44 6. SOLLECITAZIONI RESISTENTI NEI CAMPI DI ROTTURA

6. SOLLECITAZIONI RESISTENTI NEI CAMPI DI ROTTURA
Definiti i campi di rottura è utile, prima di affrontare i problemi di progetto e verifica delle
sezioni, determinare per le rette di rottura in ciascun campo le risultanti ed i momenti
risultanti delle tensioni interne agenti sui materiali resistenti che compongono la sezione.
Per ogni retta limite di rottura tali entità rappresentano, nel rispetto dell’equilibrio alla
traslazione (lungo l’asse normale al piano della sezione) e alla rotazione (intorno all’asse
orizzontale passante per il baricentro Gc della sezione di solo calcestruzzo) una coppia di
sollecitazioni limite (N,M) che provocano la crisi della sezione.
Riportando nel riferimento (O; N,M) tutti i punti rappresentativi delle situazioni di rottura
individuate dalle infinite rette limite, si ottiene un luogo denominato “frontiera di rottura” o
“frontiera di interazione N-M” della sezione (Fig. 6.1).
M
N
(>0 compr.)
Fig. 6.1
I punti all’interno della frontiera costituiscono il “dominio ammissibile” della sezione,
ossia rappresentano, con le loro coordinate (N,M), stati di sollecitazione staticamente
ammissibili. I punti appartenenti alla frontiera configurano invece situazioni di crisi della
sezione. E’ ovvio che lo stato di sollecitazione rappresentato da un punto esterno alla
frontiera non può essere sopportato dalla sezione.
Di seguito vengono preliminarmente definiti i tipi di rottura che possono interessare una
sezione in c.a. e viene introdotto il concetto di “rottura bilanciata”. Successivamente verranno
analizzati singolarmente tutti i campi di rottura.
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
44
Si definisce rottura fragile della sezione quella che avviene quando la deformazione
nell’acciaio teso è inferiore a quella di snervamento (εs<εyd Campo 4) o quando tutta la
sezione è compressa (Campo 5).
Si definisce rottura duttile della sezione quella che avviene quando la deformazione
nell’acciaio teso è superiore a quella di snervamento (εs>εyd). Ciò si verifica nei Campi 1, 2, 3.
La rottura duttile è preferibile per tre motivi:
1) è accompagnata da notevoli deformazioni nell’acciaio teso; il calcestruzzo, non essendo
in grado di resistere a sollecitazioni di trazione, si fessura in maniera evidente mostrando
lo stato d’imminente crisi. La rottura fragile, al contrario, è improvvisa, avviene per
schiacciamento del calcestruzzo con basse deformazioni in zona tesa (l’acciaio è in
campo elastico) e, quindi, senza segni premonitori;
2) nelle strutture iperstatiche il comportamento duttile consente la ridistribuzione delle
sollecitazioni, che comporta un abbassamento dei valori massimi ed un innalzamento dei
valori minimi con conseguente incremento del coefficiente di sicurezza (la ridistribuzione
è legata alla possibilità di rotazioni plastiche della sezione);
3) una struttura duttile è in grado di assorbire una notevole quantità di energia cinetica
proveniente da un terremoto, anche di notevole intensità, sotto forma di energia di
deformazione in campo plastico. L’energia di deformazione plastica non è restituita dalla
struttura come quella elastica, ma dissipata nei cicli di isteresi.
Si definisce rottura bilanciata della sezione quella che avviene quando la deformazione
nell’acciaio è pari a εyd e quella nel calcestruzzo a εcu =0.35% (retta “d” di separazione tra i
Campi 3 e 4).
Risulta pertanto:
ξbil =ξd= xd/d = 0.65 per la qualità di acciaio B450C.
Nel seguito per i campi individuati dalle rette limite si determinano il valore dello sforzo di
compressione C nel calcestruzzo e la sua distanza “v” dal lembo maggiormente compresso.
Per semplicità si esamina solo il caso della sezione rettangolare.
