Flessione semplice

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Flessione
semplice
Sommario
Flessione semplice
Altre tipologie di carico
Elementi simmetrici in flessione semplice
Deformazioni flessionali
Tensioni dovute alla flessione
Proprietà della sezione di una trave
Proprietà di Profili Standard
Deformazioni in una sezione trasversale
Esercizio svolto 4.2
Flessione di travi composte da più materiali
Concentrazioni di tensione
Sforzo normale eccentrico in un piano di simmetria
Esempio 4.07
Esercizio svolto 4.8
Flessione non simmetrica
Caso generale di sforzo normale eccentrico
4- 2
Flessione semplice
Flessione semplice:
Elementi prismatici
soggetti a coppie
uguali ed opposte
agenti nello stesso
piano longitudinale
400 N
400 N
300 mm
650 mm
300 mm
Mf = 120 Nm
RC = 400 N
Mf’ = 120 Nm
RD = 400 N
4- 3
Altre tipologie di carico
120 mm
120 mm
P’ = 750 N
P = 750 N
• Carico Eccentrico: Un carico assiale
che non passa attraverso il centro della
P’ = 750 N
sezione produce sollecitazioni interne
M = 90 Nm
equivalenti ad una coppia e ad uno
P = 750 N
sforzo normale
• Carico Trasversale: Un carico
trasversale concentrato o distribuito
produce sollecitazioni interne
equivalenti ad una forza di taglio e ad
una coppia
• Principio di Sovrapposizione: La
tensione normale dovuta alla flessione
semplice si può combinare con la
tensione normale dovuta allo sforzo
normale e con la tensione tangenziale
dovuta al taglio al fine di ottenere la
completa distribuzione delle tensioni
4- 4
Elemento Simmetrico in Flessione Semplice
• Le forze interne in ogni sezione trasversale sono
equivalenti ad una coppia. Il momento di tale
coppia è noto come momento flettente.
• Dalla statica una coppia M consiste di due forze
uguali ed opposte.
• La somma delle componenti di queste forze in
ogni direzione è uguale a zero.
• Il momento è lo stesso rispetto a qualunque
asse perpendicolare al piano della coppia e
nullo rispetto a qualunque asse contenuto nel
suo piano.
• Questi requisiti devono essere rispettati dalla
risultante e dai momenti delle forze elementari
interne staticamente indeterminate.
Fx = ∫ σ x dA = 0
M y = ∫ zσ x dA = 0
M z = ∫ − yσ x dA = M f
4- 5
Deformazioni Flessionali
Trave avente un piano di simmetria soggetto
a flessione semplice:
• l’elemento rimane simmetrico
• si inflette uniformemente a formare un arco di
circonferenza.
• la sezione trasversale si mantiene piana e passa
per il centro dell’arco.
Sezione verticale
longitudinale
• la parte superiore si accorcia e la parte inferiore si
allunga.
• deve esistere una superficie neutra, parallela alla
faccia superiore e inferiore dell’elemento e per la
quale la lunghezza non cambia.
• tensioni e deformazioni sono negative (di
compressione) al di sopra del piano neutro e
positive (di trazione) al di sotto.
Sezione orizzontale
longitudinale
4- 6
Deformazione dovuta alla Flessione
Si consideri un segmento di trave di lunghezza L.
Dopo la deformazione, la lunghezza della
superficie neutra rimane L. Per le altre sezioni,
L = ρθ
L′ = ( ρ − y )θ
δ = L′ − L = (ρ − y )θ − ρθ = − yθ
yθ
y
δ
=−
(la deformazione varia linearmente)
εx = = −
L
ρθ
ρ
εm =
c
ρ
⇒
ρ=
c
εm
y
c
ε x = − εm
4- 7
Tensione dovuta alla Flessione
• Per un materiale linearmente elastico,
y
c
σ x = Eε x = − Eε m
y
= − σ m (la tensione varia linearmente)
c
• Per l’equilibrio statico,
y
Fx = 0 = ∫ σ x dA = ∫ − σ m dA
c
σ
0 = − m ∫ y dA
c
Il momento del primo ordine rispetto
all’asse neutro è nullo. Quindi, la
superficie neutra deve passare per il
centro della sezione.
