ESAME DI STATO DI Indirizzo Scie ESAME DI STATO DI LICEO

Liceo Scientifico Tecnologico - Esame di stato 2011/2012
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ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2012
Indirizzo Scientifico-Tecnologico
Scientifico
CORSO SPERIMENTALE - Progetto "BROCCA"
Tema di: FISICA
trascrizione del testo e redazione soluzione di Quintino d’Annibale
Secondo tema
II candidato, dopo aver spiegato il concetto di capacitàà elettrica e il funzionamento di un condensatore, ne
descriva i processi di carica e di scarica attraverso un resistere trattando, in particolare, le relazioni
matematiche che regolano tali processi e le trasformazioni energetiche in gioco.
Risolva poi il problema che segue.
Nel circuito riportato in figura l'interruttore T può
può essere spostato nelle posizioni 1 e 2. Inizialmente T si trova
nella posizione 1 e il sistema costituito dai tre condensatori di capacità C1 = 10 µ.F,
.F, C: = 14 µF e C3 = 8 µF
è caricato da un generatore fino a raggiungere ai suoi capi la d.d.p. di 10 V. Successivamente, T è spostato
nella posizione 2 e i condensatori si scaricano attraverso i tre resistori R1, R2, e Rx.
Conoscendo i valori delle resistenze R1 = 3 MΩ e R2 = 1 MΩ,, il candidato calcoli il valore di Rx
R in modo che la
differenza di potenziale ∆VAB ai capi del sistema di resistori sia il 36,8% del suo valore massimo dopo 18
secondi dall'inizio del processo di scarica. Calcoli, inoltre, l'energia dissipata per effetto Joule dall'insieme
dei tre resistori e, in particolare, quella dissipata dal resistore
resist Rx
Durata massima della prova: 6 ore.
E' consentito l'uso di tavole numeriche e della calcolatrice tascabile, non programmabile e
grafica.
Non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.
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Soluzione
Il condensatore è un componente elettrico, composto da due armature metalliche (piastre o piatti) caricate di
segno opposto, tra le quali vi è la possibilità di inserire un dielettrico ( mezzo materiale isolante), esso
immagazzina l'energia nel campo elettrostatico formatosi fra le armature, accumulando sulle armature, una certa
quantità di carica elettrica. In C.C. Se colleghiamo un condensatore ai poli di una
batteria il polo positivo trasferisce sull’armatura ad esso collegato, una carica +q,
mentre l’altra armatura si carica di una quantità –q, instaurando tra di esse un
campo elettrico E (come in figura), il processo di carica sarà accompagnato da un
aumento di potenziale sulle armature fino a raggiungere il potenziale dei relativi
poli di collegamento e, sarà concluso quando le armatura avranno raggiunto tale
valore, infatti non vi sarà più campo elettrico, indispensabile a spostare le cariche da
e verso le armature.
Lo schema tipico a cui spesso ci si riferisce e quello di figura (condensatore piano o
a piatti paralleli), tuttavia i concetti valgono indipendente dalla forma geometrica del condensatore.
Si dimostra che applicando una d.d.p. ai sui estremi, essa si caricherà con un valore q tale che
∆
(1)
Definita capacità elettrica del condensatore, o semplicemente capacità, essa dipende esclusivamente dalle
caratteristiche geometriche del condensatore stesso (area, distanza tra i piatti) e dal dielettrico immesso tra le
la (1) si può scrivere
armature. Inoltre considerato che ∆
(2)
L’unità di misura di C nel S.I., è il Farad: 1
ai suoi sottomultipli 1
10
il Farad è una unità estremamente grande, pertanto si ricorre
10
Analogie con la Capacità elettrica, si trova in quella Termica in cui la quantità di calore che un corpo assorbe o
cede è proporzionale al livello termico raggiunto, o anche nel caso idraulico di un contenitore la cui capacità è
legata alla quantità di liquido versato ed all’altezza raggiunta nel contenitore.
Calcolo della capacità di un condensatore piano:
Scelta la sup. Gaussiana di figura, applicando la legge di Gauss
ad un piatto del condensatore si ha:
·
(3)
Trascurando l’effetto ai bordi ed essendo E costante si ha:
(4)
Inoltre
!
"%
· #$
#
Sostituendo la (4) e la (5) nella (2) si ha:
· # .
&& '#(
)0
(5)
!
/0
-
"
-
· #$ · *(&+0,
# .
(6)
Il funzionamento di un condensatore, la richiesta è ambigua, infatti non è chiaro cosa l’estensore vuole intendere
con funzionamento del condensatore, forse il modo in cui si immagazzina l’energia nel campo E? o il suo utilizzo
nei casi di corrente C. e C.A.? o anche i tipi di collegamento serie/parallelo?
Nel dubbio chiariamo ogni punto.
