Una sfera piena omogenea di massa m e raggio r inizialmente la

Una sfera piena omogenea di massa m e raggio r e’ posta sopra un piano
orizzontale scabro inizialmente la sfera e’ ferma
successivamente viene applicato un impulso orizzontale
la cui retta d’azione passa per il centro della sfera.
Determinare, trascurando l’attrito statico, il moto della sfera
( gioco del biliardo con stecca )

J
la forza di attrito non reagisce impulsivamente percio’ la sfera non e’ vincolata
quindi applicando il teorema dell’impulso si puo’ ottenere immediatamente
la velocita’ iniziale del centro di massa nell’istante immediatamente successivo
all’azione dell’impulso per il teorema dell’impulso
e sfruttando le proprieta’ del centro di massa


J = ∆q

vCM =

Q
M
visto che la sfera era inizialmente ferma si ha


J = mv cm (0)
da cui in modulo
J
v cm (0) =
m
dove J e vcm (0) sono i moduli dei corrispondenti vettori
se assumiamo come polo fisso l’origine O di un sistema di coordinate
cartesiane xy solidale con il piano del biliardo si avra’



L=
rOP × J
O
y

rOP
O

J P
CM
r
x
per il teorema di Koning del momento angolare


dato che mv cm (0) = J

LO = rOP JsenϑOP e

 

LO =L '+ rCM × mvCM

 

LO (t = 0) =L '+ rCM × J in modulo


rCM × J =
rCM JsenϑCM
quindi
y
rOP Jsenϑ=
I Cω + rCM JsenϑCM
OP

rOP
O
ma
⇒
ϑOP

J P

r
CM
ϑ
CM
r
CM
x
=
rOP senϑOP rCM
=
senϑCM r
I Cω = 0
ossia
ω =0
per cui
=
rJ I Cω + rJ
quindi la sfera inizialmente inizia
a strisciare con velocita’
v cm
J
=
m
senza rotolare
successivamente per effetto del momento della forza di attrito volvente
comincera’ a rotolare oltre che a strisciare
la forza di attrito dinamico ha modulo
quindi
maCM = − µd mg
µd mg
⇒
e si oppone al moto
aCM = − µd g
J
v=
vCM (0) − µd gt =
− µd gt
CM (t )
m
per avere informazioni sul moto di rotazione conviene riferirsi al sistema del
centro di massa
assumendo come polo il centro di massa e applicando la seconda
equazione cardinale
µ d=
mgr I=
CM α
da cui
2 2
mr α
5
5
g
ω (t=
) α=
t
µd t
2
r
⇒
5
g
α = µd
r
2
ricapitolando
ω (0) = 0
5
g
ω (t ) = µd t
2
r
e’ chiaro che al tempo t = 0
e
e
vCM > ω r
J
v cm (0) =
m
J
vCM (t ) =
− µd gt
m
quindi la sfera proseguira’ in un
moto di rotolamento e strisiciamento finche’ e’ valida questa disuguaglianza’, ma
la velocita’ angolare aumenta nel tempo mentre la velocita’ del centro di massa
diminuisce nel tempo e ad un certo istante t’ si arrivera’ all’uguaglianza
delle velocita’
5
J
g '
'
quindi vCM t = ω r ossia
− µd gt =
µd t r
2
m
r
'
2 J
da cui t =
7 µd mg
'
da quel momento in poi il moto della sfera tendera’ a diventare un moto di
puro rotolamento uniforme ( in assenza di attrito volvente )
Backup Slides