Appunti equazione di Slutsky. 1 Variazione del prezzo e quantità

Appunti equazione di Slutsky.
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Variazione del prezzo e quantità domandata
In presenza di un aumento del prezzo i consumatori reagiscono a due segnali differenti
a) è aumentato il prezzo relativo del bene in questione e questo può portare il consumatore a
sostituire il bene in questione con l’altro bene
b) si è ridotta la capacità di acquisto del consumatore ovvero il suo reddito reale e questo può
influenzare la domanda del bene in questione così come la domanda dell’altro bene
Sicché l’effetto di una variazione del prezzo sulla domanda del bene può essere scisso in due
componenti
Effetto sostituzione
Rappresenta l’effetto di una variazione del
prezzo sulla quantità domandata di un
bene, dovuti ESCLUSIVAMENTE al fatto che
il suo prezzo relativo è cambiato
Effetto reddito
Rappresenta l’effetto di una variazione del
prezzo sulla quantità domandata di un bene
dovuta ESCLUSIVAMENTE al fatto che il
reddito reale (la capacità di acquisto) del
consumatore è cambiato
Per poter isolare i due effetti occorre immaginare di poter virtualmente compensare la variazione del
reddito reale del consumatore attraverso una variazione del reddito monetario
Il re ddito nominale aume nta
pe r compe nsare la pe rdita di
pote re d'aquisto. La re tta di bilancio
si sposta paralle lame nte ve rso de stra
y
Ei
•
•
Ef
m
p 'x
m
px
x
Quando l’aumento del reddito monetario sarà tale da ritenere il consumatore compensato ?
(Ovviamente una compensazione perfetta è impossibile e occorre scegliere una forma di
approssimazione). In quel che segue, seguiremo il metodo di Slutsky ed assumeremo che il
consumatore sia compensato quando l’aumento del reddito nominale (lo spostamento verso l’esterno
della retta di bilancio) è tale da metterlo in grado di acquistare il paniere originale (la retta di bilancio
compensata passa per il paniere originale). La logica è che il consumatore ha approssimativamente lo
stesso reddito reale perché è di nuovo in grado di acquistare, qualora lo voglia, il paniere originale.
Vedremo successivamente che questa non è l’unica forma di compensazione possibile.
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Panie re aquistato DO PO
de lla variaz ione de l pre z z o
x2
Panie re aquistato PRIMA
de lla variaz ione de l pre z z o
Variaz ione de l re ddito nominale
ne ce ssaria pe r CO MPENSARE il consumatore
de lla variaz ione de l re ddito re ale
•
f
• E
Ei
L'are a colorata misura la
pe rdita de l re ddito re ale
m
p1
m'
p '1
m
p '1
x1
Beni Normali
Paniere che il consumatore
avrebbe scelto se fosse compensato
della variazione del reddito reale
x2
Ec
Ef
Ei
Ri
Rf
reddito
sostituzione
x1
Effetto totale
Effetto reddito e effetto sostituzione vanno nella stessa direzione: l’effetto reddito amplifica la
variazione della quantità domandata indotta dall’effetto sostituzione
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Beni Inferiori
Ec
x2
Ei
Ef
Ri
Rf
sostituzione
reddito
x1
Effetto totale
Effetto reddito e effetto sostituzione vanno in direzione opposta (hanno segno differente): l’effetto
reddito parzialmente compensa la variazione della quantità domandata indotta dall’effetto
sostituzione
Beni di Giffen
x2
Ec
Effetto reddito e effetto sostituzione vanno in direzione opposta (hanno
segno differente): l’effetto reddito più che compensa la variazione della
quantità domandata indotta dall’effetto sostituzione Î la domanda netta
varia nella stessa direzione della variazione del prezzo
Ei
Ef
sostituzione
reddito
Effetto totale
x1
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Perché l’effetto sostituzione è sempre negativo ?
