Bartoli Gianluca-introduzione alle frazioni

MINISTERO DELL’ ISTRUZIONE, DELL’UNIVERSITA’ E DELLA RICERCA
UFFICIO SCOLASTICO REGIONALE PER IL LAZIO
ISTITUTO COMPRENSIVO “A. M. RICCI”
Via XXIII Settembre,16 - 02100 RIETI
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C.F. 80007290572 TEL. 0746/203129 - 251330
Formazione personale docente:
Didattica per Competenze e Prove Invalsi
A.S. 2015/2016
UNITÀ DI APPRENDIMENTO
Utenza: Scuola Secondaria di I° Grado - Scienze Matematiche
Destinatari: alunni classe I
Tempi: II quadrimestre
Discipline coinvolte: matematica, italiano, storia, tecnologia, arte e immagine, musica.
COMPITO DI REALTA'
Allestimento di una mostra itinerante e interattiva sulle frazioni: domande da porre
e risposte da dare ai nostri compagni, agli altri studenti della scuola e ai nostri
genitori.
COMPITO PROBLEMA
Leggiamo e raccontiamo fiabe, facciamo musica, giochiamo a domino, rivisitiamo la storia… Ma la
matematica dove sta? E le frazioni che c’entrano? Ve lo spieghiamo con una mostra particolare… Seguiteci
e vedrete.
Traguardi per lo sviluppo delle competenze
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Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza
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Spiega il procedimento seguito, anche in forma scritta, mantenendo il controllo sia sul processo
risolutivo, sia sui risultati
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Confronta procedimenti diversi e produce formalizzazioni che gli consentono di passare da un
problema specifico a una classe di problemi
-
Produce argomentazioni in base alle conoscenze teoriche acquisite
-
Sostiene le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati; accetta di cambiare
opinione riconoscendo le conseguenze logiche di una argomentazione corretta
-
Utilizza e interpreta il linguaggio matematico e ne coglie il rapporto col linguaggio naturale
-
Rafforza un atteggiamento positivo rispetto alla matematica attraverso esperienze significative e
capisce come gli strumenti matematici appresi siano utili in molte situazioni per operare nella realtà
Obiettivi formativi generali
-
Introdurre e/o migliorare le capacità manipolative e sviluppare le abilità d’uso
-
Favorire la socializzazione e l’apprendimento cooperativo attraverso lavori di gruppo e attività
ludiche
-
Lavorare in gruppo per imparare a collaborare con gli altri in modo produttivo e a confrontarsi in
modo costruttivo, rispettando compiti e tempi
Obiettivi di apprendimento
-
Acquisire e/o rafforzare il concetto di frazione come operatore, sia su grandezze omogenee sia su
quantità discrete, attraverso la manipolazione di oggetti vari e attraverso la rappresentazione
geometrica delle frazioni.
-
Acquisire il concetto di frazioni equivalenti e classe di equivalenza.
-
Comprendere la relazione d’ordine tra le frazioni: confronto tra frazioni e ordinamento.
-
Sviluppare, attraverso la manipolazione di oggetti vari e la rappresentazione geometrica, abilità di
calcolo nell’applicare l’operatore frazionario, nel riconoscere frazioni equivalenti e confrontare
frazioni.
Prerequisiti
-
I numeri naturali. Le quattro operazioni con i numeri naturali. Elevamento a potenza. Massimo
comun divisore. Minimo comune multiplo.
Attività laboratoriali
Spesso gli alunni applicano meccanicamente calcoli e formule senza capirne il significato e senza porsi il
problema della coerenza dei dati di partenza e dei risultati ottenuti. L’attività proposta vuole essere uno
stimolo per sollecitare un’attitudine al ragionamento.
Ritengo che la scelta dell’argomento faciliti il connubio comprensione/prestazione, infatti il continuo
riferimento alla quotidianità, la scoperta di relazioni e la successiva costruzione e formalizzazione sono tutte
prestazioni che vorrebbero denotare comprensione.
Il progetto vuole muoversi cambiando continuamente lo sfondo in cui si svolge: dal processo di
apprendimento alla sua applicazione e viceversa.
