PRISMI E PIRAMIDI 1) Dato un cubo di lato l calcolare la misura

PRISMI E PIRAMIDI
1) Dato un cubo di lato l calcolare la misura delle sue diagonali. [ √3 ]
2) Riferendosi alla figura calcolare l’angolo che la diagonale BD’ del cubo di lato forma con il
piano della faccia ABCD.
[
√
]
3) In figura è rappresentato un cubo di lato 2a . Sapendo che V è il punto d’intersezione delle
diagonali e che O’ è il piede della perpendicolare condotta da V al piano del quadrato
ABCD rispondi alle seguenti domande:
a) dimostra che O’ è il centro del quadrato ABCD
b) calcola il rapporto tra il volume del cubo e quello della piramide che ha vertice V e base
coincidente con il quadrato ABCD
c) calcola la superficie totale della piramide che ha vertice V e base coincidente con il
quadrato ABCD
4) Una piramide retta ha base quadrata di lato a e altezza doppia del lato di base. A distanza
1
a dal vertice della piramide è condotto il piano π parallelo al piano di base della piramide,
4
che stacca una sezione S sulla piramide. Calcolare il rapporto tra il volume della piramide e
il volume del prisma che ha per basi S e la sua proiezione sul piano di base della piramide.
5) Una piramide retta ha base quadrata di lato a e altezza doppia del lato di base. Determinare a
quale distanza dal vertice della piramide si deve tracciare un piano parallelo al piano di base
della piramide, affinché il parallelepipedo che ha basi coincidenti con la sezione staccata
sulla piramide e con la sua proiezione sulla base della piramide sia un cubo. Calcolare il
rapporto tra i volumi del cubo e della piramide.
6) Un trapezio rettangolo è base di un prisma che ha altezza uguale all’altezza del trapezio.
Sapendo che le basi del trapezio sono l’una 3 e l’altra 2 , calcola per quale valore
dell’angolo acuto
il volume del prisma vale
.
7) In un piano π è dato un quadrato ABCD di lato 4a 2 . Sulla retta perpendicolare a π in A è
posto il vertice della piramide di base ABCD nel punto V per il quale il segmento VB forma
un angolo di 60° con il piano di base.
a) Calcolare il volume della piramide.
b) Calcolare l’angolo che la faccia CBD forma con il piano di base
c) Individuare quali facce della piramide sono triangoli rettangoli.
⎡ 128
⎤
⎢⎣a) 3 6a ⎥⎦
8) È assegnato un cubo i cui spigoli hanno misura 2 . Sulla retta passante per i centri delle
facce opposte ABCD e A’B’C’D’ prendere, esternamente al cubo, un punto V a distanza a
dalla faccia A’B’C’D’. Tracciare le semirette di origine V passanti per i punti A’,B’,C’,D’ e
indicare con A”, B”, C”, D” le loro intersezioni con il piano della faccia ABCD.
a) Il quadrilatero A”B”C”D” è un quadrato? Perché?
b) Calcolare il rapporto tra il volume della piramide di vertice V e base A”B”C”D” e il
volume del cubo.
9) Un prisma retto ha per basi triangoli equilateri di lato l e ha altezza uguale a quella delle
facce di base. Indicato ocn V il centro di una faccia di base considerare la piramide che ha
vertice V e basa sulla faccia opposta del prisma. Calcolar ela somma delle superfici laterlai
del prisma e della piramide.
10) Un parallelepipedo ha per base un rettangolo che ha un lato di misura √5 e la diagonale del
rettangolo forma con questo lato un angolo α =
. Sapendo che l’altezza del
√
parallelepipedo vale 2 calcola le diagonali del parallelepipedo.
11) Una piramide retta ha per base un esagono regolare di lato 2 e altezza
.
a) Calcola la superficie della piramide
b) Calcola a quale distanza dal vertice bisogna tracciare un piano parallelo al piano di base
della piramide affinché il prisma che ha per basi la sezione staccata e la sua proiezione
sulla base della piramide abbia superficie laterale
.
12) Una piramide retta che ha base quadrata di lato 2 e altezza
6 , viene secata con un
piano parallelo al piano di base. Si calcoli a quale distanza dal vertice si deve condurre tale
piano, affinché il prisma che ha per basi la sezione di cui sopra e la sua proiezione
ortogonale sul paino di base abbia superficie laterale
.
13) Una piramide ha base quadrata ABCD di lato a, vertice V e altezza condotta dal punto
a
medio H del lato AB in modo che sia VH = . Condotto per un punto K di VH un piano α
2
parallelo al piano di base, indica con A’B’C’D’ il poligono staccato da α sulla piramide
VABCD.
a) Calcola tutti gli spigoli della piramide assegnata e l’angolo che ciascuno forma con il
piano di base.
b) Nel caso in cui K sia il punto medio di VH, calcola il rapporto tra i volumi delle piramidi
VABCD e VA’B’C’D’.
c) Determina per quale posizione di K il prisma che ha per basi A’B’C’D’ e la sua
proiezione sulla base della piramide è un cubo.
14) Una piramide di vertice V ha per base un triangolo equilatero ABC e altezza congruente al
lato di base situata sulla perpendicolare in A al piano di base.
a) Nel caso in cui il lato di base sia 4 , determinare a quale distanza dal vertice si deve
tracciare un piano parallelo al piano di base affinché il prisma che ha per basi la sezione
ottenuta e la sua proiezione sul piano di base della piramide abbia superficie laterale
.
2 3
b) Determinare il lato di base sapendo che il volume della piramide è
a . Calcolare tutti
3
gli spigoli della piramide e l’angolo che gli spigoli laterali formano con il piano di base.
[ a)
,
b) spigoli di base 2 a, spigoli laterali 2√2 , altezza 2 a, angolo che gli
spigoli laterali formano con il piano di base 45°]
15) A quale distanza dal vertice si deve sezionare una piramide, che ha area di base B e altezza
h, per dividerla in due solidi equivalenti?
16) È assegnato un triangolo equilatero ABC di lato a. Sulla perpendicolare per A al piano α
del triangolo si consideri il punto P in corrispondenza del quale il piano PBC forma un
angolo di 60° con α.
a) Calcolare tutti gli spigoli e il volume della piramide PABC.
AP
b) Se Q è il punto di AP in corrispondenza del quale PQ = , qual è il volume del prisma
che ha per basi la sezione staccata sulla piramide dal piano passante per Q e parallelo ad
α e la proiezione di tale sezione su α?
[ a) AP =
, PB = PC =
√
, volume =
√
; b)
√
]
17) Un rettangolo ABCD ha dimensioni: AB = 2a e BC = a. Dal punto medio M del lato AD si
tracci la retta s perpendicolare al piano del rettangolo e si consideri il punto V di s in
corrispondenza del quale l’angolo formato dal piano del rettangolo e dal piano VBC vale
30°. Calcolare il volume della piramide.