גלגל :2 )(6.144 )(6.145 )(6.146 )(6.147 dω1 = −f R1 dt f R1 t ω1 = ω0 − I1 dω2 I2 = f R2 dt f R2 t = ω2 I2 I1 כוח החיכוך קיים כל עוד מהירות יחסית בין הגלגלים .vrel = ω1 R1 − ω2 R2 ̸= 0 ,ברגע שהמהירות הזאת מתאפסת ,החיכוך נעלם ,ומהירויות זוויתיות לא משתנות יותר. נמצא את הרגע הזה ∗: t )(6.148 )(6.149 )(6.150 )(6.151 ∗f R22 t ∗f R12 t = I1 I2 ω0 R1 = ∗t 2 ) f (R1 /I1 + R22 /I2 R2 /I2 ω1 (t∗ ) = ω0 2 2 2 R1 /I1 + R2 /I2 R2 /I1 ω2 = ω0 2 1 2 R1 /I1 + R2 /I2 ω0 R1 − 116 פרק .6 תנועה סיבובית של גוף קשיח פרק 7 תנודות בפרק זה נלמד סוג מיוחד ומאוד חשוב של תנועה :תנודות הרמוניות. 7.1 תנועה הרמונית פשוטה נניח שתנועה של גוף מתוארת ע״י קואורדינטה אחת ,x ,ותלות של הקואורדינטה הזאת בזמן ניתן ע״י הביטוי הבא: )(7.1 )x = A cos(ωt + ϕ כאשר ω ,Aו ϕ -קבועים לא תלויים בזמן .תנועה כזאת נקראת תנועה הרמונית פשוטה .את הקבוע Aמקובל להגדיר כך שהוא חיובי .A > 0 ,קבוע זה נקרא תנופה )אמפליטודה( ומשמעותו .A = |x|max איור :1.7תנועה הרמונית פשוטה :מסלול ותנופה. קוסינוס היא פונקציה מחזורית ,cos(ωt + ϕ) = cos(ω(t + 2π/ω) + ϕ) :ז״א = T 2π/ωהוא זמן המחזור .הקבוע ωנקרא תדירות. אם המופע ϕ = 0אז ברגע t = 0הקואורדינטה מקסימלית .x(t = 0) = A 117 פרק .7 118 תנודות איור .ϕ = 0 ,x = A cos ωt :2.7 כאשר ,ϕ ̸= 0הרגע הקרוב ל t = 0שבו הקואורדינטה xמגיעה למקסימום מתקבל מהמשוואה: ϕ ωtm + ϕ = 0 → tm = − )(7.2 ω זאת המשמעות של המופע :הוא מראה בכמה זמן מקסימום של הקואורדינטה מפגר אחרי או מקדים את המקסימום במקרה של .t = 0 איור :3.7השוואה של ϕ = 0ו.ϕ ̸= 0 - נחשב את המהירות )(7.3 dx )= −ωA sin(ωt + ϕ dt = vx 7.1. 119 תנועה הרמונית פשוטה ברגע t = 0הקואורדינטה התחלתית והמהירות התחלתית הן )(7.4 )(7.5 x(t = 0) = x0 = A cos ϕ vx (t = 0) = v0 = −ωA sin ϕ מכאן √ )(7.6 )(7.7 )(7.8 v2 x20 + 02 ω x0 = cos ϕ A v0 sin ϕ = − ωA =A קואורדינטה התחלתית ומהירות התחלתית קובעות את התנופה ואת המופע .לדוגמה, אם התנועה מתחילה מקואורדינטה מקסימלית ומהירות אפסית ,המופע הוא אפס. אם ברגע הראשון הגוף נמצא בראשית הקואורדינטות ומהירות שלו בכיוון חיובי, המופע .ϕ = −π/2 7.1.1 כוח בתנועה הרמונית פשוטה נניח שגוף נקודתי ,שמסתו ,mמבצע תנועה הרמונית פשוטה .מה חייב להיות הכוח הגורם לתנועה זו ? החוק השני של ניוטון קובע: )(7.9 )(7.10 max = Fx dvx = ax = −ω 2 A cos(ωt + ϕ) = −ω 2 x dt לכן )(7.11 Fx = −kx, k = mω 2 נשים לב לכך שבנקודה x = 0הכוח מתאפס .אם הגוף יימצא בנקודה זו וברגע זה מהירות שלו תהיה אפס ,גם התאוצה שלו תהיה אפס ,ז״א נקודה זו היא נקודת שיווי משקל שלו ,והקואורדינטה xמודדת את תזוזתו משיווי המשקל .