• Per l’equilibrio statico,
⎛ y
⎞
M f = ∫ (− yσ x dA) = ∫ (− y )⎜ − σ m ⎟ dA
⎝ c
⎠
σ
σ I
M f = m ∫ y 2 dA = m x
c
c
M
M
σm = f c = f
Ix
Wf
y
Sostituendo σ x = − σ m
c
M
σx = − f y
Ix
4- 8
Proprietà della Sezione di una Trave
• La tensione normale massima dovuta alla flessione,
Mf
M
I
W
I = momento di inerzia della sezione
I
W = = modulo di resistenza della sezione
c
σm =
c=
Una sezione con un modulo di resistenza più grande
avrà una tensione massima più piccola.
• Si consideri una sezione rettangolare,
3
I 121 bh
= 16 bh3 = 16 Ah
W= =
c
h2
Fra due travi con la stessa area trasversale, quella
con l’altezza maggiore sarà più efficace nel
resistere alla flessione.
• Le travi strutturali in acciaio sono progettate in
modo da avere un elevato modulo di resistenza della
sezione.
4- 9
Proprietà di Profili in acciaio Standard
4- 10
Deformazioni in una Sezione Trasversale
• La deformazione causata dal momento flettente M
è misurata dalla curvatura della superficie neutra.
1 εm σm 1 M f c
=
=
=
ρ c Ec Ec I
=
Mf
EI
• Sebbene le sezioni trasversali rimangono piane
quando sono soggette a momento flettente, le
deformazioni nel piano non sono nulle,
ε y = −νε x =
νy
ρ
ε z = −νε x =
νy
ρ
• L’elongazione al di sopra della superficie neutra
e la contrazione al di sotto della stessa, causa
una curvatura nel piano della sezione.
1 ν
= = curvatura anticlastica
ρ′ ρ
4- 11
Esercizio svolto 4.2
SOLUZIONE:
• Considerando la geometria della
sezione trasversale, si determina la
posizione del baricentro e il momento
di inerzia.
Y =
∑ yA
∑A
(
I x′ = ∑ I + A d 2
)
• Si applica la formula della flessione
elastica per trovare le massime tensioni
di trazione e compressione.
σm =
Mc
I
Un elemento di macchina in ghisa è
soggetto alla coppia di 3 kN•m. Sapendo
• Si calcola la curvatura:
che E = 165 GPa e trascurando la
1 M
presenza dei raccordi, determinare (a) le
=
ρ EI
massime tensioni di trazione e
compressione, (b) il raggio di curvatura.
4- 12
Esercizio Svolto 4.2
SOLUZIONE:
Considerando la geometria della sezione
trasversale, si determina la posizione del
baricentro e il momento di inerzia.
Area, mm 2
y , mm
yA, mm3
1 20 × 90 = 1800
50
90 × 103
2 40 × 30 = 1200
20
24 × 103
∑ A = 3000
∑ yA = 114 ×10
3
3
∑ yA 114 ×10
Y =
=
= 38 mm
3000
∑A
(
) (121 bh3 + A d 2 )
1 90 × 203 + 1800 × 12 2 ) + ( 1 30 × 403 + 1200 × 182 )
= (12
12
I x′ = ∑ I + A d 2 = ∑
I = 868 × 103 mm 4 = 868 × 10-9 m 4
4- 13
Esercizio svolto 4.2
• Si applica la formula della flessione elastica
per trovare le massime tensioni di trazione e
di compressione.
Mc
I
M c A 3 kN ⋅ m × 0.022 m
σA =
=
I
868 × 10−9 m 4
M cB
3 kN ⋅ m × 0.038 m
σB = −
=−
I
868 × 10−9 m 4
σm =
σ A = +76.0 MPa
σ B = −131.3 MPa
• Si calcola la curvatura:
1
ρ
=
=
M
EI
3 kN ⋅ m
(165 GPa )(868 ×10-9 m 4 )
1
= 20.95 ×10−3 m -1
ρ
ρ = 47.7 m
4- 14
Flessione di Travi Composte da più Materiali
• Considerate una trave composita formata
da due materiali con E1 and E2.