Fra i tre legami costitutivi del calcestruzzo si adotta il modello “rettangolo” (stress block) in
quanto conduce ad espressioni più semplici della risultante C e della distanza “v”, con valori
non dissimili da quelli ottenibili con gli altri due modelli (parabola-rettangolo e triangolorettangolo).
Si definiscono le seguenti grandezze adimensionali: α =
C
fcdbx
e
s=
v
x
.
α ( ≤ 1) è denominato “coefficiente di riempimento” e rappresenta il rapporto tra la risultante C
di compressione nel calcestruzzo e la corrispondente risultante nel caso di tensione costante
pari a fcd.
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
45
Noti α e s sono dunque noti :
C = α fcd b x =α fcd b ξ d
v=sx=sξd
6.1.
Rottura bilanciata per flessione semplice di una sezione rettangolare a
semplice armatura
Si indica con As,bil l’area di acciaio teso necessaria affinché la rottura bilanciata avvenga
per flessione semplice (univocamente definita).
εcu
εc4
ε
=0.35%
=0.07%
O
f cd
B
v bil =sx bil
x bil
d
d
h
x bil
C
F
E
zu
D
A s,bil
T
d'
εyd
b
x
Fig. 6.2
Con riferimento alla Fig. 6.2 risulta:
x bil − α ⋅ x bil ε c 4
=
x bil
ε cu
⇒
α = 1−
εc 4
0.07%
= 1−
= 0 .8
ε cu
0.35%
Lo sforzo di compressione C vale:
C = α ⋅ fcd ⋅ b ⋅ x bil = 0.8 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ x bil = 0.8 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ d ⋅ ξbil
ed è applicato alla distanza:
v bil = s ⋅ x bil =
0.8 ⋅ x bil
= 0.4 ⋅ x bil
2
(s = 0.4)
dal bordo superiore maggiormente compresso.
Lo sforzo di trazione T, essendo l’acciaio snervato, vale:
T = fyd ⋅ A s,bil
ed è, ovviamente, applicato nel baricentro delle armature tese.
La distanza tra le rette d’azione delle due risultanti C e T (braccio della coppia interna) è
pari a:
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
46
x
⎛
z u = d − s ⋅ x bil = d ⎜⎜1 − s bil
d
⎝
⎞
⎟⎟ = d (1 − 0.4 ⋅ ξ bil )
⎠
per cui il momento resistente è:
Mu = C ⋅ z u = 0.8 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ d 2 ⋅ ξ bil (1 − 0.4 ⋅ ξ bil )
Mu = T ⋅ z u = f yd ⋅ A s,bil ⋅ d (1 − 0.4 ⋅ ξ bil ) = ρ bil ⋅ b ⋅ d 2 ⋅ f yd (1 − 0.4 ⋅ ξ bil )
avendo indicato con ρ = A s b ⋅ d il “rapporto geometrico dell’armatura”.
Dall’equazione di equilibrio alla traslazione si ricava l’armatura bilanciata:
T=C
⇒
As,bilfyd =0.8 fcd b d ξbil
As,bil = 0.8 fcd b d ξbil / fyd
e la percentuale di armatura bilanciata:
ρbil = 0.8 fcd ξbil / fyd
Per fck=28 MPa (C28/35) e fyk=450 MPa (acciaio B450C) si ha (fcd=15.87 MPa; fyd=391.3
MPa; εyd=0.19%, ξbil=0.65):
ρbil=0.0211.
Se, invece, si considera un’armatura diversa da As,bil ( ρ ≠ ρbil ), la rottura bilanciata potrà
avvenire per pressoflessione o tensoflessione, a seconda che prevalga lo sforzo di
compressione o di trazione.
