SIGAD01_04giu09 180KB Sep 03 2010 03:14:33 PM

Cognome e Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . CdS . . . . . . . . . . . . .
CALCOLO DELLE PROBABILITA’ - 04 Giugno 2009
CdS in SIGAD
Docente: Giuseppe Sanfilippo
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi. Tempo a disposizione: due ore e trenta minuti. . Non è consentito l’utilizzo di libri o appunti.
1. Siano A, E eventi incompatibili, e sia B ⊂ E, determinare i costituenti relativi alla famiglia {A, B, E}.
3
Inoltre, verificare che l’assegnazione di probabilità P (A) = 51 , P (B) = 10
, P (E) = 12 è coerente. Infine,
considerato il numero aleatorio X = |A| − |B| + 3|E|, determinare il suo codominio CX e la probabilità
ph degli eventi (X = xh ) con xh ∈ CX .


CX = {
}
Si
;
Cost.
Ass. Coerente ?
ph = {
}
No

2. Due lotti contengono, entrambi 21 pezzi funzionanti e 3 pezzi difettosi. Si estraggono “a caso” due pezzi
dal primo lotto e si mettono nel secondo. Siano X, Y il numero di pezzi difettosi rispettivamente nel
primo e nel secondo lotto alla fine della prova. Calcolare P(X), cov(X, Y ) e il coefficiente di correlazione
lineare ρ di X, Y
P(X) =
; cov(X, Y ) =
;ρ =
.
3. Da un gruppo di 6 studenti, dei quali 4 sanno risolvere un certo quesito, ne vengono estratti a caso 3.
Successivamente, il quesito viene sottoposto ad uno dei 3 studenti (scelto a caso). Definiti gli eventi Hr =
“fra i 3 studenti estratti a caso ve ne sono r che sanno risolvere il quesito”, r = 1, 2, 3; e l’ulteriore evento
B = “lo studente scelto a caso non sa risolvere il quesito”, calcolare, supposto vero B c , la probabilità
condizionata p che tutti e 3 gli studenti estratti sappiano risolvere il quesito .
p=
4. La funzione di rischio di contrarre un tumore ai polmoni per un fumatore maschio di t anni, λ(t), è data
da
27
1
λ(t) =
+
(t − 40)2 , t ≥ 40.
1000 4000
Supponendo che un fumatore maschio di 40 anni non muoia per altri motivi calcolare:
(i) la probabilità α che egli non contragga un tumore ai polmoni fino a 50 anni;
(ii) la probabilità β che egli contragga un tumore entro i 60 anni.
α=
;β =
.
5. Siano X1 , X2 due numeri aleatori stocasticamente indipendenti ed identicamente distribuiti con distribuzione uniforme in ]0, 1[. Sia Yi = −2 log(1 − Xi ), i = 1, 2. Calcolare la funzione di ripartizione Gi (y) di
Yi , per i = 1, 2. Posto Z = Y1 + Y2 , calcolare la densità di probabilità h(z) di Z.


Gi (y) =
h(z) =

Soluzione.
1. Siano A, E eventi incompatibili, e sia B ⊂ E, determinare i costituenti relativi alla famiglia {A, B, E}.
3
Inoltre, verificare che l’assegnazione di probabilità P (A) = 51 , P (B) = 10
, P (E) = 12 è coerente. Infine,
considerato il numero aleatorio X = |A| − |B| + 3|E|, determinare il suo codominio CX e la probabilità
ph degli eventi (X = xh ) con xh ∈ CX .


CX = {
}
Si
;
Ass. Coerente ?
Cost.
p
=
{
}
No

h
I costituenti, come si evince dalla Figura 1, sono
C1 = AB c E c C2 = Ac BE
C3 = Ac B c E C4 = Ac B c E c
Ω
...............................
.........
.......
......
.....
.....
.....
.....
...
.
.......
.
...
.......... ................
.
...
.
.
.
.
...
.....
....
..
.
...
.
.
...
...
...
.
.
....
...
...
....
...
...
...
.
....C ...
C2 ...
... 3 ...
...
...
..
..
...
.
.
...
.
.
...
.
.
.
.
...
.
...
.....
....
...
...
.......
.....
...
...
...........................
.....
...
....
.....
.
.
.
.
.
......
......
.........
.................................
E
A
.....................
........
......
.....
....
....
...
...
...
.
...
....
.
....
C1 ....
...
..
...
.
.
...
.
.
.
....
......
.....
......... ..............
...........
B
C4
Figura 1:
Consideriamo il seguente sistema (S) nelle incognite x1 . . . , x4


x1 = 51 ;


3



 x2 = 10
;
1
x2 + x3 = 5 ;
⇔
(S)





 x1 + x2 + x3 + x4 = 1;
xi ≥ 0, i = 1 . . . 4.
x1
x2
x3
x4
=
=
=
=
2
10 ;
3
10 ;
2
10 ;
3
10 .
3 1 3
Il sistema (S) è risolvibile, pertanto l’assegnazione data è coerente. Infatti ( 15 , 10
, 5 , 10 ) è (l’unica)
soluzione del sistema. Infine si ha X ∈ {0, 1, 2, 3} con

