16-sforzo normale centrato e flessione semplice

SOLIDO DI SAINT-VENANT
Si definisce «Solido di Saint-Venant» un solido prismatico ottenibile dalla
traslazione in direzione z di una figura piana. La frontiera del solido è
rappresentata da una superficie pressoché cilindrica detta superficie laterale e
dalle sezioni terminali dette basi.
Il solido è considerato libero nello
spazio. Ne segue che i carichi ad esso
SB
SL
applicati devono costituire un sistema in
equilibrio.
V
z
SB
y
x
In particolare si ipotizza:
•Assenza di forze di volume:
f = 0 in V
•Assenza di forze di superficie applicate
alla superficie laterale:
p = 0 su S L ; p ¹ 0
•Si ricorda che:
su S B
p = s n = C nT s
1
SOLIDO DI SAINT-VENANT
Nello spirito del metodo semi-inverso, la soluzione del problema dell’elasticità è
stata ottenuta da Saint-Venant ipotizzando che sui piani paralleli all’asse
baricentrico passanti per un qualunque punto interno siano nulle le componenti
normali dello sforzo e quelle tangenziali ortogonali all’asse (σx = σy = τxy = 0) .
T
n= éê 0 0 1ùú
ë
û
T
n= éê0 0 -1ùú
ë
û
V
x
z
y
• equazioni indef. di equilibrio:
• equazioni costitutive:
τxz
Componenti
non nulle
σz
τxz τyz
σy τ
xy
σx
τxy
Componenti
nulle
¶τ zy
¶ τ zx
¶σ z
= 0;
+
+
= 0.
¶z
¶x
¶y
¶z
τ zy
ν
σz
τ
εx = ε y = - σz ; εz =
; γ xy = 0; γ zy =
; γ zx = zx .
E
E
G
G
¶ τ zx
= 0;
¶z
¶τ zy
τyz
¶u y
¶u x
¶u z
¶ux ¶u y
εx =
; εy =
; εz =
; γ xy =
+
= 0.
¶x
¶y
¶z
¶y
¶x
• equazioni indef. di compatibilità:
¶u y ¶u z
¶u
¶u
γ zy =
+
; γ zx = x + z ;
¶z
¶y
¶z
¶x
2
SOLIDO DI SAINT-VENANT
Postulato di Saint-Venant: se ad un insieme di forze
agenti su una piccola parte della superficie del solido se
ne sostituisce un altro equivalente distribuito in modo
diverso sulla medesima superficie, allora gli effetti dei
due sistemi di forze sono identici ad una distanza dalla
superficie di applicazione maggiore della massima
dimensione lineare della superficie di applicazione delle
forze.
3
SOLIDO DI SAINT-VENANT
In virtù del Postulato di Saint-Venant, le basi del solido prismatico possono
essere caricate da forze qualunque purché tra loro equivalenti.
Mz
G
Mx
N
z
Tx
dV
My
dx
z
σz
τzx
x
τzy
x
Ty
y
y
Sforzo normale:
ò σ dA
= ò τ dA
= ò τ dA
N=
z
Momento torcente:
Tx
zx
Ty
zy
A
zy
zx
A
Momento flettente X:
Mx
A
Taglio secondo Y:
ò (τ x - τ y)dA
= ò σ ydA
= -ò σ xdA
4
Mz =
A
Taglio secondo X:
dA
z
A
Momento flettente Y:
My
z
A
SOLIDO DI SAINT VENANT: SFORZO NORMALE E FLESSIONE
La particolarità del problema di Saint-Venant consente di determinare in modo
semplice le soluzioni del problema dell’equilibrio elastico.
Nel caso di Sforzo Normale e Momento Flettente si è in uno stato di sforzo
tensionale monoassiale.
σz ¹ 0; σ x = σy = τxy = τ xz = τ yz = 0
N
G
Mx
z
σz
My
x
z
x
y
y
Applicando il metodo di soluzione alle tensioni del problema dell’equilibrio
elastico, si ha:
¶ σz
= 0 equazione indefinita di equilibrio:
¶z
2
2
2
¡Ds =0
Þ
¶ σz ¶ σz
¶ σz
=
=
=0
2
2
¶x
¶y
¶x ¶y
La soluzione sarà del tipo: σz
= ax + by + c
5
SOLIDO DI SAINT VENANT: SFORZO NORMALE E FLESSIONE
Ø Componenti speciali della tensione, soluzione del problema:
σz = ax + by + c;
σ x = σy = τ xy = τ xz = τ yz = 0
Ø Componenti speciali della deformazione conseguenti:
εx = εy = -
ν
σ z;
E
εz =
1
1
σ z = [ax + by + c ];
E
E
γ xy = γ zx = γ zy = 0
ØComponenti dello spostamento, a meno di moti rigidi, in quanto il corpo non è
vincolato, soluzione delle equazioni indefinite di equilibrio:
a 2 ν éa 2
ù
2
ux = z - ê (x - y ) + bxy + cx ú
úû
2E
E êë 2
b 2 νé
b 2
ù
2
uy = z - êaxy + (y - x ) + cy ú
úû
2E
E êë
2
1
u z = (ax + by + c ) z
E
6