In particolare:
se As<As,bil (ρ<ρbil), imponendo la rottura bilanciata si avrà T<C e, dunque, la rottura
bilanciata avverrà per pressoflessione; imponendo che la rottura avvenga per flessione
semplice, poiché lo sforzo di trazione è minore di quello corrispondente alla rottura bilanciata
(fyd As<fyd As,bil), dovrà diminuire anche C, ossia la zona compressa (x<xbil); quindi la rottura
per flessione semplice con As<As,bil avverrà nel Campo 2 o 3 (sezione debolmente armata);
se As>As,bil
(ρ>ρbil) imponendo la rottura bilanciata si avrà T>C e, dunque, la rottura
bilanciata avverrà per tensoflessione; imponendo che la rottura avvenga per flessione
semplice, poiché lo sforzo di trazione è maggiore di quello corrispondente alla rottura
bilanciata (fydAs>fydAs,bil), dovrà aumentare anche C, ossia dovrà aumentare la
zona
compressa (x>xbil); quindi la rottura per flessione semplice con As>As,bil avverrà nel Campo
4 (sezione fortemente armata).
La percentuale di armatura bilanciata indica, perciò, la massima percentuale di
armatura in una sezione soggetta a flessione semplice, a semplice armatura, affinché la
rottura sia duttile.
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
47
6.2 Campi di rottura
Campo 1 (ξ a = −∞ < ξ ≤
ξ b = 0)
Nel Campo 1 (Fig. 6.3a) la sezione è tutta tesa; per le ipotesi ammesse il cls non reagisce
e quindi risulta α(ξ ) = 0 e s(ξ ) = 0 .
O
c4
d'
A's
h
2
h
2
b
1
Gc
d
cu
B
c
a
h
2
A
As
d'
ud
b
yd
(a)
x
'
s
c4
O
(b)
(c)
d'
b
x*
b
yd
cu
O
b'
c
B
yd
Fig. 6.3
La deformazione ε s dell’armatura inferiore A s è pari a ε ud e la tensione vale
⎡
⎤
ε s − ε yd
σ s = ⎢(k − 1)
+ 1⎥ f yd = k ⋅ f yd (k=1 per trascurare l’incrudimento).
ε ud − ε yd
⎥⎦
⎣⎢
La deformazione dell’armatura superiore A ' s in corrispondenza della retta limite “b” vale
(Fig. 6.3b):
ε' s ε ud
=
d'
d
Assumendo
δ ≥ 0.06
(valore
⇒
usuale
ε' s =
d'
ε ud = δ ⋅ ε ud .
d
nelle
realizzazioni
pratiche),
consegue
ε' s ≥ 0.06 ⋅ 6.75% = 0.405% > ε yd = 0.196% ; l’armatura superiore risulta pertanto sempre
snervata in trazione in tutto il Campo 1.
Con riferimento alla generica retta limite del Campo 1 risulta:
ε' s =
x + d'
x +d
ε ud =
⎡
⎤
ε' s −ε yd
ε ud e quindi σ' s = ⎢(k − 1)
+ 1⎥ f yd .
ε ud − ε yd
ξ +1
⎥⎦
⎣⎢
ξ +δ
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
48
Le equazioni di equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave e quella di equilibrio alla
rotazione rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro Gc della sezione di
calcestruzzo si scrivono:
⎧N = −σ s A s − σ' s A ' s
⎪
d − d' .
⎨
⎛h
⎞
⎪M = (σ s A s − σ' s A ' s )⎜ 2 − d' ⎟ = (σ s A s − σ' s A ' s ) 2
⎝
⎠
⎩
(6.1)
Nelle (6.1) si conviene di assumere positivi gli sforzi assiali se di compressione ed i momenti
flettenti se tendono le fibre inferiori. Per ciascun valore del parametro ξ le (6.1) forniscono le
coordinate di un punto nel sistema di riferimento (N,M) e, al variare di ξ nell’intervallo di
definizione del Campo 1, un luogo geometrico di punti che rappresenta un ramo della
frontiera di rottura della sezione assegnata (Fig. 6.4).