הכוח ,אשר גורם לתנועה הרמונית פשוטה ,חייב להיות פרופורציוני לתזוזה משיווי משקל ומחזיר )בכיוון נקודת שיווי המשקל(. נניח עכשיו שידוע לנו שעל גוף נקודתי שמסתו mפועל כוח ,Fx = −kxכאשר k קבוע והתנועה היא לאורך ציר .xהחוק השני של ניוטון מקבל את הצורה הבאה: )(7.12 d2 x = −kx dt2 max = m האם תנועת הגוף היא בהכרח תנועה הרמונית פשוטה ? התשובה היא כן ,אין אפשרויות אחרות ,פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית הזאת חייב להיות בצורה )(7.13 ω 2 = k/m x = A cos(ωt + ϕ), חשוב להדגיש שמקדם בכוח kומסה mקובעים את התדירות ,ωאבל לא קובעים את התנופה Aואת המופע :ϕכדי לדעת את שני אלה צריך לדעת את תנאיי ההתחלה, פרק .7 120 תנודות קואורדינטה ומהירות ברגע תחילת התנועה .תדירות התנודות אינה תלויה בתנופה: תנודות אלה נקראות תנודות הרמוניות. עקרון מתמטי :משוואות דומות -פתרונות דומים .אם במהלך ניתוח בעיה כלשהי )פיזיקלית ,הנדסית ,פסיכולוגית וכו׳( נגיע למשוואה דיפרנציאלית בצורה הבאה: d2 Z = −QZ d2 T )(7.14 G כאשר Tהוא משתנה בלתי תלוי )״זמן״( Z ,הוא משתנה תלוי )״קואורדינטה״( G ,ו- Qקבועים ,פתרון של המשווה הזו יהיה בצורת תנועה הרמונית פשוטה )(7.15 ω 2 = Q/G Z = A cos(ωT + ϕ), בלי שום קשר למשמעות של המשתנים והקבועים .למתמטיקה לא אכפת מה עומד מאחורי האותיות .אנחנו מיחסים לאותיות משמעות T .יכול להיות גובה ו Z -יכול להיות טמפרטורה ,או Tיכול להיות זמן ו Z -יכול להיות כמות הכסף המושקע בבורסה .התלות המתמטית אותה תלות. 7.1.2 אנרגיה בתנודות הרמוניות אנחנו כבר יודעים שהכוח Fx = −kxהוא כוח פוטנציאלי )משמר( והאנרגיה הפוטנציאלית 2 שלו היא .U (x) = − kx2מאחר שאין כוחות אחרים ,אנרגיית הגוף חייבת להישמר: )(7.16 1 + kx2 = E = const 2 )2 dx dt ( mvx2 kx2 1 + = m 2 2 2 לפי אותו עקרון מתמטי ,אם במהלך ניתוח בעיה כלשהי אנחנו מגיעים למסקנה ש- 1 + QZ 2 = const 2 )(7.17 )2 dZ dT ( 1 G 2 אז אנחנו מיד יודעים שתלות של Zב T -היא כמו בתנועה הרמונית פשוטה: )(7.18 ω 2 = Q/G Z = A cos(ωT + ϕ), אנרגיית תנודות נשמרת ,לכן אפשר לחשב אותה בנקודה מסיומת ,למשל ,כאשר dZ , dTאז Z = Aו= 0 - 1 1 + QZ 2 = QA2 2 2 )(7.19 במקרה של חלקיק נקבל 7.1.3 kA2 2 )2 dZ dT ( 1 E= G 2 = :Eאנרגיית התנודות פרופרציונית לתנופה בריבוע. למה תנודות הרמוניות ? למה לומדים תנודות הרמוניות ? למה סוג תנועה זה כל כך חשוב ? נניח שחלקיק נע לאורך קוו ישר ואנרגיה פוטנציאלית שלו ) ,U (xואין כוחות אחרים. 7.1. 121 תנועה הרמונית פשוטה איור :4.7חלקיק באנרגיה פוטנציאלית. אנרגיית החלקיק נשמרת: )2 )(7.20 + U (x) = E = const dx dt ( 1 m 2 אם יש שתי נקודות החזרה שבהן ,U (x1 ) = U (x2 ) = Eהחלקיק מבצע תנודות בין שתי נקודות החזרה אלה .