Appendice: Forme quadratiche

Appendice: Forme quadratiche
A. A. 2006/2007
1
Prodotto Scalare
Definizione 1.1 Si definisce Spazio Euclideo uno spazio vettoriale con assegnato un prodotto scalare.
Definizione 1.2 Sia V uno spazio vettoriale. Una applicazione <, >: V × V → R si dice Prodotto
Scalare su R se ∀ v, v 0 , w, w0 ∈ V e ∀ λ ∈ R verifica le seguenti proprietà:
1. (a) < v + v 0 , w >=< v, w > + < v 0 , w >,
(b) < v, w + w0 >=< v, w > + < v, w0 >,
(c) < λv, w >= λ < v, w >=< v, λw >;
2. < v, w >=< w, v >;
3. (a) < v, v >= 0 se e solo se v = 0V ,
(b) < v, v >≥ 0.
Esempio: Prodotto scalare standard
Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n e v = (v1 , . . . , vn ), w = (w1 , . . . , wn ) ∈ V si definisce il
“prodotto scalare standard su Rn ” nel modo seguente: <, >: V × V → R tale che
< v, w >= v1 w1 + · · · + vn wn .




w1
w1




Osservazione: < v, w >= v1 w1 +· · ·+vn wn = ( v1 · · · vn )  ...  = ( v1 · · · vn )Idn  ... 
wn
wn
Osservazione: Se b : V × V → R è un prodotto scalare tale che per v = (v1 , . . . , vn ) e w = (w1 , . . . , wn )
si ha:
b((v1 , . . . , vn ), (w1 , . . . , wn )) = a1,1 v1 w1 + a1,2 v1 w2 + · · · an,n vn wn
allora la matrice Ab tale che

( v1
···
vn

w1


)Ab  ...  = b((v1 , . . . , vn ), (w1 , . . . , wn ))
wn
1
1
si chiama Matrice Associata a b e si scrive

···
a1,1

Ab =  ...
an,1
···
PRODOTTO SCALARE

a1,n
..  .
. 
an,n
Esercizio 1.3 Dimostrare che la seguente applicazione b : R2 × R2 → R è un prodotto scalare su R e
scrivere la matrice ad essa associata: b((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = 4x1 x2 − 2x1 y2 − 2x2 y1 + 7y1 y2 .
Esercizio 1.4 (per casa) Dimostrare che la seguente applicazione b : R3 × R3 → R è un prodotto scalare
su R e scrivere la matrice ad essa associata: b((x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 ), z2 ) = x1 x2 − x1 y2 − x2 y1 + 2y1 y2 + z1 z2 .
Metodo: Per dimostrare che le applicazioni b degli esercizi precedenti siano effettivamente dei prodotti
scalari occorre ovviamente controllare che tutte le proprietà che compaiono nella definizione di “prodotto
scalare” siano verificate.
1. La verifica delle proprietà 1.(a), 1.(b) ed 1.(c) è elementare.
2. La verifica della proprietà 2. è elementare.
3. Per verificare le proprietà 3.(a) e 3.(b) occorre innanzitutto scrivere la matrice Ab associata a b.
(a) Se rg(Ab ) è massimo allora la proprietà 3.(a) è verificata.
(b) Per ferificare la proprietà 3.(b) occorre
• scegliere un vettore v 1 ∈ V tale che < v 1 , v 1 >6= 0 (osserviamo che se abbiamo già controllato che la proprietà 3.(a) sia verificata allora è sufficiente scegliere un vettore non
nullo);
• costruire una base ortogonale rispetto a b a partire dal vettore v 1 scelto (sia essa ad esempio
B = {v 1 , . . . v n })1 ;
• scrivere la matrice diagonale i cui elementi non nulli siano rispettivamente b(v 1 , v 1 ), . . . , b(v n , v n )
ossia:


