Tensioni di contatto

G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine”
9. TENSIONI DI CONTATTO – FATICA DI CONTATTO
Tensioni di contatto (teoria di Hertz 1881)
Quando due corpi aventi superfici esterne curve vengono pressati tra loro,
2a
la zona di contatto, a causa della deformazione elastica, avviene su
pmax
R1
superfici e non linee o punti (fig.1). Poiché tali superfici sono generalmente
piccole, le pressioni mutue risultano elevate e negli elementi, in prossimità
del contatto, si genera uno stato tensionale tridimensionale.
Tensioni di contatto si generano, ad esempio, tra le sfere e la ralla nei
R2
cuscinetti a rotolamento, tra i denti delle ruote dentate, tra rotaie e ruote.
Le tensioni dovute al contatto sono descritte dalla teoria di Hertz nella
quale vengono considerati
Fig.9.1 - Pressioni di contatto tra sfere o cilindri.
•
solidi elastici, omogenei, isotropi,
•
superfici lisce,
raggi di curvatura grandi rispetto alle superfici a contatto,
•
tensioni tangenziali di attrito nulle.
Pressione massima e raggio di contatto
Sfere
Nel caso di due solidi sferici di raggi R1 ed R2, i cui materiali hanno costanti elastiche E1, ν1, E2, ν2, pressati l'uno
contro l'altro da una forza F, l'area di contatto ha forma circolare di raggio a dato dall'equazione:
a=
3
2
2
3 (1 − ν 1 ) E1 + (1 − ν 2 ) E2
F
4
1 R1 + 1 R2
(9.1)
ponendo rispettivamente
1 1 − ν 12 1 − ν 22
=
+
∆
E1
E2
1
ρ
=
1
1
+
R1 R2
(9.2,3)
la (1) può essere riscritta come
a=
3
3 ρ
ρ
F
= 0.91 3 F
4 ∆
∆
(9.4)
La (4) mostra che l’ampiezza della superficie di contatto è proporzionale al raggio di curvatura delle superfici e
inversamente proporzionale alle rigidezze dei materiali.
La pressione sulla superficie di contatto ha una distribuzione semisferica rispetto al raggio a. La massima
pressione si ha al centro dell'area di contatto e può essere ottenuta con la seguente equazione:
pmax = 0.364
3
F
∆2
ρ
2
=
3 F
F
= 0.48 2
2
2π a
a
(9.5)
Solidi cilindrici
In questo caso la teoria di Hertz si riferisce a solidi cilindrici pieni, di lunghezza infinita, con assi paralleli. La forza
di pressione agente è una forza ad unità di lunghezza q. La superficie di contatto ha semilarghezza a data da:
a =
4
π
q
ρ
∆
= 1.13 q
ρ
∆
(9.6)
con ρ e ∆ definiti come nelle eq.(2,3). La superficie di contatto è rigorosamente piana solo nel caso in cui i due
cilindri sono uguali, ma, a fini pratici, può essere sempre considerata tale. Se i cilindri hanno sezione non circolare,
nella (3) si devono introdurre, al posto dei raggi, i raggi di curvatura delle superfici al contatto.
La pressione ha una distribuzione ellittica lungo la dimensione 2a con valore massimo:
pmax =
q∆
π ρ
= 0.564 q
∆
ρ
=
2q
q
= 0.64
π a
a
(9.7)
Le formule ottenute sono valide anche per cilindri di lunghezza finita l in zone sufficientemente lontane dagli
estremi. Nel caso di contatto tra sfera/cilindro con una superficie sferica/cilindrica esterna, si attribuisce al diametro
di quest’ultima (la maggiore) il segno negativo.
9.1
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Contatto sfera/cilindro con piano
Le precedenti equazioni (4,5) e (6,7) possono essere applicate al contatto tra sfere/cilindri e superfici piane, ponendo
per queste ultime R2=∞.
Tensioni lungo l'asse z al centro del contatto
Sfere
Facendo riferimento ad un sistema di assi cilindrico con l'origine nel centro dell'area di contatto e l'asse delle z in
direzione ortogonale all’area di contatto, le tensioni agenti lungo le direzioni r, θ, z, per la simmetria del sistema,
risultano principali. Le tensioni in direzione z sono di compressione; anche le tensioni radiali sono negative perché il
materiale, compresso in direzione z, tenderebbe ad espandersi per effetto Poisson, ma il materiale limitrofo glielo
impedisce.
Ponendo
za = z a
(9.8)
Le equazioni delle tensioni lungo l'asse z per ciascuna sfera (o per il piano) sono:
σz =

