Esercizi di Calcolo delle Probabilita

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Esercizi di Calcolo delle Probabilita

Calcolo delle P robabilitá
Esercizi svolti e quesiti
per il CdS in Economia e Finanza
Giuseppe Sanfilippo ∗
Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche “S. Vianelli”
Università degli Studi di Palermo”
5 settembre 2008
Versione 1.1
∗
Per comunicare eventuali errori scrivere a giuseppesanfilippochioccioladssm.unipa.it indicando numero della
sezione e dell’esercizio.
1
INDICE
p. 2
Indice
1
Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici.
2
Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
10
2.1 Esercizi Svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3
Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
27
3.1 Esercizi Svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4
Numeri aleatori Continui
38
4.1 Esercizi Svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5
Distribuzione normale
43
5.1 Esercizi Svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6
Vettori aleatori
46
6.1 Esercizi Svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
DSSM - CdP-Ec&Fin- Giuseppe Sanf ilippor
3
1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici.
1
p. 3
Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici.
Esercizio 1.1 (Costituenti). Dati 2 eventi A, B con A ⊂ B si hanno i seguenti costituenti (vedi
Figura 1)
C1 = AB C2 = Ac B C3 = Ac B c .
Infatti l’intersezione AB c = ∅,
A
B
Ω
Figura 1: A⊂B
Esercizio 1.2. Dati tre eventi A, B, C, con A ∧ C = ∅, verificare se la valutazione
P (A) = P (B) = P (C) = 0.4, P (A ∧ B) = P (B ∧ C) = 0.2 è coerente. Inoltre, considerato il
numero aleatorio
X = |A| − |A ∧ B| − |B| + |B ∧ C|, calcolare la previsione di X.
Soluzione.
I costituenti sono
C1 = AB c C c C2 = ABC c C3 = Ac BC c C4 = Ac BC C5 = Ac B c C C6 = Ac B c C c .
Il seguente sistema

P (A) = 0.4 = x1 + x2



 P (B) = 0.4 = x2 + x3 + x4
P (C) = 0.4 = x4 + x5



 P (AB) = 0.2 = x2 , P (BC) = 0.2 = x4
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1, xi ≥ 0, i = 1 . . . 6
ammette la soluzione (0.2, 0.2, 0, 0.2, 0.2, 0.2) pertanto la valutazione è coerente. Infine
P(X) = P(|A|)−P(|A∧B|)+P(|B|)−P(|B ∧C|) = P (A)−P (A∧B)−P (B)+P (B ∧C) = 0.
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1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici.
p. 4
Quesito 1.1. Provare che il sistema relativo alla valutazione di probabilità P = (0.4, 0.3, 0.2) su
F = {A, B, Ac B c } non ammette soluzioni.
Esercizio 1.3. Siano A, B, C tre eventi tali che A e B siano incompatibili, inoltre (A∨B)∧C = ∅.
1
Determinare se la valutazione di probabilità P (A) = 32 , P (B) = 12
, P (C) = 14 è coerente, e in
caso affermativo calcolare i valori di probabilità coerenti p per l’evento Ac ∧ B c ∧ C c .
Soluzione.
Si ha A ∧ B = A ∧ C = B ∧ C = ∅ e quindi i costituenti sono
C1 = A ∧ B c ∧ C c = A, C2 = Ac ∧ B ∧ C c = B, C3 = Ac ∧ B c ∧ C = C, C4 = Ac ∧ B c ∧ C c .
Allora, per la coerenza, dev’essere: P (A)+P (B)+P (C) ≤ 1, ed essendo P (A)+P (B)+P (C) =
1 l’assegnazione è coerente. Inoltre, dalla relazione
P (A) + P (B) + P (C) + P (Ac ∧ B c ∧ C c ) = 1 ,
segue: p = P (Ac ∧ B c ∧ C c ) = 0.
Quesito 1.2. Dati tre eventi A, B, C, con A ⊂ BC, P (B) = P (C) = 0.6, P (BC) = x, P (A) =
0.1, determinare l’insieme I dei valori x coerenti.
Esercizio 1.4. Dati 3 eventi A, B, C, con Ac B c C c = ∅, verificare se le valutazioni di probabilità
3
5
1
, P (B) = 10
, P (C) = 10
sono coerenti.
P (A) = 10
Risp.: Coerenti?
Soluzione.
Essendo Ac B c C c = ∅, dalle formule di De Morgan segue A ∨ B ∨ C = Ω e quindi
P (A ∨ B ∨ C) = 1. D’altra parte, dev’essere:
P (A ∨ B ∨ C) ≤ P (A) + P (B) + P (C) =
9
< 1,
10
il che è assurdo. Pertanto le valutazioni non sono coerenti.
Esercizio 1.5. L’architettura di un software è costituita da 3 moduli M1 , M2 , M3 . Sia Ai l’evento
“il modulo Mi funziona”. E’ noto che se M1 funziona allora M2 funziona, se M2 funziona allora
M3 funziona. Determinare l’insieme C dei costituenti generati dagli eventi Ai con i = 1, 2, 3
6
(tenendo conto dei vincoli logici dati). Supposto che P (A1 ) = 14 , P (A3 ) = 10
, determinare i
valori di probabilità coerenti p per A2 . Stabilire inoltre se A1 e A3 possono essere stocasticamente
indipendenti.
Soluzione.
Siccome A1 ⊆ A2 ⊆ A3 , i costituenti sono
C1 = A1 ∧ A2 ∧ A3 ; C2 = Ac1 ∧ A2 ∧ A3 ; C3 = Ac1 ∧ Ac2 ∧ A3 ; C4 = Ac1 ∧ Ac2 ∧ Ac3 .
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1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici.
p. 5
6
Dalla monotonia della probabilità segue che necessariamente 14 ≤ P (A2 ) ≤ 10
.
Essendo A1 ⊆ A3 , si ha che A1 e A3 non possono essere stocasticamente indipendenti. Infatti
P (A1 ∧ A3 ) = P (A1 ) 6= P (A1 )P (A3 ).
Esercizio 1.6. In base a un indagine sanitaria condotta su una fabbrica di carta viene valutata pari
a 0.1 la probabilità dell’evento E, che una persona che vi lavora da almeno 5 anni soffra di disturbi
polmonari, 0.15 la probabilità dell’evento H che soffra di cefalea, e 0.8 la probabilità dell’evento
S che sia sana.
E’ coerente tale assegnazione ?
si
no
Gli eventi E ed H sono stocasticamente indipendenti ? si
no
Soluzione.
A).
Gli eventi E ed H sono incompatibili con l’evento S, cioè si ha E ∧ S = ∅, H ∧ S = ∅.
I costituenti possibili sono dati da
C1 = E ∧ H ∧ S c = E ∧ H C2 = E c ∧ H ∧ S c C3 = E ∧ H c ∧ S c
C4 = E c ∧ H c ∧ S
C5 = E c ∧ H c ∧ S c .
Il sistema per la verifica della coerenza è dato da



x1 + x3 = P (E)
x1 + x3 = 0.1
x3 = 0.1 − x1












 x1 + x2 = P (H)
 x1 + x2 = 0.15
 x2 = 0.15 − x1
x4 = P (S)
x4 = 0.8
x4 = 0.8
⇒
⇒






x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1
x5 = x1 − 0.05









xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5
xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5
xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5
esso ammette soluzioni per ogni valore di x1 ∈ [0.05, 0.1]. Quindi l’assegnazione è coerente.
Inoltre osserviamo che x1 rappresenta P (E ∧ H), pertanto non potendo essere x1 = 0.1 · 0.15 =
0.015 gli eventi E ed H non sono stocasticamente indipendenti.
Soluzione.
B) Osservato che E ∧ S = ∅ e H ∧ S = ∅, si ha
P (E ∨ H) + P (S) ≤ 1 ⇒ P (E) + P (H) − P (E ∧ H)
+P (S) ≤ 1 ⇒ P (E ∧ H) ≥ P (E) + P (S) + P (H) − 1
⇒ P (E ∧ H) ≥ 0.05
inoltre si ha
P (E ∧ H) ≤ min{P (E), P (H)} ⇒ P (E ∧ H) ≤ 0.1
allora per P (E ∧ H) ∈ [0.05, 0.1] l’assegnazione di probabilità data è coerente. Invece per
P (E ∧ H) = 0.1 · 0.15 = 0.015 l’assegnazione data non è coerente quindi E ed H non sono
stocasticamente indipendenti.
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1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici.
p. 6
Esercizio 1.7. La probabilità che uno studente scelto a caso tra gli iscritti al I anno di Ingegneria
dopo la prima sessione non abbia ancora superato l’esame di Analisi é 0.7, la probabilità che
abbia fatto il liceo scientifico ed abbia superato l’esame di Analisi é 0.2. Quali valori coerenti può
assumere la probabilità p che abbia fatto il liceo classico ed abbia superato Analisi ?
p∈
Soluzione.
Consideriamo i seguenti eventi:
A = “Lo studente supera l’esame di Analisi alla prima sessione”;
S = “Lo studente ha fatto il liceo scientifico”;
C = “Lo studente ha fatto il liceo classico”.
Essendo gli eventi S e C incompatibili si ha
P ((A ∧ S) ∨ (A ∧ C)) = P (A ∧ S) + P (A ∧ C) ≤ P (A)
0.2 + p ≤ 0.3
p ≤ 0.1
Inoltre dovendo essere anche p ≥ 0 si ha p ∈ [0, 0.1]
Esercizio 1.8. Siano dati 4 eventi A, B, C, D, con
A ⊂ B , C ⊂ D , B ∧ D = ∅ , P (A) = P (C) =
1
, P (B) = P (D) = p .
5
Determinare l’insieme I dei valori p coerenti.
Soluzione.
Da P (B) ≥ P (A) segue p ≥ 51 .
Da
P (B ∨ D) = P (B) + P (D) = 2p ≤ 1 ,
segue p ≤ 12 . Pertanto I = [ 51 , 12 ].
Esercizio 1.9. Dati gli eventi E1 , E2 , E3 , E4 , con E1 ∧ E2 = ∅, E1 ⊆ E3 , E2 ⊆ E3 , E4 ⊆ E3c
determinare l’insieme C dei costituenti e stabilire per quali valori di p2 = P (E2 ) e di p4 = P (E4 )
l’assegnazione P (E1 ) = 2P (E2 ), P (E3 ) = 12 , P (E1c E3 ) = 14 è coerente.
Soluzione.
I costituenti possibili sono
C = {E1 , E2 , E1c E2c E3 , E4 , E3c E4c } .
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1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici.
p. 7
Osservando che
E3 = E1 E3 ∨ E1c E3 = E1 ∨ E1c E3
si ha
1 1
1
− =
2 4
4
e quindi p2 = 12 · P (E1 ) = 18 . Per quanto riguarda p4 osservando che E4 ⊆ E3c si ha
0 ≤ P (E4 ) ≤ 1 − 21 e quindi p4 ∈ [0, 12 ].
P (E1 ) = P (E3 ) − P (E1c E3 ) =
Esercizio 1.10 (Es.1:EF06lug05). Dati 3 eventi A, B, C con A e C incompatibili e B ⊂ C.
Verificare che l’assegnazione
2
3
1
P (A) = , P (B) = , P (C) =
5
10
2
è coerente. Inoltre calcolare la previsione e la varianza di X = |A| − 2|B| + 3|C|.
Coerenza ? SI
σ 2 (X) =
P(X) =
NO
Soluzione.
La valutazione assegnata è coerente, infatti si ha P (A) + P (C) ≤ 1 e P (B) < P (C). La
previsione è data da
P(X) = P (A) − 2P (B) + 3P (C) =
6
3
4 − 6 + 15
13
2
−
+ =
= .
5 10 2
10
10
Inoltre, osservando che X ∈ {0, 1, 3} e che
P (X = 0) = 1 − P (A) − P (C) =
si ha
P(X 2 ) = 0
1
7
, P (X = 1) = P (A) + P (B) = ,
10
10
2
P (X = 3) = P (C) − P (B) = ,
10
7
2
25
1
+1 +9 = .
10
10
10
10
Pertanto,
σ 2 (X) = P(X 2 ) − [P(X)]2 =
25 169
81
−
=
.
10 100
100
Esercizio 1.11 (Es.1:EF12gen05). Dati tre eventi E1 , E2 , E3 , con E1 E3 = ∅, verificare se la valutazione P (E1 ) = P (E3 ) = 0.4, P (E2 ) = 0.5, P (E1 E2 ) = P (E2 E3 ) = 0.2 è coerente. Inoltre,
considerato il numero aleatorio
X = 1|E1 | + 2|E2 | + 3|E3 |, calcolare il codominio CX dei possibili valori di X e la previsione di
X.
coerente? SI, NO
CX = {
},
P(X) =
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1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici.
p. 8
Soluzione.
I costituenti sono
C1 = E1 E2c E3c C2 = E1 E2 E3c C3 = E1c E2 E3c C4 = E1c E2 E3 C5 = E1c E2c E3 C6 = E1c E2c E3c .
Il seguente sistema

