“STATI DI TENSIONE NEL TERRENO”

“STATI DI TENSIONE NEL TERRENO” COMPORTAMENTO MECCANICO DEI TERRENI
Essendo il terreno un materiale multifase, il suo comportamento meccanico (compressibilità, resistenza), in seguito all’applicazione di un sistema di sollecitazioni esterne o, più in generale, ad una variazione delle condizioni esistenti, dipende dall’interazione tra le diverse fasi
Lo studio di questa interazione può essere affrontato seguendo due tipi di approccio:
 si analizza il comportamento della singola particella e si determina la
risposta di un elemento di terreno a partire dalla modellazione del comportamento di un insieme di particelle;
 si analizza il comportamento globale del mezzo: un terreno saturo viene assimilato a due mezzi continui (uno solido, l’altro fluido) che occupano lo stesso volume
1. le proprietà di un elemento di terreno sono le stesse a prescindere dalle dimensioni
2. si estendono ai terreni i concetti di tensione e deformazione propri dei mezzi continui
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PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI
È necessario stabilire una legge di interazione tra le fasi, ovvero tra i due continui (solido e fluido) che occupano lo stesso volume di terreno. Tale legge è il principio delle tensioni efficaci (Terzaghi, 1923), che si compone di due parti: I
“Le tensioni in ogni punto di una sezione attraverso una massa di terreno possono essere calcolate dalle tensioni principali totali σ1, σ2 e σ3 che agiscono in quel punto. Se i pori del terreno sono pieni d’acqua ad una pressione u, le tensioni principali totali possono scomporsi in due parti. Una parte, u, agisce nell’acqua e nella fase solida in tutte le direzioni con eguale intensità, ed è chiamata pressione neutra (o pressione di pori). Le differenze σ1’ = σ1 – u, σ’2 = σ2 – u, e σ’3 = σ3 – u rappresentano un incremento rispetto alla pressione neutra ed hanno sede esclusivamente nella fase solida del terreno. Questa frazione della tensione totale principale sarà chiamata tensione principale efficace”.
II
“Ogni effetto misurabile di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio è attribuibile esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci”. 3/28
PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI
Osservazioni (I parte del Principio):
I.
II.
III.
Terzaghi non attribuisce alcun significato fisico alle tensioni principali efficaci, ma le definisce semplicemente come differenza tra tensioni principali totali e pressione neutra (interstiziale);
le tensioni principali efficaci non sono dunque direttamente misurabili, ma possono essere desunte solo attraverso la contemporanea conoscenza delle tensioni principali totali e della pressione interstiziale;
il principio delle tensioni efficaci è una relazione di carattere empirico, sebbene sia stato finora sempre confermato dall’evidenza sperimentale
Per studiare il comportamento meccanico di un terreno saturo ci si riferisce a due mezzi continui sovrapposti e mutuamente interagenti, e si definiscono in ogni punto il tensore delle tensioni totali (desumibile dalle azioni esterne), il tensore delle pressioni interstiziali (isotropo) e, per differenza, il tensore delle tensioni efficaci. 4/28
PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI
Implicazioni (II parte del Principio):
I.
II.
III.
IV.
V.
una variazione di tensione efficace comporta una variazione di resistenza;
se non vi è variazione di tensione efficace non varia la resistenza; condizione necessaria e sufficiente affinché si verifichi una variazione di stato tensionale efficace è che la struttura del terreno si deformi, la deformazione può essere volumetrica, oppure di taglio o entrambe;
una variazione di volume è sempre accompagnata da una variazione di tensione efficace;
una variazione di tensione efficace non comporta necessariamente una variazione di volume;
∆σ’
∆(Resistenza)
∆σ’
∆(εv) o ∆(εs) o ∆(εv)+∆(εs)
Variazione di volume, ∆(εv), ma non di forma, ∆(εs) = 0
Variazione di forma ∆(εs), ma non di volume, ∆(εv) = 0
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PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI
u (pressione dell’acqua nei pori)
Interpretazione fisica:
Ac (area dei contatti intergranulari)
s At (area della superficie trasversale)
At
ΣF
Ft,v = i,v
+ u (At – Ac)
Forza totale verticale σ = (Ft,v /At) = F1
F2
F3
F4
F5
F6 F7
ΣF
i,v/At + u (1 –
Ac/At)
Tensione verticale totale media
ΣF
Posto σ’ = i,v/At
ed essendo Ac<< At
Tensione efficace verticale
si ha: σ = σ’ + u
N.B. σ’, rappresenta la somma delle forze intergranulari riferita all’area totale, At, e non la pressione in corrispondenza delle aree di contatto, molto maggiore di σ’
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PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI
Evidenze sperimentali:
Pallini di piombo
∆h
(a)
Condizione iniziale
(b)
(c)
Incremento di tensione totale ∆σ
∆σ = ∆u e ∆σ’ =0
∆σ = ∆σ’ e ∆u =0
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TENSIONI GEOSTATICHE
La conoscenza dello stato tensionale iniziale in sito è un punto di partenza fondamentale per la soluzione di qualunque problema di natura geotecnica.