באופן כללי ,זמן המחזור של תנודות אלה תלוי באנרגיה הרמוניות .נסמן ב xc -את נקודת המינימום שבה תנודות אלה אינן תנודות ) ( dU ,Eלכן ) ( dU . dx x=xc = 0בנקודה זו הכוח Fx = − dx = 0ולכן זאת נקודת שיווי מקשל. שאלת הבנה 7.1.1האם זאת נקודת שיווי משקל יציב או לא יציב ? יציב :משני צידי הנקודה xcכיוון הכוח כזה שהוא מחזיר לנקודה זו. אם אנרגית הגוף ) E = U (xcאז הגוף נמצא במנוחה בנקודה .xcנוסיף קצת אנרגיה .הגוף יתנדנד בקרבת נקודת שיווי משקל זו .כאשר תנועה מתקיימת קרוב לנקודה זו ,הצורה המדויקת של האנרגיה הפוטנציאלית בכל מקום לא חשובה .קרוב לנקודה זו אפשר להשתמש בקירוב )פיתוח טיילור(: ) ( ( ) dU 1 d2 U U (x) = U (xc ) + (x − xc ) + (x − xc )2 + . . . )(7.21 dx x=xc 2 dx2 x=xc האיבר הראשון קבוע ולא משפיע על התנועה .האיבר השני מתאפס זהותית ,כי נקודה זו היא מינימום של .Uבמקרים רבים האיבר השלישי אינו אפס ,ומספיק קרוב לנקודה xcאפשר להסתפק בו ולזרוק את היתר .במקרה זה נוח להזיז את הקואורדינטות לנקודת המינימום ,ז״א להחליף סימון .x − xc → xנסמן ראשית ) ( 2 =k . ddxU2בנקודת מינימום .k > 0עם כל זה נקבל x=xc ( )(7.22 )(7.23 )2 dx 1 + kx2 = const dt 2 ) ( 2 dU =k dx2 x=0 1 m 2 הצצה במבנה של אנרגיה מיד אומר לנו שהתנועה היא תנודות הרמוניות .שימו לבx : זו תזוזה משיווי משקל יציב .השורה התחתונה :תנודות הרמוניות הן תנועה טיפוסית של מערכות קרוב לשיווי משקל יציב .זה מסביר את החשיבות של תנודות הרמוניות. 122 7.1.4 פרק .7 תנודות יישומים דוגמה 7.1.1גוף נקודתי בעל מסה mנמצא על מישור אופקי ללא חיכוך ומחובר לקפיץ בעל קבוע קפיץ .kהקצה השני של הקפיץ מקובע בקיר .במערכת הזאת הגוף נמצא בשיווי משקל כאשר הקפיץ רפוי. איור :5.7קפיץ אופקי. √הגוף תהיה (m/2)(dx/dt)2 + (k/2)x2 אם התזוזה משיווי המשקל היא xאז אנרגיה והתנועה היא תנודות הרמוניות בתדירות .ω = k/m דוגמה 7.1.2גוף נקודתי בעל מסה mתלוי מחובר לקפיץ בעל קבוע קפיץ .kהקצה השני של הקפיץ מקובע בתקרה. איור :6.7גוף תלוי על קפיץ. 7.1. 123 תנועה הרמונית פשוטה הפעם בשיווי משקל הקפיץ מתוח באורך lכך שסכום הכוחות מתאפסkl = : .mg → l = mg/kאם נזיז את הגוף ממצב שיווי המשקל זה ב) x -התזוזה יכולה להיות גם חיובית וגם שלילית( ,האנרגיה הנשמרת של הגוף תהיה ( )2 1 dx 1 1 E= m − mgx + k(l + x)2 − kl2 )(7.24 2 dt 2 2 בביטוי הזה בחרנו את נקודת הייחוס של האנרגיה בשיווי המשקל .אם ניקח בחשבון את ערך ה l -שמצאנו קודם מבדיקת שיווי משקל ,נקבל ( )2 1 dx 1 )(7.25 m + kx2 = const 2 dt 2 והמבנה הזה מחייב תנודות הרמוניות בתדירות .ω 2 = k/m דוגמה 7.1.3מטוטלת מתמטית היא גוף נקודתי מחובר לתקרה באמצעות מוט ללא מסה שאורכו .lהקואורדינטה המתאימה ביותר לתיאור התנועה היא הזווית בין המוט לבין האנך .