LA PRIMA FORMA QUADRATICA FONDAMENTALE

Capitolo 14
LA PRIMA FORMA QUADRATICA FONDAMENTALE
3
Definizione 1. Sia S una superficie differenziabile di E e sia P ∈ S . Il piano (vettoriale) tangente
3
S ) eredita da R P il prodotto scalare canonico [cosı̀ definito:
TP(S
uP · vP = u · v =
3
ui vi , ∀ u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ∈ R ].
3
i=1
S ) ed è un piano vettoriale euclideo. La forma quadratica associata al prodotto scalare
Dunque TP(S
S ) → R ed è
canonico è detta prima forma quadratica fondamentale di S in P ; è denotata IP : TP(S
2
S ).
cosı̀ definita: IP(vP) = vP · vP =|| vP || , ∀ vP ∈ TP(S
Si noti che IP è stata definita senza far ricorso a parametrizzazioni locali: dunque è un dato
intrinseco di S . Per il suo calcolo effettivo è però utile rappresentare IP rispetto ad una base di
S ). Nell’osservazione che segue abbiamo perciò raccolto alcuni essenziali richiami relativi alla
TP(S
rappresentazione di forme bilineari simmetriche e di forme quadratiche.
Osservazione 1. Sia V un R-spazio vettoriale n-dimensionale e sia b : V × V → R una forma
bilineare simmetrica. Ad essa resta associata la forma quadratica Q : V → R cosı̀ definita: Q(v) =
b(v, v), ∀ v ∈ V . Scelta in V una base (e1 ... en), risulta:
b(v, w) =
n n
i=1 j=1

xi yj b(ei, ej), ∀ v =
n
i=1
xi ei , w =
n
i=1
yi ei ∈ V .

 


x1
y1
b(e1, e1) .. b(e1, en)
 (matrice (simmetrica) di ordine
Posto x =  : , y =  :  e C = 
:
:
xn
yn
b(en, e1) .. b(en, en)
t
t
n), risulta b(v, w) = x C y e quindi Q(v) = x C x. C è detta matrice di b (o di Q) rispetto alla
base (e1 ... en).
Si ricorda che la base (e1 ... en) è detta b-ortonormale ⇐⇒ C = In (matrice unità). Si
ricorda ancora che se b è un prodotto scalare (cioè una forma bilineare simmetrica definita positiva)
la matrice
C ha i minori principali tutti positivi (e viceversa). Ciò significa che, per n = 2 e posto
a b
2
C=
, C è matrice di un prodotto scalare ⇐⇒ a > 0 e ac − b > 0 [e dunque anche c > 0].
b c
Infine, scelta in V un’altra base (e1 ... en) e denotata con H ∈ GLn(R) la matrice del cambiamento
t
di base, allora b (o Q) ha in base (e1 ... en) matrice C = HCH.
S ), indotta da una parametrizzazione locale
Vogliamo esprimere IP rispetto alla base ϕ (Q) di TP(S
ϕ di S intorno a P . In base all’osservazione precedente, IP ha matrice