In parte si è già risposto alla domanda, con le considerazioni precedenti, analizziamo il caso di funzionamento in
C.A. in questo caso la carica avviene come per la C.C. ma con inversione di segno costante sulle armature, inoltre
in C.A. un condensatore ha l’effetto di anticipare la corrente rispetto alla tensione di 90° .
Analizziamo l’energia immagazzinata nel campo elettrico E
Si può considerare l’energia Potenziale elettrica immagazzinata nel campo E come il lavoro svolto per caricare il
condensatore (lavoro svolto dal generatore per spostare le cariche da un piatto all’atro), questa energia come quella
immagazzinata da una molla può essere recuperata se colleghiamo il condensatore carico ad un circuito es. una
resistenza R.
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Il lavoro per spostare la carica dq sarà:
#1
Quella per portare la carica totale q è data da:
·#
(7)
3
2 " #1 " · #
" #
" ·#
Questo lavoro sarà immagazzinato come energia potenziale Ep
(8)
3
4
(9)
Collegamenti serie parallelo
Data una combinazione di condensatori collegati tra loro, è sempre possibile sostituire detta combinazione con un
condensatore equivalente che produce gli stessi effetti della combinazione (ha la stessa capacità).
Collegamento in parallelo: tutti i condensatori hanno applicata la stessa d.d.p. agli estremi è possibile dimostrare
che :
7
6
5
+10,
!
!8
Collegamento in serie: i condensatori hanno tutti la stessa carica e la somma delle d.d.p. applicata ad ognuno è
uguale a quella della combinazione, si può dimostrare che:
7
1
6
5
!8
1
+11,
!
Processi di carica e di scarica
• Carica: analizziamo il circuito di figura, ponendo il
deviatore su a, il generatore applicherà una f.e.m. ξ e
caricherà il condensatore di capacità C nel circuito è
presente una resistenza R. Si vuole conoscere come variano
nel tempo (processo di carica) q(t); i(t); Vc(t).
Applichiamo la legge delle maglie al circuito:
9:
0 ;#(<
-
:
Essendo:
9
-
Dalla (13), derivando q(t) rispetto al tempo si ha:
+D,
Inoltre
F
GH
E ;1
:+D,
+D,
I
J
K
A/J
∞ E
(14)
@
(15)
M
(16)
D/9
E ;1
Le condizioni al contorno sono: per ND O 0 P +0,
E;:∞ 0;
(13)
0
-A
L’equazione differenziale 14) ha soluzione:
+D,
(12)
&: B>:
-A
La (12) diventa:
è 1> #. #. . *@
@
0; :+0,
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(17)
I
J
;
+0,
0R SD O ∞ P +∞,
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• Scarica: spostando il deviatore su b, il condensatore inizierà la sua fase di scarica sulla resistenza R, ricordando
che V0 = ξ, applicando nuovamente la legge delle maglie, si ha:
9
-
U
-A
0
(18)
L’equazione differenziale ha soluzione: +D,
:+D,
A/J
V
J
J
+A,
W +D,
Inoltre
A/J
(19)
F
GH 1
V
A/J
Le condizioni al contorno sono: per ND O 0 P +0,
0;:∞ 0;
A/J
+,
(20)
A/J
(21)
E; :+0,
∞ E
I
J
;
+0,
R SD O ∞ P +∞,
IL PROBLEMA
•
CALCOLO DI RX
Come evidenziato dal testo, i condensatori si caricano quando T viene spostato in posizione 1 e si scarica quando
è in posizione 2.
Il circuito così costituito, può essere schematizzato come un RC in fase di scarica e, con C ed R valori equivalenti.
Nella parte precedente si sono già analizzate, le fasi di carica e scarica del condensatore, per quanto già esposto
precedentemente per la scarica del condensatore, si ha:
+D,
A/J
E
E
9
:+D,
A/J
In cui RC = τ (costante di tempo capacitava)
Nel caso specifico: f.e.m. del generatore ξ = V0 ; R = Req ;
cui la precedente diventa:
:+D,
95
A/X
A/X
P 95 :+D,
o anche
Il problema impone
τ
V(18)=36,8%V0 = 3,68V
3,68
Quindi
]/X
10
Req Ceq = τ e 95
X
]/X
P 0,368
18&
a
`
ln+0,368,
Pertanto
A/X
+D,
In cui l’incognita è proprio la
C = Ceq per
1 P`
passando ai logaritmi
18&
bc
In cui Req è funzione di Rx, proprio il valore da ricercare.
Per determinare Rx occorre definire Req e Ceq
I condensatori 1 e 2 sono in parallelo la loro capacità equivalente è:
C12=C1+C2 = (10µF + 14µF) = 24µF
C3 è in serie a C1 e C2 quindi:
1
1
1
U
1
d
Il segno meno, indica solo che la carica diminuisce nel tempo, pertanto è possibile utilizzare il valore assoluto ai fini del problema .