P (E1 ) = 0.4 = x1 + x2



 P (E2 ) = 0.5 = x2 + x3 + x4
P (E3 ) = 0.4 = x4 + x5



 P (E1 E2 ) = 0.2 = x2 , P (E2 E3 ) = 0.2 = x4
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1, xi ≥ 0, i = 1 . . . 6
ammette la soluzione (x1 = 0.2, x2 = 0.2, x3 = 0.1, x4 = 0.2, x5 = 0.2, x6 = 0.1), quindi, la
valutazione è coerente. Per il calcolo del codominio di X consideriamo i costituenti
C2 = E1 E2 E3c ⇒ X = 1 + 2 = 3 C3 = E1c E2 E3c ⇒ X = 2
C1 = E1 E2c E3c ⇒ X = 1
C6 = E1c E2c E3c ⇒ X = 0,
C4 = E1c E2 E3 ⇒ X = 2 + 3 = 5 C5 = E1c E2c E3 ⇒ X = 3
pertanto CX = {0, 1, 2, 3, 5}. Infine
P(X) = P(|E1 |)+P(2|E2 |)+P(3|E3 |) = P (E1 )+2P (E2 )+3P (E3 ) = 0.4+2·0.5+3·0.4 = 2.6.
Esercizio 1.12 (Es1:EF16set05). Dati tre eventi A, B, C, con BC ⊆ A ⊆ B , P (A) = 0.4, P (B) =
P (C) = 0.6, determinare l’insieme I dei valori di probabilità coerenti per ABC e determinare se
esiste un valore p ∈ I che renda A, B e C stocasticamente indipendenti.
I = [0.2, 0.4],
∃ p?
NO
Quesito 1.3. Dati tre eventi E1 , E2 , E3 , con E3 ⊂ E1 E2 , determinare l’insieme C dei costituenti e
stabilire in ciascuno dei seguenti due casi se l’assegnazione di probabilità è coerente: (i) P (E1 ) =
0.8, P (E1 E2 ) = 0.5, P (E3 ) = 0.2; (ii) P (E1 ) = 0.4, P (E1 E2 ) = 0.6, P (E3 ) = 0.2.
C=
(0.8, 0.5, 0.2) coerente?
(0.4, 0.6, 0.2) coerente?
Quesito 1.4. Dati tre eventi E1 , E2 , E3 , con E3 ⊂ E1 E2 , determinare l’insieme C dei costituenti e
stabilire in ciascuno dei seguenti due casi se l’assegnazione di probabilità è coerente: (i) P (E1 ) =
0.7, P (E1 E2 ) = 0.4, P (E3 ) = 0.1; (ii) P (E1 ) = 0.3, P (E1 E2 ) = 0.4, P (E3 ) = 0.1.
C=
(0.7, 0.4, 0.1) coerente?
(0.3, 0.4, 0.1) coerente?
Quesito 1.5. Dati tre eventi A, B, C, con A ⊂ B, BC = ∅, sia X = −|A| + 2|B| − |C|. Supposto
P (A) = x, P (B) = 0.4, P (C) = y, calcolare l’insieme I delle coppie (x, y) coerenti e il minimo
m0 della previsione di X.
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1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici.
p. 9
Quesito 1.6. Dati tre eventi A, B, C, con
AB = ∅ ,
C ⊂B,
P (A) = x ,
P (B) =
1
,
2
P (C) = y ,
calcolare l’insieme I delle coppie (x, y) coerenti. Posto, inoltre, X = |A| + |B| − |C| e indicato
con m la previsione di X, stabilire se risulta m = 1 per qualche (x, y) ∈ I.
I = {(x, y) |
};
∃ (x, y) ∈ I | m = 1 ?
Quesito 1.7 (Es.1:EF13dic05). Dati tre eventi A, B, C con A e C incompatibili. Determinare i
costituenti e verificare se l’assegnazione
P (A) = 0.5, P (B) = 0.2, P (C) = 0.4, P (AB) = 0.1 P (BC) = 0.1
è coerente. Inoltre, calcolare la probabilità dell’evento (A ∨ B ∨ C).



1a valutazione coerente

Cost.


