m - INFN Roma

Esercitazioni del 28/05/2010
Problema 1)
Calcolare il momento di inerzia di una lamina omogenea (densita’ e spessore uniformi), a
forma di triangolo rettagolo di cateti a e b, la cui massa e’ M, rispetto al cateto a.
Soluzione
La definizione del momento di inerzia e’
I = ∫∫∫ dmh 2
volume
In un sistema di riferimento che ha l’ asse y coincidente con il cateto a la coordinata x
rappresenta la distanza dall’ asse di rotazione e l’ elemento di massa in funzione di x puo’
essere scritto come
xb ⎞
⎛
dM = ρsy′dx = ρs⎜ b − ⎟dx
a ⎠
⎝
e la massa e’
M = 1 / 2absρ
Quindi
b
xa ⎞
⎛
M ∫ x 2 ρs⎜ a − ⎟dx
0
b2 M
b ⎠
⎝
I=
=
1 / 2absρ
6
dx
a
y’
b
Problema 2)
Una sbarra sottile e omogenea di massa M e lunghezza L forma un angolo θ con una retta
a, passante per il centro di massa. Calcolare il momento di inerzia Ia della sbarra rispetto
alla retta a.
Soluzione
Per il calcolo del momento di inerzia e’
sufficiente accorgersi che la distanza dell’
elementino dm dall’ asse di rotazione e’
h = x sin θ
dove x e’ la distanza dal centro di massa e
corrisponde alla variabile su cui
integriamo.
Dunque
Ia = ∫
L/2
dmh 2 = ∫
−L / 2
=
L/2
λdxx 2 sin 2 θ =
h
dm
x
θ
−L / 2
λL3 sin 2 θ
12
La densita’ lineare λ corrisponde a λ = M / L . Percio’
ML3 sin 2 θ ML2 sin 2 θ
Ia =
=
12 L
12
Problema 3)
Un sottile tubo rigido, omogeneo, di massa M, ha al suo interno, in posizione simmetrica
rispetto al tubo, un cilindretto molto corto di massa m, di diametro appena inferiore a
quello interno al tubo. Il cilindretto puo’ scorrere senza attrito dentro al tubo.
Inizialmente tutto ruota con velocita’ angolare ω0, intorno ad un asse verticale, che passa
per il baricentro del sistema. Ad un certo istante, a causa di una lievissima perturbazione,
il cilindretto si sposta dalla posizione iniziale e viene espulso dal tubo. In assenza di forze
esterne, quale e’ la velocita’ angolare ω del tubo, quando il cilindretto viene espulso? Se
il tubo e’ lungo L, quanto vale la velocita’ del cilindretto?
Soluzione
Il momento delle forze esterne calcolato rispetto al punto in cui ruota la sbarretta e’ nullo.
C’e’ infatti una forza che ha modulo diverso da zero che agisce sul sistema (la reazione
vincolare che fa in modo che il CM si sposti durante il moto) ma ha momento nullo.
Quindi il momento angolare si conserva, anche durante lo scorrimento del cilindro. Il
momento angolare e’ sempre parallelo all’asse di rotazione e vale
p(r ) = costante = Iω + mrv = Iω + mr 2ω = I + mr 2 ω
dove I e’ il momento di inerzia del tubo e r e’ la distanza del cilindretto dall’asse di
rotazione. Nello scrivere questa relazione abbiamo imposto che la velocita’ del cilindretto
sia pari a v = ωr (infatti il cilindretto ruota insieme al tubo).
Per il tubo il momento di inerzia e’
(
I =∫
L/2
dmh 2 = ∫
−L / 2
=
λL3
=
12
Quindi
L/2
)
λdxx 2 =
−L / 2
ML2
12
M
⎞
⎛ ML2
p (r ) = ⎜⎜
+ mr 2 ⎟⎟ω
⎠
⎝ 12
m
r
Nell’ istante immediatamente precedente all’ espulsione del cilindretto, esso si trova a
distanza L/2 dall’ asse di rotazione. Percio’, negli istanti iniziale e finale, il momento
angolare vale
ML2
pi =
ω0
12
⎛ ML2 mL2 ⎞
ωL2
⎟⎟ω =
(M + 3m )
p f = ⎜⎜
+
4 ⎠
12
⎝ 12
Uguagliando si ottiene
M
ω=
ω0
M + 3m
Per calcolare la velocita’ del cilindretto (e non solo la componente perpendicolare al
tubo) utilizziamo la conservazione dell’energia:
1
1
1
2
Iω0 = Iω 2 + mv 2
2
2
2
da cui:
v=
M (2M + 3m) L2ω0
4( M + 3m) 2
2
Problema 4)
Una sottile lamina, omogenea, di massa ms=2kg e larghezza l=40cm, puo’ ruotare con
attrito trascurabile intorno ad un asse fisso orizzontale passante per un lato. Inizialmente
essa si trova in quiete nella posizione di equilibrio instabile e viene quindi colpita nel CM
da una massa puntiforme m=100g avente velocita’ vp=300m/s diretta normalmente al
piano verticale formato dalla lamina. Nell’ ipotesi che il proiettile rimanga conficcato
nella lamina, si calcoli la velocita’ del sistema (lamina+proiettile) quando questo transita
nel punto piu’ basso della sua traiettoria.