In assenza di carichi esterni applicati, le tensioni iniziali in sito sono rappresentate dalle tensioni geostatiche (o litostatiche) ovvero le tensioni presenti nel terreno allo stato naturale, indotte dal peso proprio. Le tensioni geostatiche sono legate a molti fattori:
 geometria del deposito
 condizioni della falda
 natura del terreno (granulometria e mineralogia, stato di addensamento o di consistenza, omogeneità, isotropia)
 storia tensionale Per storia tensionale si intende la sequenza di tensioni, in termini di entità e durata, che hanno interessato il deposito dall’inizio della sua formazione fino alle condizioni attuali.
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TENSIONI GEOSTATICHE
z
dPx, dPy, dPz = componenti delle
forze di volume
σz
dy
y
x
dx
O
τzy
τzx
CONVENZIONE: Nella Meccanica dei Terreni sono assunte positive:
i. le tensioni normali di compressione e le tensioni tangenziali che danno origine ad una coppia antioraria;
ii. le diminuzioni di volume e di lunghezza
τyz
dPz
τxz
τxy
dz
σy
dPy
dPx
τyx
σx
EQUAZIONI INDEFINITE
DI EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE
EQUAZIONI INDEFINITE
dx ⋅ dy ⋅ dz + dPx = 0 DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE
∂τ yx
⎧ ∂σ x
∂τ zx
dx
dy
dz
dx
dy
dz
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⎪
∂y
∂z
⎪ ∂x
∂τ xy
∂τ zy
⎪ ∂σ y
dx
dy
dz
dx
dy
dz
dx ⋅ dy ⋅ dz + dPy = 0
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⎨
∂x
∂z
⎪ ∂y
∂τ yz
∂τ xz
⎪ ∂σ z
dx
dy
dz
dx
dy
dz
dx ⋅ dy ⋅ dz + dPz = 0
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⎪ ∂z
x
y
∂
∂
⎩
⎧τ xy = τ yx
⎪
⎨τ zx = τ xz
⎪τ = τ
yz
⎩ zy
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STATO TENSIONALE ASSIAL‐SIMMETRICO
Nell’ipotesi di:
Î piano di campagna orizzontale ed infinitamente esteso
Î uniformità orizzontale delle proprietà del terreno Î eventuale falda orizzontale, in condizioni di equilibrio idrostatico
si realizza per ragioni di simmetria uno stato tensionale assial‐simmetrico
rispetto all’asse z.
