[ ] ח קרפ '

‫פרק ח' – מכניקה של גוף קשיח‬
‫‪∆θ rad‬‬
‫]‪= [ sec‬‬
‫‪∆t‬‬
‫מהירות זוויתית ממוצעת ‪:‬‬
‫‪∆θ‬‬
‫‪∆t‬‬
‫המהירות הזוויתית הרגעית‪:‬‬
‫‪ω = lim ∆t →0‬‬
‫‪∆ω rad‬‬
‫] ‪= [ sec 2‬‬
‫‪∆t‬‬
‫תאוצה זוויתית ממוצעת‪:‬‬
‫‪∆ω‬‬
‫‪∆t‬‬
‫התאוצה הזוויתית הרגעית‪:‬‬
‫=‪ω‬‬
‫=‪α‬‬
‫‪α = lim ∆t →0‬‬
‫סיבוב בתאוצה זוויתית קבועה‪:‬‬
‫‪ω t = ω0 + α ⋅ t‬‬
‫‪ω0 + ω t‬‬
‫‪⋅t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪θ = θ 0 + ωo ⋅ t + α ⋅ t 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ω t = ω0 + 2 ⋅ α ⋅ (θ − θ 0‬‬
‫‪θ = θ0 +‬‬
‫הקשר בין מהירות קווית למהירות זוויתית‪:‬‬
‫‪v = r⋅ω‬‬
‫תאוצה משיקית‪:‬‬
‫‪aT = r ⋅ α‬‬
‫תאוצה רדיאלית‪:‬‬
‫‪v2‬‬
‫= ‪aR‬‬
‫‪= ω2 ⋅ r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a = aT + aR‬‬
‫‪2‬‬
‫מרכז מסה של גוף קשיח‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∑m ⋅ r‬‬
‫‪∑m‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪G‬‬
‫= ‪rc. m‬‬
‫‪i‬‬
‫מומנט ההתמד‪:‬‬
‫‪I = ∑ mr 2‬‬
‫‪I = ∫ r 2 dm‬‬
‫האנרגיה הקינטית הסיבובית של גוף קשיח‪:‬‬
‫משפט שטיינר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪I ⋅ ω2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪Ek‬‬
‫‪I = I c. m + m ⋅ s 2‬‬
‫הגוף‬
‫מיקום הציר‬
‫מומנט ההתמד‬
‫מוט דק‬
‫מרכז‬
‫‪1‬‬
‫‪m ⋅ L2‬‬
‫‪12‬‬
‫מוט דק‬
‫באחד הקצוות‬
‫‪1‬‬
‫‪m ⋅ L2‬‬
‫‪3‬‬
‫טבלה מלבנית‬
‫במרכז‬
‫‪1‬‬
‫) ‪m ⋅ (a 2 + b 2‬‬
‫‪12‬‬
‫טבלה מלבנית‬
‫לאורך אחת השפות‬
‫‪1‬‬
‫‪m ⋅a2‬‬
‫‪3‬‬
‫טבעת גלילית‬
‫שרדיוסה הפנימי ‪R 1‬‬
‫במרכז‬
‫)‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m ⋅ R1 + R 2‬‬
‫‪2‬‬
‫ורדיוסה החיצוני ‪R 2‬‬
‫גליל מלא‬
‫במרכז‬
‫‪1‬‬
‫‪m ⋅ R2‬‬
‫‪2‬‬
‫גליל חלול בעל דופן דקה‬
‫במרכז‬
‫‪m⋅ R2‬‬
‫כדור מלא‬
‫במרכז‬
‫‪2‬‬
‫‪m ⋅ R2‬‬
‫‪5‬‬
‫כדור חלול‬
‫במרכז‬
‫‪2‬‬
‫‪m ⋅ R2‬‬
‫‪3‬‬
‫מומנט‪ :‬כאשר ‪ r‬זהו זרוע המומנט‬
‫כאשר ‪ θ‬הזווית שבין הכיוון של ‪ r‬לבין הכח ‪F‬‬
‫]‪M = [r × F‬‬
‫‪M = r ⋅ F ⋅ sin θ‬‬
‫מומנט הגורם לסיבוב כנגד מגמת השעון הוא מומנט חיובי‪ ,‬ומומנט הגורם לסיבוב‬
‫עם מגמת השעון הוא מומנט שלילי‪.‬‬
‫מומנט ותאוצה זוויתית‪:‬‬
‫‪∑M = I⋅α‬‬
‫האנרגיה הקינטית הכללית של גוף קשיח שיש לו בו זמנית גם תנועת העתקה וגם‬
‫תנועה סיבובית‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m ⋅ v 2 + I ⋅ ω2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪Ek‬‬