Campo 1
500
450
400
350
300
M
250
200
150
A
B
100
50
0
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
N
Fig. 6.4
Si osservi che assumendo k=1, ossia trascurando il fenomeno dell’incrudimento
dell’acciaio, le tensioni nelle armature risultano sempre costanti ( σ s = σ' s = f yd ) al variare di ξ
e di conseguenza tutto il Campo 1 è rappresentato nel piano (N,M) dal solo punto A ≡ B di
coordinate:
⎧Na = −(A s + A ' s ) f yd
⎪
⎨
d − d' .
⎪M a = f yd (A s − A ' s )
2
⎩
Tenendo invece conto dell’incrudimento, le coordinate dei punti A e B, rappresentativi
delle particolari rette limite “a” e “b”, valgono:
⎧Na = −k (A s + A ' s )f yd
⎪
⎨
d − d'
⎪Ma = kf yd (A s − A ' s )
2
⎩
;
⎧Nb = −kf yd A s − σ' s A ' s
⎪
⎨
d − d'
⎪Mb = kf yd A s − σ' s A ' s
2
⎩
(
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
)
49
Campo 2 (ξ b = 0 ≤ ξ ≤ ξ c = 0.049 )
Anche nel Campo 2, sino alla retta b’ in corrispondenza della quale l’accorciamento
massimo della fibra superiore è pari ad ε c 4 (Fig. 6.3a), il calcestruzzo non reagisce così
come prevede il legame “stress block”.
Tale retta resta individuata
dall’ascissa
adimensionale (Fig. 6.3c):
ξ* =
εc4
x*
0.07%
=
=
= 0.01026 .
d
ε ud + ε c 4 6.75% + 0.07%
L’armatura inferiore, come nel Campo 1, ha deformazione ε s = ε ud e tensione di lavoro
⎡
⎤
ε s − ε yd
+ 1⎥ f yd = k ⋅ f yd .
σ s = ⎢(k − 1)
ε ud − ε yd
⎥⎦
⎣⎢
(6.2)
L’armatura superiore risulta sempre tesa e la sua deformazione vale:
ε' s =
d'− x
δ−ξ
ε ud =
ε ud .
d−x
1− ξ
(6.3)
Come si evince dal dettaglio della Fig. 6.5, tale armatura può trovarsi in campo elastico
( ε' s ≤ ε yd ) oppure in campo elasto-plastico ( ε' s > ε yd ) in dipendenza del valore di δ;
conseguentemente la tensione di lavoro vale rispettivamente:
σ' s = E s ⋅ ε' s
(6.4a)
⎡
⎤
ε' s −ε yd
σ' s = ⎢(k − 1)
+ 1⎥ f yd .
ε ud − ε yd
⎢⎣
⎥⎦
(6.4b)
In definitiva per 0 ≤ ξ ≤ ξ* = 0.01026 le sollecitazioni associate ad ogni retta limite sono
ancora fornite dalle (6.1), tenendo presenti le espressioni delle tensioni nell’armatura
inferiore (6.2) ed in quella superiore (6.4a/b) tramite la (6.3).
Per ξ* = 0.01026 ≤ ξ ≤ ξ c = 0.049 , essendo ancora valide le espressioni (6.2), 6.3) e
(6.4a/b) relative alle armature, la sezione di calcestruzzo risulta parzializzata, anche se in
misura molto contenuta. Infatti se si indica con ε c,sup ≥ ε c,4 la massima deformazione della
fibra superiore di calcestruzzo espressa dalla relazione:
ε c,sup
x
=
ε ud
d−x
⇒
ε c,sup =
x
ξ
ε ud =
ε ud
d−x
1− ξ
è possibile individuare (Fig. 6.5) la distanza “y” dall’asse neutro della fibra che subisce
l’accorciamento ε c 4 :
y
εc4
=
x
ε c,sup
⇒
y=
ε
εc4
x = c 4 (d − x )
ε ud
ε c,sup
e conseguentemente l’altezza “x-y” della fascia uniformemente compressa:
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
50
x−y =x−
⎤
⎡
⎤
⎡
εc4
(d − x ) = ⎢1 − ε c 4 ⋅ d − x ⎥ x = ⎢1 − ε c 4 ⋅ 1 − ξ ⎥ x = α(ξ) ⋅ x .