P (A ∨ B ∨ C) =

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SI
N o,
2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
2
p. 10
Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni
discrete
2.1
Esercizi Svolti
Esercizio 2.1. Estrazioni del lotto. Sia
X = 10 numero estratto,
E = (X ≤ 45) e H = (X > 30).
Soluzione.
Si ha P (E) =
1
2
eP (H) = 23 . Calcolare P (E|H).
Esercizio 2.2. (Gioco della roulette russa) In una pistola a 6 colpi viene inserito un solo proiettile
e il tamburo viene fatto girare vorticosamente. Quindi 6 prigionieri sono costretti a sottomettersi
alla prova della roulette russa. Considerati gli eventi
Ei = il proiettile esplode all’i-mo colpo, i = 1, . . . , 6, verificare che tali eventi hanno tutti probabilità 61 , cioè che i 6 prigionieri hanno la stessa probabilità di morire.
Ovviamente, si ha P (E1 ) = 16 . Inoltre
P (E2 |E1c ) = 15 ,
P (E3 |E1c E2c ) = 41 ,
· · · · · · , P (E6 |E1c · · · E5c ) = 1 .
Allora, osservando che
E2 = E1c E2 , E3 = E1c E2c E3 , · · · , E6 = E1c · · · E5c E6 ,
applicando il teorema delle probabilità composte si ha
P (E2 ) = P (E1c )P (E2 |E1c ) =
5
6
×
1
5
=
1
6
;
P (E3 ) = P (E1c )P (E2c |E1c )P (E3 |E1c E2c ) =
5
6
× 45 ×
1
4
=
1
6
;
....................................................................
P (E6 ) = P (E1c )P (E2c |E1c )P (E3c |E1c E2c ) · · ·
· · · P (E5c |E1c · · · E4c )P (E6 |E1c · · · E5c ) =
=
5
6
× 54 × 34 × 32 × 12 × 1 =
1
6
.
Esercizio 2.3. (Problema del condannato) In un paese orientale un prigioniero è stato condannato
a morte da uno sceicco. Prima dell’esecuzione, lo sceicco offre una possibilità di salvezza al
condannato, mettendogli a disposizione 2 urne U1 e U2 , con 2 palline bianche e 2 nere.
Il condannato deve distribuire a suo piacere le palline nelle due urne, con la condizione che
nessuna urna rimanga vuota. Verrà poi scelta a caso un’urna da cui verrà estratta una pallina. Se la
pallina estratta sarà bianca il prigioniero sarà graziato.
DSSM - CdP-Ec&Fin- Giuseppe Sanf ilippor
2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 11
Qual’è la migliore ripartizione delle palline nelle due urne?
Definiti gli eventi
B = la pallina estratta è bianca,
H1 = viene utilizzata l’urna U1 ,
H2 = viene utilizzata l’urna U2 ,
la decisione migliore per il condannato è quella che rende massima la probabilità di B.
Supponiamo che il condannato inserisca h palline bianche e k palline nere in U1 , con 0 <
h + k < 4, e le rimanenti 4 − h − k palline in U2 . Con tale strategia si ha
P (B) = P (H1 )P (B|H
1 ) + P (H2 )P (B|H2 ) =
h
2−h
1
= 2 h+k + 4−h−k .
Sostanzialmente, basta esaminare i seguenti casi (tra parentesi il simbolo ∼ indica una decisione
equivalente che si può fare a meno di esaminare):
1. h = 0 , k = 1 (∼ h = 2 , k = 1) ;
2. h = 0 , k = 2 (∼ h = 2 , k = 0) ;
3. h = 1 , k = 1 ;
4. h = 1 , k = 0 (∼ h = 1 , k = 2) .
• Nel caso 1 si ha P (B) = 12 ( 01 + 23 ) =
1
3
;
• nel caso 2 si ha P (B) = 12 ( 02 + 22 ) =
1
2
;
• nel caso 3 si ha P (B) = 12 ( 12 + 12 ) =
1
2
;
• Nel caso 4 si ha P (B) = 12 ( 11 + 13 ) =
2
3
.
La decisione migliore pertanto è la n. 4 (una pallina bianca in un’urna e le rimanenti nell’altra).
Il problema si può generalizzare considerando n palline bianche ed n nere, con n > 2. Si può
ve- rificare che la decisione migliore è sempre quella di mettere una pallina bianca in un’urna e le
rimanenti nell’altra. A tale decisione corrisponde per P (B) il valore (massimo)
n−1
1
1+
,
P (B) =
2
2n − 1
che all’aumentare di n sale verso 34 .
Esercizio 2.4. Un mazzo di 4 chiavi contiene un sola chiave adatta ad aprire una certa serratura.
Provando a caso le chiavi una dopo l’altra, occorre effettuare un numero aleatorio X di tentativi
per aprire la serratura. Calcolare la varianza di X.
V ar(X) =
Soluzione
DSSM - CdP-Ec&Fin- Giuseppe Sanf ilippor
2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 12
Indicando con Ei l’evento la chiave che apre la serratura viene individuata all’i-mo
tentativo, i = 1, 2, 3, 4, si ha
P (X = 1) = P (E1 ) = 14 ,
P (X = 3) = P (E1c E2c E3 ) =
·
1
3
= 14 ,
= 14 , P (X = 4) = P (E1c E2c E3c ) =
3
4
· 23 ·
P (X = 2) = P (E1c E2 ) =
3
4
· 23 ·
1
2
3
4
1
2
= 14 ,
da cui segue
IP (X) =
5
1+2+3+4
= ,
4
2
IP (X 2 ) =
12 + 22 + 32 + 42
15
=
.
4
2
Allora
V ar(X) = IP (X 2 ) − [IP (X)]2 =
15 25
5
−
= ·
2
4
4
Esercizio 2.5. Dati due numeri aleatori X, Y ugualmente distribuiti, si ponga U = X − Y e
V = X + Y . Calcolare la covarianza di U, V .
Risp.: Cov(U, V ) =
Soluzione.
Si ha
Cov(X − Y, X + Y ) = Cov(X, X + Y ) − Cov(Y, X + Y ) =
Cov(X, X) + Cov(X, Y ) − Cov(Y, X) − Cov(Y, Y ).
Essendo X e Y ugualmente distribuite si ha Cov(X, X) = var(X) = var(Y ) = Cov(Y, Y ),
inoltre Cov(X, Y ) = Cov(Y, X), pertanto si ha
Cov(X − Y, X + Y ) = 0
Esercizio 2.6. Da un lotto contenente 5 pezzi buoni e 3 difettosi si estraggono senza restituzione
3 pezzi. Sia Ei l’evento l’i-mo pezzo estratto è buono. Calcolare la probabilità dell’evento
condizionato (E2 E3 | E2 ∨ E3 ).
2
P (E2 E3 | E2 ∨ E3 ) =
5
Soluzione.
Gli eventi Ei hanno tutti probabilità 85 . Inoltre
P (E2 E3 ) = P (E1 E2 ) = P (E1 )P (E2 |E1 ) =
Allora
P (E2 E3 )
P (E2 E3 | E2 ∨ E3 ) =
=
P (E2 ∨ E3 )
5
8
+
5 4
5
· =
·
8 7
14
5
14
5
5
− 14
8
=
2
·
5
Esercizio 2.7. Dati 3 eventi E1 , E2 , E3 , con E1 E2 E3 = ∅ e con
2
P (Ei ) = , i ∈ {1, 2, 3},
5
1
P (Ei |Ej ) = , i 6= j, i, j ∈ {1, 2, 3},
3
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2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 13
calcolare la probabilità p dell’evento condizionato (E1 ∨ E2 | E1 ∨ E2 ∨ E3 ).
p=
Soluzione.
Tenendo conto che P (E1 E2 E3 ) = 0, si ha
p = P (E1 ∨ E2 | E1 ∨ E2 ∨ E3 ) =
=
P (E1 ∨E2 )
P (E1 ∨E2 ∨E3 )
P (E1 )+P (E2 )−P (E1 E2 )
P (E1 )+P (E2 )+P (E3 )−P (E1 E2 )−P (E1 E3 )−P (E2 E3 )
=
2
+ 25 − 25 · 13
5
2
2
2
+ 5 + 5 − 25 · 13 − 25 · 13 − 25 · 31
5
=
=
5
6
·
Esercizio 2.8.
Una ditta riceve merce da tre fornitori A, B, C nelle seguenti proporzioni: il 42% della merce è
fornita da A, il 14% da B, e la restante merce da C. E’ noto che la probabilità che un pezzo sia
difettoso è, rispettivamente, 0.05, 0.04, 0.1, a seconda che sia fornito da A, B, C. Calcolare la
probabilità α che un pezzo estratto da quelli ricevuti dalla ditta sia difettoso. Inoltre, esaminato un
pezzo e supposto che sia difettoso, calcolare la probabilità p che esso provenga dal fornitore B.
α=
p=
Soluzione.
Indicando con A (analogamente B, C) l’evento “il pezzo proviene dal fornitore A”, si ha: P (A) =
14
44
42
, P (B) = 100
, P (C) = 100
. Inoltre, definito l’evento F =“il pezzo estratto è difettoso”, risulta:
100
1
1
1
P (F |A) = 20
, P (F |B) = 25
, P (F |C) = 10
. La percentuale di pezzi difettosi che la ditta riceve è
7.06%; infatti:
P (F ) = P (A)P (F |A) + P (B)P (F |B) + P (C)P (F |C) =
1
14
1
44
1
353
42
×
+
×
+
×
=
= 0.0706 .
100 20 100 25 100 10
5000
La probabilità di B|F (che un pezzo provenga dal fornitore B supposto che sia difettoso) si
determina tramite il teorema di Bayes:
=
P (B)P (F |B)
P (B|F ) =
=
P (F )
14
100
×
1
25
353
5000
=
28
' 0.0793 .
353
Esercizio 2.9. In una ditta che vende dispositivi di un certo tipo il 60 % proviene da una fabbrica
A, il 30 % da una fabbrica B e il 10 % da C. Le percentuali di lampadine difettose prodotte da
A, B, C sono rispettivamente il 2 %, il 4 % e il 5 %. Calcolare la probabilità α che un dispositivo
venduto dalla ditta e risultato difettoso sia stato prodotto da C.
Risp.: α =
Soluzione.
Indicando con D l’evento il dispositivo è difettoso, si ha
P (D|A) = 0.02, P (D|B) = 0.04, P (D|C) = 0.05,
con P (A) = 0.6, P (B) = 0.3, , P (C) = 0.1. Allora
α = P (C|D) =
P (D|C)P (C)
P (D|A)P (A)+P (D|B)P (B)+P (D|C)P (C)
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=
0.05×0.1
0.02×0.6+0.04×0.3+0.05×0.1
=
5
.
29
2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 14
Esercizio 2.10. Date tre urne A (contenente 3 palline bianche e 1 nera), B (contenente 1 pallina
bianca e 3 nere) e C (contenente 1 pallina bianca e 1 nera), da C si estrae una pallina. Se è bianca
(evento H) viene effettuata una seconda estrazione da A, in caso contrario (evento H c ) da B. Posto
E = la seconda pallina estratta è nera, calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia
bianca, supposto di aver osservato pallina nera nella seconda.
Risp.: P (H|E) =
Soluzione.
Si ha:
1
3
1
P (H) = , P (E|H) = , P (E|H c ) = ,
2
4
4
da cui segue:
P (E) = P (E|H)P (H) + P (E|H c )P (H c ) =
e quindi: P (H|E) =
P (E|H)P (H)
P (E)
=
1 1
·
4 2
1
2
1
1 1 3 1
· + · = ,
4 2 4 2
2
= 14 .
Esercizio 2.11. Dati tre eventi A, B, C, con C ⊂ AB, P (A) = 0.5, P (AB) = 0.3, P (C) = x,
stabilire se esiste un valore x tale che P (C|AB c ∨ C) = 0.5.
Risp.: x =
Soluzione.
Si ha: P (AB c ) = P (A) − P (AB) = 0.5 − 0.3 = 0.2. Inoltre, dall’ipotesi C ⊂ AB, segue
P (C) = x ≤ 0.3 . Allora, tenendo conto che AB c C = ∅, si ottiene:
P (C)
P (C)
P [C ∧ (AB c ∨ C)]
=
=
.
P (C|AB ∨ C) =
c
c
P (AB ∨ C)
P (AB ∨ C)
P (AB c ) + P (C)
c
Pertanto:
P (C|AB c ∨ C) =
x
= 0.5 ⇐⇒ x = P (C) = 0.2 .
0.2 + x
Esercizio 2.12. Un lotto è costituito da 100 componenti, dei quali 40 sono stati costruiti da una
macchina M1 e 60 da una macchina M2 . Il generico componente risulta difettoso con probabilità
1
se prodotto da M1 e con probabilità 25 se prodotto da M2 . Dal lotto viene estratto a caso un
5
componente e viene esaminato. Definiti gli eventi E = Il pezzo esaminato risulta non difettoso
ed H = Il pezzo esaminato è stato prodotto dalla macchina M1 , calcolare il rapporto r tra le
probabilità P (H|E) e P (H c |E).
8
r=
9
Soluzione.
Si ha
P (H|E) =
P (H)P (E|H)
,
P (E)
P (H c |E) =
P (H c )P (E|H c )
,
P (E)
e quindi
P (H|E)
P (H)P (E|H)
r =
=
=
c
P (H |E)
P (H c )P (E|H c )
DSSM - CdP-Ec&Fin- Giuseppe Sanf ilippor
40
100
60
100
·
·
4
5
3
5
=
8
·
9
2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 15
Esercizio 2.13. Date tre urne A,B,C, contenenti ciascuna 1 pallina bianca e 1 nera, dalle urne B e
C si estrae a caso una pallina che (senza osservarne il colore) viene inserita in A. Successivamente
da A si estrae una pallina che risulta bianca (evento E). Definiti gli eventi F = la pallina estratta
da B è bianca, K = la pallina estratta da C è bianca, Hr = r delle 2 palline inserite in A sono
bianche, r = 0, 1, 2, calcolare la probabilità dell’evento condizionato H1 |E.
P (H1 |E) =
Soluzione.
Osservando che gli eventi F e K sono indipendenti e che
H0 = F c K c ,
H1 = F K c ∨ F c K ,
H2 = F K ,
si ha
P (H0 ) = P (F c )P (K c ) =
1
2
·
1
2
=
1
4
= P (F )P (K) = P (H2 ) ,
P (H1 ) = P (F K c ) + P (F c K) = P (F )P (K c ) + P (F c )P (K) =
Allora
P (H1 |E) =
=
P (EH1 )
P (E)
1 1
·
2 2
1 1
1 1
·
+
· + 14 · 34
4 4
2 2
=
=
1
2
1
2
· 12 + 12 ·
P (H1 )P (E|H1 )
P (H0 )P (E|H0 )+P (H1 )P (E|H1 )+P (H2 )P (E|H2 )
1
2
=
1
2
·
=
= P (H1 ) .
Esercizio 2.14. Un lotto è formato da 100 componenti, di cui r costruiti con una apparecchiatura
A e i rimanenti con una apparecchiatura B. Ciascuno dei componenti prodotti da A (risp. da B) è
non difettoso con probabilità 54 (risp. 43 ). Dal lotto si prende a caso un pezzo che viene esaminato.
Considerati gli eventi H = il componente preso a caso è stato prodotto da A, E = il componente
preso a caso è difettoso, determinare i valori di r tali che P (H|E) > 21 .
r∈
Soluzione.
Si ha
P (H) =
r
100 − r
1
1
, P (H c ) =
, P (E|H) = , P (E|H c ) = .
100
100
5
4
Allora
P (H)P (E|H)
P (H|E) =
=
P (H)P (E|H) + P (H c )P (E|H c )
r
100
·
r
·1
100 5
1
+ 100−r
5
100
da cui segue
P (H|E) >
1
, ∀ r ∈ {56, 57, . . . , 100} .
2
DSSM - CdP-Ec&Fin- Giuseppe Sanf ilippor
·
1
4
=
4r
,
500 − r
2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 16
Esercizio 2.15. Con riferimento all’esempio 2.14, sia X il numero aleatorio di pezzi non difettosi
fra gli r componenti prodotti dall’apparecchiatura A. Sia inoltre Ei l’evento l’i-mo pezzo prodotto
da A è non difettoso, i = 1, 2, . . . , r. Supposto che E1 , . . . , Er siano stocasticamente indipendenti,
calcolare: (i) la probabilità ph di ogni possibile valore h di X;
Soluzione.
Si ha X ∼ B(r, 54 ), ovvero X ∈ {0, 1, 2, . . . , r}, con
h r−h
4
1
r
P (X = h) =
,
h
5
5
h = 0, 1, 2, . . . , r .
Esercizio 2.16. In un controllo di qualità, si estrae (senza restituzione) un campione di n = 6 pezzi
da un lotto che ne contiene N = 30 fra i quali x difettosi. Il lotto viene accettato (sia H questo
evento) se nel campione non c’e’ alcun pezzo difettoso: calcolare la probabilità di H nell’ipotesi
x = 2.
P (H) =
Soluzione.
Essendo le estrazioni senza restituzione si ha, nell’ipotesi x = 2,
28 2
276
24 23
6
=
' 0, 63.
P (H) = 300 =
30
29
435
6
Esercizio 2.17. Dati due lotti A e B, ciascuno contenente 6 componenti buoni e 2 difettosi, da
entrambi si effettuano 3 estrazioni con restituzione, ottenendo X pezzi difettosi fra quelli estratti da
A ed Y pezzi difettosi fra quelli estratti da B. Considerato il numero aleatorio discreto Z = X +Y ,
calcolare: (i) la previsione m e la varianza σ 2 di Z; (Si noti che X e Y sono stocasticamente
indipendenti).
m=
σ2 =
Soluzione.
X e Y sono indipendenti ed ugualmente distribuiti, con distribuzione binomiale di parametri n =
9
, quindi
3, p = 14 . Pertanto IP (X) = IP (Y ) = np = 34 , V ar(X) = V ar(Y ) = npq = 16
m = IP (Z) = IP (X) + IP (Y ) =
9
3
; σ 2 = V ar(Z) = V ar(X) + V ar(Y ) = ·
2
8
Esercizio 2.18. Un lotto è costituito da 15 componenti simili, dei quali 10 costruiti da una macchina M1 e 5 da una macchina M2 . Ogni componente, prodotto da M1 o da M2 , è non difettoso
con probabilità 0.8 e gli eventi Ei =“l’i-esimo componente è difettoso”, per i = 1, . . . , 15, sono
stocasticamente indipendenti. Indicati con X e Y i numeri aleatori di pezzi difettosi fra quelli
prodotti rispettivamente da M1 e M2 , calcolare la probabilità dell’evento (X + Y = 2), il coefficiente di correlazione ρX+Y,Y dei numeri aleatori (X + Y ) e Y . Determinare inoltre la probabilità
dell’evento condizionato (X = 1|X + Y = 2).
P (X+Y = 2) =
ρX+Y,Y =
DSSM - CdP-Ec&Fin- Giuseppe Sanf ilippor
P (X = 1|X+Y = 2) =
2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 17
Soluzione.
Osserviamo che X ∼ Bin(10, 0.2), Y ∼ Bin(5, 0.2) e X + Y ∼ Bin(15, 0.2). Quindi
15
15 · 14
P (X + Y = 2) =
(0.2)2 (0.8)13 =
(0.2)2 (0.8)13 ' 0.231.
2
2
Il coefficiente di correlazione ρX+Y,Y tra X + Y e Y è dato da
=0
ρX+Y,Y
z }| {
√
cov(X + Y, Y )
cov(X, Y ) +cov(Y, Y )
σY2
σY
5 · 0.2 · 0.8
1
=
=
=
=
=√
=√ .
σX+Y · σY
σX+Y · σY
σX+Y · σY
σX+Y
15 · 0.2 · 0.8
3
Inoltre si ha
P (X = 1|X + Y = 2) =
=
P (X=1,X+Y =2)
P (X+Y =2)
=
P (X=1,Y =1)
P (X+Y =2)
=
P (X=1)·P (Y =1)
P (X+Y =2)
(101)(0.2)1 (0.8)9 (51)(0.2)1 (0.8)4
(101)(51)
=
=
15
2
13
( 2 )(0.2) (0.8)
(152)
=
10
21
Esercizio 2.19. Un lotto formato da 8 componenti elettronici, uno dei quali é difettoso, é stato
suddiviso a caso in 2 gruppi, A e B, di 4 componenti ciascuno. Dal gruppo A vengono prelevati
a caso 2 componenti. Definiti gli eventi E = i 2 componenti prelevati da A sono entrambi non
difettosi , H = il componente difettoso sta nel gruppo B, calcolare la probabilità dell’evento
condizionato H|E.
Risp.: P (H|E) =
Soluzione.
Si ha:
P (H) =
1
4
= , P (E|H) = 1 , P (E|H c ) =
8
2
3
1
2
0
1
= .
2
4
2
Allora:
P (H|E) =
1 · 21
P (EH)
P (E|H)P (H)
=
=
P (E)
P (E|H)P (H) + P (E|H c )P (H c )
1 · 12 + 21 ·
1
2
=
2
.
3
Esercizio 2.20. Un lotto é composto da 4 pezzi, dei quali 2 prodotti da una macchina M1 e 2
prodotti da una macchina M2 . Il singolo pezzo prodotto da M1 (rispettivamente M2 ) risulta difettoso, indipendentemente dagli altri pezzi, con probabilitá p1 (rispettivamente p2 ). Definiti gli eventi
A = esattamente uno dei 4 pezzi é difettoso , K = uno dei pezzi prodotti da M1 é difettoso, calcolare la probabilità dell’evento condizionato K|A.
Risp.: P (K|A) =
Soluzione.
Indicando con X (rispettivamente Y ) il numero di pezzi difettosi prodotti da M1 (rispettivamente
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2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 18
M2 ), si ha
A = (X + Y = 1) = AK ∨ AK c = (X = 1, Y = 0) ∨ (X = 0, Y = 1) ,
e quindi:
P (A) = P (X = 1, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) = P (X = 1)P (Y = 0) + P (X = 0)P (Y = 1)
=
2
1
p1 (1 − p1 )
2
0
2
(1 − p2 ) +
2
0
2
(1 − p1 )
2
1
p2 (1 − p2 ) =
= 2p1 (1 − p1 )(1 − p2 )2 + 2(1 − p1 )2 p2 (1 − p2 ) .
Allora:
P (K|A) =
=
P (AK)
P (A)
=
P (X=1,Y =0)
P (X=1,Y =0)+P (X=0,Y =1)
2p1 (1−p1 )(1−p2 )2
2p1 (1−p1 )(1−p2 )2 +2(1−p1 )2 p2 (1−p2 )
=
=
p1 (1−p2 )
p1 (1−p2 )+p2 (1−p1 )
·
Esercizio 2.21. Da un lotto contenente 4 lampadine buone e 4 difettose se ne prendono 4 in blocco.
Sia X il numero aleatorio di lampadine buone fra le 4 estratte. Calcolare la varianza di X.
V ar(X) =
4
7
Soluzione.
X ha distribuzione ipergeometrica di parametri N = 8, n = 4, p = 12 . Pertanto
V ar(X) = npq(1 −
n−1
4
)= ·
N −1
7
Esercizio 2.22. Un’azienda possiede 10 autobus ognuno dei quali la mattina, indipendentemente
