esame due

CALCOLO DELLE PROBABILITA E STATISTICA (16-02-2016)
TEMPO DISPONIBILE 3 ORE
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1) Disuguaglianze notevoli nel calcolo delle probabilita ed applicazioni.
1
4.
2) Siano Xi , i = 1, 2, . . . , 5 variabili casuali i.i.d. di Bernoulli di parametro
P5
Sia Y = i=1 Xi . Determinare la distribuzione di Y , E(Y ) e Var(Y ).
3) Un ragazzo ha tre paia di pantaloni, uno Verde, uno Rosso ed uno Blu e tre
paia di magliette una Verde, una Rossa ed una Blu. Dapprima sceglie un paio
di pantaloni uniformemente a caso tra i tre a disposizione. Successivamente
per abbinare il colore della maglietta sceglie a caso uniformemente un capo
tra i 5 rimanenti (3 magliette e due pantaloni) ed indossa la maglietta del
colore del capo selezionato. Calcolare la probabilita che indossi maglietta e
pantaloni dello stesso colore. Calcolare la probabilita che indossi dei pantaloni
rossi condizionata al fatto che indossa una maglietta verde.
4) In un bar sono rimasti 5 cornetti alla crema, 2 al cioccolato e 3 vuoti ma
sono stati mischiati ed e’ impossibile riconoscerli.
Caso a): Si vuole mangiare un cornetto al cioccolato e si pescano a caso i
cornetti in sequenza uniformemente mangiandoli uno dopo l’altro fino a mangiare il primo contenente cioccolata. Calcolare la probabilita di mangiare piu di
2 cornetti. Calcolare la probabilita’ di mangiarne esattamente 3.
Caso b): Vengono 3 clienti che odiano il cioccolato a cui vengono serviti 3
cornetti scelti uniformemente a caso tra tutte le possibili terne. Calcolare la
probabilita che non vengano serviti cornetti al cioccolato.
Caso c): Calcolare la probabilita che estraendo 4 cornetti uniformemente a
caso se ne ottengano esattamente due di un tipo e due di un altro tipo.
5) Sia θ̂ uno stimatore del parametro incognito θ. Dimostrare che l’errore
quadratico medio dello stimatore θ̂, e’ dato dalla somma della varianza dello
stimatore e della sua distosione al quadrato.
6) Dimostrare che X̄ − zα/2 √σn , X̄ + zα/2 √σn e’ l’intervallo di confidenza
con livello di confidenza 1 − α per la media di una popolazione normale di
varianza nota σ 2 , avendo a disposizione un campione casuale X1 , X2 , ..., Xn .
7) Il p-value (o p-dei-dati). Che cosa e’ e come si usa.
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