x ⎦
ξ ⎦
ε ud
⎣ ε ud
⎣ ε ud
Nella seguente tabella sono riportati alcuni valori del coefficiente di riempimento α in
funzione di ξ :
ξ
≤ 0.01026
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
0.045
0.049
α
0.00
0.32
0.49
0.60
0.66
0.71
0.75
0.78
0.80
Lo sforzo di compressione nel calcestruzzo vale quindi:
applicato alla distanza v = s(x )x = s(ξ )ξd =
C = α(ξ ) ⋅ fcd ⋅ b ⋅ ξ ⋅ d ed è
α(ξ )
ξd . Le equazioni di equilibrio alla traslazione
2
lungo l’asse della trave e alla rotazione intorno all’asse baricentrico della sezione di
conglomerato forniscono:
⎧N = α(ξ ) f cd b ξ d − σ s A s − σ' s A ' s
⎪
d − d'
⎨
⎡h
⎤
⎪M = α(ξ ) fcd b ξ d ⎢ 2 − s(ξ ) ξ d⎥ + (σ s A s − σ' s A ' s ) 2
⎣
⎦
⎩
s'
O
d'
c4
c,sup
B
b'
fcd
cu
x
c
x-y
y
C
v=sx
yd
d-x
x
Fig. 6.5
Nella Fig. 6.6 è rappresentato il ramo BC della frontiera di rottura relativo al Campo 2. In
particolare le coordinate del punto C, rappresentativo della retta limite “c”, valgono:
⎧Nc = 0.0392fcdbd − kf yd A s − σ' s A ' s
⎪
⎨
d − d' .
⎡h
⎤
⎪Mc = 0.0392f cdbd⎢ − 0.0196d⎥ + kf yd A s − σ' s A ' s
2
⎣2
⎦
⎩
(
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
)
51
Campi 1-2
500
450
400
350
300
M
250
C
200
150
A
B
100
50
0
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
N
Fig. 6.6
Campo 3 (ξc = 0.049 ≤ ξ ≤ ξ d = 0.65 )
Nel Campo 3 l’armatura inferiore è sempre tesa e snervata. Risulta pertanto (Fig. 6.7):
εs =
d−x
1− ξ
ε cu
ε cu =
ξ
x
⎡
⎤
ε s − ε yd
+ 1⎥ f yd
σ s = ⎢(k − 1)
ε ud − ε yd
⎥⎦
⎣⎢
;
O
c4
d'
A's
h
fcd
cu
B
h
2
x
F's
v=sx
C
xd
c
d
Gc
d
.
3
h
2
As
A
Fs
d'
ud
b
yd
s
x
'
s
cu
O
B
yd
d
c
Fig. 6.7
L’armatura superiore può invece trovarsi in campo elastico oppure in campo elastoplastico, sia in trazione che in compressione (ved. dettaglio Fig. 6.7), in dipendenza dal
valore di δ. Risulta pertanto:
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
52
d'− x
δ−ξ
ε cu
ε' s =
ε cu =
x
ξ
⇒
⎧σ' s = E s ε' s
⎪⎪
⎤
⎡
ε' s − ε yd
⎨
+ 1⎥ f yd
⎪σ' s = sgn(ε' s )⎢(k − 1)
ε ud − ε yd
⎪⎩
⎥⎦
⎢⎣
se ε' s ≤ ε yd
se ε' s > ε yd
.
La risultante delle tensioni di compressione nel calcestruzzo vale: C = α(ξ ) ⋅ fcd ⋅ b ⋅ ξ ⋅ d con
α(ξ ) = 0.8 costante ed è applicata alla distanza v = s(ξ )ξd con s(ξ ) = 0.4 costante.