‫) ‪W = M (θ 2 − θ1‬‬
‫עבודה בתנועה סיבובית‪:‬‬
‫‪P= M⋅ω‬‬
‫הספק בתנועה סיבובית‪:‬‬
‫תנע זוויתי‪:‬‬
‫תנע זוויתי של חלקיק נקודתי ‪ ,‬כאשר ‪ θ‬היא הזווית בין כיוון וקטור המיקום ‪r‬‬
‫‪G G‬‬
‫]‪L = [r × p‬‬
‫וכיוון וקטור המהירות ‪. v‬‬
‫‪L = m ⋅ v ⋅ r ⋅ sin θ‬‬
‫‪L = I⋅ω‬‬
‫תנע זוויתי של גוף קשיח‪:‬‬
‫) ‪J θ = M (t 2 − t 1‬‬
‫מתקף זוויתי‪:‬‬
‫חוק שימור התנע הזוויתי‪ :‬כאשר שקול המומנטים החיצוניים הפועלים על מערכת‬
‫שווה לאפס‪ ,‬התנע הזוויתי של המערכת קבוע‪.‬‬
‫' ‪I 1 ω1 + I 2 ω 2 = I 1 ω1 '+ I 2 ω 2‬‬
‫שיווי משקל בגוף קשיח‪:‬‬
‫בכדי שגוף קשיח יימצא בשיווי משקל עליו לקיים את התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪= 0 .1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪∑F‬‬
‫‪y‬‬
‫‪∑M = 0‬‬
‫; ‪=0‬‬
‫‪∑F‬‬
‫‪x‬‬
‫סביב כל ציר שהוא‪.‬‬
‫אוסף בחינות בפיסיקה‬
‫פרק ח' – מכניקה של גוף קשיח‬
‫‪ 8.1‬קורה שאורכה ‪ 3‬מטר ומסתה ‪ 200‬קג"מ נשענת על קיר בזווית של ‪. 20°‬‬
‫נתון כי אין חיכוך בין הקורה והקיר‪ ,‬ומקדם החיכוך הסטטי בין הקורה‬
‫לרצפה הוא ‪. µ s = 0.5‬‬
‫‪20°‬‬
‫א‪ .‬חשב את הכוחות שמפעילים הקיר והרצפה על קצות הקורה‪.‬‬
‫) ‪(N1 = 364N ; P = 2032.85N‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהי הזווית המקסימלית שבה ניתן להשעין את הקורה מבלי שתחליק? ) ‪(θmax = 45°‬‬
‫‪ 8.2‬מסה של ‪ 2kg‬הקשורה לדיסקה שרדיוסה ‪ 20cm‬משוחררת ממנוחה ויורדת עד‬
‫‪0.2 m‬‬
‫לרצפה‪ ,‬מרחק של ‪ 1m‬תוך ‪.0.5sec‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצת המסה? )‬
‫‪sec 2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪(a = 8‬‬
‫ב‪ .‬חשב את מתיחות החוט‪(T = 3.6 N ) .‬‬
‫ג‪ .‬מהי מסת הדיסקה? )‪(m = 0.9 kg‬‬
‫‪2 kg‬‬
‫ד‪ .‬מהי המהירות הזוויתית של הדיסקה ברגע פגיעת המסה בקרקע? )‪(ω = 20 rad sec‬‬
‫‪ 8.3‬כדור שרדיוסו ‪ R‬וטבעת שרדיוסה ‪ , R ' = 2 R‬מתגלגלים ללא החלקה על מישור משופע‬
‫כמוראה בציור‪ .‬שני גופים מתחילים ממנוחה‪.‬‬
‫מומנט ההתמד של הכדור מסביב לנקודת המגע בינו‬
‫‪7‬‬
‫ובין המישור הוא ‪mR 2‬‬
‫‪5‬‬
‫ושל הטבעת ‪. 2mR ' 2‬‬
‫מסת הכדור והטבעת שווה ל – ‪. m‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫⎞‬
‫‪⎛ α1‬‬
‫⎜⎜‬
‫א‪ .‬מהו יחס התאוצות הזוויתיות של הכדור והטבעת? ⎟⎟ ‪= 2.86‬‬
‫⎠‬
‫‪⎝ α2‬‬
‫⎞‬
‫‪⎛ t1‬‬
‫ב‪ .‬מהו יחס הזמנים שלוקח לשני הגופים לרדת לתחתית המישור? ⎟⎟ ‪⎜⎜ = 0.84‬‬
‫⎠‬