Insie me di Bilancio
x2
Ei
•
• Ef
Panie ri che e rano già
i
acce ssibili quando E è stato sce lto
x1
Se i panieri sulla parte rossa del vincolo di bilancio compensato erano già disponibili quando Ei è
stato scelto significa che Ei era preferito a qualunque paniere sulla parte rossa della retta di bilancio
compensata. Quindi un consumatore razionale non sceglierebbe mai un paniere sulla parte rossa della
retta di bilancio. Dovrà quindi scegliere un punto sulla parte blu della retta e quindi l’effetto
sostituzione è sicuramente non positivo o negativo nel caso di preferenze well-behaved
Compensazione alla Hicks
y
Il metodo di Hicks assume che il consumatore sia compensato quando l’aumento del reddito
nominale (lo spostamento verso l’esterno della retta di bilancio) è tale da metterlo in grado di
raggiungere il precedente livello di benessere (la retta di bilancio compensata è tangente alla curva
d’indifferenza che passa per il paniere originale). La logica è che il consumatore ha
approssimativamente lo stesso reddito reale perché è in grado di acquistare un paniere equivalente, in
termini di preferenze, al paniere originale (un paniere indifferente al paniere originale).
Come prima abbiamo identificato tre
Paniere che il consumatore
panieri (Ei, Ec, Ef) che ci permettono
avrebbe scelto se fosse compensato
usando l’analisi precedente di scomporre
della variazione del reddito reale
l’effetto totale in effetto sostituzione ed
effetto reddito. Come prima possiamo
dimostrare che l’effetto sostituzione è
Ec
negativo. Perché sia ottimo il paniere Ec,
Ef
p
occorre che il MRS sia uguale a x , ma
i
E
py
px
è cresciuto e anche il MRS in Ec deve
py
reddito
sostituzione
Effetto totale
x
essere maggiore che in Ei e quindi, per
l’ipotesi di convessità, Ec deve trovarsi a
sinistra di Ei
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Aritmetica dell’effetto Reddito e Sostituzione: L’equazione di Slutsky
Variazione del reddito atta a compensare il consumatore permettendogli di acquistare il paniere
iniziale
Vincolo di bilancio iniziale
m = p1 x 1 + p 2 x 2
Per acquistare il vecchio paniere al nuovo prezzo il consumatore ha bisogno di una quantità di
reddito addizionale (se assumiamo che p1 sia aumentato).
m + ∆m = p'1 x 1 + p 2 x 2
Risolvendo per
∆m
otteniamo
∆m = p'1 x 1 + p 2 x 2 − m
sostituendo il vincolo di bilancio originario alla fine otteniamo
∆m = (p'1 −p1 ) x 1 = ∆p1 x 1
∆m
Î
è la variazione del reddito nominale necessaria a compensare il
consumatore della variazione del reddito reale
m' = m + ∆m
Î
è la quantità di reddito nominale che permette al consumatore di
acquistare il vecchio paniere ai nuovi prezzi
Abbiamo quindi tre diverse domande (valori ottimi) di x1
x1(p1,p2,m)
Î
Domanda del bene x1 PRIMA della variazione del prezzo (valore
di x1 del paniere Ei delle figure)
x1(p′1,p2,m)
Î
Domanda del bene x1 DOPO la variazione del prezzo (valore di x1
del paniere Ef delle figure)
Î
Domanda del bene x1 DOPO la variazione del prezzo e la
variazione compensativa del reddito nominale (valore di x1 del
paniere Ec delle figure)
x1(p′1,p2,m′)
Effetto sostituzione
x1(p1,p2,m) - x1(p′1,p2,m′)
L’unica differenza fra le due domande è il
prezzo relativo; (p1,m) e (p′1,m’)
rappresentano (approssimativamente) lo
stesso reddito reale per definizione di
compensazione.
Quindi la variazione dipende solo dalla
sostituzione del bene divenuto
relativamente più caro
Effetto reddito
x1(p’1,p2,m’) - x1(p′1,p2,m)
L’unica differenza fra le due domande è il
reddito nominale.
Quindi la variazione della domanda è causata
solo dal reddito
Appunti equazione di Slutsky.