Def. In ogni punto il piano orizzontale e tutti i piani verticali sono piani principali. Le tensioni orizzontali sono tra loro uguali, in tutte le direzioni. σx = σy = σh ; σz = σv ; τxy = τyz = τzx = 0
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STATO TENSIONALE ASSIAL‐SIMMETRICO
σv
x
zw
σh
σh
σh
z
∂τ yx
⎧ ∂σ x
∂τ
dx
dy
dz
dx ⋅ dy ⋅ dz + zx dx ⋅ dy ⋅ dz + dPx = 0
⋅
⋅
+
⎪
∂y
∂z
⎪ ∂x
∂τ xy
∂τ zy
⎪ ∂σ y
dx
dy
dz
dx
dy
dz
dx ⋅ dy ⋅ dz + dPy = 0
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⎨
y
x
z
∂
∂
∂
⎪
∂τ yz
∂τ xz
⎪ ∂σ z
dx
dy
dz
dx
dy
dz
dx ⋅ dy ⋅ dz + dPz = 0
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⎪ ∂z
x
y
∂
∂
⎩
dPz
σv +
∂σ v
dz
∂z
dPz = γ dx dy dz
σx = σy = σh ;
σz = σv ;
τxy = τyz = τzx = 0
⎧ ∂σ v = γ
⎪⎪ ∂z
⎨ ∂σ h ∂σ h
=
=0
⎪
⎪⎩ ∂x
∂y
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Tensioni verticali totali
Integrando la 1a equazione:
∂σ v
=γ
∂z
z
σ v ( z) = ∫ γ( Z)dZ
0
Nell’ipotesi di:
Î deposito omogeneo (γ costante con la profondità) Î assenza di carichi verticali sul piano di campagna (σv = 0 per z = 0) σvo (z) = γsat ⋅ z
x
Ô superficie piezometrica coincidente col piano di campagna (zw = 0)
dove γsat = peso di volume saturo del terreno
z
Ô superficie piezometrica non coincidente col piano di campagna:
σvo (z) = γsat ⋅( z ‐ zw) + γ ⋅ zw
σvo (z) = γ sat z + γw ⋅ H
x
x
H
zw
z
z
Ô nell’ipotesi di terreno stratificato:
x
σvo (z) = Σi γi ⋅ ∆zi
∆zi , γi
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z
Pressione interstiziale
In condizioni di falda in quiete, la pressione dell’acqua, u, può essere ricavata una volta nota la posizione della superficie piezometrica (luogo dei punti in cui la pressione dell’acqua è uguale alla pressione atmosferica, ua)
Convenzionalmente si assume ua = 0, per cui, all’interno di un deposito reale:
u > 0 sotto la superficie piezometrica
u < 0 sopra la superficie piezometrica (risalita capillare nei terreni coesivi)
N.B. Essendo la determinazione dei valori u <0 molto incerta, si assume
u = 0 al di sopra della superficie piezometrica.
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Pressione interstiziale
In ciascun punto al di sotto della superficie piezometrica, e in assenza di moto di filtrazione, la pressione dell’acqua, uguale in tutte le direzioni (stato tensionale isotropo) , è pari al valore idrostatico, ovvero: x
Falda al di sotto del piano di campagna
zw
u(z) = 0 per 0 < z ≤ zw
u(z) = γw⋅ (z‐zw) per z > zw
γw
1 z
H
u(z) = γw ⋅ (z+H)
γw
z
1
x
Falda al di sopra del piano di campagna:
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Tensioni verticali efficaci
La tensione efficace verticale si ricava per differenza, una volta nota la pressione interstiziale, utilizzando il principio delle tensioni efficaci:
σ’v0 = σv0 ‐ u
In definitiva le tensioni efficaci verticali risultano:
σ ’vo (z) = σvo ‐ u = σvo = Σi γi ⋅ ∆zi
σ ’vo (z) = σvo ‐ u = Σi γi ⋅ ∆zi – γw⋅(z‐zw)
per z < zw
per z ≥ zw
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Tensioni orizzontali
Integrando la 2a equazione:
∂σ h ∂σ h
=
=0
∂x
∂y
σh = cost (∀x, ∀y)
OSS. Dalle equazioni di equilibrio non si ha nessuna informazione utile sul valore della tensione orizzontale, pertanto è necessario ricorrere ad evidenze sperimentali L’osservazione condotta sperimentalmente su depositi di differente origine e composizione, ha evidenziato che il valore di σ’h dipende:
¾ dalla geometria del deposito, ¾ dalle condizioni della falda, ¾ dalla natura del terreno }
come la tensione verticale
e inoltre: ¾ dalla storia tensionale del deposito
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Influenza della storia tensionale sulle tensioni orizzontali
a)
a)
Si consideri il caso di sedimentazione in ambiente lacustre su un’area
molto estesa in direzione orizzontale:
Linea di compressione b)v
σv cresce, u rimane costante ∆σ’v = ∆σ
e
vergine (NCL)
A
B
∆e
C
(C)
(B)
(A)
P
εz =
∆H
εx = εy = 0 per ragioni di simmetria
H0
∆σ’v
εv = εx + εy + εz = εz =
∆V ( Vv 0 + Vs ) − ( Vv 1 + Vs ) Vv 0 / Vs − Vv 1 / Vs e 0 − e 1
∆e
=
=
=
=−
Vv 0 / Vs + Vs / Vs
1 + e0
1 + e0
V0
Vv 0 + Vs
IMP. Per convenzione εv>0 quando V diminuisce e ∆V = Vfin ‐ Vin
εv = −
σ’v (log)
∆H
H0
∆H
∆e
=
H 0 1 + e0
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Influenza della storia tensionale sulle tensioni orizzontali
In tale situazione di deformazioni orizzontali impedite (consolidazione monodimensionale) l’incremento delle tensioni efficaci orizzontali è proporzionale al corrispondente incremento delle tensioni efficaci verticali, secondo un coefficiente detto coefficiente di spinta a riposo :
'
σ ho
Ko = '
σ vo
Durante la fase di deposizione del materiale, tale coefficiente rimane costante al variare della tensione efficace verticale raggiunta e dipende solo dalla natura del terreno.