dagli altri autobus, con una certa probabilità p riesce a mettersi in moto. Calcolare la probabilità α
che, in una data mattina, almeno un autobus riesca a partire.
Risp.: α =
Soluzione.
l numero aleatorio X di autobus che partono in una data mattina ha una distribuzione binomiale di
parametri 10, p. Allora:
α = P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − (1 − p)10 = 1 − q 10 .
Esercizio 2.23. Date due urne U (contenente 2 palline bianche e 3 nere) e V (contenente 4 palline
nere e 1 bianca), si consideri il seguente esperimento aleatorio. Piero effettua un’estrazione da U ,
vincendo una somma S se esce pallina bianca (evento A). In tal caso l’esperimento termina. In
caso contrario, Carlo effettua tre estrazioni con restituzione da V e vince la somma S se almeno
una volta esce pallina bianca. Sia Ei l’evento nell’i-ma prova viene estratta pallina bianca e B
l’evento Carlo vince la somma S. Calcolare P (B).
Risp.: P (B) =
DSSM - CdP-Ec&Fin- Giuseppe Sanf ilippor
2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
Soluzione.
Si ha:
P (A) = P (E1 ) =
da cui:
2
,
5
p. 19
B = Ac ∧ (E2 ∨ E3 ∨ E4 ) ,
P (B) = P (Ac )P (E2 ∨ E3 ∨ E4 |Ac ) = P (Ac )[1 − P (E2c E3c E4c |Ac )] =
= 53 [1 − ( 45 )3 ] = 35 (1 −
64
)
125
=
183
625
.
Esercizio 2.24. Dati n eventi E1 , . . . , En indipendenti ed equiprobabili, con P (Ei ) = 12 , stabilire
la condizione che dev’essere soddisfatta da n affinchè la probabilitá α dell’evento A = gli eventi
E1 , . . . , En sono tutti veri condizionata all’evento H = almeno uno degli eventi E1 , . . . , En é vero
sia minore di k1 , dove k è un numero intero fissato.
Risp.:
Soluzione.
Si ha:
α=
( 12 )n
1 + k1
P (E1 ∧ · · · ∧ En )
P (E1 ∧ · · · ∧ En )
n
=
=
≤
a
⇐⇒
2
≥
,
1
P (E1 ∨ · · · ∨ En )
1 − P (E1c ∧ · · · ∧ Enc )
1 − ( 12 )n
k
cioè, se e solo se: 2n ≥ k + 1.
Esercizio 2.25. Da un’urna U contenente 1 pallina bianca e 2 nere si effettuano due estrazioni
senza restituzione e, se almeno una volta esce pallina bianca, Tizio vince una somma S e il gioco
si interrompe. In caso contrario, da un’urna V contenente 2 palline bianche e 1 nera si effettuano
due estrazioni senza restituzione e, se almeno una volta esce pallina nera, Tizio vince la somma
S. Sia X la vincita aleatoria in tale gioco. Calcolare l’importo Σ che Tizio deve pagare per aver
diritto a ricevere X.
Risp.: Σ =
Soluzione.
Sia Ei l’evento nell’i-ma estrazione esce pallina bianca. Allora X = S se e solo se si verifica
l’evento E1 ∨ E2 ∨ E3c ∨ E4c , cioè: X = S|E1 ∨ E2 ∨ E3c ∨ E4c |. Poichè: Σ = IP (X), si ottiene:
Σ = IP (X) = S P (E1 ∨ E2 ∨ E3c ∨ E4c ) =
S[1 − P (E1c E2c E3 E4 )] = S(1 −
2 1 2 1
)
3 2 3 2
= 89 S.
Esercizio 2.26. Da un lotto contenente 5 barre di acciaio viene scelta a caso una barra. Utilizzando
opportune unità di misura, i valori (xi , yi ), i = 1, ..., 5, delle lunghezze e dei pesi delle 5 barre sono:
(1, 1.5), (1.2, 1.8), (1.4, 2.1), (1.5, 2.25), (0.8, 1.2).
Indicando con (X, Y ) i valori aleatori della lunghezza e del peso della barra estratta, calcolare il
coefficiente di correlazione di X, Y . Stabilire, inoltre, se gli eventi (X > 1) e (Y > 2) sono
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2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 20
indipendenti.
Risp.: ρ =
Risp.: Indipendenti?
Soluzione.
)
In generale, occorrerebbe applicare la formula ρ = Cov(X,Y
, calcolando preliminarmente la
σX σY
covarianza e gli scarti quadratici medi. X, Y e XY hanno distribuzione uniforme, rispettivamente,
sugli insiemi {0.8, 1, 1.2, 1.4, 1.5}, {1.2, 1.5, 1.8, 2.1, 2.25} e {0.96, 1.5, 2.16, 2.94, 3.375}, e quindi le previsioni di X, Y e XY sono, rispettivamente, 1.18, 1.77 e 2.187. Quindi Cov(X, Y ) =
0.0984. Inoltre, le previsioni di X 2 , Y 2 sono, rispettivamente, 1.458 e 3.2805 da cui si ottiene
σX = 0.256..., σY = 0.384... . Pertanto ρ = 1.
Lo stesso risultato si ottiene direttamente osservando che, per ogni (xi , yi ), si ha yi = 23 xi e quindi
Y = 23 X, da cui segue ρ = 1.
Si ha:
P (X > 1) = 1 − P (X = 0.8) − P (X = 1) = 35 ,
P (Y > 2) = P (Y = 2.1) + P (Y = 2.25) = 25 ,
P (X > 1, Y > 2) = P (X = 1.4, Y = 2.1) + P (X = 1.5, Y = 2.25) = 25 .
Poichè P (X > 1, Y > 2) 6= P (X > 1)P (Y > 2), gli eventi (X > 1) e (Y > 2) non sono
indipendenti.
Esercizio 2.27. L’insieme dei valori possibili di un numero aleatorio discreto X è C = {0, 1, . . . , 8},
con
8
2 8−h
1 h
, h = 0, 1, . . . , 8.
P (X = h) =
3
3
h
Calcolare: la previsione m di X; la probabilità dell’evento (X ≤ 6).
m=
P (X ≤ 6) =
Soluzione.
Il n.a. X ha distribuzione binomiale di parametri n = 8, p = 31 . La previsione è data da
8
m = IP (X) = n · p = .
3
Per calcolare P (X ≤ 6) osserviamo che
P (X ≤ 6) = 1 − P (X ≥ 7) = 1 − [P (X = 7) + P (X = 8)]
con
7 1
8
1
2
1 2
16
P (X = 7) =
= 8· 7 · = 8,
7
3
3
3 3
3
P (X = 8) =
quindi si ha
P (X ≤ 6) = 1 −
17
6544
=
' 0.9974.
8
3
6561
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1
38
2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 21
Esercizio 2.28. Tre palline numerate da 1 a 3 vengono inserite a caso in due scatole s1 , s2 . Sia X
il numero di palline in s1 e Y il numero di palline con numero dispari in s1 . Determinare se X ed
Y sono stocasticamente indipendenti. Calcolare IP (X) , cov(X, Y ).
(Suggerimento: sia Ei l’evento “la pallina con il numero i viene inserita nella scatola s1 - per
i = 1, 2, 3)
X e Y sono stocasticamente indipendenti? si
no
IP (X) =
; cov(X, Y ) =
Soluzione.
Indicando con Ei =“La pallina numero i viene inserita nella prima urna” (per i = 1, 2, 3) calcoliamo tutti i costituenti
C0 = E1c ∧ E2c ∧ E3c C1 = E1 ∧ E2c ∧ E3c C2 = E1c ∧ E2 ∧ E3c C3 = E1c ∧ E2c ∧ E3
C4 = E1 ∧ E2 ∧ E3c C5 = E1 ∧ E2c ∧ E3 C6 = E1c ∧ E2 ∧ E3 C7 = E1 ∧ E2 ∧ E3 .
Siccome gli eventi E1 , E2 , E3 sono stocasticamente indipendenti ed equiprobabili (P (E1 ) = P (E2 ) =
P (E3 ) = 21 ) si ha P (Ci ) = 18 (per i = 0, 1, . . . , 7). Inoltre il codominio di X è CX = {0, 1, 2, 3} e
quello di Y è CY = {0, 1, 2}. Si hanno le seguenti probabilità
P (X = 0) = P (C0 ) = 18
P (X = 2) = P (C4 ∨ C5 ∨ C6 ) =
P (Y = 0) = P (C0 ∨ C2 ) = 28
P (Y = 2) = P (C5 ∨ C7 ) = 82 .
3
8
P (X = 1) = P (C1 ∨ C2 ∨ C3 ) = 83
P (X = 3) = P (C7 ) = 18
P (Y = 1) = P (C1 ∨ C3 ∨ C4 ∨ C6 ) =
4
8
Pertanto la previsione di X è data da
IP (X) = 0 ·
3
3
1
3
1
+1· +2· +3· =
8
8
8
8
2
e la previsione di Y è data da
IP (Y ) = 0 ·
2
4
2
+ 1 · + 2 · = 1.
8
8
8
Il codominio del vettore (X, Y ) è CX,Y = {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2)}, con
P (X = 0, Y = 0) = P (C0 ) = 18
P (X = 1, Y = 1) = P (C1 ∨ C3 ) =
P (X = 2, Y = 2) = P (C5 ) = 18
2
8
P (X = 1, Y = 0) = P (C2 ) = 18
P (X = 2, Y = 1) = P (C4 ∨ C6 ) =
P (X = 3, Y = 2) = P (C7 ) = 18
2
8
Osserviamo che il codominio del numero aleatorio XY é {0, 1, 2, 4, 6}, con
P (XY = 0) = P (C0 ∨ C2 ) =
P (XY = 4) = P (C5 ) = 81
2
8
P (XY = 1) = P (C1 ∨ C3 ) =
P (XY = 6) = P (C7 ) = 81
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2
8
P (XY = 2) = P (C4 ∨ C6 ) =
2
8
2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 22
da cui segue
IP (XY ) = 0 ·
2
2
2
1
1
1
+ 1 · + 2 · + 4 · + 6 · = (0 + 2 + 4 + 4 + 6) = 2.
8
8
8
8
8
8
Pertanto
3
1
·1= .
2
2
Poichè cov(X, Y ) 6= 0 si ha che X e Y non sono stocasticamente indipendenti. Infatti, ad esempio,
si può osservare che
P (X = 0)P (Y = 0) 6= P (X = 0, Y = 0).
cov(X, Y ) = IP (XY ) − IP (X)IP (Y ) = 2 −
Metodo alternativo: i due numeri aleatori X e Y si possono scrivere come
Y = |E1 | + |E3 |, X = |E1 | + |E2 | + |E3 | = Y + |E2 |.
Gli eventi Ei sono stocasticamente indipendenti ed equiprobabili con probabilità P (Ei ) = 21 ,
quindi X e Y hanno distribuzione binomiale, rispettivamente con parametri (n1 = 3, p1 = 21 ) e
(n2 = 3, p2 = 12 ), cioè
1
1
X ∼ Bin(3, ), Y ∼ Bin(2, ).
2
2
3
Quindi IP (X) = n1 p1 = 2 . Inoltre
cov(X, Y ) = cov(Y + |E2 |, Y ) = cov(Y, Y ) + cov(|E2 |, |E1 | + |E3 |)
|
{z
}
= var(Y ) = n2 p2 (1 − p2 ) = 2 12 12 =
=0
1
2
Esercizio 2.29. Dati due lotti L1 ed L2 , ciascuno contenente 3 componenti buoni e 1 difettoso, da
entrambi si estraggono in blocco 3 pezzi, ottenendo X pezzi difettosi fra quelli estratti da L1 ed
Y pezzi difettosi fra quelli estratti da L2 . Considerato il numero aleatorio discreto Z = X + Y ,
calcolare: (i) la probabilità pz di ogni possibile valore z di Z;
Soluzione.
Osserviamo che X e Y sono indipendenti. Pertanto, definendo
p0x = P (X = x), p00y = P (Y = y), P (X = x, Y = y) = pxy ,
si ha pxy = p0x · p00y . Inoltre X ∈ {0, 1}, Y ∈ {0, 1}, con
3
1
3
1
2
1
3
0
1
3
= ,
p01 = p001 =
= ·
p00 = p000 =
4
4
4
4
3
3
Pertanto, si ha Z ∈ {0, 1, 2}, con
p0 = P (Z = 0) = p00 p000 =
1
4
·
1
4
=
1
16
p1 = P (Z = 1) = p00 p001 + p01 p000 =
1
4
p2 = P (Z = 2) = p01 p001 =
9
16
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3
4
·
3
4
=
,
· 43 + 34 ·
·
1
4
= 38 ,
2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 23
Esercizio 2.30. Dati 2 eventi A, B, con P (A) = 21 , P (B|A) = P (A|B) = 14 , calcolare la probabilità dell’evento condizionato Ac |B c .
Risp.: P (Ac |B c ) =
Soluzione.
Dalla relazione
P (AB) = P (B|A)P (A) = P (A|B)P (B)
si ottiene P (B) = P (A) = 12 . Pertanto si ha
P (AB c )
=
P (B c )
P (B c |A)P (A)
(1 − P (B|A))P (A)
=1−
1−
1 − P (B)
1 − P (B)
P (Ac |B c ) = 1 − P (A|B c ) = 1 −
=
|{z}
P (A)=P (B)= 21
P (B|A) =
1
4
.
Esercizio 2.31 (Es.1:EF09feb05). Una ditta A produttrice di autovetture riceve da quattro fornitori
A1 , A2 , A3 , A4 le pastiglie dei freni da installare sulle auto prodotte rispettivamente nelle seguenti
percentuali: 65%, 20%, 10%, 5%. Sapendo che i quattro fornitori producono le pastiglie con una
difettosità dichiarata rispettivamente del 2%, 2.5%, 4%, 10%, calcolare la probabilità pd che la ditta
A riceve una pastiglia difettosa. Inoltre, scegliendo a caso una pastiglia tra quelle ricevute ed
avendo osservato che è difettosa calcolare la probabilità β che essa proviene dal fornitore A2 .
(Indicare con Bi l’evento “la pastiglia proviene da Ai ”, i = 1, 2, 3, 4, e con D l’evento “la ditta A
riceve una pastiglia difettosa”)
pd =
,β =
Soluzione.
Utilizzando la formula di decomposizione si ottiene
pd = P (D) = P (D|B1 )P (B1 ) + P (D|B2 )P (B2 ) + P (D|B3 )P (B3 ) + P (D|B4 )P (B4 ) = 0.027.
Inoltre per il teorema di Bayes si ha
β = P (B2 |D) =
2.2
P (D|B2 )P (B2 )
= 0.185.
P (D)
Quesiti
Quesito 2.1. Da un lotto contenente 10 componenti, dei quali 1 è difettoso, sono stati tolti 4
componenti. Fra i 6 componenti rimasti se ne sceglie a caso uno che risulta non difettoso (evento
E). Calcolare la probabilità che il componente difettoso sia uno dei 4 tolti (evento H).
Risp.: P (H|E) =
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2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 24
Quesito 2.2. Da un lotto di 6 componenti, contenente 2 pezzi difettosi, si estraggono in blocco 3
pezzi, ottenendo un numero aleatorio X di pezzi non difettosi. Calcolare la previsione e la varianza
di X.
2
m=2
σ2 =
5
Quesito 2.3. Un’urna contiene 5 palline bianche, 6 nere , 4 rosse. Calcolare le probabilità pc e ps
che si estraggano 2 palline dello stesso colore con restituzione e senza restituzione.
62
77
,
ps =
225
105
Quesito 2.4. Due dadi vengono lanciati 72 volte. Qual è la probabilità p di ottenere la somma dei
punti uguale a 2 per almeno 2 volte?
71
107 35
pc = 1 −
36 36
pc =
Quesito 2.5. In una fabbrica di biscotti le tre linee di produzione A, B, C, sfornano rispettivamente
il 55%, il 30% e il 15% della produzione totale. Supposto che le percentuali di biscotti bruciati che
provengono dalle tre linee siano rispettivamente il 2%, il 3% e il 6%, calcolare la probabilità p1
che un biscotto scelto a caso tra la produzione totale sia bruciato e la probabilità p2 che un biscotto
bruciato provenga dalla linea C.
9
29
Quesito 2.6. E’ noto che la percentuale delle persone che hanno i capelli rossi, in Piemonte, in
Sardegna e nelle Marche è rispettivamente del 5%, 1% e il 2%. Le tre regioni hanno rispettivamente
4.5, 2 e 1.5 milioni di abitanti; calcolare la probabilità che la regione d’origine di una persona,
scelta a caso tra gli abitanti delle tre regioni, sia il Piemonte, supposto che: a) abbia i capelli rossi
b) non abbia i capelli rossi.
p1 = 0.029
pa = 0.8182
p2 =
pb = 0.5534
Quesito 2.7. Sia X un numero aleatorio che assume i valori {1, 2, 3, x} con probabilità rispettiva1 1
, 2 , p. Si determinino p e x nell’ipotesi che IP (X) = 2.7.
mente 15 , 10
1
x=4
5
Quesito 2.8. Siano E1 , E2 , E3 tre eventi tali che E1 ∧ E2 = ∅, E1 ∨ E2 ⊆ E3 . Determinare
l’insieme CX dei valori possibili del numero aleatorio X = 2|E1 | + 7|E2 | + |E3 |. Posto pk =
P (Ek ), k = 1, 2, 3, calcolare la previsione IP (X) e la probabilità dell’evento P (E1c ∧ E2c ∧ E3 ).
p=
CX = {0, 1, 3, 8},
IP (X) = 2p1 +7p2 +p3 ,
P (E1c ∧E2c ∧E3 ) = p3 −p1 −p2
Quesito 2.9. Scrivere i costituenti relativi ai tre eventi dell’esercizio 2.8 e calcolarne la probabilità
xk . Rappresentare X come combinazione lineare degli indicatori di tali costituenti e ricalcolare
IP (X).
C1 = E1 E2c E3 , C2 = E1c E2 E3 , C3 = E1c E2c E3 ,
C4 = E1c E2c E3c .
x1 = p 1 ,
x 2 = p2 ,
x 3 = p3 − p1 − p2 , x 4 = 1 − p3 .
X = 3|C1 | + 8|C2 | + 1|C3 |, IP (X) = 2p1 + 7p2 + p3 .
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2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 25
Quesito 2.10. In un’industria dolciaria si producono tre tipi di torte al cioccolato T1 , T2 e T3 .
Quelle prodotte di tipo T1 sono il doppio di quelle di tipo T2 , mentre quelle di tipo T3 sono in
uguale quantità a quelle di tipo T2 . Supposto che le percentuali di torte bruciate che provengono
dalle tre linee siano rispettivamente il 2%, il 3% e il 6%, calcolare la probabilità p che una torta
bruciata sia di tipo T3 .
6
p=
13
Quesito 2.11. Una ditta vende lampadine, il 20% proveniente da una fabbrica A, il 50% da una
fabbrica B e il 30% da C. Le percentuali di lampadine difettose prodotte da A, B, C sono rispettivamente il 4% , il 2% e il 3%. Calcolare la probabilità α che una lampadina venduta dalla ditta sia
difettosa e la probabilità β che una lampadina risultata difettosa sia stata prodotta da C.
α = 0.027
β=
1
3
Quesito 2.12. Dati 2 eventi A, B tali che P (A) = 1/2, P (B|A) = 1/4, P (A|B) = 1/5 stabilire
se ognuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa:
1. gli eventi A, B sono incompatibili (F );
2. A implica B (F );
3. P (Ac |B c ) = 0 (V );
4. P (A|B) + P (A|B c ) = 1 (F );
Quesito 2.13. Un tecnico è chiamato da una ditta per intervenire su un macchinario A che produce
1 pezzo difettoso su 5, mentre altri tre macchinari identici producono solo 1 pezzo difettoso su
100. Il tecnico entra nella ditta, sceglie un macchinario a caso tra i 4 identici, osserva un pezzo a
caso prodotto dal macchinario, che risulta essere difettoso. Qual è la probabilità p che abbia scelto
il macchinario A?
20
p=
23
Quesito 2.14. Siano A, B, C tre eventi a due a due incompatibili e siano assegnate le seguenti
valutazioni di probabilità: P (A) = 3/4, P (B) = 3/4, P (C) = 1/2 . Stabilire se tale assegnazione
è coerente.
Coerente = N O
Quesito 2.15. Siano A, B, C tre eventi tali che A ∨ B ∨ C = Ω, con probabilità rispettivamente
P (A) = 1/4, P (B) = 1/6, P (C) = 1/2 . Stabilire se l’assegnazione di probabilità è coerente.
Coerente = N O
Quesito 2.16. Siano A, B, C tre eventi tali che B ⊆ A ∧ C c . L’assegnazione P (A) = 0.9, P (B) =
0.8, P (C) = 0.3 è coerente? (Risp. NO) Gli eventi A e C sono stocasticamente indipendenti ?
(Risp. Non esiste una P )
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2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete
p. 26
Quesito 2.17. Un urna contiene 12 palline di cui 3 bianche, 5 nere e le restanti rosse. Si estraggono
3 palline senza restituzione, quale è la probabilità p che si estraggano 2 palline bianche e 1 rossa?
P =
3
55
.
Quesito 2.18. Un canale di trasmissione trasmette segnali binari {0, 1}. A causa del rumore, possono esservi errori: siano 0.9 e 0.8, rispettivamente, le probabilità P (r0 |t0 ), P (r1 |t1 ) che un segnale
trasmesso come 0 e come 1 sia ricevuto correttamente. Se la probabilità P (t0 ) di trasmettere 0 è
0.4, trovare: la probabilità α che un segnale trasmesso sia ricevuto come 1; la probabilità β che sia
stato trasmesso 1, supposto che venga ricevuto 1; la probabilità δ totale di errore, cioè dell’ evento
“trasmetto 0 AND ricevo 1” OR “trasmetto 1 AND ricevo 0”.
α=
13
25
β=
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12
13
δ=
4
25
3 Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
3
p. 27
Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
3.1
Esercizi Svolti
Esercizio 3.1. Da un cassetto contenente 5 chiavi, delle quali al massimo una può aprire una
serratura, se ne estraggono in blocco 2. Definiti gli eventi H = ”il cassetto contiene la chiave che
apre la serratura”, E = ”nessuna delle 2 chiavi estratte dal cassetto apre la serratura”, si ponga
P (H) = p0 , P (H|E) = p2 . Determinare i valori di p0 tali che p2 > 21 .
p0 ∈
Soluzione.