θ איור :7.7מטוטלת מתמטית. הגוף נמצא בשיווי משקל כאשר .θ = 0האנרגיה נשמרת )למה ?( ושווה ל- )(7.26 1 2 mv + mgl(1 − cos θ) = const 2 כאשר נקודת הייחוס לאנרגיית הכבידה נבחרה בנקודת שיווי המשקל .הגוף מבצע תנועה מעגלית ,לכן :v = (dθ/dt)l )2 )(7.27 + mgl(1 − cos θ) = const dθ dt ( 1 ) (ml2 2 פרק .7 124 תנודות לביטוי הזה אין צורה אופיינית לתנודות הרמוניות ,לכן תנועת הגוף איננה תנועה הרמונית בכל הזוויות .קרוב לשיהווי משקל ,θ ≪ 1 ,אפשר להשתמש בקירוב ≈ cos θ ,1 − 12 θ2ואז האנרגיה מקבלת את הצורה הבאה: )(7.28 1 + mglθ2 = const 2 )2 dθ dt ( 1 ) (ml2 2 צורה זו מראה שתנודות עם זוויות קטנות הן תנודות הרמוניות בתדירות g mgl = ml2 l )(7.29 7.1.5 = ω2 מטוטלת פיזיקלית מטוטלת פיזיקלית היא גוף קשיח אשר יכול להסתובב במישור אנכי סביב ציר אופקי. נסמן ב lcm -את המרחק בין מרכז המסה של הגוף לציר הסיבוב Icm ,הוא מומנט ההתמד של הגוף ביחס לציר העובר דרך מרכז המסה ומקביל לציר הסיבוב m ,זאת מסתו. איור :8.7מטוטלת פיזיקלית. לשם שינוי ,הפעם נשתמש לא בחישוב האנרגיה אלא ברישום החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית .הגוף נמצא בשיווי משקל ,כאשר מרכז המסה שלו נמצא בקוו אנכי מתחת לציר הסיבוב .אם הקו מציר הסיבוב למרכז המסה סוטה בזווית θמהאנך, מומנט הפיתול של כוח הכבידה הוא ,τ = −mglcm sin θכאשר סימן מינוס מראה שמומנט הפיתול פועל להחזיר את הגוף למצב שיווי משקל .החוק השני של ניוטון מקבל את הצורה הבאה: )(7.30 )(7.31 d2 θ I 2 = −mglcm sin θ dt 2 I = Icm + mlcm 7.1. 125 תנועה הרמונית פשוטה ה״כוח״ עכשיו אינו פרופורציוני לתזוזה ,θלכן התנודות אינן תנודות הרמוניות לכל הזוויות .במקרה של זוויות קטנות ,θ ≪ 1 ,אפשר להשתמש בקירוב sin θ ≈ θולקבל d2 θ = −mglcm θ )(7.32 dt2 הצורה הזאת מחייבת תנודות הרמוניות בתדירות mglcm = ω2 )(7.33 2 Icm + mlcm 2 (Icm + mlcm ) אפשר לקבל מכאן את הביטוי למטוטלת מתמטית כאשר .Icm = 0 הערה :את הנוסחה שקיבלנו אפשר לרשום בצורה הבאה: ) ( g 1 2 = ω )(7.34 2 lcm 1 + Icm /mRcm כאשר g/lcmזאת התדירות בריבוע של מטוטלת מתמטית שאורכה ) lcmכאילו גוף 2 נקודתי נמצא במרכז המסה( והתיקון תלוי ביחס ,Icm /mRcmכאשר Rcmהוא רדיוס הסיבוב של מרכז המסה )שמבקרה זה שווה ל ). lcm -שימו לב שהיחס הזה שיחק תפקיד מרכזי גם בדוגמאות של תנועה סיבובית של גוף קשיח ,במיוחד גלגול .האם יש קשר ? תרגיל 7.1.1מוט אחיד נמצא בשיווי משקל יציב כאשר הוא נשען במצב אופקי על שני גלגלים קטנים המסתובבים בכיוונים הפוכים במהירויות זוויתיות גבוהות .מסת המוט היא ,mמקדם החיכוך הקינטי בין המוט לגלגלים הוא ,µהמרחק בין הגלגלים הוא .lמזיזים קצת את המוט הצידה )במקביל לאורכו( ומשחררים .