ϕu(Q) · ϕu(Q) ϕu(Q) · ϕv(Q)
.
C(Q) = 
ϕu(Q) · ϕv(Q) ϕv(Q) · ϕv(Q)
I tre numeri reali
E(Q) = ϕu(Q) · ϕu(Q),
F (Q) = ϕu(Q) · ϕv(Q),
G(Q) = ϕv(Q) · ϕv(Q)
208
CAPITOLO 14
sono detti coefficienti di IP rispetto a ϕ (Q). Si ha, ∀ vP = ϕ (Q) β (0) = ϕu(Q) ϕv(Q)
E(Q) F (Q)
t
u (0)
IP(vP) = β (0) C(Q) β (0) = u (0) v (0)
=
v (0)
F (Q) G(Q)
2
2
= u (0) E(Q) + 2u (0) v (0) F (Q) + v (0) G(Q).
u (0)
:
v (0)
Osservazione 2. (i) Al variare di Q in U , E(Q), F (Q), G(Q) descrivono tre funzioni differenziabili
1
2
E, F, G : U → E . Si noti che, essendo C = C(Q) matrice di un prodotto scalare, E, G, EG − F
sono funzioni sempre positive.
(ii) I coefficienti E, F, G e la matrice C di IP dipendono dalla parametrizzazione ϕ. Se ψ =
ϕ ◦ H è una riparametrizzazione di S e ψ (Q1) = ϕ (Q) H (Q1), allora IP in base ψ (Q1) ha matrice
t
H (Q1) C(Q) H (Q1).
(iii) La condizione F (Q) = 0 equivale al fatto che C(Q) è una matrice diagonale, cioè che la base
ϕ (Q) è ortogonale, ovvero che le linee coordinate di ϕ hanno tangenti ortogonali tra loro nel punto
P = ϕ(Q).
Veniamo ora ad alcune formule e concetti di natura metrica su una superficie. Tali concetti e
formule, in quanto dipendono soltanto dalla prima forma quadratica fondamentale, sono di natura
intrinseca.
(A) Lunghezza di una curva contenuta in una superficie differenziabile
Sia C una curva (parametrizzata) con estremi [cioè C = α([a, b]) con α|(a,b) parametrizzazione
(differenziabile)], contenuta in una superficie differenziabile S . È noto che la lunghezza di C è data
da
b L(C) =
|| α (t) || dt.
a
Poichè || α (t) ||= Iα(t) α (t) , L(C) dipende dalla prima forma quadratica fondamentale.
Se C è contenuta in un aperto coordinato SP = ϕ(U ) e α = ϕ ◦ β, con β(t) = u(t), v(t) , allora
b t L(C) =
β (t) C u(t), v(t) β (t) dt =
a
b =
u (t)2 E u(t), v(t) + 2u (t) v (t) F u(t), v(t) + v (t)2 G u(t), v(t) dt.
a
Sia C = α([a, b]) una curva regolare a tratti [cioè una curva con estremi, regolare tranne che in
un numero finito di punti]. Poichè C è compatta (oltreché connessa), possiamo supporre che C sia
unione di un numero finito di curve regolari con estremi Ci , giacenti in aperti coordinati SP = ϕi(Ui)
i
e a due a due consecutive. Ne segue che L(C) = i L(Ci) ed ogni L(Ci) è determinata dalla formula
precedente.
(B) La metrica intrinseca su una superficie differenziabile connessa
Sia S una superficie differenziabile connessa. [Nota: si può verificare che una superficie differenziabile è connessa ⇐⇒ è connessa per archi]. Fissati due punti P, Q ∈ S , denotiamo con RS(P, Q)
la totalità delle curve regolari a tratti con estremi P, Q e contenute in S . Si può dimostrare che tale
insieme non è vuoto.
Definizione 2. Per ogni P, Q ∈ S , il numero δ(P, Q) = inf L(C), ∀ C ∈ RS(P, Q) è detto
distanza intrinseca tra P e Q in S .
S → R è una metrica su S . Tale metrica è topologicamente equivalente alla
Teorema 1. δ : S ×S
3
metrica euclidea di S [cioè alla metrica indotta su S dalla metrica euclidea d di E ].
Dim. (Cenno) Verifichiamo che δ è una metrica. Risulta:
LA PRIMA FORMA QUADRATICA FONDAMENTALE
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(i) δ(P, Q) ≥ 0 (in quanto ogni L(C) ≥ 0).
(ii) δ(P, Q) = 0 ⇐⇒ P = Q. Infatti δ(P, P ) = 0 (si consideri la curva costante di valore P ).
Viceversa, se δ(P, Q) = 0, allora 0 = δ(P, Q) ≥ d(P, Q) ≥ 0 e quindi d(P, Q) = 0, cioè P = Q.
(iii) δ(P, Q) ≤ δ(P, M )+δ(M, Q) [infatti ∀ C ∈ RS(P, M ), ∀ D ∈ RS(M, Q), si ha che C∪D ∈ RS(P, Q)
e L(C ∪ D) = L(C) + L(D). Ne segue la disuguaglianza triangolare].
La dimostrazione del fatto che δ è topologicamente equivalente alla metrica euclidea di S necessita
di argomenti di teoria delle geodetiche.
(C) L’angolo convesso tra due curve di una superficie differenziabile
Siano C1 , C2 due curve in S , regolari in un comune punto P . Si chiama angolo convesso ϑ =
ϑ(C1, C2, P ) ognuno dei due angoli convessi (tra loro supplementari) formati dalle due rette tangenti a
C1 e C2 in P . Se C1 = α1(I1), C2 = α2(I2) e P = α1(t1) = α2(t2), allora
α (t )·α (t )
ϑ = arccos ± ||α 1(t 1)|| ||α2 (t2 )|| .
1
1
2
2
Se ϕ : U → SP è una parametrizzazione locale di S intorno a P = ϕ(Q) e se α1 = ϕ ◦ β1 e
α2 = ϕ ◦ β2, allora
t β (t1) C(Q) β (t2)
1
2
.
ϑ = arccos ± 1/2 1/2
t
t
β (t1) C(Q) β (t1)
1
1
β (t2) C(Q) β (t2)
2
2
(D) L’area di una regione limitata di una superficie differenziabile
Sia S una superficie differenziabile e sia Σ un suo aperto connesso e limitato, la cui frontiera è
una curva regolare a tratti chiusa e semplice [ovvero omeomorfa ad una circonferenza]. Supponiamo
ulteriormente che Σ sia contenuto in un aperto coordinato SP = ϕ(U ) di S . Considerata la chiusura
−1
Σ di Σ e posto ϕ (Σ) = W , l’area A(Σ) di Σ è data dalla seguente formula (per la quale rinviamo
ai testi di Analisi Matematica):
A(Σ) = || ϕu(u, v) ∧ ϕv(u, v) || du dv.
W
[Si noti che le ipotesi fatte sulla frontiera di Σ ci assicurano che W è limitato (e dunque un compatto)].
Ricordato che in ogni spazio vettoriale euclideo 3-dimensionale V si ha:
2
2
2
2
|| a ∧ b || =|| a || || b || −(a · b) , ∀ a, b ∈ V ,
allora || ϕu ∧ ϕv || = EG − F e dunque
A(Σ) =
E(u, v)G(u, v) − F (u, v)2 du dv.
2
2
W
Osservazione 3. L’area di Σ non dipende dalla parametrizzazione. Sia infatti ψ = ϕ ◦ H una
−1
Ẽ F̃
2
riparametrizzazione di ϕ e sia ψ (Σ) = W̃ ; allora Ã(Σ) =
Ẽ G̃ − F̃ dũ dṽ, dove C̃ =
F̃ G̃
W̃
è la matrice di IP rispetto a ψ. Poichè C̃ = H C H , allora det(C̃) = det(C) det(H ) e dunque
2
2
2
Ẽ G̃ − F̃ = (EG − F ) det(H ) . Allora (usando la formula del cambiamento di variabili per integrali
doppi):
√
√
Ã(Σ) =
Ẽ G̃ − F̃ 2 dũ dṽ =
EG − F 2 |det(H )| dũ dṽ =
EG − F 2 du dv = A(Σ).
t
W̃
W̃
2
W