Le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione assumono la forma:
⎧N = 0.8fcdbξd − σ s A s − σ's A 's
⎪
d − d'
⎨
⎡h
⎤
⎪M = 0.8fcdbξd ⎢ 2 − 0.4ξd⎥ + (σ s A s − σ's A 's ) 2
⎣
⎦
⎩
(6.5)
Nella Fig. 6.8 è rappresentato il ramo CD della frontiera di rottura relativo al Campo 3. In
particolare le coordinate del punto D, rappresentativo della retta limite “d”, valgono:
⎧Nd = 0.52fcdbd − fyd A s − σ's A 's
⎪
⎨
d − d'
⎡h
⎤
⎪Md = 0.52fcdbd ⎢ 2 − 0.26d⎥ + fyd A s − σ's A 's 2
⎣
⎦
⎩
(
)
Campi 1-2-3
500
D
450
400
350
300
M
250
C
200
150
B
A
100
50
0
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
N
Fig. 6.8
Campo 4 (ξ d = 0.65 ≤ ξ ≤ ξ e = 1 + δ )
Nel Campo 4 l’armatura inferiore si trova sempre in campo elastico in trazione o in
compressione (Fig. 6.9). Pertanto risulta:
εs =
d− x
1− ξ
ε cu =
ε cu
x
ξ
⇒
σs = Esεs .
L’armatura superiore, invece, con gli usuali valori di δ, è sempre snervata in compressione
e quindi:
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
53
ε's =
δ−ξ
d'− x
ε cu =
ε cu
ξ
x
⎡
⎤
ε's − ε yd
σ's = sgn(ε's )⎢(k − 1)
+ 1⎥ fyd
εud − ε yd
⎣⎢
⎦⎥
⇒
.
Nel Campo 4 valgono ancora le espressioni della risultante delle tensioni di compressione
nel conglomerato e le relazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione (6.5) riportate per
il Campo 3.
O
c4
A's
h
xd
Gc
d
B
yd
h
2
fcd
cu
d'
v=sx
d
C
x
e
x e =h
F's
4
h
2
Fs
As
d'
yd
b
s
x
Fig. 6.9
Nella Fig. 6.10 è rappresentato il ramo DE della frontiera di rottura relativo al Campo 4. In
particolare le coordinate del punto E, rappresentativo della retta limite “e”, valgono:
⎧Ne = 0.8fcdbh − σ s A s − σ's A 's
⎪
d − d'
d − d'
⎨
⎡h
⎤
2
⎪Me = 0.8fcdbh ⎢ 2 − 0.4h⎥ + (σ s A s − σ's A 's ) 2 = 0.08 fcdbh + (σ s A s − σ's A 's ) 2
⎣
⎦
⎩
Campi 1-2-3-4
500
D
450
400
350
300
M
250
C
E
200
150
B
A
100
50
0
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
N
Fig. 6.10
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
54
Campo 5 (ξ e = 1 + δ ≤ ξ < ξ f = ∞ )
Nel Campo 5 l’armatura inferiore è compressa e, con l’eccezione di situazioni di rottura
prossime alla retta limite “f”, quasi sempre in campo elastico (Fig. 6.11).
c2
O
cu
d'
A's
xC = 3 h
7
C
Gc
d
h
s'
h
2
x e =h
e
x
f
5
h
2
As
s
d'
b
x
Fig. 6.11
L’armatura superiore, anch’essa compressa, risulta invece sempre snervata. Valgono
quindi le seguenti relazioni:
⎧σ s = E s ε s
⎪⎪
x−d
εs
εc 2
=−
⇒ εs = −
εc 2 ⇒ ⎨
⎤
⎡
ε s − ε yd
3
3
x−d
(
)
(
)
sgn
k
1
1
σ
=
ε
−
+
⎥ fyd
⎢
⎪
s
s
x− h
x− h
εud − ε yd
⎪⎩
⎥⎦
⎢⎣
7
7
ε's
ε
= − c2
3
x − d'
x− h
7
⇒
ε's = −
x − d'
ε
3 c2
x− h
7
⇒
se
ε s ≤ ε yd
se ε s > ε yd
⎡
⎤
ε's − ε yd
σ's = sgn(ε's )⎢(k − 1)
+ 1⎥ fyd .