• La deformazione estensionale varia
linearmente.
y
εx = −
ρ
• La tensione normale è lineare a tratti :
σ 1 = E1ε x = −
E1 y
ρ
σ 2 = E 2ε x = −
E2 y
ρ
L’asse neutro non passa per il baricentro
della sezione dell’elemento composito.
• Le forze esercitate sulla sezione sono:
Ey
E y
dF1 = σ 1dA = − 1 dA dF2 = σ 2 dA = − 2 dA
ρ
σx = −
My
I
σ1 = σ x
ρ
• Si definisce una sezione omogeneizzata tale
che:
σ 2 = nσ x
dF2 = −
(nE1 ) y dA = − E1 y (n dA)
ρ
ρ
E
n= 2
E1
4- 15
Concentrazioni di tensione
Concentrazioni di tensione possono
avvenire:
σm = K
Mc
I
• Nelle vicinanze dei punti di
applicazione dei carichi
• Nelle vicinanze di cambi bruschi
della sezione
4- 16
Sforzo normale eccentrico in un piano di simmetria
• Le tensioni dovute a un carico eccentrico si
trovano sovrapponendo le tensioni uniformi
dovute al carico centrato e le tensioni lineari
dovute alla flessione pura.
σ x = (σ x )centric + (σ x )bending
=
• Eccentric loading
F=P
M = Pd
P My
−
A I
• La formula è valida purché la tensione rimanga
inferiore al limite di proporzionalità, le
deformazioni hanno un effetto trascurabile sulla
geometria, e le tensioni siano valutate lontano
dai punti di applicazione del carico.
4- 17
Esempio 4.07
SOLUZIONE:
• Trovare il carico centrato
equivalente ed il momento flettente.
• Sovrapporre la tensione uniforme
dovuta al carico centrato e quella
lineare dovuta al momento flettente.
• Valutare le tensioni massime di
trazione e compressione ai bordi
interno ed esterno dalla distribuzione
di tensioni sovrapposta.
Una catena ad anelli aperti è ottenuta
piegando aste di acciaio di 12 mm a basso
tenore di carbonio. Per il carico di 720 N, • Trovare l’asse neutro determinando
determinare (a) la massima tensione di
la posizione dove la tensione
trazione e compressione, (b) la distanza
normale è zero.
fra il baricentro della sezione e l’asse
neutro.
4- 18
Example 4.07
• Tensione normale
dovuta al carico centrato
A = πc 2 = π (6 mm )2
= 113 mm 2
720 N
P
σ0 = =
A 113 mm 2
= 6.4 MPa
• Carico centrato equivalente
e momento flettente
P = 720 N
M = Pd = (720 N )(16 mm )
= 11.52 N ⋅ m
• Tensione normale dovuta
al momento flettente
I = 14 πc 4 = 14 π (6)4
= 0.1cm 4
σm =
Mc (11.52 N ⋅ m )(6 mm )
=
I
0.1 cm 4
= 69 MPa
4- 19
Example 4.07
• Tensioni massime di trazione e
compressione
σt = σ0 +σm
= 6.4 + 69
σc = σ0 −σ m
= 6.4 − 69
σ t = 75 MPa
• Posizione dell’asse neutro
0=
P My0
−
A
I
P I
0.1017cm 4
y0 =
= (6.4 MPa )
AM
11.52 N ⋅ m
σ c = −63 MPa
y0 = 0.56 mm
4- 20
Esercizio svolto 4.8
Le massime tensioni ammissibili per il
collegamento in ghisa sono 30 MPa in
trazione e 120 MPa in compressione.
Determinare la massima forza P che può
essere applicata al collegamento.
SOLUZIONE:
• Determinare il carico equivalente centrato
e il momento flettente.