Soluzione
Nell’ urto non si conserva la quantita’ di moto.
Infatti il vincolo, che permette alla lamina di
ruotare intorno all’ asse, fornisce un impulso non
trascurabile rispetto a quello fornito dalle forze
interne coinvolte nell’ urto (forza impulsiva).
Il momento angolare parallelo all’ asse calcolato
rispetto ad un punto che giace sull’ asse di
rotazione si conserva poiche’ le forze esterne
dovute al vincolo hanno momento nullo rispetto a
tale punto. Dunque per la componente del
momento angolare parallelo all’ asse di rotazione
abbiamo:
r
vp
m
ms
l
p = costante
pi = mv p
l
2
2
l ⎡
⎛l⎞ ⎤
p f = Iω + mv = ⎢ I + m⎜ ⎟ ⎥ω
2 ⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎦⎥
Con pi e p f abbiamo indicato il momento angolare prima e dopo l’ urto. Il momento di
inerzia della lamina, per il teorema di Koenig, vale
2
msl 2
m l2
⎛l⎞
+ ms ⎜ ⎟ = s
12
3
⎝2⎠
Quindi possiamo ricavare la velocita’ angolare della lamina dopo l’ urto.
mv p
mv p
ω=
=
= 54,2rad / s
2
⎛ ms m ⎞
⎛l⎞
2l ⎜
+ ⎟
I + m⎜ ⎟
3
4⎠
⎝
2
⎝ ⎠
I = I CM + ms d 2 =
Dopo l’ urto sulla lamina agiscono la forza peso e il vincolo (che pero’ non fa lavoro).
Quindi l’ energia meccanica si conserva e possiamo imporre
2
1
1 ⎛l⎞
Ei = (ms + m )gl + Iω 2 + m⎜ ⎟ ω 2
2
2 ⎝2⎠
2
1
1 ⎛l⎞ 2
2
E f = Iωb + m⎜ ⎟ ωb
2
2 ⎝2⎠
Ei = E f
Esplicitando ωb otteniamo
ωb = ω 2 +
2(ms + m )g
= 55,5rad / s
⎛ ms m ⎞
l⎜
+ ⎟
4⎠
⎝ 3
Problema 5)
Due masse identiche, collegate da una sbarretta rigida di massa trascurabile, poggiano, in
quiete, su un piano orizzontale privo di attrito. Una terza massa, identica alle prime due,
r
scivolando sul piano con velocita’ v0 ortogonale alla sbarretta, urta una delle due masse e
vi resta saldata. Si calcoli la percentuale dell’ energia meccanica iniziale che viene
dissipata nell’ urto.
Soluzione
Il
sistema
e’
isolato
r
r
( Fe = 0; M e = 0 ) e quindi sia la
quantita’ di moto che il momento
angolare si conservano.
La velocita’ del CM e’
v
vCM = 0
3
e per la conservazione della
quantita’ di moto essa rimane
invariata dopo l’ urto.
m
m
r
v0
x12
CM
ω0
x3
m
Per il calcolo del momento angolare possiamo scegliere come polo un punto che giace
sulla retta che descrive la traiettoria del CM. Le distanze delle due masse da tale polo (e
r
dunque dal CM) proiettate nella direzione ortogonale al vettore v0 sono
l
2l
x12 = ;
x3 =
3
3
Se dunque imponiamo la conservazione del momento angolare otteniamo
l
pi = mv0
3
2
⎡ ⎛ l ⎞2
2
⎛ 2l ⎞ ⎤
p f = Iω = ⎢2m⎜ ⎟ + m⎜ ⎟ ⎥ω = ml 2ω
3
⎝ 3 ⎠ ⎦⎥
⎣⎢ ⎝ 3 ⎠
v0
2l
Calcoliamo ora l’ energia cinetica prima e dopo l’ urto.
pi = p f
⇒
ω=
Ti =
1
2
mv0
2
1
1
1 2 2 v0
1
1
1⎞ 1
v
2⎛ 1
2
T f = Trot + TCM = Iω 2 + 3mvCM =
ml
+ 3m 0 = mv0 ⎜ + ⎟ = Ti
2
2
2
23
4l
2
9
2
⎝ 6 3⎠ 2
Dunque l’ energia cinetica si dimezza.
E’ interessante notare come l’ energia cinetica rotazionale dipende da dove la massa
colpisce la sbarretta, mentre la velocita’ del CM (come e’ ovvio) no. Infatti, se ad
esempio colpiamo la sbarretta nel CM, allora non vi sara’ alcuna rotazione (il momento
angolare era nullo prima dell’ urto).
2
2