εud − ε yd
⎥⎦
⎣⎢
Per quanto riguarda lo sforzo di compressione nel calcestruzzo, è opportuno innanzi tutto
determinare la posizione x* dell’asse neutro per la quale la deformazione al lembo inferiore
della sezione assume il valore ε c 4 = 0.07% (Fig. 6.12). Infatti per x ≥ x * tutta la sezione è
uniformemente compressa, mentre per h ≤ x < x * la deformazione al lembo inferiore vale
ε c,inf < ε c 4 e quindi bisogna calcolare l’altezza “y” della zona di calcestruzzo uniformemente
compressa.
Dalla Fig. 6.12 si ricava immediatamente:
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
55
εc 2
ε
= c4
3
x
* −h
x*− h
7
⇒
3
εc 4
7
h = 1.307692 ⋅ h
− εc 4
εc 2 −
x* =
εc 2
c2
O
fcd
cu
d'
A's
h
xC = 3 h
7
h
2
h
2
C
Gc
d
F's
x e =h
e
x*
f
C
5
h
2
Fs
As
d'
c4
b
x
Fig. 6.12
Con riferimento alla Fig. 6.13, nella quale è presa in esame una generica retta limite del
Campo 5 individuata dall’ascissa h ≤ x < x * , è possibile ricavare:
ε c,sup
=
x
ε c,sup
x
=
ε c,sup − ε c 4
y
εc 2
3
x− h
7
⇒
y=
⇒
ε c,sup − ε c 4
ε c,sup
ε c,sup =
x
ε
3 c2
x− h
7
⎛
ε ⎞
3 ε
x = ⎜⎜1 − c 4 ⎟⎟ x + h c 4 = 0.65 x + 0.15h
εc 2 ⎠
7 εc 2
⎝
Il fattore di riempimento α(x ) assume quindi la seguente espressione:
α(x ) =
y
h
= 0.65 + 0.15
x
x
ed alcuni suoi valori sono riportati nella seguente tabella in funzione del rapporto x/h.
x/h
y/h
α
1.00
0.8000
0.800
1.05
0.8325
0.793
1.10
0.8650
0.786
1.15
0.8975
0.780
1.20
0.9300
0.775
1.25
0.9625
0.770
1.307692
1.0000
0.765
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
56
Circa la posizione della risultante C rispetto al lembo superiore della sezione, vale la
relazione v = s(x ) ⋅ x con s(x ) = α(x ) 2 .
c,sup
c2
O
f cd
cu
d'
A's
xC = 3 h
7
h
2
C
Gc
d
h
F's
x e =h
x
e
v=sx
y
C
f
5
h
2
As
d'
Fs
c4
b
x
Fig. 6.13
Alla luce di quanto precede, le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione
assumono le seguenti espressioni:
⎧N = α(x )fcdbx − σ s A s − σ's A 's
⎪
d − d'
⎨
⎡h
⎤
⎪M = α(x )fcdbx ⎢ 2 − s(x )x ⎥ + (σ s A s − σ's A 's ) 2
⎣
⎦
⎩
per h ≤ x ≤ x* = 1.307692h
⎧N = fcdbh − σ s A s − σ's A 's
⎪
⎨
d − d'
⎪M = (σ s A s − σ's A 's ) 2
⎩
per
x > x *.
Nella successiva Fig. 6.14 è riportato il ramo EF che completa la frontiera di rottura della
sezione nel piano (N,M).
Frontiera di rottura
500
D
400
300
C
M
E
200
B
A
100
0
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
F
-100
N
Fig. 6.14
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
57
Le
coordinate
del
punto
F,
rappresentativo
della
retta
limite
“f”,
valgono
( σ s = σ' s = −k ⋅ f yd ):
⎧Nf = fcdbh + (A s + A 's )kfyd
⎪
⎨
d − d'
⎪Mf = (A s − A 's )kfyd
2
⎩
In particolare se le due armature sono uguali (As=A’s) risulta Mf=0.
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
58