‫‪⎝ t2‬‬
‫‪⎛ E k1‬‬
‫⎞‬
‫⎜‬
‫ג‪ .‬מהו יחס האנרגיה הקינטית הסיבובית של הגופים בהגיעם לתחתית המישור? ⎟ ‪= 1‬‬
‫‪⎜ Ek‬‬
‫⎟‬
‫‪⎝ 2‬‬
‫⎠‬
‫‪ 8.4‬מוט עץ שאורכו ‪ 2m‬ומסתו ‪ 5kg‬ניצב אנכית כשהוא מחובר לציר סיבוב בקצהו‪.‬‬
‫‪0.1 m‬‬
‫פרק ח' –מכניקה של גוף קשיח‬
‫אוסף בחינות בפיסיקה‬
‫‪ 8.17‬עמוד שמשקלו ‪ 1000N‬וגובהו ‪ h‬ניצב על משטח אופקי מחוספס‪,‬‬
‫‪37°‬‬
‫בעל מקדם חיכוך סטטי ‪ . µ s = 0.40‬הקצה העליון של העמוד‬
‫קשור אל חבל המעוגן בקרקע ונטוי בזווית של ‪ 37°‬לעמוד‪ ,‬כמתואר‬
‫‪F‬‬
‫בציור‪ .‬כח אופקי ‪ F‬מופעל על העמוד כבציור‪.‬‬
‫א‪ .‬אם הכח ‪ F‬מופעל מאמצע העמוד‪ ,‬מה יכול להיות ערכו המקסימלי מבלי‬
‫לגרום להחלקת העמוד? ) ‪(Fmax = 1714 N‬‬
‫ב‪ .‬עד כמה אפשר להגדיל את הכח ‪ F‬מבלי שהעמוד יחליק‪ ,‬אם נקודת אחיזתו תהייה‬
‫בגובה‬
‫‪ 3 5‬מאורך העמוד החל מקצהו התחתי? ) ‪(Fmax = 5000 N‬‬
‫ג‪ .‬הראה שאם נקודת האחיזה של הכח גבוהה מגובה קריטי מסוים‪ ,‬לא תהיה החלקה של‬
‫העמוד גם אם הכח‬
‫‪ F‬יהיה גדול ככל שנרצה‪ .‬חשב גובה קריטי זה‪(hcr = 0.65h ) .‬‬
‫‪ 8.18‬גליל מקשי שאורכו ‪ , L‬רדיוסו ‪ R‬ומסתו ‪ , m‬תלוי בשני חוטים הכרוכים‬
‫סביבו בני קצותיו כמתואר בציור‪ .‬את קצה החוטים מחזיקים קבוע‪,‬‬
‫ומשחררים את הגליל ממנוחה במצב אופקי כאשר החוטים אנכיים‪.‬‬
‫החוטים נשלפים‪ ,‬אך אינם מחליקים כאשר הגליל נופל ומסתובב‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את תאוצת הגליל מטה‪(a = 2 3 g ) .‬‬
‫ב‪ .‬מהי המתיחות בכל אחד מהחוטים? ‪mg‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪T‬‬
‫ג‪ .‬אם משחררים גליל מקשי וגליל חלול דק דפנות בעלי אותה מסה ואותו רדיוס כמתואר‬
‫בשאלה‪ .‬מי מהגלילים יגיע ראשון מטה? נמק‪) .‬הגליל המלא יגיע ראשון(‬
‫‪ 8.19‬דיסקה אחידה ואופקית‪ ,‬שמסתה ‪ M‬ורדיוסה ‪ , R‬סובבת ללא חיכוך סביב ציר אנכי העובר‬
‫במרכזה‪ .‬בקצה הדיסקה ‪ ,‬במרחק ‪ R‬ממרכזה‪ ,‬עומד אדם שמסתו ‪ . m = 0.5 M‬הדיסקה‬
‫עם האדם סובבת במהירות זוויתית קבועה ‪) ω‬ראה תרשים(‪ .‬האדם מתחיל לנוע באיטיות‬
‫‪m‬‬
‫לאורך רדיוס הדיסקה לעבר מרכזה‪ ,‬והא נעצר במרחק ‪ 0.5 R‬מהמרכז‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי עתה המהירות הזוויתית‬
‫'‪ ω‬של הדיסקה? )‪(ω' = 8 5 ω‬‬
‫‪R‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ω‬‬
‫ב‪ .‬האם השתנתה האנרגיה הקינטית של המערכת )דיסקה ואדם( בעקבות צעידת האדם?‬
‫אם כן‪ ,‬בטא את השינוי באנרגיה הקינטית של המערכת‪ ,‬והסבר‪.‬‬