מה תהיה התנועה שלו ? איור :9.7מוט על שני גלגלים. נסמן ב N1 -את הכוח האנכי שמפעיל הגלגל השמאלי על המוט וב N2 -את הכוח שהגלגל הימני מפעיל .במצב שיווי משקל מרכז המסה חייב להיות באמצע בין הגלגלים :במצב זה N1 = N2וכוחות החיכוך )אופקיים( של שני הגלגלים שווים בגודלם µN1 = µN2ומנוגדים בכיוונם .במצב כאשר המוט זז ב xמשיווי המשקל )כדי שיהיה נוח ,נניח שימינה( ,המרחק בין מרכז המסה לגלגל השמאלי יהיה l/2 + x ולגלגל הימני .l/2 − xהמוט אינו מסתובב אלא רק נע אופקית ,לכן סכום מומנטי הפיתול ביחס לנקודה שרירותית חייב להיות אפס .נבחר פעם את נקודת המגע עם הגלגל שמאלי ופעם עם הגלגל הימני: ( )x )(7.35 N1 l − mg(l − x/2) = 0 → N1 = mg 1 − ) 2l ( x N2 l − mg(l + x/2) = 0 → N2 = mg 1 + )(7.36 2l פרק .7 126 תנודות בהתאם ,גודלם של כוחות החיכוך יהיו )x f1 = µmg 1 − )(7.37 ) 2l ( x f2 = µmg 1 + )(7.38 2l ( גודל הכוח השקול האופקי יהיה )(7.39 µmg x l =f וכיוונו כמו הכיוון של הכוח .f2אם הגלגל הימני מסתובב לפי כיוון השעון ,המהירות של המוט ביחס לגלגל בנקודת המגע תהיה שמאלה ,ולכן כיוון f2ו f -יהיה ימינה )חיובי( .כוח זה ירחיק את המוט משיווי המשקל ,ז״א שיווי המשקל הזה אינו יציב. המסקנה היא שכדי ששיווי המשקל יהיה יציב ,הגלגל הימני חייב להסתובב נגד כיוון השעון והגלגל השמאלי חייב להסתובב לפי כיוון השעון .במקרה זה הכוח השקול האופקי יהיה שלילי והחוק השני של ניוטון יירשם בצורה הבאה: )(7.40 dx µmg = − x dt2 l צורה זו מחייבת תנודות הרמוניות בתדירות µg l m = .ω 2 8 פרק עברי למונחי מכניקה-מילון אנגלי זווית ( תזוזה )תנודות,(העתק )וקטור מומנט פיתול תנופה מומנט התמד גוף קשיח מופע מערכת יחוס כוח צנטריפטאלי גלגול הספק משקל כבידה כוח הכבידה חיכוך צמיגות צפיפות צפיפות אורכית צפיפות פנים מתקף תנע תנע זוויתי תדירות זמן מחזור שיווי משקל פרופורציוני 127 angle displacement torque amplitude moment of inertia rigid body phase frame centripetal force rolling power weight gravity gravity force friction viscosity density linear density surface density impulse momentum angular momentum frequency period equilibrium proportional 128 פרק .8 מילון אנגלי-עברי למונחי מכניקה פרק 9 תשובות לשאלות הבנה תשובה.2.2.1 אפס תשובה .2.2.2ההעתק הכולל .∆x = v1 ∆t1 + v2 ∆t2משך הזמן הכולל הוא = ∆t ,∆t1לכן .v̄x = ∆x/∆t = (v1 + v2 )/2 תשובה.2.2.3 s1 | |v1 s1 = ∆t2 | |v2 = ∆t1 s1 s1 + | |v1 | |v2 = ∆t = ∆t1 + ∆t2 s = 2s1 s | 2|v1 v2 = |̄|v = ∆t | |v1 | + |v2 וכיוון )סימן( המהירות הממוצעת זהה לכיוון )סימן( של ) v1אשר זהה לכיוון של v2לפי תנאי השאלה(. 129 130 9.1 פרק .9 פתרונות לתרגילים פתרון 2.2.2 תשובות לשאלות הבנה