Quando la tensione efficace verticale geostatica, σ’v0, coincide con la tensione efficace verticale massima sopportata dal deposito in quel punto durante la sua storia, si parla di terreno normalconsolidato (NC).
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Influenza della storia tensionale sulle tensioni orizzontali
b)
Supponiamo ora che alla fase di sedimentazione segua una fase di erosione
(scarico):
Linea di scarico
e
D
C
(C)
(D)
P
L’entità della sovraconsolidazione è rappresentata dal grado OCR =
di sovraconsolidazione, OCR (OverConsolidation Ratio):
σ’v (log)
σ' p
σ ' v0
Al procedere dello scarico tensionale il coefficiente di spinta a riposo, K0(OC),
aumenta al diminuire della tensione efficace verticale raggiunta (ovvero all’aumentare di OCR)
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Influenza della storia tensionale sulle tensioni orizzontali
c)
Supponiamo ora che alla fase di erosione segua una fase di sedimentazione
(ricarico):
e
Linea di scarico‐ricarico
(E)
(C)
D
C
E
(D)
P
σ’v (log)
Al procedere del ricarico tensionale (fino al raggiungimento della pressione di preconsolidazione σ’p = σ’v(C)) il coefficiente di spinta a riposo, K0(OC),
diminuisce all’aumentare della tensione efficace verticale raggiunta (ovvero al diminuire di OCR)
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Tensioni orizzontali efficaci e totali
In definitiva il calcolo delle tensioni efficaci orizzontali è subordinato alla conoscenza del coefficiente di spinta a riposo:
σ’h0 = K0 σ’v0
Il valore della tensione orizzontale totale, σh0, può essere ricavato sfruttando il principio delle pressioni efficaci (ricordando che la pressione dell’acqua, u, è un tensore sferico, isotropo):
σh0 = σ’h0 + u
Riassumendo, sotto opportune ipotesi semplificative (p.c. orizzontale,..) noti:
ƒ il peso di volume sopra e sotto falda,
ƒ la posizione della superficie piezometrica,
ƒ il coefficiente di spinta a riposo,
è possibile definire completamente lo stato tensionale geostatico all’interno di un deposito (che normalmente coincide con lo stato tensionale iniziale). 21/28
COEFFICIENTE DI SPINTA A RIPOSO
Il coefficiente di spinta a riposo K0, può essere valutato a partire dai risultati di alcune prove in sito.
Frequentemente viene stimato per mezzo di relazioni empiriche a partire da parametri di più semplice determinazione (p. es. dalla densità relativa per i terreni a grana grossa o dall’indice di plasticità per terreni a grana fine). TERRENI NORMALCONSOLIDATI K0 per i terreni normalconsolidati (solitamente indicato col simbolo K0(NC)) non dipende dalla tensione efficace verticale raggiunta ma solo dalla natura del terreno; varia generalmente tra 0.4 e 0.8; in genere si hanno valori più bassi per terreni granulari, più alti per limi e argille. In generale, per tutti i tipi di terreno, viene spesso utilizzata la seguente relazione di Jaky semplificata:
K0 ≅ 1‐ sin ϕ’
dove ϕ’ è l’angolo di resistenza al taglio.