− pmax
1 + za2
σ r = − pmax (1 + ν ) (1 − za cot −1 za ) −

1
2 1 + za2
(
)



(9.9,10)
L’andamento è mostrato in fig.2a per il caso ν=0.3.
La massima tensione tangenziale τmax=(σz−σr)/2 agisce nel piano zr; il suo massimo valore, pari a 0.31pmax, si
trova alla profondità z=0.47a.
Solidi cilindrici
Facendo riferimento ad un sistema di assi cartesiani con l'origine nel centro dell'area di contatto, asse delle z in
direzione ortogonale all’area di contatto, asse x nella direzione longitudinale ed asse y in quella trasversale, le
tensioni lungo gli assi x, y, z risultano principali. In particolare le espressioni delle tensioni lungo l’asse z, tutte
negative, risultano le seguenti:
σz =
− pmax
1+ z
σ x = −2 ν pmax
2
a

σ y = − pmax  2 −

(
1 + za2 − za
)
(9.11,12)

1 
1 + za2 − 2 za 
2 
1 + za 

(9.13)
L’andamento è mostrato in fig.2b.
La tensione tangenziale massima nel piano zy, τmax=(σz−σy)/2 in figura, non è la massima fra le tre in tutti i punti
dell’asse z, ma raggiunge il massimo valore assoluto per z=0.79a e vale 0.3pmax.
σ/pmax 1
τ/pmax
σ/pmax 1
τ/pmax
0.9
0.9
r
0.8
σz
0.7
0.6
y
x
z
0.7
σy
z
0.6
σr
0.5
0.5
0.4
0.4
τmax
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
σz
0.8
z/a
0
σx
τmax
0
0.5
1
1.5
2
2.5
z/a 3
(a)
(b)
Fig.9.2 - Tensioni hertziane al centro dell’area di contatto al variare di z per materiali con ν=0.3: (a) caso delle sfere e (b) caso dei cilindri.
0
1
2
3
9.2
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Fatica di contatto
Spesso elementi meccanici lavorano venendo a contatto durante un moto relativo di rotolamento e/o strisciamento.
Ovvio esempio di questa combinazione è il contatto fra due ruote dentate. L’applicazione ripetuta delle tensioni di
contatto può provocare un danneggiamento definito fatica di contatto o usura superficiale (che non deve essere
confusa con l'usura abrasiva dovuta allo sfregamento di particelle adesive su una superficie).
L’entità del danneggiamento è influenzata dai seguenti fattori:
• entità delle tensioni hertziane,
• numero di cicli,
• finitura e durezza delle superfici,
• grado di lubrificazione,
• temperatura.
Seguendo la teoria di Hertz si accetta l'ipotesi che il danneggiamento a fatica inizi dove la tensione di taglio è
massima e si propaghi verso la superficie. In questo caso il lubrificante entra nella cricca e, a causa della pressione,
danneggia ulteriormente il materiale.
La resistenza alla fatica di contatto tra 2 materiali è caratterizzata mediante il limite di fatica di contatto che è la
pressione di contatto che causa la prima evidenza tangibile di danneggiamento della superficie per numero di cicli N
assegnato
σ lc =
2q
π a
(9.14)
Sostituendo a nella (14) mediante l’espressione (6) e spostando a sinistra dell’equazione tutti i termini che
dipendono dal materiale si ottiene
σ lc2
π
∆
=
q
(9.15)
ρ
Il termine a sinistra della (15) è definito Fattore carico-tensioni di Buckingam ed indicato con K1. Normalmente
per i materiali ingegneristici si ha ν=0.3, allora può porsi ν1=ν2=ν=0.3 nella (2) ottenendo
 1
1
1 
= 0.91 + 
∆
 E1 E2 
(9.16)
da cui
 1
1 
K1 = 2.857σ lc2  + 
 E1 E2 
(9.17)
Se si conoscono le caratteristiche dei materiali σlc, E1 ed E2 l'equazione di progetto può essere scritta come
q
ρ
=
K1
n
(9.18)
essendo n il coefficiente di sicurezza.
I valori del limite di fatica superficiale per gli acciai relativamente ad N=108 cicli possono essere ottenuti
dall'equazione:
σ lc = 2.76 Hb − 70
(9.19)
dove Hb è la durezza Brinell ed il valore che si ottiene è espresso in MPa. Se i materiali hanno differente durezza si
usa il minore fra i due valori.
9.3