3
,
P (X = 0) = 10



1
P (X = 1) = 5 ,
3
,
 P (X = 2) = 10


1
P (X = 3) = 5 .
2. Due lotti contengono, entrambi 21 pezzi funzionanti e 3 pezzi difettosi. Si estraggono “a caso” due pezzi
dal primo lotto e si mettono nel secondo. Siano X, Y il numero di pezzi difettosi rispettivamente nel
primo e nel secondo lotto alla fine della prova. Calcolare P(X), cov(X, Y ) e il coefficiente di correlazione
lineare ρ di X, Y
P(X) =
; cov(X, Y ) =
;ρ =
.
Osserviamo che X + Y = 6, pertanto ρ = −1. Inoltre, se indichiamo con Ei , l’evento “l’i-esimo pezzo
estratto dalla prima urna è difettoso”, i = 1, 2, e con Z = |E1 | + |E2 |, si ha X = 3 − Z, Y = 3 + Z.
Pertanto
11
3
= 2, 75.
P(X) = 3 − P(Z) = 3 − P (E2 ) − P (E1 ) = 3 − 2 =
24
4
Inoltre,
cov(X, Y ) = cov(3 − Z, 3 + Z) = −var(Z) = −[var(|E1 | + var(|E2 |) + 2cov(|E1 |, |E2 |)] =
−{P (E1 )P (E1c ) + P (E2 )P (E2c ) + 2[P (E1 E2 ) − P (E1 )P (E2 )]} = . . . ' −0, 209.
3. Da un gruppo di 6 studenti, dei quali 4 sanno risolvere un certo quesito, ne vengono estratti a caso 3.
Successivamente, il quesito viene sottoposto ad uno dei 3 studenti (scelto a caso). Definiti gli eventi Hr =
“fra i 3 studenti estratti a caso ve ne sono r che sanno risolvere il quesito”, r = 1, 2, 3; e l’ulteriore evento
B = “lo studente scelto a caso non sa risolvere il quesito”, calcolare, supposto vero B c , la probabilità
condizionata p che tutti e 3 gli studenti estratti sappiano risolvere il quesito .
p=
Si ha: P (Hr ) =
2
(r4)(3−r
)
, r = 1, 2, 3; quindi
6
(3)
4 2
1
1 2
P (H1 ) = 6 = , P (H2 ) =
5
3
4
2
2
1
6
3
3
= , P (H3 ) =
5
4
3
2
6
3
1
0 = .
5
Inoltre: P (B c |H1 ) = 13 , P (B c |H2 ) = 32 ,P (A|H3 ) = 1. Pertanto
P (B c ) = P (B c |H1 )P (H1 ) + P (B c |H2 )P (H2 ) + P (B c |H3 )P (H3 ) =
Infine
p = P (H3 |B c ) =
1
2
1 1 2 3
· + · +1· = .
3 5 3 5
5
3
1 · 15
P (B c |H3 )P (H3 )
3
=
=
2
P (B c )
10
3
4. La funzione di rischio di contrarre un tumore ai polmoni per un fumatore maschio di t anni, λ(t), è data
da
1
27
+
(t − 40)2 , t ≥ 40.
λ(t) =
1000 4000
Supponendo che un fumatore maschio di 40 anni non muoia per altri motivi calcolare:
(i) la probabilità α che egli non contragga un tumore ai polmoni fino a 50 anni;
(ii) la probabilità β che egli contragga un tumore entro i 60 anni.
α=
;β =
.
Si ha
R 50
27
1
α = P (T > 50|T > 40) = e− 40 λ(t)dt = . . . e(− 100 − 12 ) ' e−0,353
.
R 60
− 40
λ(t)dt
β = P (T ≤ 60|T > 40) = 1 − P (T > 60|T > 40) = 1 − e
' 1 − [e−0,353 ]2 .
5. Siano X1 , X2 due numeri aleatori stocasticamente indipendenti ed identicamente distribuiti con distribuzione uniforme in ]0, 1[. Sia Yi = −2 log(1 − Xi ), i = 1, 2. Calcolare la funzione di ripartizione Gi (y) di
Yi , per i = 1, 2. Posto Z = Y1 + Y2 , calcolare la densità di probabilità h(z) di Z.


Gi (y) =
h(z) =

Sia y ≤ 0, si ha Gi (y) = P (Yi ≤ y) = 0, i = 1, 2. Sia y > 0, per i = 1, 2, si ha
y
Gi (y) = P (Yi ≤ y) = P [−2 log(1 − Xi ) ≤ y] = P (1 − Xi ≥ e− 2 ) =
y
y
P (Xi ≤ 1 − e− 2 ) |{z}
=
1 − e− 2 .
Xi ∼U (]0,1[)
Pertanto
Gi (y) =
0,
y ≤ 0;
− y2
1 − e , y > 0.
i = 1, 2
ovvero Yi ∼ Exp( 12 ). Inoltre, Y1 , Y2 sono stocasticamente indipendenti in quanto trasformazioni di numeri aleatori stocasticamente indipendenti. Osserviamo che la funzione caratteristica di Z = Y1 + Y2 è
data da
1 2
ψZ (t) = ψY1 (t)ψY2 (t) = 1 2
.
2 − it
Quindi, Z è un numero aleatorio con distribuzione Gamma di parametri c = 2, λ =
densità di probabilità
0,
z ≤ 0;
h(z) =
− z2
1
ze , z > 0.
22
1
2
con la seguente