• Sovrapporre la tensione dovuta al carico
centrato e la tensione dovuta alla flessione.
Dall’esercizio svolto 4.2,
A = 3 ×10−3 m 2
Y = 0.038 m
I = 868 ×10−9 m 4
• Valutare il carico limite per le tensioni
ammissibili a trazione e compressione.
• Il carico massimo ammissibile è il minore
dei due.
4- 21
Esercizio svolto 4.8
• Determinare i carichi equivalenti
d = 0.038 − 0.010 = 0.028 m
P = carico centrato
M = Pd = 0.028 P = momento flettente
• Sovrapporre le tensioni dovute ai carichi equivalenti
(0.028 P )(0.022) = +377 P
P Mc A
P
+
=−
+
A
I
3 × 10−3
868 × 10−9
(0.028 P )(0.022) = −1559 P
P Mc
P
σB = − − A = −
−
A
I
3 × 10−3
868 × 10 −9
σA = −
• Valutare I carichi limiti per le tensioni ammissibili
σ A = +377 P = 30 MPa
P = 79.6 kN
σ B = −1559 P = −120 MPa P = 77.0 kN
• Massimo carico ammissibile
P = 77.0 kN
4- 22
Flessione non simmetrica
• L’analisi della flessione semplice è stata
limitata a travi soggette a coppie flettenti
agenti in un piano di simmetria.
• La trave rimane simmetrica e si inflette nel
piano di simmetria.
• L’asse neutro coincide con l’asse della
coppia.
• Ora considereremo il caso in cui le coppie
flettenti non agiscono in un piano di
simmetria.
• Non possiamo assumere che la trave si
infletta nel piano delle coppie.
• In generale, l’asse neutro della sezione non
coinciderà con l’asse della coppia.
4- 23
Flessione non simmetrica
• 0 = Fx = ∫ σ x dA = ∫ ⎛⎜ − σ m ⎞⎟dA
y
⎝ c
⎠
or 0 = ∫ y dA
l’asse neutro passa per il baricentro
Vogliamo determinare le condizioni
sotto cui l’asse neutro di una sezione di
forma arbitraria coincide con l’asse
della coppia come mostrato.
• Le forze e momenti risultanti
della distribuzione delle forze
elementari nella sezione devono
soddisfare
Fx = 0 = M y M z = M = coppia applicata
•
⎛ y
⎞
M = M z = − ∫ y⎜ − σ m ⎟dA
⎝ c
⎠
σ I
or M = m
I = I z = momento d ' inerzia
c
definisce la distribuzione delle tensioni
•
⎛ y
⎞
0 = M y = ∫ zσ x dA = ∫ z ⎜ − σ m ⎟dA
⎝ c
⎠
or 0 = ∫ yz dA = I yz = momento deviatorico
il vettore momento deve essere diretto
lungo un asse centrale principale
d’inerzia
4- 24
Flessione non simmetrica
Applichiamo la sovrapposizione per determinare le
tensioni nel caso generale di flessione non simmetrica.
• Scomponiamo il vettore momento lungo gli assi
centrali principali d’inerzia.
M z = M cosθ
M y = M sin θ
• Sovrapponiamo le distribuzioni di tensione
σx = −
Mzy Myy
+
Iz
Iy
• Lungo l’asse neutro,
σx = 0 = −
tan φ =
(M cosθ ) y + (M sin θ ) y
Mzy Myy
+
=−
Iy
Iz
Iy
Iz
y Iz
tan θ
=
z Iy
4- 25
Caso generale di sforzo normale eccentrico
• Consideriamo una trave rettilinea soggetta a
forze eccentriche uguali ed opposte.
• La froza eccentrica è equivalente ad una forza
centrata e a due coppie.
P = forza centrata
M y = Pa
M z = Pb
• Per il principio di sovrapposizione,la
distribuzione di tensioni combinata è
σx =
P Mz y M yz
−
+
A
Iz
Iy
• L’asse neutro può essere determinato dalla
condizione
My
P
Mz
y−
z=
Iz
Iy
A
4- 26