b(v 1 , v 1 )
0


..
B=

.
0
b(v n , v n )
• ora se i termini sulla diagonale sono tutti positivi allora anche la proprietà 3.(b) è soddisfatta.
Definizione 1.5 Due matrici quadrate A e B si dicono congruenti se esite una matrice M tale che
A = M T BM .
Proposizione 1.6 Se B è una matrice costruita come nel metodo appena descritto a partire da una
matrice Ab associata ad un prodotto scalare allora Ab e B sono congruenti.
1 Si ricorda che per costruire una base ortogonale rispetto ad un prodotto scalare b a partire da un vettore dato v occorre
1
cercare quei vettori w tali che b(v, w) = 0; o equivalentemente trovare una base ortogonale di < v 1 >⊥ .
2
2
2
FORME QUADRATICHE
Forme Quadratiche
Definizione 2.1 Sia V uno spazio vettoriale n dimensionale reale. Se b : V × V → R è una applicazione
che verifica le proprietà 1.(a), 1.(b) 1.(c) e 2. che compaiono nella definizione di “prodotto scalare”
allora è possibile associare a b una applicazione q : V → R tale che q(v) = b(v, v) per ogni v ∈ V . Una
applicazione q siffatta prende il nome di Forma Quadratica.
Esempio: Sia b : R2 × R2 → R tale che
b((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = 2x1 x2 + x1 x2 + x2 y1 − 3y1 y2 .
Allora la forma quadratica q associata a b sarà
q((x, y)) = b((x, y), (x, y)) = 2x2 + 2xy − 3y 2 .
Osseviamo che la matrice Ab associata a b è:
Ab =
2 1
1 −3
.
Chiaramente essa sarà anche la medesima matrice da associare a q.
Osservazione: Se q : R2 → R è una forma quadratica q((x, y)) = ax2 + bxy + cy 2 allora la matrice
associata a q sarà:
a b/2
Aq :=
.
b/2 c
Analogamente se q : R3 → R è una forma quadratica q((x, y, z)) = ax2 + bxy + cxz + dy 2 + eyz + f z 2
allora la matrice associata a q sarà:


a b/2 c/2
Aq :=  b/2 d e/2  .
c/2 e/2 f
(Dovrebbe a questo punto essere intuitivo come costruire la matrice associata ad una forma quadratica
q : Rn → R.)
Proposizione 2.2 Se q è una forma quadratica, la matrice Aq associata a q è congruente ad una matrice
diagonale.
Il metodo per costruire tale matrice diagonale a partire da Aq è il medesimo descritto nella sezione
precedente CON PERÒ L’AGGIUNTA DI UN’ACCORTEZZA: occorre controllare che il vettore v 1 ∈ V
con cui si inizia il procedimento sia tale che
q(v 1 ) 6= 0
(infatti per costruire una forma quadratica siamo partiti da una applicazione che non doveva necessariamente soddisfare la proprietà 3.(a) del prodotto scalare e quindi non è ora più scontato che qualunque
vettore non nullo v ∈ V sia tale che q(v) 6= 0).
3
3
3
CONICHE
Coniche
Proposizione 3.1 Una forma quadratica q : R2 → R è sempre descritta da un polinomio in due variabili
quadratico omogeneo:
q((x, y)) = ax2 + bxy + cy 2 .
(1)
La matrice ad essa associata è
Aq :=
a
b/2
b/2
c
.
(2)
La matrice Aq è congruente ad una matrice diagonale B tale che
rg(Aq ) = rg(B).
Inoltre se B e B 0 sono entrambe matrici diagonali congruenti ad Aq allora B e B 0 hanno lo stesso numero
di elementi positivi, lo stesso numero di elementi negativi e lo stesso numero di elementi nulli (per lo
studio che si farà in queste note sarà sufficiente sapere che se det(Aq ) 6= 0 allora
il segno del determinante rimane invariante per congruenza).
Proposizione 3.2 Il luogo geometrico C dei punti del piano (x, y) ∈ R2 che soddisfano una equazione
qudratica (NON NECESSARIAMENTE OMOGENEA)
ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0
(3)
è una conica del piano.
Ad una conica C è possibile associare una matrice AC tale che