‫) ‪MR 2ω2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪. ∆Ek‬תוספת האנרגיה הקינטית נובעת מהעבודה שהושקעה על ידי האדם‬
‫בהליכתו כנגד הכח הצנטריפוגלי‪(.‬‬
‫פרק ח' – מכניקה של גוף קשיח‬
‫אוסף בחינות בפיסיקה‬
‫‪F1‬‬
‫‪ F1 = F2 = 5N‬פועלים על מוט כמתואר בציור‪:‬‬
‫‪F2‬‬
‫‪ 8.26‬שני כוחות שווים ומקבילים שגודלם‬
‫‪o‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L0‬‬
‫א‪ .‬מה צריך להיות הרוחק ‪ L‬בין הכוחות כדי שיתקבל מומנט שקול של ‪ 10 N ⋅ m‬ביחס‬
‫לציר שעובר בנקודה ‪(L = 2m) ? O‬‬
‫ב‪ .‬האם ישתנה המומנט השקול אם ציר הסיבוב יועתק לנקודה אחרת? )לא(‬
‫ג‪ .‬הגופים שבציור עשויים מתייל אחיד שכופף בצורת האות "ח" הפוכה‬
‫וכן בצורת משולש שווה צלעות אורך כל צלע היא ‪ . L‬חשב את מרכז‬
‫הכובד של כל אחת מהצורות הנ"ל‪.‬‬
‫⎟⎟⎞) ‪(xc.m , y c.m ) = (0,0.288L‬‬
‫⎠‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫⎛‬
‫⎞‪⎛L L‬‬
‫; ⎟ ‪⎜⎜ (xc .m , y c .m ) = ⎜ ,‬‬
‫⎠‪⎝2 3‬‬
‫⎝‬
‫‪ 8.27‬סביב דיסקה עגולה שמסתה ‪ m‬ורדיוסה ‪ ,R‬כרוך חוט דק שמסתו זניחה‪,‬‬
‫וקצהו האחד קשור לתקרה‪ .‬ברגע מסוים משחררים את הדיסקה ממצב מנוחה‬
‫)כשחלק החוט שאינו כרוך סביבה מוחזק במצב אנכי(‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצת מרכז המסה של הדיסקה? ) ‪(a = 2 3 g‬‬
‫ב‪ .‬מהי המתיחות בחוט? ) ‪(T = 1 3 Mg‬‬
‫‪m‬‬
‫ג‪ .‬בטא את מהירות מרכז המסה כפונקציה של המרחק האנכי ‪ h‬שעברה הדיסקה‪.‬‬
‫)‬
‫‪gh‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(v = 2‬‬
‫‪ 8.28‬מהנדס מתכנן מסוע להטענת חבילות שחת אל תוך קרון‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪25‬‬
‫‪0.‬‬
‫מסת כל חבילה ‪ ,50kg‬אורכה ‪ ,0.75m‬גובהה ‪,0.5m‬‬
‫‪m‬‬
‫א‪ .‬מגדילים באיטיות את הזווית של המסוע ‪. θ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0.‬‬
‫ומרכז הכובד של כל חבילה הוא במרכזה הגיאומטרי‪.‬‬
‫מקדם החיכוך הסטטי שבין החבילה לבין המסוע הוא ‪,0.3‬‬
‫והמסוע נע במהירות קבועה‪.‬‬
‫‪50 kg‬‬
‫‪θ‬‬
‫בזווית קריטית מסוימת תתהפך החבילה )אם לא החליקה קודם(‪ ,‬ובזווית קריטית אחרת‬
‫תחליק החבילה )אם לא התהפכה קודם(‪ .‬מצא את שתי הזוויות הקריטיות הנ"ל‪ ,‬וקבע איזו‬
‫מהן תקרה ראשונה‪ ) .‬התהפכות ‪ , θ cr = 26.6° -‬החלקה ‪( θ cr = 16.7°‬‬
‫ב‪ .‬התשתנה התשובה ל‪-‬א' אם מקדם החיכוך יהיה ‪ ) ?0.75‬התשובה תשתנה שכן‪ ,‬התהפכות ‪-‬‬
‫‪ , θ cr = 26.6°‬החלקה ‪( θ cr = 36.86°‬‬