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1 Lungo un piano inclinato di α = 30 o vengono fatti scendere due

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1 Lungo un piano inclinato di α = 30 o vengono fatti scendere due
1
Esercizio
(tratto dal Problema 41 del Mazzoldi)
Lungo un piano inclinato di α = 30o vengono fatti scendere due cubi di ugual massa m = 2 Kg con
diverso coefficiente di attrito dinamico col piano: µ1 = 0.4 per quello a valle e µ2 = 0.2 per quello a
monte. I cubi, inizialmente fermi e distanti d = 1 m l’uno dall’altro lungo il piano, vengono liberati
simultaneamente all’istante t = 0 e iniziano a scendere. Calcolare:
1. dopo quanto tempo si urtano
2. l’accelerazione con cui scende il sistema dopo l’urto, sapendo che i due cubi rimangono attaccati;
3. la velocità del sistema immediatamente dopo il contatto;
4. la forza F2→1 che il cubo a monte esercita su quello a valle
m
2
m
1
Figure 1:
Fabrizio Dolcini (http://staff.polito.it/fabrizio.dolcini/)
Dipartimento di Scienza Applicata e Tecnologia, Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I
2
SOLUZIONE
Consideriamo i due cubi come un sistema di due punti materiali che si muovono lungo il piano.
Mentre prima dell’urto sono staccati, durante l’urto e dopo l’urto ciascuno esercita sull’altro una forza
(di deformazione plastica).
In generale le due equazioni del moto per le quantità di moto dei due corpi lungo il piano sono

dp1


= F2→1 + mg sin α − µ1 mg cos α


| {z } |
{z
}

dt


interna
esterne
(1)


dp
2


= F1→2 + mg sin α − µ2 mg cos α


| {z } |
{z
}
 dt
interna
esterne
dove
• F2→1 è la forza che 2 esercita su 1 (forza interna, presente durante e dopo l’urto);
• F1→2 è la forza che 1 esercita su 2 (forza interna, presente durante e dopo l’urto);
• mg sin α è la forza peso (forza esterna, presente sempre);
• µi mg cos α è la forza di attrito dinamico (forza esterna, presente sempre);
Sommando le due equazioni (1) troviamo l’equazione del moto della quantità di moto totale P = p1 +p2 .
Ricordando che per il terzo principio della dinamica le due forze interne sono uguali ed opposte
(F2→1 = −F1→2 ), si ottiene
X
dP
= 2mg sin α − (µ1 + µ2 )mg cos α =
Fext
|
{z
}
dt
(2)
somma forze esterne
In particolare il membro destro della (2) mostra che la derivata di P è una costante. Pertanto
P (t) = P (t = 0) + (2mg sin α − (µ1 + µ2 )mg cos α) t
| {z }
=0
→
µ1 + µ2
cos α t
P (t) = 2mg sin α −
2
(3)
ossia la quantità di moto totale P cresce linearmente col tempo (vedi Fig.3).
• La quantità di moto totale si conserva nel tempo?
La risposta è NO, dato che su ciascuno dei due corpi agiscono, oltre alla forza esercitata dall’altro
corpo, anche delle forze esterne (=non dovute all’altro componente del sistema), ossia la forza
peso e la forza di attrito col piano. Pertanto il sistema dei due corpi 1 e 2 non è un sistema
isolato e la quantità di moto totale P = p1 + p2 NON si conserva, nel senso che NON è costante
nel tempo, come si vede esplicitamente dalla (3).
Fabrizio Dolcini (http://staff.polito.it/fabrizio.dolcini/)
Dipartimento di Scienza Applicata e Tecnologia, Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I
3
• La quantità di moto totale si conserva ‘nell’urto’ ?
(P è continua o subisce discontinuità tra immediatamente prima e immediatamente dopo l’urto?).
Indicando con tu l’istante in cui avviene l’urto
P (tu − )
| {z }
=
P (tu + )
| {z }
immediatamente
immediatamente
prima dell’urto
dopo l’urto
?
La risposta è SÌ, come si vede dalla (3), e possiamo pertanto scrivere
µ 1 + µ2
cos α tu
P (tu + ) = P (tu − ) = P (tu ) = 2mg sin α −
2
(4)
(5)
Possiamo ora procedere a determinare le varie quantità richieste:
1. Tempo dell’urto
Prima del’urto i due cubi non esercitano alcuna forza l’uno sull’altro (F2→1 = F1→2 = 0
nell’Eq.(1))
m
x=
0
2
m
1
x
Figure 2:
• Consideriamo il moto nella direzione lungo il piano (che indichiamo con x), orientando
l’asse verso valle e ponendo l’origine nella posizione iniziale del corpo 2 a monte. Le forze
che agiscono su ciascun corpo lungo il piano sono
-la componente longitudinale della forza peso (diretta a valle);
-la forza di attrito dinamico (diretta a monte)
Le equazioni (1) della dinamica per i due corpi lungo il piano si riducono pertanto a
m a1 = mg sin α − µ1 mg cos α
(6)
m a2 = mg sin α − µ2 mg cos α
(7)
da cui si ricavano le accelerazioni
a1 = g (sin α − µ1 cos α)
a2 = g (sin α − µ2 cos α)
(8)
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4
Siccome le accelerazioni sono costanti, si tratta di due moti rettilinei uniformemente accelerati, con velocità iniziali dei due corpi pari a
v01 = v1 (t = 0) = 0
(9)
v02 = v2 (t = 0) = 0
e posizioni iniziali lungo il piano pari a
x01 = x1 (t = 0) = d
x02 = x2 (t = 0) = 0
(10)
Pertanto le leggi orarie dei due corpi sono