x
( x y 1 )AC  y  = 0.
1
Chiaramente

a
b/2 d/2
c
e/2  .
AC =  b/2
d/2 e/2 f

Osservazione: Osseviamo che la sottomatrice di AC ottenuta eliminando la terza riga e la terza colonna
è esattamente la matrice Aq definita in (2) e quindi corrisponde ad una matrice rappresentante una forma
quadratica.
3.1
Classificazione delle coniche
Gli unici strumenti di cui ci avverremo per classificare una conica saranno il determinante di AC e la
forma quadratica associata a C (ossia la parte omogenea di grado 2 dell’equazione (3) che altro non è che
la forma quadratica (1)).
• Se il determinate di AC 6= 0 la conica si dice “non degenere”.
4
4
QUADRICHE
• Se il determinate di AC = 0 la conica si dice “degenere”.
– Se rg(AC ) = 2 la conica è “semplicemente degenere”.
– Se rg(AC ) = 1 la conica è “doppiamente degenere”.
Inoltre
• Se (det(Aq )) 6= 0 allora C è una conica a centro. In particolare
– Se det(Aq ) > 0 allora C è un’ellisse.
– Se det(Aq ) < 0 allora C è un’iperbole.
• Se det(Aq ) = 0 allora C è una conica non a centro ossia una parabola.
Riassumendo una conica C può essere scritta tramite congruenza di matrici in una delle seguenti forme
(forme canoniche):
• Coniche non a centro:
– parabola reale: x2 − y = 0,
– parabola degenere: x2 ± 1 = 0,
– conica doppiamente degenere: x2 = 0;
• coniche a centro:
– ellisse priva di punti reali: x2 + y 2 + 1 = 0,
– ellise a punti reali: x2 + y 2 − 1 = 0,
– iperbole reale: x2 − y 2 − 1 = 0,
– ellisse degenere: x2 + y 2 = 0,
– iperbole degenere: x2 − y 2 = 0.
4
Quadriche
Un argomento completamente analogo a quello appena trattato in R2 per classificare le coniche può essere
ripetuto in R3 , con ovviamente le opportune modifiche, per classificare le superficie quadriche.
Proposizione 4.1 Il luogo geometrico Q dei punti (x, y, z) ∈ R3 che soddisfano una equazione di secondo
grado:
ax2 + bxy + cxz + dy 2 + eyz + f z 2 + gx + hy + iz + l = 0
è chiamato “superficie quadrica”.
5
4.1
Classificazione delle quadriche
4
QUADRICHE
L’equazione descrivente Q può essere scritta in forma matriciale:


x
 y 

( x y z 1 )AQ 
 z 
1
dove


a
b/2 c/2 g/2
 b/2
d
e/2 h/2 
.
AQ = 
 c/2 e/2 f
i/2 
g/2 h/2 i/2
l
La sottomatrice Aq che si ottiene eliminando da AQ la quarta riga e la quarta colonna è la matrice che
descrive la forma quadratica q : R3 → R associata alla superficie quadrica Q.
4.1
Classificazione delle quadriche
Per classificare le quadriche terremo conto del determinante di AQ e del determinate di Aq .
• Se det(AQ ) 6= 0 la quadrica sarà non degenere.
– Se det(Aq ) 6= 0 la conica sarà “a centro”
– Se det(Aq ) = 0 la conica sarà “non a centro”
• Se det(AQ ) = 0 la quadrica sarà degenere.
Forme canoniche delle quadriche (qui di seguito diamo un elenco delle non degeneri, per quelle degeneri
la descrizione è ovviamente analoga):
• Quadriche non a centro:
– paraboloide ellittico: x2 + y 2 − z = 0,
– paraboloide iperbolico (a sella): x2 − y 2 − z = 0;
• quadriche a centro:
– ellissoide: x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0,
– iperboloide ad una falda (iperbolico): x2 + y 2 − z 2 − 1 = 0,
– iperboloide a due falde (ellittico): x2 − y 2 − z 2 − 1 = 0,
– ellissoide non reale: x2 + y 2 + z 2 + 1 = 0.
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