Si ha P (E|H) =
1
0




5
2
4
2



= 35 ,
P (E|H c ) = 1 , da cui segue:

P (E) = P (E|H)P (H) + P (E|H c )P (H c ) =
Inoltre
p2 =
3
2
p0 + 1 − p0 = 1 − p0 .
5
5
3
p
5
P (E|H)P (H)
1
5 0
=
⇐⇒
p
>
.
>
0
2
P (E|H)P (H) + P (E|H c )P (H c )
2
8
1 − 5 p0
Esercizio 3.2. Siano dati due lotti, L1 contenente 2 pezzi difettosi e 3 non difettosi ed L2 contenente 3 pezzi difettosi e 4 non difettosi. Da L1 si effettuano 2 estrazioni con restituzione ottenendo
X pezzi non difettosi; successivamente, si effettuano 3 estrazioni con restituzione da L2 ottenendo
Y pezzi non difettosi. Sia Ei l’evento il pezzo estratto nell’i-ma prova è non difettoso, i = 1, . . . , 5.
Calcolare la probabilità p che almeno uno dei 5 pezzi estratti sia non difettoso.
p=
Soluzione.
Tenendo conto che gli eventi E1 , . . . , E5 sono stocasticamente indipendenti, si ha
p = P (X + Y > 0) = 1 − P (X + Y = 0) = 1 − P (E1c · · · E5c ) =
2 3
= 1 − P (E1c ) · · · P (E5c ) = · · · = 1 − ( )2 ( )3 ' 0.9874 .
5 7
Esercizio 3.3. Con riferimento all’esercizio 3.2, calcolare la previsione e la varianza di Z = X+Y .
IP (Z) =
Soluzione.
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V ar(Z) =
3 Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
p. 28
Ricordando che per una distribuzione binomiale di parametri n, p la previsione e la varianza sono,
rispettivamente, np ed npq, segue
IP (Z) = IP (X) + IP (Y ) = 2 ·
3
4
102
+3· =
' 2.9143 ,
5
7
35
e per l’indipendenza di X, Y (si ha cov(X, Y ) = 0)
V ar(Z) = V ar(X) + V ar(Y ) = 2 ·
4 3
1488
3 2
· +3· · =
' 1.2147 .
5 5
7 7
1225
Esercizio 3.4. Siano dati due lotti L1 , contenente 1 pezzo difettoso e 4 buoni, ed L2 , contenente
4 pezzi difettosi e 1 buono. Una persona prende a caso uno dei due lotti ed estrae un pezzo.
Definiti gli eventi H = il lotto scelto a caso è L1 , E = il pezzo estratto è difettoso, calcolare la
probabilità p che la persona abbia preso il lotto L2 , supposto che il pezzo estratto sia non difettoso.
(p =
)
Soluzione.
Si ha
1
4
1
P (H) = P (H c ) = , P (E|H) = , P (E|H c ) = .
2
5
5
Allora
p = P (H c |E c ) =
P (H c )P (E c |H c )
=
P (H)P (E c |H) + P (H c )P (E c |H c )
1
2
·
1 1
·
2 5
4
+ 21
5
·
1
5
=
1
.
5
Esercizio 3.5. Da una stanza S1 , in cui ci sono r1 uomini e 5 donne, una persona a caso si sposta
in una stanza S2 , in cui inizialmente ci sono r2 uomini e 5 donne. Successivamente da S2 esce a
caso una persona. Considerati gli eventi H = la persona entrata in S2 è un uomo, E = la persona
uscita da S2 è una donna, determinare i valori di r1 ed r2 tali che P (H|E) > 12 .
r1 ∈
r2 ∈
Soluzione.
Si ha
P (H) =
r1
5
5
6
, P (H c ) =
, P (E|H) =
, P (E|H c ) =
.
r1 + 5
r1 + 5
r2 + 6
r2 + 6
Allora
P (H|E) =
P (H)P (E|H)
=
P (H)P (E|H) + P (H c )P (E|H c )
r1
r1 +5
·
r1
· 5
r1 +5 r2 +6
5
+ r15+5
r2 +6
·
6
r2 +6
da cui segue
P (H|E) >
1
, ∀ r1 ∈ {7, 8, 9, . . .} , ∀ r2 ∈ {0, 1, 2, . . .} .
2
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=
r1
,
r1 + 6
3 Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
p. 29
Esercizio 3.6. Un sistema S, costituito da due moduli M1 , M2 , funziona solo se entrambi i moduli
M1 e M2 sono funzionanti. Esso dev’essere utilizzato in un dato intervallo di tempo [0, T ]. M1
funziona se funziona D1 oppure D2 , mentre M2 funziona solo se funziona D3 oppure D4 oppure
D5 . Definiti gli eventi Ei = ”il dispositivo Di funziona senza guastarsi nell’intervallo [0, T ]”,
i = 1, . . . , 5, e supposto che tali eventi siano indipendenti e tutti di probabilità 0.8, calcolare la
probabilità α che S funzioni senza guastarsi nell’intervallo [0, T ].
α=
Soluzione.
Si ha
α = P [(E1 ∨ E2 ) ∧ (E3 ∨ E4 ∨ E5 )] = P (E1 ∨ E2 )P (E3 ∨ E4 ∨ E5 ) =
= [1 − P (E1c E2c )][1 − P (E3c E4c E5c )] = [1 − P (E1c )P (E2c )][1 − P (E3c )P (E4c )P (E5c )] =
= (1 − 0.22 )(1 − 0.23 ) = 0.96 × 0.992 ' 0.95 .
Esercizio 3.7. Un’urna U di composizione incognita contiene 4 palline, che sono tutte nere (ipotesi
H), oppure 1 bianca e 3 nere (ipotesi H c ). Da U si effettuano 3 estrazioni senza restituzione ottenendo pallina bianca un numero aleatorio X di volte (X ∈ {0, 1}). Supposto H ed H c equiprobabili e definiti gli eventi: Ei = l’i-ma pallina estratta è bianca, i = 1, 2, 3, calcolare la previsione
m e la funzione di ripartizione F di X.
m=
F (x) =
Soluzione.
Osservando che X ∈ {0, 1} e posto A = (X = 1), si ha
X = |E1 | + |E2 | + |E3 | = 0 · |Ac | + 1 · |A| ;
quindi m = P (E1 ) + P (E2 ) + P (E3 ) = P (A). Essendo E1 , E2 , E3 equiprobabili, con
P (Ei ) = P (E1 ) = P (E1 |H)P (H) + P (E1 |H c )P (H c ) = 0 ·
segue: m =
3
8
= P (A). Inoltre
P (X = 1) = P (A) =
Allora
1
1 1 1
+ · = ,
2 4 2
8
3
,
8
P (X = 0) = 1 − P (X = 1) =
5
.
8

 0, x < 0,
5
, 0 ≤ x < 1,
F (x) =
 8
1, x ≥ 1.
Esercizio 3.8. Un’urna contiene 5 biglietti, due dei quali sono abbinati alla vincita di una somma
di denaro. Tre persone, I1 , I2 , I3 , estraggono un biglietto a testa senza restituzione. Definiti gli
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3 Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
p. 30
eventi Ej = il biglietto estratto da Ij è vincente, j = 1, 2, 3, calcolare la probabilità β che almeno
uno dei primi due biglietti estratti sia vincente, supposto che lo sia almeno uno dei tre.
β=
Soluzione.
Si ha:
β = P (E1 ∨ E2 | E1 ∨ E2 ∨ E3 ) =
1 − 35 · 42
P (E1 ∨ E2 )
1 − P (E1c E2c )
7
=
=
.
3 2 1 =
c c c
P (E1 ∨ E2 ∨ E3 )
1 − P (E1 E2 E3 )
9
1− 5 · 4 · 3
Esercizio 3.9. Si considerino 6 lanci di una moneta. Tizio vince 1 euro se non esce sempre Testa
(evento A), vince 1 euro se non esce sempre Croce (evento B), perde 1 euro se esce Testa esattamente 4 volte (evento C). Determinare i costituenti relativi agli eventi A, B, C e i corrispondenti
possibili valori della vincita aleatoria X di Tizio.
costituenti:
valori di X:
Soluzione.
Si ha X = |A| + |B| − |C|. Inoltre C ⊂ AB. Pertanto, i costituenti sono
ABC , ABC c , AB c C c , Ac BC c ,
ed i corrispondenti valori di X sono: 1 , 2 , 1 , 1 .
Esercizio 3.10. Da un lotto contenente 3 pezzi difettosi e 6 buoni si estraggono in blocco 4 pezzi.
Indicando con X il numero aleatorio di pezzi difettosi fra i quattro estratti, calcolare la probabilità
α che al massimo uno dei pezzi estratti sia difettoso, supposto che al massimo due dei pezzi estratti
siano difettosi.
(α =
)
Soluzione.
X ha una distribuzione ipergeometrica di parametri N = 9, n = 4, p = 31 . Allora
α = P (X ≤ 1 | X ≤ 2) =

··· =



P (X≤1,X≤2)
P (X≤2)
 

=
P (X≤1)
P (X≤2)
=
P (X=0)+P (X=1)
P (X=0)+P (X=1)+P (X=2)
= ···

3  6   3  6 

+
0
4
1
3

 

 

3  6   3  6   3  6
+
+
0
4
1
3
2
2

= 85 .