 x1 (t) = d + 21 a1 t2

x2 (t) =
(11)
1
2
2 a2 t
• Dalle (11) possiamo ricavare anche le leggi orarie delle velocità (prima dell’urto)

dx1



 v1 (t) = dt = a1 t = g (sin α − µ1 cos α) t



 v2 (t) =
e dunque delle quantità di moto

 p1 (t) = mv1 (t) = mg (sin α − µ1 cos α) t

(12)
dx2
= a2 t = g (sin α − µ2 cos α) t
dt
(prima dell’urto)
(13)
p2 (t) = mv2 (t) = mg (sin α − µ2 cos α) t
Entrambe crescono linearmente nel tempo. Tuttavia, essendo µ1 > µ2 , la quantità di moto
del corpo a valle cresce più lentamente nel tempo di quella del corpo a monte, e dunque
quest’ultimo lo raggiunge.
• Denotiamo con tu l’istante in cui i due corpi si urtano: in tale istante le loro coordinate
assumono lo stesso valore.
x1 (tu ) = x2 (tu )
⇓
1
d + a1 t2u =
2
⇓
d =
[uso (11)]
1
a2 t2u
2
1
(a2 − a1 ) t2u
2
(14)
da cui
r
tu =
s
=
2d
=
a2 − a1
2d
(µ1 − µ2 )g cos α
[uso (8)]
(15)
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Sostituendo i dati
s
tu =
2 · 1m
/
/
(0.4 − 0.2) 9.81 sm
2
√
3
2
= 1.09 s
(16)
2. Accelerazione dopo l’urto
Dopo l’urto i due corpi proseguono insieme attaccati come un unico corpo di massa M = 2m.
Pertanto l’accelerazione con cui scendono è pari all’accelerazione aCM del loro centro di massa,
che è a sua volta data dall’equazione
X
dP
= (m + m) aCM =
Fext
(17)
dt
Sommando le forze esterne [vedi Eq.(2)] otteniamo
P
Fext
2mg sin α − (µ1 + µ2 )mg cos α
aCM =
=
=
2m
2m
µ1 + µ 2
= g sin α −
cos α
2
(18)
Sostituendo i dati, otteniamo
aCM
m
= 9.81 2
s
m
= 2.36 2
s
√ !
1 0.4 + 0.2 3
−
=
2
2
2
(19)
3. Velocità immediatamente dopo l’urto
• Siccome dopo l’urto i due corpi proseguono insieme attaccati come un unico corpo di massa
m + m = 2m, la velocità immediatamente dopo l’urto
P (tu + ) = (m + m) v(tu + )
(20)
Sfrutto ora la continuità della P totale attraverso l’urto [vedi Eq.(5)] ed ottengo
1
1
P (tu + ) =
P (tu ) =
2m
2m
µ1 + µ2
= g sin α −
cos α tu =
2
= [uso la (18) e la (15)]
s
µ1 + µ 2
2d
= g sin α −
cos α
=
2
(µ1 − µ2 )g cos α
|
{z
}|
{z
}
v(tu + ) =
aCM
m
= 2.36 2/ × 1.09 /s =
s
m
= 2.57
s
=tu
(21)
Osservazione: In presenza di urti ciò che importa è se una certa quantità ‘si
conserva nell’urto’ (=se è continua), piuttosto che se ‘si conserva in senso assoluto’ (= se rimane sempre costante nel tempo). La seconda condizione è
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certamente sufficiente per affermare che la prima vale (= se una funzione è
costante, in particolare è continua all’istante tu dell’urto), ma non è necessaria
(=una funzione può variare nel tempo pur essendo continua).
4. Forze interne
Osserviamo ora che
• dopo l’urto i due corpi proseguono solidalmente,
v1 = v2
⇓
(dato che hanno la stessa massa m)
p1 = p2
(22)
• D’altra parte per definizione
P = p1 + p2
(23)
Combinando (22) e (23) ricaviamo che
p1 = p2 =
P
2
(dopo l’urto)
(24)
da cui
dp2
dp1
=
dt
dt
1 dP
=
2 dt
[uso la (17)]
1
=
· 2m aCM = m aCM =
2
[uso la (18)]
µ1 + µ2
= mg sin α −
cos α
2
=
(25)
• Dalle (1) abbiamo che




