Teoria elementare degli insiemi

Luca Lussardi
Appunti di Analisi I
Teoria elementare degli insiemi
Per insieme si intende una collezione, un raggruppamento di elementi, considerati nella loro
totalità. Se un elemento x appartiene all’insieme X si scrive anche x ∈ X; se invece x non
appartiene ad X, la notazione usata x ∈
/ X.
Spesso risulta comodo denotare un insieme elencando i suoi elementi (specie per gli insiemi finiti),
ad esempio X = {a, b, c} è l’insieme che ha come elementi le lettere a, b e c.
Nel seguito verrà utilizzato il simbolo ∅ per indicare l’insieme vuoto, ovvero l’insieme che non ha
elementi.
Dato un insieme X si dice che Y è un sottoinsieme di X se risulta vera l’implicazione
x ∈ Y =⇒ x ∈ X.
In tal caso si scrive Y ⊆ X.
La nozione di sottoinsieme permette di enunciare una condizione necessaria e sufficiente per
l’uguaglianza tra due insiemi, detta principio di estensionalità:
X = Y ⇐⇒ X ⊆ Y e Y ⊆ X.
Questo principio, che a prima vista può sembrare artificioso, risulta utile quando si deve dimostrare l’unicità di un insieme X i cui elementi soddisfano una certa proprietà: basta supporre
che X non sia unico, ovvero che esistano X1 e X2 con le propriet di X, e dimostrare, per
estensionalità, che necessariamente X1 = X2 .
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Operazioni tra insiemi
Vediamo per prima l’operazione di unione: dati due insiemi X e Y sia
X ∪ Y = {x : x ∈ X oppure x ∈ Y }.
Si dice che X ∪ Y è l’unione tra X ed Y . La seguente figura mostra il signifcato dell’unione tra
due insiemi:
Un’altra operazione di notevole interesse è l’intersezione tra insiemi: dati due insiemi X ed Y sia
X ∩ Y = {x : x ∈ X e x ∈ Y }.
Si dice che X∩Y è l’intersezione tra X ed Y . La seguente figura mostra il significato dell’intersezione
tra due insiemi:
È possibile considerare anche la differenza tra due insiemi: dati due insiemi X e Y con X ⊆ Y ,
sia
Y \ X = {x ∈ Y : x ∈
/ X}.
Si dice che Y \X è la differenza tra X e Y . La seguente figura mostra il significato della differenza
tra due insiemi:
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Talvolta l’insieme Y \ X si dice anche complementare di X in Y , e viene anche denotato semplicemente con X c , quando non vi sia ambiguità su quale sia l’insieme Y .
Esempio: Si considerino i due insiemi X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Y = {2, 3, 7, 9}. Allora si ha
che
X ∪ Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
e
X ∩ Y = {2, 3}
mentre non è consentito operare una differenza dal momento che non risulta X ⊆ Y nè Y ⊆ X.
Esempio: Si considerino l’insieme P dei numeri naturali pari e l’insieme Q dei numeri naturali multipli di 4; allora risulta Q ⊆ P da cui
P ∪ Q = P,
P ∩Q=Q
e
P \ Q = {numeri pari che non sono multipli di 4}.
Esempio: Si dimostri che per ogni terna di insiemi X, Y, Z si ha X ∪(Y ∩Z) = (X ∪Y )∩(X ∪Z).
Volendo applicare il principio di estensionalità si comincia con il provare che
X ∪ (Y ∩ Z) ⊆ (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z).
Sia x ∈ X ∪ (Y ∩ Z); allora x ∈ X oppure x ∈ Y ∩ Z, ovvero x ∈ Y e x ∈ Z. In ogni caso
x ∈ X ∪ Y e x ∈ X ∪ Z, e quindi x ∈ (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z). Viceversa, per concludere, basta provare
che
(X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z) ⊆ X ∪ (Y ∩ Z).
Sia x ∈ (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z); allora x ∈ X ∪ Y e x ∈ X ∪ Z. In ogni caso x ∈ X; se x ∈
/ X, allora
deve essere x ∈ Y ∩ Z, per cui x ∈ X ∪ (Y ∩ Z) che è la conclusione.
L’insieme delle parti
Un insieme molto importante dal punto di vista teorico è l’insieme delle parti di un insieme dato.
Dato un insieme X, si denota con P (X) l’insieme detto delle parti di X ed è l’insieme che ha
come elementi i sottoinsiemi di X, ovvero si ha
Y ∈ P (X) ⇐⇒ Y ⊆ X.
Esempio: Dato l’insieme X = {1, 3, 5}, si scrivano gli elementi dell’insieme P (X). L’insieme
vuoto è sottoinsieme di ogni insieme, per cui un primo elemento di P (X) ∅; tutti i sottoinsiemi
di X che hanno solo un elemento sono dati da: {1}, {3}, {5}. Vi sono poi i sottoinsiemi che
contengono due elementi, e si ha {1, 3}, {1, 5} e {3, 5}. Infine l’unico sottoinsieme di X che ha
tre elementi X stesso. Si ha quindi
P (X) = {∅, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, X}.
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Prodotto cartesiano di insiemi
Un’ operazione tra insiemi molto importante dal punto di vista teorico è il prodotto cartesiano di
insiemi. Dati due insiemi X ed Y il loro prodotto cartesiano X × Y viene definito come l’insieme
delle coppie ordinate (x, y) con x ∈ X e y ∈ Y . In simboli si ha
X × Y = {(x, y) : x ∈ X e y ∈ Y }.
Si osservi che un elemento di X × Y è una coppia ordinata, e non semplicemente un insieme
costituito da due elementi; ovvero la coppia (x, y) non coincide con la coppia (y, x), tranne nel
caso in cui si abbia x = y.
Esempio: Siano dati gli insiemi X = {a, b, c} e Y = {b, c}. Allora si ha
X × Y = {(a, b), (b, b), (c, b), (a, c), (b, c), (c, c)}.
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