Esercizio 3.11. Da un’urna contenente 7 biglietti, r dei quali sono abbinati ad una vincita, si
estraggono 3 biglietti senza restituzione. Supposto 1 ≤ r ≤ 4 e definiti gli eventi Ei = l’i-mo
biglietto estratto è vincente, i = 1, 2, 3, stabilire per quali valori di r si ha P (E1 | E1 ∨E2 ∨E3 ) > 31 .
(r :
)
Soluzione.
Si ha: P (Ei ) = 7r . Inoltre P (E1c E2c E3c ) = P (E1c )P (E2c |E1c )P (E3c |E1c E2c ), con
P (E1c ) =
7−r
6−r
5−r
, P (E2c |E1c ) =
, P (E3c |E1c E2c ) =
.
7
6
5
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3 Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
p. 31
Allora
P (E1 | E1 ∨ E2 ∨ E3 ) =
=
30
r2 −18r+107
>
1
3
P (E1 )
P (E1 ∨E2 ∨E3 )
=
P (E1 )
1−P (E1c E2c E3c )
=
r
7
1− 7−r
· 6−r
· 5−r
7
6
5
= ··· =
⇐⇒ r2 − 18r + 17 < 0 ⇐⇒ r > 1 .
Metodo alternativo:
P (E1 ∨E2 ∨E3 ) = P [(E1 ∨E2 )∨E3 ] = P (E1 )+P (E2 )+P (E3 )−P (E1 E2 )−P (E1 E3 ∨E2 E3 ) ,
con P (Ei Ej ) > 0 ⇐⇒ r > 1 (i 6= j), e quindi
P (E1 ∨ E2 ∨ E3 ) < P (E1 ) + P (E2 ) + P (E3 ) ⇐⇒ r > 1 .
Allora
P (E1 | E1 ∨ E2 ∨ E3 ) =
ed essendo
P (E1 )
P (E1 )+P (E2 )+P (E3 )
P (E1 )
P (E1 )
>
⇐⇒ r > 1 ,
P (E1 ∨ E2 ∨ E3 )
P (E1 ) + P (E2 ) + P (E3 )
=
1
3
segue
P (E1 | E1 ∨ E2 ∨ E3 ) >
1
⇐⇒ r > 1 .
3
Esercizio 3.12 (Es.3:EF26gen05). Da un’urna contenente inizialmente 1 pallina bianca e 1 nera si
effettuano 3 estrazioni con restituzione, aggiungendo ogni volta nell’urna una pallina dello stesso
colore di quella estratta. Definiti gli eventi Ei = l’i-ma pallina estratta è bianca, i = 1, 2, 3, calcolare P (E2 ) e P (E3 ). Stabilire, inoltre, se X2 = |E1 | + |E2 | ha distribuzione uniforme sull’insieme
{0, 1, 2}.
P (E2 ) =
P (E3 ) =
distr. unif. Si
No
Soluzione.
Si ha
P (E2 ) = P (E1 E2 ) + P (E1c E2 ) = P (E2 |E1 )P (E1 ) + P (E2 |E1c )P (E1c )
=
2
3
· 21 + 13 ·
1
2
= 12 .
In maniera analoga si ottiene
P (E3 ) = P (E1 E2 E3 ) + P (E1 E2c E3 ) + P (E1c E2 E3 ) + P (E1c E2c E3 ) =
=
1
2
· 23 · 43 +
11
23
· 24 +
11
23
· 24 +
12
23
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·
1
4
=
1
2
.
3 Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
Inoltre
P (X2 = 0) = P (E1c E2c ) =
1
2
·
1
3
=
1
3
,
P (X2 = 1) = P (E1 E2c ) + P (E1c E2 ) =
P (X2 = 2) = P (E1 E2 ) =
1
2
·
2
3
=
1
3
p. 32
1
2
· 31 + 12 ·
1
3
=
1
3
,
.
Pertanto X2 ha distribuzione uniforme.
Esercizio 3.13 (Es.4:EF09feb05). Un canale di trasmissione trasmette simboli binari, ognuno dei
quali vale 1 con probabilità 35 . Inoltre, quando viene trasmesso 0, la probabilità di ricevere 0 è pari
a 41 , mentre quando viene trasmesso 1 la probabilità di ricevere 1 è pari a 23 . Sia Ei l’evento l’imo simbolo trasmesso è ricevuto correttamente e si assumano indipendenti gli eventi E1 , E2 , . . ..
Calcolare la probabilità p di Ei e la probabilità α che, su 4 simboli trasmessi, 2 siano ricevuti
correttamente. Inoltre, supposto che il primo simbolo ricevuto sia 1, calcolare la probabilità β che
sia stato trasmesso 0. (Sugg. Indicare con T0 il simbolo trasmesso è 0, con T1 il simbolo trasmesso
è 1, con R0 il simbolo ricevuto è 0 e con R1 il simbolo ricevuto è 1)
p=
α=
β=
Soluzione.
Un simbolo è ricevuto correttamente quando se si trasmette 0 si riceve 0 oppure se si trasmette
1 si riceve 1, quindi
1
p = P (Ei ) = P (R0 T0 ∨ R1 T1 ) = P (R0 |T0 )P (T0 ) + P (R1 |T1 )P (T1 ) = . . . = ,
2
inoltre essendo gli Ei indipendenti si ha
4 1
4
2
c 2
α=
P (Ei ) P (Ei ) =
.
2
2 24
Infine abbiamo
β = P (T0 |R1 ) = P (R1 T0 )/P (R1 ) =
[1 − P (R0 |T0 )]P (T0 )
3
= ... =
[1 − P (R0 |T0 )]P (T0 ) + P (R1 |T1 )P (T1 )
7
Esercizio 3.14 (Es.3:EF09feb05). Il numero aleatorio X di telefonate che arrivano ad un centralino
tra le 10 e le 11 ha una distribuzione di Poisson di parametro λ. Sapendo che il numero medio
di arrivi (nell’ora considerata) è pari a 4, calcolare : la previsione di X 2 e la probabilità P (A)
dell’evento A =“arrivano meno di 3 telefonate”. Inoltre, sapendo che arrivano almeno 2 telefonate
(evento B) , calcolare la probabilità γ che ne arrivano al più 3 (evento C).
P(X 2 ) =
P (A) =
γ=
Soluzione.
Il n.a. X ha distribuzione di Poisson di parametro λ = 4. Pertanto si ha
P(X 2 ) = var(X) + P(X)2 = λ + λ2 = 4 + 16 = 20.
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3 Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
p. 33
Inoltre
P (A) = P (X < 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = e−4 (1 + 4 + 8) = 13e−4 ' 0.24
P (B) = P (X > 1) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) = 1 − (1 + 4)e−4 = 1 − 5e−4 ' 0.91
P (C|B) = P (X ≤ 3|X ≥ 2) =
)
e−4 (8 + 64
P (X = 2) + P (X = 3)
6
=
' 0, 38
P (B)
1 − 5e−4
Esercizio 3.15 (Es.4:EF12gen05). Da un lotto contenente 6 pezzi difettosi e 3 buoni si estraggono
in blocco 5 pezzi. Indicando con X il numero aleatorio di pezzi difettosi fra i 5 estratti, calcolare
la probabilità α che al massimo 2 dei pezzi estratti siano difettosi supposto che al massimo 3 dei
pezzi estratti siano difettosi.
α=
Soluzione.
X ha una distribuzione ipergeometrica di parametri N = 9, n = 5, p = 23 . Allora
α = P (X ≤ 2 | X ≤ 3) =
··· =
(62)(33)
=
(62)(33)+(63)(32)
15
75
P (X≤2,X≤3)
P (X≤3)
=
P (X≤2)
P (X≤3)
=
P (X=2)
P (X=2)+P (X=3)
= ···
= 0.2 .
Esercizio 3.16 (Es.2:EF12gen05). Un professore sottopone a uno studente un quesito con dieci
possibili risposte, fra le quali una sola è esatta. Considerati gli eventi E = la risposta dello
studente è esatta, H = lo studente è preparato e supposto che il professore valuti 51 la probabilità
(iniziale) di H, calcolare la probabilità (finale) P (H|E). Inoltre, posto P (H) = p, determinare i
valori di p per i quali si ha P (H|E) > 21 .
, p ∈]
P (H|E) =
]
Soluzione.
Osservando che P (E|H c ) =
P (H|E) =
1
10
e applicando il teorema di Bayes si ottiene
1 · 51
P (E|H)P (H)
=
1
P (E|H)P (H) + P (E|H c )P (H c )
1 · 15 + 10
·
Inoltre,
1·p
> 12 ⇔
1
1·p+ 10
·(1−p)
1
1
p(1 − 12 + 20
) > 20
⇔
4
5
=
1
10
5
= .
4 =
14
7
1 + 10
P (H|E) =
p>
p
2
+
1
20
−
p
20
⇔
p>
1
.
11
Esercizio 3.17 (Es.2:EF06lug05). Un cassetto contiene 6 chiavi, delle quali 2 sono adatte ad aprire
una certa serratura. Dal cassetto si prendono in blocco 3 chiavi, una delle quali scelta a caso viene
utilizzata per cercare di aprire la serratura. Definiti gli eventi Hr = “fra le 3 chiavi prese in blocco ve
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3 Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
p. 34
ne sono r adatte ad aprire la serratura”, r = 0, 1, 2; E = “la chiave scelta a caso apre la serratura”,
calcolare P (H2 |E).
P (H2 |E) =
Soluzione.
(2)( 4 )
Si ha P (Hr ) = r 63−r , r = 0, 1, 2. Quindi P (H0 ) = 51 , P (H1 ) = 53 , P (H2 ) = 51 ; inoltre
( 3)
P2
1
P (E|H0 ) = 0, P (E|H1 ) = 13 , P (E|H2 ) = 32 . Pertanto P (E) =
r=0 P (E|Hr )P (Hr ) = 3 ;
infine, utilizzando il Teorema di Bayes, si ha
P (H2 |E) =
P (E|H2 )P (H2 )
=
P (E)
2
3
·
1
3
1
5
2
= .
5
Esercizio 3.18 (Es.3:EF06lug05). Da un’urna U contenente 1 pallina bianca e 1 nera si effettuano estrazioni con restituzione. Dopo ogni estrazione si introduce nell’urna, oltre alla pallina
estratta, un’ulteriore pallina di colore opposto a quella estratta. Definito il generico evento Ei =“la
i-esima pallina estratta è bianca” calcolare P (Ei ) per i = 2, 3 e stabilire se gli eventi E2 , E3 sono
stocasticamente indipendenti.
P (E2 ) =
P (E3 ) =
Indipendenti ?
SI
NO
Soluzione.
Osserviamo che P (E2 ) = P (E2 |E1 )P (E1 ) + P (E2 |E1c )P (E1c ) = 12 . In maniera analoga si ha
P (E3 ) = 21 . Inoltre, poichè P (E2 E3 ) = P (E3 |E2 E1 )P (E2 |E1 )P (E1 )+P (E3 |E2 E1c )P (E2 |E1c )P (E1c ) =
5
6= 41 si ha che E2 ed E3 non sono stocasticamente indipendenti.
24
3.2
Quesiti
Quesito 3.1. Da una stanza S1 , in cui ci sono 3 uomini ed r1 donne, una persona a caso si sposta
in una stanza S2 , in cui inizialmente ci sono 3 uomini ed r2 donne. Successivamente da S2 esce
a caso una persona. Considerati gli eventi H = la persona entrata in S2 è una donna, E = la
persona uscita da S2 è un uomo, determinare i valori di r1 ed r2 tali che P (H|E) > 12 .
r1 ∈ {5, 6, 7, . . .}
r2 ∈ {0, 1, 2, . . .}
Quesito 3.2 (Distr. Binomiale, Poisson). In una città esiste un parco autobus costituito da 1000
unità. Da considerazioni statistiche si sa che in media il numero di autobus guasti che si osservano
ogni mattina è pari a 2. Indichiamo con X il numero aleatorio di autobus guasti in una mattina
specifica. Se, per ogni i = 1, 2, . . . , 1000, definiamo l’evento Ei = ”l’i-mo autobus è difettoso”,
possiamo ritenere gli Ei equiprobabili e indipendenti, con p = P (Ei ). Calcolare (in modo esatto e
mediante una opportuna approssimazione) la probabilià che il numero aleatorio di autobus guasti
in una mattina specifica sia maggiore di 1.
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3 Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
p. 35
Quesito 3.3 (Distr. Poisson). Consideriamo un esperimento che consiste nel contare il numero di
particelle α emesse da un grammo di materiale radioattivo in un secondo. Se sappiamo che mediamente in un secondo vengono emesse 1.5 particelle α, come possiamo approssimare la probabilità
γ che non siano emesse più di 3 particelle α?
γ ' 0.8571
Quesito 3.4 (Distr. Binomiale, Prob. Condizionate). Un canale di trasmissione trasmette simboli
binari, ognuno dei quali vale 0 con probabilità 52 . Inoltre, quando viene trasmesso 0, la probabilità
di ricevere 0 è pari a 34 , mentre quando viene trasmesso 1 la probabilità di ricevere 1 è pari a 56 .
Sia Ei l’evento l’i-mo simbolo trasmesso è ricevuto correttamente e si assumano indipendenti gli
eventi E1 , E2 , . . .. Calcolare la probabilità p di Ei e la probabilità α che, su 5 simboli trasmessi,
3 siano ricevuti correttamente. Inoltre, supposto che il primo simbolo ricevuto sia 1, calcolare la
probabilità β che sia stato trasmesso 0.
3
4
5 4
1
p=
α=
β=
5
5
3 5
6
soluzione
P (E1 ) = P (R0 T0 ∨ R1 T1 ) = . . . =
P (T0 |R1 ) = P (R1 T0 )/P (R1 ) =
4
5
[1 − P (R1 |T0 )]P (T0 )
[1 − P (R0 |T0 )]P (T0 ) + P (R1 |T1 )P (T1 )
Quesito 3.5 (Distr. Geometrica). Una macchina produce dei componenti, ognuno dei quali, in9
. Indicando con X il nudipendentemente dagli altri, risulta non difettoso con probabilità q = 10
mero aleatorio di pezzi da produrre fino ad ottenere 1 pezzo difettoso, calcolare la previsione m di
X e la probabilità α dell’evento (X = 3). Inoltre, supposto che i primi 3 pezzi siano non difettosi
calcolare la probabilità β che i successivi 2 pezzi siano non difettosi (β = P (X > 5|X > 3)).
m = 10
1
α=
10
9
10
2
β=
9
10
2
Quesito 3.6 (Distr. Binomiale, Poisson). Due dadi vengono lanciati 72 volte. Qual è la probabilità
di ottenere la somma dei punti uguale a 2 per almeno 2 volte? Calcolare tale probabilità in modo
esatto e poi mediante una opportuna approssimazione.
71
107 35
p=1−
pe = 1 − 3e−2
36 36
Quesito 3.7. Un’urna contiene 6 biglietti, tre dei quali sono abbinati alla vincita di una somma di
denaro. Tre persone, I1 , I2 , I3 , estraggono un biglietto a testa senza restituzione. Definiti gli eventi
Ej = il biglietto estratto da Ij è vincente, j = 1, 2, 3, calcolare la probabilità β che almeno uno
dei primi due biglietti estratti sia vincente, supposto che lo sia almeno uno dei tre.
β=
16
19
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3 Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
p. 36
Quesito 3.8. Si considerino 8 lanci di una moneta. Tizio perde 1 euro se non esce sempre Testa
(evento A), perde 1 euro se non esce sempre Croce (evento B), vince 3 euro se esce Testa esattamente 4 volte (evento C). Determinare i costituenti relativi agli eventi A, B, C e i corrispondenti
possibili valori della vincita aleatoria X di Tizio.
costituenti:
ABC , ABC c , AB c C c , Ac BC c ,
valori di X: 1 , −2 , −1 , −1 .
Quesito 3.9. Da un lotto contenente 4 pezzi difettosi e 8 buoni si estraggono in blocco 3 pezzi.
Indicando con X il numero aleatorio di pezzi difettosi fra i tre estratti, calcolare la probabilità β
che al massimo uno dei pezzi estratti sia difettoso, supposto che al massimo due dei pezzi estratti
)
siano difettosi.
(β = 97
Quesito 3.10 (Es.3:EF16set05). Da un gruppo di 6 studenti, dei quali 4 sanno risolvere un certo
quesito, ne vengono estratti a caso 3. Successivamente, il quesito viene sottoposto ad uno dei
3 studenti (scelto a caso). Definiti gli eventi Hr = “fra i 3 studenti estratti a caso ve ne sono r
che sanno risolvere il quesito”, r = 1, 2, 3; e l’ulteriore evento A = “lo studente scelto a caso
sa risolvere il quesito”, calcolare, supposto vero A, la probabilità condizionata p che tutti e 3 gli
studenti estratti sappiano risolvere il quesito .
p=
3
10
Quesito 3.11 (Es.4:EF16set05). Un giocatore paga 1 Euro per partecipare al gioco seguente: vengono lanciati 3 dadi; egli vince 1 Euro se la faccia 1 appare solo una volta, 2 Euro se la faccia 1
appare solo due volte, 8 Euro se la faccia 1 appare tre volte, altrimenti non vince nulla. Indicato
con X il guadagno aleatorio del giocatore, calcolare il codominio CX dei possibili valori di X.
Inoltre, verificare che il gioco non sia equo (cioè che la previsione del guadagno del giocatore sia
diversa da zero) e stabilire quale dovrebbe essere il valore della vincita v3 del giocatore necessario
per rendere il gioco equo quando la faccia 1 appare tre volte?
CX = {−1, 0, 1, 7}
v3 = 111
Quesito 3.12 (Es.2:EF13dic05). Una partita di 30 pc portatili ne contiene 6 difettosi. Se si estraggono con restituzione 5 pc, indicando con X il numero aleatorio di pc difettosi tra quelli estratti,
calcolare le probabilità dei seguenti eventi: A =“esattamente 3 pc sono difettosi”, B =“i primi
3 pc estratti sono difettosi e gli ultimi 2 sono buoni”. Calcolare, inoltre, la previsione e lo scarto
quadratico medio di X.
P (A) =
; P (B) =
P(X) =
; σX =
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;
;
3 Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate
p. 37
Quesito 3.13 (Es.3:EF13dic05). Da un’urna contenente inizialmente 2 palline bianche e 3 nere si
effettuano 3 estrazioni con restituzione, aggiungendo ogni volta nell’urna una pallina dello stesso
colore di quella estratta. Definiti gli eventi Ei = l’i-ma pallina estratta è bianca, i = 1, 2, 3,
calcolare le probabilità degli eventi E1 , E2 , E3 . Inoltre, stabilire se gli eventi E1 E2 , E1 E3 , E2 E3
sono equiprobabili.
P (E1 ) =
; P (E2 ) =
; P (E3 ) =
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. E1 E2 , E1 E3 , E2 E3 equiprobabili ?
SI
N o.
4 Numeri aleatori Continui
4
4.1
p. 38
Numeri aleatori Continui
Esercizi Svolti
Esercizio 4.1. Un numero aleatorio continuo X ha una densitá di probabilitá
f (x) = a(x − 1)2 , 0 ≤ x ≤ 2 ,
con f (x) = 0 altrove. Calcolare il valore della costante a.
Risp.: a =
Soluzione.
Si ha:
R2
0
f (x)dx = 1 = a
da cui segue: a =
3
2
R2
0
(x − 1)2 dx = a3 [(x − 1)3 ]20 = a3 (1 + 1) = 32 a ,
.
Esercizio 4.2. La densità di probabilità di un numero aleatorio X è data da f (x) = x2 , 0 ≤ x ≤
1; f (x) = 4−x
, 1 < x ≤ 4; con f (x) = 0 altrove. Determinare la funzione di ripartizione F (x).
6
F (x) = · · ·
Soluzione.
Per ogni fissato valore reale x, si ha