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x2
Ec
Ef
Ei
10
34
Effetto sostituzione
∆x1s = x1 (p'1 , p 2 , m' ) − x1 (p1, p 2 , m)
43
x1
= 34 − 43 = −9
Effetto Reddito
∆x1n = x1 (p'1 , p 2 , m) − x1 (p'1 , p 2 , m' )
= 10 − 34 = −24
Sommandoli otteniamo
∆x1 = x1 (p'1 , p 2 , m) − x1 (p1, p 2 , m) = 10 − 43 = −33
Equazione di SLUTSKY
Î
∆x1 = ∆x1s + ∆x1n
Più interessante la versione della EdS espressa in SAGGI DI VARIAZIONE
m
n
Prima di farlo definiamo ∆x1 come l’opposto di ∆x1
∆x1m = x1 (p'1 , p 2 , m' ) − x1 (p'1 , p 2 , m) = −∆x1n
Riscriviamo la EdS Î
∆x1 = ∆x1s − ∆x1m
Se dividiamo entrambi i membri per
∆p1 e dividiamo e moltiplichiamo ∆x1m per ∆m
∆x1 ∆x1s ∆m ∆x1m
−
=
∆p1 ∆p1 ∆p1 ∆m
otteniamo
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Segni
∆x1s
∆p1
Per definizione POSITIVO;
∆m
∆p1
Il segno di
L’effetto sostituzione è SEMPRE NEGATIVO
<0
>0
∆x1m
∆m
∆m = ∆p 1 x 1
INVECE DIPENDE DAL TIPO DI BENE (NORMALE O INFERIORE)
Bene Normale
∆x1m
>0
Effetto totale SICURAMENTE NEGATIVO
∆m
∆x1m
∆m
ma
ma
x1
Effetto totale NEGATIVO
Effetto totale POSITIVO
∆x 1m
∆x 1s
>
∆m
∆p1
In saggi di variazione
∆x1
<0
∆p1
Bene Inferiore ma effetto reddito quantitativamente
considerevole rispetto all’effetto sostituzione
<0
E.d.S.
∆x1
<0
∆p1
Bene Inferiore ma effetto reddito quantitativamente
modesto rispetto all’effetto sostituzione
<0
∆x 1m
∆x 1s
x1
<
∆m
∆p1
∆x1m
∆m
∆m
= x1
∆p1
e quindi
∆x1
>0
∆p1
Bene di Giffen
Î
s
∆x1 ∆x1
∆x1m
=
− x1
∆p1 ∆p1
∆m
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Calcolare l’effetto reddito e l’effetto sostituzione: un esempio.
Ada ha una funzione di utilità U = xy + 2x Il suo reddito è pari a 36 euro e i prezzi dei beni sono
px=1, py=2. Calcolare l’effetto reddito e l’effetto sostituzione quando px diventa 2.
I passo: calcolare la funzione di domanda di Ada Î occorre risolvere il sistema
 Ux px
=

 Uy py che nel nostro caso diventa
m = p x x + p y y
 y + 2 px
=

x
py

m = p x x + p y y
risolvendo la prima per y e sostituendo nel vincolo di bilancio otteniamo la funzione di domanda di x
e quella di y
m + 2py
m − 2py
x=
y=
,
2px
2py
II passo: ottenere la quantità ottima di x e y ai prezzi originali sostituendo i parametri dati
nell’esercizio
36 + 4
36 − 4
, y=
x=
2
4
Le quantità ottime domandate di x e y quando i prezzi sono quelli iniziali sono xi = 20 e yi=8
(domanda x(px,py,m), paniere Ei nella figura )
III passo: ottenere la quantità ottima di x e y al nuovo prezzo
36 + 4
36 − 4
x=
, y=
4
4
Le quantità ottime domandate di x e y quando i prezzi sono quelli iniziali sono xi = 10 e yi=8
(domanda x(p’x,py,m), paniere Ef nella figura )
y
18
Ec
13
Ef
Ei
8
10
15
18 20
28
36
x
Appunti equazione di Slutsky.
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IV passo. Calcolare il reddito atto a compensare il consumatore:
∆m = ∆p x x i
∆m = 1 × 20
m’=m+∆m =36+20=56
V passo Calcolare la domanda compensata
56 + 4
56 − 4
, y=
4
4
Le quantità ottime che il consumatore avrebbe domandato se fosse stato compensato sono xi = 15 e
yi=12 (domanda x(p’x,py,m’), paniere Ec nella figura )
x=
Effetto Sostituzione Î x(px,py,m) - x1(p’x,py,m’) =
Effetto Reddito
Î x1(p’x,py,m) - x1(p’x,py,m’) =
Effetto Totale
Î x1(p1,p2,m) - x1(p’1,p2,m)
=
-5
-5
-10