 F2→1 =
dp1
− mg sin α + µ1 mg cos α
dt



 F1→2 =
dp2
− mg sin α + µ2 mg cos α
dt
Sostituendo la (25) nella prima delle (26) otteniamo
µ1 + µ2
F2→1 = mg sin α −
cos α − mg sin α + µ1 mg cos α =
2
µ 1 − µ2
mg cos α
=
2
(26)
(27)
Sostituendo i dati
F2→1
√
3
0.4 − 0.2
m
=
2 Kg · 9.81 2 ·
=
2
s
2
= 1.70 N
(28)
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Analogamente, sostituendo la (25) nella seconda delle (26) otteniamo
µ1 + µ2
cos α − mg sin α + µ2 mg cos α =
F1→2 = mg sin α −
2
µ1 − µ2
= −
mg cos α =
2
= −F2→1
• Dalle (25) ricaviamo anche l’andamento delle due quantità di moto
µ 1 + µ2
p1 (t) = p2 (t) = mg sin α −
cos α t
(dopo l’urto,
2
t > tu )
(29)
(30)
Ricordando gli andamenti (13) ottenuti prima dell’urto, possiamo confrontare i valori delle
due quantità di moto immediatamente prima e immediatamente dopo l’urto:
– corpo a valle
p1 (tu − ) = mg (sin α − µ1 cos α) tu =
µ1 + µ2
µ1 − µ2
= mg sin α −
cos α tu − mg sin α −
cos α
2
2
|
{z
µ1 + µ2
p1 (tu + ) = mg sin α −
cos α tu
2
(31)
tu
}
(32)
– corpo a monte
p1 (tu − ) = mg (sin α − µ2 cos α) tu =
µ1 + µ2
µ1 − µ2
= mg sin α −
cos α tu + mg sin α −
cos α
2
2
{z
|
µ1 + µ2
p1 (tu + ) = mg sin α −
cos α tu
2
(33)
tu
}
(34)
Osservazione: I termini sottolineati mostrano che la quantità di moto di ciascun corpo non solo non si conserva nel tempo, ma non si conserva nemmeno
nell’urto, ossia pi subisce un salto discontinuo all’istante tu dell’urto. In particolare, la quantità di moto del corpo 1 a valle subisce un brusco aumento,
mentre quella del corpo 2 a monte una brusca diminuzione. Si noti la differenza rispetto alla quantità di moto totale P = p1 + p2 che rimane sempre
continua. La’ndamento nel tempo è mostrato in Fig.3
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8
P
p2
p1
p2
p1
t
tu
dP
dt
dp2
dt
F1!2
F2!1
dp1
dt
tu
t
Figure 3: Pannello superiore: Andamento delle quantità di moto p1 e p2 dei due corpi (curve rossa e blu)
e della quantità di moto totale P = p1 + p2 (curva nera). La quantità di moto totale non si conserva (cresce
nel tempo). Tuttavia si conserva ‘nell’urto’ (è continua in t = tu ). Al contrario, p1 e p2 non si conservano nel
tempo, né si conservano ‘nell’urto’, dato che hanno una discontinuità in t = tu . Pannello inferiore: L’andamento
delle derivate dp1 /dt e dp2 /dt della quantità di moto dei due corpi mostra che le discontinuità sono dovute alle
forze interne di ciascun corpo sull’altro, attive a partire dall’urto.
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