0,


 x2
x ≤ 0,
,
0 < x ≤ 1,
4
f (x)dx =
F (x) = P (X ≤ x) =
−x2 +8x−4

, 1 < x < 4,
−∞

12

1,
x ≥ 4.
Z
x
Esercizio 4.3. Dato un numero aleatorio X, con densità f (x) = 34 x2 , per x ∈ [0, 1], f (x) = 43 , per
x ∈ (1, 2], con f (x) = 0 altrove, calcolare la funzione di ripartizione F (x).

,



,
F (x) =
,



,
Soluzione.
Si ha F (x) = 0, per x ≤ 0; F (x) = 1, per x > 2. Per 0 < x ≤ 1, si ha
Z x
3 2
x3
F (x) = P (X ≤ x) =
t dt = · · · = .
4
0 4
Per 1 < x ≤ 2, si ha
1
F (x) = P (X ≤ 1) + P (1 < X ≤ x) = +
4
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Z
1
x
3
3
1
dt = x − .
4
4
2
4 Numeri aleatori Continui
p. 39
Esercizio 4.4 (Es.4:EF06lug05). Sia X il tempo aleatorio di durata di un dispositivo con densità
2
kxe−2x , per x > 0
f (x) =
0,
per x ≤ 0.
Determinare la costante k e la probabilità γ dell’evento condizionato (X > 2|X > 1). Inoltre,
stabilire se X gode della proprietà di assenza di memoria.
k=
Soluzione.
Si ha
Z +∞
γ=
−2x2
kxe
0
k
dx =
4
+∞
Z
2
4xe−2x dx =
0
e quindi k = 4. Inoltre, essendo
Z
P (X > 2) =
+∞
k
k
k
2
[−e−2x ]+∞
= [0 − (−1)] = = 1,
0
4
4
4
2
2
2
2
4xe−2x dx = [−e−2x ]+∞
= [0 + e−8 ] = e−8
2
2
e
Z
P (X > 1) =
+∞
4xe−2x dx = [−e−2x ]+∞
= [0 + e−2 ] = e−2
1
1
si ha
γ = P (X > 2|X > 1) =
P (X > 2)
e−8
P (X > 2 ∧ X > 1)
=
= −2 = e−6 6= P (X > 1).
P (X > 1)
P (X > 1)
e
Quindi, possiamo concludere che il n.a. X non gode della proprietà di assenza di memoria.
Esercizio 4.5. La funzione di ripartizione di un numero aleatorio X, continuo e non negativo, è
1 − e−2x , per x ≥ 0
F (x) =
0,
altrove.
Posto Y = 3X + 1, calcolare: (i) la previsione di Y ; (ii) la probabilità p dell’evento (7 ≤ Y ≤ 16);
(iii) la funzione di sopravvivenza di Y .
;
(Y ) =
p=
SY (y) =
.
3
Esercizio 4.6. Dato un numero aleatorio X, con densità f (x) = 10
, per x ∈ [0, 1], f (x) =
per x ∈ (1, 2], con f (x) = 0 altrove, calcolare la funzione di ripartizione F (x).

,



,
F (x) =
,



,
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3 2
x,
10
4 Numeri aleatori Continui
p. 40
Soluzione.
Si ha F (x) = 0, per x ≤ 0; F (x) = 1, per x > 2. Per 0 < x ≤ 1, si ha
Z x
3
3
dt = x.
F (x) = P (X ≤ x) =
10
0 10
Per 1 < x ≤ 2, si ha
3
F (x) = P (X ≤ 1) + P (1 < X ≤ x) =
+
10
Z
1
x
3 2
1
1
t dt = x3 + .
10
10
5
Esercizio 4.7. La funzione di ripartizione di un numero aleatorio X, continuo e non negativo, è
1 − e−2x , per x ≥ 0
F (x) =
0,
altrove.
Posto Y = 3X + 1, calcolare: (i) la previsione di Y ; (ii) la probabilità p dell’evento (7 ≤ Y ≤ 16);
(iii) la funzione di sopravvivenza di Y .
;
P(Y ) =
p=
SY (y) =
.
Soluzione.
X ha una distribuzione esponenziale di parametro λ = 2; quindi P(X) =
P(Y ) = 3P(X) + 1 = 3
1
λ
= 12 . Pertanto
1
5
+1= .
2
2
Inoltre
p = P (7 ≤ Y ≤ 16) = P (7 ≤ 3X + 1 ≤ 16) = P (2 ≤ X ≤ 5) = F (5) − F (2) =
e−4 − e−10 ' 0.1353 .
Infine, fissato y > 1 si ha
2(y−1)
y−1
y−1
SY (y) = P (Y > y) = P (3X + 1 > y) = P X >
= SX
= e− 3 ,
3
3
mentre per y ≤ 1 si ha SY (y) = 1.
Esercizio 4.8. Tre amici si sono dati appuntamento nell’istante 0 in una stazione ferroviaria S per
prendere uno stesso treno, il quale parte in un fissato istante t ∈ (0, 1). Supposto che tali amici
arrivino in tre istanti aleatori X, Y, Z, indipendenti e con distribuzione uniforme in [0, 1], e definiti
gli eventi
A = (X < t) , B = (Y < t) , C = (Z < t) ,
calcolare la probabilità α che almeno due dei tre amici riescano a prendere il treno.
α=
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4 Numeri aleatori Continui
p. 41
Soluzione.
X, Y, Z hanno la stessa densità di probabilità f , data da
f (x) = 1 , x ∈ [0, 1] ; f (x) = 0 , x ∈
/ [0, 1] .
Quindi
Z
t
f (x) dx = t .
P (A) = P (B) = P (C) =
0
Pertanto
α = P (A ∧ B ∧ C c ) + P (A ∧ B c ∧ C) + P (Ac ∧ B ∧ C) + P (A ∧ B ∧ C) =
= 3t2 (1 − t) + t3 = 3t2 − 2t3 = t2 (3 − 2t).
Esercizio 4.9 (Es.4:EF26gen05). Il tempo di attesa T (in minuti) di arrivo del primo cliente ad
uno sportello è un numero aleatorio con distribuzione esponenziale. Supposto che il tempo medio
di attesa sia pari a 2 minuti calcolare la probabilità p1 che il primo cliente arrivi entro 1 minuto
dall’apertura. Inoltre, sapendo che nei primi 2 minuti non è arrivato nessun cliente, calcolare la
probabilità p2 che il primo cliente arrivi nei successivi 3 minuti.
Soluzione.
Si ha che T ha distribuzione esponenziale di parametro λ = 21 , pertanto
1
p1 = P (T ≤ 1) = 1 − e− 2 ,
3
p2 = P (T ≤ 5|T > 2) = 1 − P (T > 5|T > 2) = 1 − P (T > 3) = 1 − e− 2 .
Esercizio 4.10. La distribuzione di probabilità di un numero aleatorio X non negativo soddisfa la
condizione P (X > x + y|X > y) = P (X > x), ∀ x > 0, y > 0 . Inoltre la previsione di X è 14 .
Determinare, per ogni x ≥ 0, la funzione di ripartizione F (x).
Risp.: F (x) =
Soluzione.
La condizione P (X > x + y|X > y) = P (X > x), ∀ x > 0, y > 0 è soddisfatta
se e solo se X ha distribuzione esponenziale. In tale caso, la funzione di ripartizione è data da
F (x) = 1−e−λx , x ≥ 0. Tenendo conto che la previsione di X è λ1 , si ha: F (x) = 1−e−4x , x ≥ 0.
Esercizio 4.11 (Es.2EF09feb05). La funzione di ripartizione di un numero aleatorio X, continuo
e non negativo, è
1 − e−3x , per x ≥ 0
F (x) =
0,
altrove.
Posto Y = 2X + 1, calcolare: (i) la previsione di Y ; (ii) lo scarto quadratico medio di Y ;(iii) la
probabilità dell’evento H = (3 ≤ Y ≤ 5).
P(Y ) =
σY =
P (H) =
Soluzione.
Osserviamo che X ∼ Exp(3), pertanto P(X) =
P(Y ) = 2P(X) + 1 =
1
3
e σX = 31 , quindi
2
5
2
+ 1 = ; σY = 2σX =
3
3
3
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4 Numeri aleatori Continui
p. 42
Infine
P (H) = P (3 ≤ Y ≤ 5) = P (3 ≤ 2X + 1 ≤ 5) = P (1 ≤ X ≤ 2) = F (2) − F (1) = e−3 − e−6
4.2
Quesiti
Quesito 4.1. Un n.a. X ha distribuzione uniforme nell’intervallo [ 23 , 52 ], calcolare:
- la densitá di probabilitá,
- la funzione di ripartizione F (x)
- confrontare P (2 ≤ X ≤ 25 ) e P ( 32 ≤ X ≤ 2)
Quesito 4.2. Un n.a. X ha distribuzione uniforme nell’intervallo [ 12 , 73 ], calcolare:
- la densitá di probabilitá,
- la funzione di ripartizione F (x)
- la previsione IP (X) e la varianza V ar(X)
Quesito 4.3. La lunghezza di una barra è un numero aleatorio X con densità del tipo

0≤x≤k
 x,
2k − x, k < x ≤ 2k
f (x) =

0,
altrove.
Calcolare la costante k e la funzione di ripartizione di X.