N.B.: per terreni NC K0 < 1)
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COEFFICIENTE DI SPINTA A RIPOSO
Coefficiente di spinta a riposo, K0
Terreni coesivi Terreni incoerenti
Indisturbato
Disturbato o ricostituito in laboratorio
Indice di plasticità, Ip
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COEFFICIENTE DI SPINTA A RIPOSO
TERRENI SOVRACONSOLIDATI Per terreni sovraconsolidati, K0 può raggiungere valori anche maggiori di 1, e può essere stimato mediante una relazione del tipo: K0 (OC) = K0 (NC)⋅ OCR α
α = coefficiente empirico
legato alla natura del terreno:
– per terreni coesivi viene spesso
assunto α ≅ 0.5 oppure si ricorre a
correlazioni del tipo α = a⋅ Ip‐b , in
cui α risulta una funzione
decrescente di Ip
– per terreni incoerenti esistono alcune relazioni empiriche di
letteratura tra a e DR
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ANDAMENTO DELLE TENSIONI
CON LA PROFONDITÀ
CASO 1 (terreno omogeneo, NC e falda sopra il piano di campagna)
H
1
γ
w
σv
p.c
γγsatsat
,, φ’
φ’
σ’v
u
1
γ
1
γ sat
w
1
1
z
σ v = γ sat ⋅ z + γ w ⋅ H
u = γ w ⋅ (z + H)
σ’h
z
σ 'v = γ ' z
σ 'h = K 0 ⋅ γ ' z
z
γ’
= f (ϕ’)
z
K0 σγ’’v
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CASO 2 (terreno omogeneo, NC e falda sotto il piano di campagna)
u
σv
σ’v
p.c
γ, φ’
zw
1
1
1
1
γ
γ sat
z
⎧σ v = γ ⋅ z
⎨
⎩σ v = γ sat ⋅ (z − z w ) + γ ⋅ z w
1
γ
γ
γ sat, φ’
K0 γ
σ’h
1
w
z
per z < z w
per z ≥ z w
per z < z w
⎧σ 'v = γ ⋅ z
⎪
⎨σ 'v = γ sat (z − z w ) + γ ⋅ z w − γ w (z − z w ) per z ≥ z w
⎪= (γ − γ )(z − z ) + γ ⋅ z = γ ' (z − z ) + γ ⋅ z
sat
w
w
w
w
w
⎩
z
γ’
⎧u = 0
⎨
⎩u = γ w ⋅ ( z − z w )
z
per z < z w
per z ≥ z w
⎧σ 'h = K 0 ⋅ γ ⋅ z
⎨
⎩σ 'h = K 0 ⋅ γ ' (z − z w ) + K 0 ⋅ γ ⋅ z w
per z < z w
per z ≥ z w
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CASO 3 (deposito stratificato e falda coincidente con il piano di campagna)
σv
p.c
h
γ1 , φ1
γ ,φ
2
1
1
γ
1
1
γ’
K 02
1
γ2
γ’
1
2
γw
z
z
⎧σ v = γ 1 ⋅ z
⎨
⎩σ v = γ 2 ⋅ (z − h1 ) + γ 1 ⋅ h1
per 0 < z < h1
per z ≥ h1
z
{u = γ w ⋅ z
σ ’h
K 01
1
1
2
σ’v
u
z
ϕ 1 < ϕ2
per z ≥ 0
per 0 < z < h1 ⎧σ 'h = K 01 ⋅ γ '1 ⋅z
⎧σ 'v = γ '1 ⋅z
per 0 < z ≤ h1
⎨
⎨
=
⋅
−
−
⋅
≥
σ
'
γ
'
z
(
γ
γ
)
h
per
z
h
2
2
1
1
1
⎩ v
⎩σ 'h = K 02 ⋅ γ '2 ⋅z − K 02 ⋅ (γ 2 − γ 1 ) ⋅ h1 per z ≥ h1
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OSSERVAZIONI
1. L’andamento delle tensioni verticali (totali) è continuo e cresce linearmente con la profondità, con pendenze diverse in strati caratterizzati da peso di volume differenti (per effetto dello stato di saturazione o delle differenti caratteristiche geotecniche)
2. L’andamento delle pressioni interstiziali è continuo e cresce linearmente con la profondità, a partire dal livello di falda verso il basso, mentre si assume nullo al di sopra
3. L’andamento delle tensioni verticali (efficaci) è continuo e cresce linearmente con la profondità, con pendenze diverse in strati caratterizzati da peso di volume differenti (per effetto dello stato di saturazione o delle differenti caratteristiche geotecniche) o nell’attraversare la superficie di falda
4. Le tensioni orizzontali (efficaci e totali) hanno un andamento lineare crescente all’interno di ciascun strato omogeneo, mentre presentano discontinuità in corrispondenza del contatto tra strati di differenti caratteristiche geotecniche
5. Un abbassamento del livello di falda (quando tale livello rimane al di sotto del piano di campagna) comporta un incremento delle tensioni efficaci (e quindi un incremento della resistenza ed una compressione del terreno con conseguente cedimento)
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