SFORZO NORMALE CENTRATO
Soluzione Saint Venant: σz = ax + by + c
Asse della trave
N=
ò
σ zdA =
A
ò (ax + by + c )dA = aSy + bSx + cA = P
c=
A
ò σ ydA = ò (ax + by + c )ydA = aI + bI +cS = 0
= -ò σ xdA = -ò (ax + by + c ) xdA = -aI - bI - cS =0
Mx =
xy
z
A
My
Baricentro
x
x
A
x
z
A
A
xy
y
P
A
a=0
b=0
Soluzione: σz = P A
7
SFORZO NORMALE CENTRATO
Soluzione: σz = P A
x
z
y
z
σy = 0
σx = 0
σz =
P
A
INSTABILITA’
σ z,crit =
l0
Pcrit =
Pcrit
1
P
uz (x , y, z ) = (ax + by + c ) z ; a = 0, b = 0, c =
E
A
l02
1
PL
δ = u z (x , y, L ) = (ax + by + c ) L =
E
EA
A
π2EImin
8
FLESSIONE RETTA
pianodisollecitazione
x
x
y
z
Asse di sollecitazione
Soluzione Saint Venant: σz = ax + by + c
y
σz =
M
y
Ix
asse neutro
G
σz
M
Soluzione: σ z =
y
Ix
N = ò σzdA = ò (ax +by + c)dA = aSy + bSx + cA = 0
c =0
Mx = ò σzydA = ò (ax + by + c) ydA = aIxy + bIx + cSx = M
b=
A
A
A
A
My = -ò σzxdA = -ò (ax + by + c)xdA = -aIx -bIxy -cSy =0
A
M
Ix
a =0
A
9
FLESSIONE RETTA
M
Soluzione: σ z =
y
Ix
Schemi
alternativi
Comp. spostamento
νM
xy
EI x
M 2
νM 2
u y (x ,y , z ) = z (y - x 2 )
2EI x
2EI x
M
u z (x ,y ,z ) =
yz
EI
Superficie
x
Comp. deformazioni
u x (x ,y ,z ) = -
neutra
Asse neutro
G
Asse neutro
¶ux (x ,y ,z )
νM
εx =
=y
¶x
EI x
¶uy (x ,y ,z )
νM
εy =
=y
¶y
EI x
¶u z (x, y, z )
M
εz =
=
y
¶z
EI x
10
FLESSIONE RETTA
Rappresentazione piana delle tensioni normali nella flessione retta e
valori di estremo
M
Soluzione: σ z =
y
Ix
σ max =
M
M
h1 =
;
Ix
Wx 1
σ min = -
M
M
h2 = .
Ix
Wx 2
Wx 1 ,Wx 2 moduli di resistenza
11
FLESSIONE RETTA
M
Ix
DA SISTEMARE
Soluzione:
σz =
y
σ max
M
M
=
h1 =
;
Ix
Wx
1
σ min
M
M
= - h2 = .
Ix
Wx 2
Wx 1 ,Wx 2 moduli di resistenza
12
FLESSIONE RETTA
13
FLESSIONE RETTA
Nella flessione le sezioni trasversali si mantengono sempre piane
M1, M 2, M 3
-h0
z
y
M 3h0
¶uz (y, z )
ε3 =
=y
=h
¶z
0
EI x
z =z
uz (x , y , z ) = uz (y ) =
M3
EI x
yz
14
FLESSIONE RETTA
Ml
Dϕ =
EI x
y
l
z
Comp. spostamento linea d'asse
ux (0, 0, z ) = 0
M 2
uy (0, 0, z ) = z
2EI x
uz(0, 0, z ) = 0
é
¶2uy ù
ê1 +
ú
2 ú
ê
¶z û
ρ=-ë
¶2uy
¶ uy
¶z
3/ 2
¶z 2
=1
ρ=-
ipotesi piccoli spostamenti
1
1
M
=
Þκ=
M
¶ uy
EI x
EI x
¶z 2
2
15
FLESSIONE RETTA (Coppia interna e Plasticità)
σz
c
c
σz
y
Coppia interna: Fh º M
F = ò σz ydA =ò σz ydA
A1
σz
σz
F
A2
x
F
(a )
σz
Sezione rettangolare:
Mc b
M b
F=
=
I x 2 Wx 2
F
x
(d )
F
σz
16
FLESSIONE RETTA (Plasticità)
σz
σz
Quando nella trave di Bernoulli-Eulero si
supera, nella sezione inflessa, il momento
limite elastico la sezione si plasticizza.
Quando poi la sezione è interamente
plasticizzata si forma la cerniera plastica.
Si hanno così rotazioni a momento
costante sino alla rottura che avviene
quando oltre il momento anche la
curvatura raggiunge il valore limite.
Cerniera plastica
M ( B) = M 0
Comportamento elasto-plasico
M Me
σz
M e < M (B ) < M 0
Comportamento elastico lineare
σs
σz
σs
σs
σs
κ
κe
M ( B) = PL ≤ M e
17
FLESSIONE DEVIATA
x e y assi centrali d’inerzia
α
z
x
x
x
y
z
y
y
x
x
x
asse neutro
y
σ'z =
M cos α
y
Ix
y
σ''z = -
Msenα
x
Iy
y
σz = σ'z + σ''z =
M cos α
Msenα
yx
Ix
I y 18
FLESSIONE DEVIATA
Rappresentazione piana delle tensioni normali nella flessione deviata con x ed y
assi centrali d’inerzia
Soluzione: σ z =
M cos α
Msenα
yx
Ix
Iy
Equazione asse neutro (σz(x,y)=0)
Ix tanα
y=
x
Iy
19
FLESSIONE DEVIATA- x e y assi baricentrici qualunque
M º Mx
I xI y - I xy2
M Iy
I xI y - I xy2
σz
Soluzione:
Componenti spostamento asse trave
a 2
b 2
ux = z ; uy = z ; uz = 0
2E
2E
G
M
e
b=
x
σz =
Asse di solle
citazion
a =-
M Ixy
M Iy
I x Iy - I
Equazione asse neutro:
y=
2
xy
I xy
Iy
y
yx
As
se
ne
utr
o
M I xy
Ix I y - I
2
xy
x