0,


 x2
,
2
k=1
F (x) =

2x − 1 −


1,
x≤0
0<x≤1
x2
, 1<x≤2
2
x > 2.
Quesito 4.4 (Es.4:EF13dic05). La densità di probabilità di un numero aleatorio X è
 1
se x ∈ [− 32 0],
 2
−x+1
se x ∈]0, 1],
f (x) =
 2
0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione di X e la probabilità p dell’evento (X ≥ −1).

;



;
p=
.
F (x) =
;



.
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5 Distribuzione normale
5
5.1
p. 43
Distribuzione normale
Esercizi Svolti
Esercizio 5.1 (Approssimazione normale). Un dado a 6 facce (non truccato) viene lanciato 180
volte. Qual è la probabilità che il numero di volte in cui esce la faccia 6 sia compreso tra 20 e 30.
Calcolare inoltre la probabilità che la faccia 6 esca 30 e solo 30 volte.
Soluzione.
Indicando con X il numero di volte in cui esce la faccia 6 su 108 lanci, si ha X ∼ Bin(180, 61 ).
Osserviamo che si ha
1
5
2
P(X) = 180 = 30
σX
= 180 2 = 25.
6
6
Utilizzando l’approssimazione normale della distribuzione binomiale si ottiene
X − 30
30 − 30
20 − 30
≤
≤
= Φ0,1 (0) − Φ0,1 (−2) =
P (20 ≤ X ≤ 30) = P
5
5
5
= Φ0,1 (0) − 1 + Φ0,1 (2) ' 0.4772.
Inoltre si ha
29.5 − 30
X − 30
30.5 − 30
P (X = 30) ' P (29.5 ≤ X ≤ 30.5) = P
≤
≤
=
5
5
5
Φ0,1 (0.1) − Φ0,1 (−0.1) = Φ0,1 (0.1) − 1 + Φ0,1 (0.1) = 2Φ0,1 (0.1) − 1 ' 0.08.
Esercizio 5.2. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con parametri m = 3, σ = 2.
Posto Y = aX + b, con a > 0, determinare i valori di a e b tali che risulti
P (Y > 1.96) = P (Y < −1.96) ' 0.025 .
Risp.: a =
b=
Soluzione.
Y ha distribuzione normale con parametri mY = 3a + b, σY = 2a. Si ha
P (Y > 1.96) = 1 − P (Y ≤ 1.96) = 1 − ΦmY ,σY (1.96) = 1 − Φ(
Y
da cui segue Φ( 1.96−m
) ' 0.975 e quindi
σY
1.96−mY
σY
P (Y < −1.96) = ΦmY ,σY (−1.96) = Φ(
1.96 − mY
) ' 0.025,
σY
= 1.96. Inoltre
−1.96 − mY
1.96 + mY
) = 1 − Φ(
) ' 0.025,
σY
σY
Y
Y
da cui segue Φ( 1.96+m
) ' 0.975 e quindi 1.96+m
= 1.96.
σY
σY
Dalle seguenti equazioni lineari (nelle incognite mY , σY )
1.96 − mY
= 1.96 ,
σY
1.96 + mY
= 1.96
σY
si ottiene mY = 0, σY = 1, e quindi a = 12 , b = − 23 .
In altri termini Y è uguale al numero aleatorio ridotto
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X−3
.
2
5 Distribuzione normale
p. 44
Esercizio 5.3 (Es.2:Ef26gen05). Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con parametri
mX = 1, σX = 2. Posto Y = aX + b, con a > 0, calcolare la probabilità p dell’evento (|Y − a −
b| ≤ 4a). Inoltre, determinare i valori di a e b tali che risulti mY = 4, σY = 4.
a=
p=
b=
Soluzione.
Y ha distribuzione normale di parametri mY = a + b, σY = 2a e quindi
P (|Y − a − b| ≤ 4a) = P (|
Y − mY
| ≤ 2) = 2Φ(2) − 1 ' 0.9544 .
σY
Inoltre, dal fatto che mY = a + b, σY = 2a si ha mY = 4, σY = 4 per a = 2 e b = 2.
5.2
Quesiti
Quesito 5.1. Una moneta (non truccata) viene lanciata 40 volte. Utilizzando una opportuna approssimazione calcolare la probabilità che il numero di volte in cui esce Testa sia compreso tra 10
e 20. Calcolare inoltre la probabilità che esca Testa 20 e solo 20 volte. (vedi Esercizio 5.1).
Quesito 5.2. Sia X un numero aleatorio con distribuzione normale standard, e sia Y = 3X − a.
Calcolare il valore di a tale che P (Y ≤ 1) = Φ0,1 (2). (a = 5)
Quesito 5.3. Sia X un numero aleatorio con distribuzione normale di parametri mX = 2 e σX =
1.5. Posto Y = −X + 1, calcolare la previsione mY e lo scarto quadratico medio σY di Y .
Determinare inoltre la covarianza σXY di X e Y .
mY = −1
σY = 1.5
2
σXY = −σX
= −(1.5)2
Quesito 5.4. Un numero aleatorio ha distribuzione N3,1 (x). Calcolare la probabilità dell’ evento
X < 2. Inoltre determinare per quale x si ha P (X ≤ x) ' 0.9332. (x = 1.5)
Quesito 5.5. Il tempo di vita (in km) di un tipo di un freno di automobile è distribuito normalmente
con media 34.000 e deviazione standard 4000.
• Calcolare la probabilità α che un freno del genere duri più di 40.000 km;
• Calcolare la probabilità β che un freno del genere duri tra i 30.000 e i 35.000 km;
• Inoltre sapendo che il freno è durato per 30.000 km, calcolare la probabilità condizionata γ
che esso duri per altri 10.000 km,(risp: P (Z > 1.5)/P (Z > −1)).
α = 1 − φ0,1 (1.5) ' 0.0668,
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β ' 0.44,
γ ' 0.079
5 Distribuzione normale
p. 45
Quesito 5.6 (Es.2:EF16set05). Un macchinario effettua un controllo di qualità su barre metalliche:
queste sono accettate se la lunghezza della barra è compresa tra 1.74 cm e 1.86 cm. Supposto che
la lunghezza delle barre abbia distribuzione normale con media µ = 1.8 e varianza σ 2 = 0.16,
calcolare la probabilità ps che una barra venga scartata.
ps = 2(1 − Φ0,1 (0.15))
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6 Vettori aleatori
6
p. 46
Vettori aleatori
6.1
Esercizi Svolti
Esercizio 6.1. Da un’urna contenente 3 palline, segnate con i valori numerici −1, 0, 1, si effettuano
2 estrazioni senza restituzione. Sia (X, Y ) il vettore aleatorio discreto corrispondente al risultato
dell’esperimento. Calcolare la probabilitá p dell’evento (X + Y = 0).
Soluzione.
L’insieme dei valori possibili del vettore aleatorio (X, Y ) è
C = {(−1, 0), (−1, 1), (0, −1), (0, 1), (1, −1), (1, 0)} .
Per ogni (x, y) ∈ C si ha
p(x, y) = P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y | X = x) =
1 1
1
· = .
3 2
6
Quindi, il vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme sull’insieme C. Come si può facilmente verificare, i valori possibili di X + Y sono −1, 0, 1.
Inoltre, si ha
1
1 1
P (X + Y = 0) = p(−1, 1) + p(1, −1) = + = .
6 6
3
Esercizio 6.2. Supponiamo di lanciare 10 volte un dado equilibrato. Calcolare la probabilità p che
1 appaia tre volte, 2 tre volte e 3 quattro volte.
Soluzione.
Indicando con Xh il numero aleatorio di volte in cui compare la faccia h, con h = 1, 2 . . . 6, si ha
che (X1 , X2 , . . . , X6 ) ha distribuzione multinomiale. Pertanto si ottiene
p=
1 3 1 3 1 4 1 0 1 0 1 0
10! 1 10
10!
=
3!3!4!0!0!0! 6
6
6
6
6
6
3!3!4! 6
Esercizio 6.3. Supponiamo di effettuare due estrazioni senza restituzione da un’urna contenente
cinque palline numerate da 1 a 5. Dimostrare che i numeri aleatori
X = risultato della prima estrazione,
Y = risultato della seconda estrazione,
non sono stocasticamente indipendenti.
Soluzione.
Poichè si ha,
1
20
,
P (X = 2)P (Y = 1) =
1
5
P (X = 2, Y = 1) =
·
1
5
segue che X e Y non sono stocasticamente indipendenti.
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=
1
25
6=
1
20
.
6 Vettori aleatori
p. 47
Esercizio 6.4. Siano X, Y due n. a. indipendenti con distribuzione di Poisson, rispettivamente di
parametri l1 e l2 , ovvero
X ∼ P(l1 ), Y ∼ P(l2 ).
Calcoliamo la distribuzione di probabilità del n. a. Z = X + Y . Osserviamo che, fissato n ∈ N ,
si ha
W
P (Z = n) = P [ ni=0 (X = i, Y = n − i)] =
=
Pn
P (X = i, Y = n − i) =
=
Pn
2
= ··· =
e−l1 i!1 · e−l2 (n−i)!
i=0
ln−i
li
i=0
n
2)
= e−(l1 +l2 ) (l1 +l
·
n!
Pertanto: Z ∼ P(l1 + l2 ).
Inoltre, si può verificare che
1
X|(Z = n) ∼ Bin(n, l1 l+l
),
2
2
).
Y |(Z = n) ∼ Bin(n, l1 l+l
2
Esercizio 6.5. Il numero aleatorio di clienti uomini che si presentano in uno sportello in un fissato
giorno ha una distribuzione di Poisson di parametro 20. Il numero aleatorio delle clienti donne
che si presentano allo stesso sportello e nello stesso giorno ha una distribuzione di Poisson di
parametro 30. Supponendo che le due distribuzioni siano stocasticamente indipendenti calcolare
la distribuzione di probabilità del numero totale di clienti che si presentano allo sportello nello stesso giorno. Supposto inoltre di sapere che sono arrivati in totale 50 clienti calcolare la distribuzione
di probabilità condizionata del numero degli arrivi di clienti uomini.
Soluzione.
Indichiamo con X il numero aleatorio di clienti uomini che si presentano allo sportello nel
giorno fissato e con Y il numero aleatorio delle clienti donne che si presentano allo sportello nel
giorno fissato. Poniamo Z = X + Y . Poichè X e Y sono stocasticamente indipendenti si ha che
Z ha una distribuzione di Poisson di parametro 50. La distribuzione di probabilità condizionata di
(X|Z = 50) è, invece, binomiale di parametri n = 50 e p = 25 .
Teorema. Se X ed Y sono indipendenti, si ha: Cov(X, Y ) = 0.
Dim.: Supponiamo che, ∀ (xh , yk ) ∈ C, sia
P (X = xh , Y = yk ) = P (X = xh )P (Y = yk ) .
Allora, segue
IP (XY ) =
P
xh
P
yk
xh yk pxh ,yk =
P
xh
P
yk
xh yk pxh pyk =
P
P
= ( xh xh pxh )( yk yk pyk ) = IP (X)IP (Y ) ,
e quindi: Cov(X, Y ) = 0.
Osserviamo che il viceversa non vale, come mostra il seguente controesempio.
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6 Vettori aleatori
p. 48
Esercizio 6.6. Si consideri il seguente vettore aleatorio (X, Y ), con la distribuzione congiunta
riportata nella tabella:
Y \X
-1
0
1
-1
a
/
a
0 1
/ a
b /
/ a
Si ha
C = {(−1, −1), (−1, 1), (0, 0), (1, −1), (1, 1)} ,
con P (X = 0, Y = 0) = b e P (X = x, Y = y) = a negli altri casi. Ovviamente, deve essere:
4a + b = 1 , a ≥ 0 , b ≥ 0 .
Come si può verificare, si ha
X ∈ {−1, 0, 1} , Y ∈ {−1, 0, 1} , XY ∈ {−1, 0, 1} ,
con
P (X = −1) = P (Y = −1) = P (XY = −1) = 2a ,
P (X = 0) = P (Y = 0) = P (XY = 0) = b ,
P (X = 1) = P (Y = 1) = P (XY = 1) = 2a .
Pertanto X, Y ed XY hanno la stessa distribuzione di probabilità. Inoltre
IP (X) = IP (Y ) = IP (XY ) = 0 ,
e quindi Cov(X, Y ) = 0, ovvero X, Y sono incorrelati. Però X ed Y non sono indipendenti, in
quanto risulta
P (X = x, Y = y) =
6 P (X = x)P (Y = y) ,
ad esempio:
P (X = 0, Y = 0) = b 6= P (X = 0)P (Y = 0) = b · b = b2 .
6.2
Quesiti
Quesito 6.1. Un urna contiene 10 palline, 3 bianche 2 rosse e le rimanenti nere. Supponiamo di
effettuare 5 estrazioni con restituzione. Calcolare la probabilità p di estrarre 2 palline bianche, 2
palline rosse e 1 nera.
Quesito 6.2. Dati due numeri aleatori X e Y stocasticamente indipendenti entrambi con distribuzione binomiale di parametri n = 10, p = 0.5 calcolare il coefficiente di correlazione lineare
di (X, Y ).
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