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U
d
24 8
+24 U 8,
d
Per la Req si determina facilmente che:
95
Sostituendo alla precedente si ha:
9 U
9 9g
9 9g
9 U 9g
+3iΩ
9 U
`
9 9g
9 U 9g
18&
6
5
9 ,+9 U 9g ,
3 · 10 Ω
+3
sviluppando e raccogliendo a fattor comune si ha:
9g +9
•
2iΩ,
6
1,iΩ+9 U 9g ,
6iΩ
1iΩ
6iΩ . 9g
3iΩ
6iΩ
CALCOLO DELLA ENERGIA DISSIPATA PER EFFETTO JOULE
Dalle 3 resistenze
Come spesso accade nei temi di fisica, non è affatto chiaro che cosa si richiede ai fini della energia
dissipata, se bisogna calcolare l’energia al tempo t=18s (così come da richiesta del punto precedente) o
per l’intero processo.
Considerato che l’energia dissipata per effetto joule dal sistema resistivo, è uguale a quella persa dal
sistema capacitivo, quindi il calcolo può essere condotto calcolando la differenza tra l’energia
immagazzinata dal sistema capacitivo finale ( dopo 18s) e quello iniziale (t=0):
1
1
1
K
5
5
2
2
2 5
Inoltre V valore finale della d.d.p. al tempo t=18s è uguale a 36,8%V0, quindi
Δ
W
W
W!
M
1
1
+0,368
+ 0,864, 2,59 · 10 m n
1 ,
6 · 10
· 10
259 n
5
2
2
Nel caso in cui si voleva determinare l’energia dissipata nell’intero processo esso sarebbe stato uguale
alla energia iniziale immagazzinata dal sistema capacitivo essendo quella finale uguale a 0:
Δ
W
Δ
W
W
1
2
0
W!
1
2
5
5
1
6 · 10
2
· 10
3,00 · 10 m n
Da Rx
1° metodo
Se consideriamo di nuovo lo schema resistivo, abbiamo che R1x (equivalente del parallelo R1 e Rx ) è data
da:
9
g
9 9g
9 U 9g
2iΩ
ed è il doppio di R2=1MΩ che è ad esso, in serie,
quindi, la potenza e di conseguenza l’energia dissipata, è proporzionale alle rispettive resistenze, pertanto
si ha:
g
2
2
Δ
3
W
2
2,59 · 10 m n
3
1,73 · 10 m n+2,
(2) Si può dimostrare facilmente, come E1x rappresenti i 2/3 dell’intera energia persa dal sistema capacitivo nei 18s, in quanto
come sopra detto una dissiperà il doppio dell’altra.
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Tornando ad R1 e Rx e considerando che il primo è la metà del secondo, possiamo concludere in virtù di quando già
detto sopra sull’energia dissipata e della relazione:
3
J
2
D che
2
3
g
2° metodo
g
.
1
3
g
1
1,73 · 10 m n p 5,77 · 10 q n
3
g
Allo stesso risultato si poteva pervenire integrando la potenza istantanea tra t=0 e t=18s.
Dalle considerazioni precedenti su R1x e R2 Si vede come la d.d.p. ai capi di R1x è il doppio di R2 quindi la
d.d.p. ai capi di Rx è i 2/3 di VAB.
r+D,
9
2
3
t+D,
Sostituendo in Px(t) si ha:
t
u
A
4
99g
g
4
`
v
·
99g
2
O 18 &: B>:
A
X
A A
Xw
#D
+D, P
9g
3° metodo
· ]
] y
A
X
9g
A
X
4
`
x
·
99g
2
4+10 , 18&
x1
9 · 6 · 10 · 2
t
2
3
g +D,
4
99g
g
rg +D,
g
*:s:*( rg +D,
' 1 *>&( &
A
X
U
`
·
2
Xy
4 `
x1
99g 2
A
Xy
zD
p 5,77 · 10 q n +*. #. #,
O anche considerando il differenziale dell’energia dissipata per effetto Joule dalla Rx in dt:
#
g
9g S:g +D,{ #D
E integrando, si ottiene il valore cercato. Tuttavia deve essere considerato che nota la corrente istantanea che
circola nel circuito, essendo R1 e Rx in parallelo la intensità che attraversa Rx, è la metà di quella di R1, e di
conseguenza 1/3 i(t) dato da:
1
A/J
A/X
:+D,
P
:g +D,
9
3 95
Elevando al quadrato, sostituendo nella dEx ed eseguendo l’intregrale definito tra 0 e t=18s, si ha:
S:g +D,{
g
A
u 9g S:g +D,{ #D
9g
x
A
u 9g ~
`
·
2
995
2
· 10 +0,864,
3
1
9 95
A
X
U
`
·
2
|
1
3 95
A/X
Xy
A/X
• #D
9g
995
1
9 95
}
9g
9 95
`
x1
2
5,77 · 10 n +*. #. #,
q
u
A/X
A
A
Xy
A/X
#D
N
`
2
6 · 10 · 10 18
x1
9 · 9 · 10 · 2
Q. d’Annibale
Pag. 6
9g
9 95
A/X
R
A
· ]
] y