equivalenza di solidi e volume

MISURA DI UN SOLIDO
La misura di un solido si effettua in 3 fasi, calcolando:
1.
LA SUPERFICIE ESTERNA ( SUPERFICIE TOTALE )
si ottiene calcolando le aree dello sviluppo nel piano, vale a dire le aree di tutte le facce del poliedro. Vi sono delle formule
specifiche in base al poliedro. Tuttavia è bene ricordare che è una somma delle aree di tutte le facce:
St = Sl + Abase
2.
IL VOLUME
E’ la misura dell’estensione solida rispetto all’unità di misura fissata, che è il metro cubo, vale a dire un cubo di spigolo
lungo un metro (m ). Per poter passare da un multiplo a un sottomultiplo bisogna dividere o moltiplicare per 1000.
3
Es:
3.
5,4 m3 = 5400 dm3 = 5400000 cm3 = 0,0054 dam3
LA DENSITA ’
E’ la misura della massa volumetrica in rapporto alla sostanza di cui è fatto il solido. Si deve conoscere quindi il peso
specifico della sostanza di cui è composto il solido.
P = ps ⋅V
3
Se il volume è in cm il peso sarà in gr perché:
3
Se il volume è in dm il peso sarà in Kg perché:
V=
P
ps
ps =
P
V
gr = cm 3
kg = dm 3
Questo perché ogni misura volumetrica quando si sposta di un’unità è come moltiplicare o dividere per 1000 quindi tre
posizioni per la scala lineare del peso.
4.
LA CAPACITA ’
Se il solido è un contenitore per liquidi si parla di capacità e l’unità di misura è il litro.
Un litro corrisponde approssimativamente a un decimetro cubo.
l = dm 3
SOLIDI EQUIVALENTI
Sono solidi che occupano la stessa porzione di spazio e quindi hanno uguale volume, ma non necessariamente hanno la stessa
forma.
Un solido può essere definito:
•
•
Omogenei – se è fatto completamente dello stesso materiale
Cavo – ha una cavità all’interno di forma ben definita e può contenere diverse sostanze (contenitore)
Sono equivalenti:
solidi che risultano essere la somma di solidi equivalenti
solidi che risultano essere la differenza di solidi equivalenti
Per valutare se due solidi siano equivalenti o meno vi sono 4 diversi metodi:
1.
LA PESATA
(solidi omogenei e dello stesso materiale)
Se hanno lo stesso peso sono equivalenti, poiché essendo dello stesso materiale hanno anche lo stesso peso specifico e
quindi lo stesso volume.
2.
PRINCIPIO DI ARCHIMEDE
( O L’IMMERSIONE )
(solidi omogenei ma di materiale diverso)
Un solido immerso in un liquido sposta una quantità di liquido pari al suo volume.
Se due solidi immersi spostano la stessa quantità di liquido, allora hanno lo stesso volume.
3.
IL RIEMPIMENTO
(solidi cavi)
Si riempiono i solidi con lo stesso materiale (acqua, farina, zucchero, sabbia...) e se contengono la stessa quantità di
sostanza allora hanno anche la stessa capacità, vale a dire lo stesso volume.
4.
( O LA SEZIONE )
(solidi qualsiasi ma di uguale altezza)
Se due solidi possono essere disposti in modo tale che, sezionandoli con un fascio di piani paralleli, ciascun piano
individua sui due solidi due figure equivalenti (=con la stessa area), allora i due solidi sono equivalenti (=hanno ugual
volume).
L’esempio più comunemente usato è la risma di fogli, formata da figure aventi tutte la stessa area.
PRINCIPIO DI CAVALIERI
MISURA DEL VOLUME DAL PRINCIPIO DI CAVALIERI
Teorema 1: due prismi, o un prisma e un cilindro, o due cilindri, aventi basi equivalenti e altezze uguali sono equivalenti.
Le sezioni di un prisma e di un cilindro, con piani paralleli alle basi, sono tutte uguali (fra loro e con le basi)
Un prisma, un parallelepipedo rettangolo e un cilindro aventi basi equivalenti e altezze uguali sono equivalenti. Quindi per calcolare
il volume di un prisma qualsiasi o di un cilindro qualsiasi la formula da utilizzare è la stessa:
V = Abase ⋅ h
Abase =
V
h
h=
V
Abase
Teorema 2: due piramidi, o una piramide e un cono, o due coni, aventi basi equivalenti e altezze uguali sono equivalenti.
Le sezioni di uno stesso piano di una piramide e di un cono sono tra loro equivalenti, ma quelle su piani diversi no.
Un cono e una piramide aventi sezioni dello stesso piano equivalenti e altezze uguali sono equivalenti. Quindi per calcolare il
volume di un cono o una piramide la formula da utilizzare è la stessa.
Però:
Teorema 3: Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma avente la stessa base e la stessa altezza.
Poiché una piramide, o un cono, hanno volume uguale a 1/3 del volume di un prisma che ha base equivalente e altezza uguale, per
calcolare il volume di una piramide o di un cono la formula da utilizzare sarà:
V=
Abase ⋅ h
3
Abase =
V ⋅3
h
h=
V ⋅3
Abase
1. PROBLEMA CON FIGURE EQUIVALENTI
Si ha:
- solidi a basi coincidenti: somma dei volumi ( V1 + V2 )
- solidi a basi non coincidenti: somma dei volumi ( V1 + V2 )
- solidi bucati: differenza dei volumi ( V1 - V2 )
2
Problema: Un prisma a base quadrata ha l’area di base che misura 64 cm e l’altezza che misura 10 cm. E’ sormontato da una
piramide con la base coincidente a quella superiore del prisma. L’altezza della piramide misura 5 cm. Calcola il volume del solido
composto sapendo che sono entrambi di legno (ps = 0,5).
Problema: Un parallelepipedo ha le misure di base che sono una i 3/4 dell’altra e il perimetro misura 112 cm. L’altezza del
parallelepipedo misura 10 cm. E’ sormontato da una piramide a base rombica avente i vertici del rombo coincidenti con i punti medi
della base superiore del prisma. L’apotema della piramide misura 12 cm. Calcola il volume del solido composto sapendo che sono
entrambi di legno (ps = 0,5).
2. CASO PARTICOLARE: IL CUBO
Il cubo possiede un unico valore: lo spigolo l. Per tale motivo la formula diventa:
V = Ab ⋅ h = (l ⋅ l) ⋅ l = l 3
l= 3V
Problema: Un cubo ha lo spigolo che misura 15 cm. Calcola il volume. Calcola il peso in Kg sapendo che è di vetro (ps = 2).