Gli obiettivi e i metodi sono stati scelti con l’intento di proporre esperienze concrete per favorire la
costruzione autonoma ed attiva di conoscenze e l’integrazione di queste con le conoscenze precedenti.
Le lezioni sono di tipo interattivo e caratterizzate da attività pratiche, di gruppo, dal carattere ludico, che
richiedono un coinvolgimento attivo.
In alcune attività, per favorire l’acquisizione dei concetti, si usa materiale concreto da manipolare (carta,
oggetti vari), in altre si utilizzano le rappresentazioni geometriche delle frazioni. La manipolazione di oggetti
concreti stimola il coordinamento psicomotorio e sviluppa abilità d’uso: infatti ogni abilità pratica presume
e sollecita implicazioni teoriche.
Le attività sono di gruppo e dal carattere ludico, per favorire l’interazione sociale e l’apprendimento
cooperativo: infatti l’apprendimento nell’ambito di esperienze condivise diventa significativo.
Non va dimenticata l’importanza che riveste la storia della matematica che, con i suoi molteplici richiami,
può rivelarsi uno strumento fondamentale per la comprensione di tali legami, esplicitando quelle
connessioni che ad un primo sguardo potrebbero sembrare impossibili.
Materiali e situazioni didattiche
-
Fiaba interattiva, libro di testo di Emma Castelnuovo (numeri A) e scheda storica
-
Manipolazione e piegatura con la carta
-
Costruzione di contenitori
-
Tangram
-
Giochi
L’intero percorso didattico è stato pensato in modo da includere anche altre materie curricolari, e
precisamente: italiano, storia, musica, arte e tecnologia. Si potrebbe pensare di coinvolgere anche
l’insegnante di inglese nella preparazione delle etichette informative dei cartelloni e dei tavoli.
La prime tre discipline interessate sono italiano, con la lettura e lo studio del testo della fiaba di Lewis
Carrol “Alice nel paese delle meraviglie”, storia, con approfondimenti sull’antica civiltà egiziana, e musica,
con lo studio del solfeggio. Arte e tecnologia procedono di pari passo con la preparazione della mostra, con
la costruzione e l’abbellimento delle carte per il domino, delle scatole, dei disegni della fiaba, la messa in
opera dei cartelloni e delle etichette, ecc.
Per quanto riguarda il vero e proprio allestimento della mostra la classe, formata da 15 alunni, viene divisa
in tre gruppi da cinque ed ogni gruppo prepara un’attività.
Il mio compito è quello di fornire il materiale didattico, di accompagnare i ragazzi nel lungo tragitto, di
discutere e analizzare, di assumere un atteggiamento di ascolto attivo, atto a stimolare gli alunni
all’osservazione e alla riflessione
Alla fine dei lavori tutti i gruppi preparano il proprio spazio per la mostra, partecipano alle prove finali nelle
quali espongono quello che hanno fatto, discutono e correggono i compagni degli altri gruppi e, insomma,
fanno rivivere agli altri le esperienze che hanno vissuto.
Attività didattica A: lettura interattiva di una fiaba
Il gruppo classe diviso in gruppi (A,B eC) si cimenta, separatamente, nella lettura interattiva e nello studio
del racconto didattico che si rifà alla fiaba di Lewis Carroll e che ho preso integralmente dall’articolo di
Virginia Vaccaro (e che considero un ottimo lavoro) “Un mondo fantastico per le frazioni” (che ad ogni modo
viene utilizzato alle scuole elementari, ma che io ritengo utile anche per una prima media) apparso sulla
rivista de L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate nel luglio del 1998. Nell’introduzione la
Vaccaro analizza le cause che portano ai ben noti problemi di didattica delle frazioni; citando D’Amore
introduce l’idea di frazioni non con la solita torta, ma propone di collocarla “all’interno di una situazione
problematica” alla quale la Vaccaro aggiunge la parola “fantastica”.
La situazione problematica fantastica con la quale affrontare le frazioni e mediante la quale creare una
situazione di apprendimento che tenga conto del soggetto che apprende, delle sue caratteristiche, delle sue
paure, è, dunque, una fiaba, ma con qualcosa in più, è una fiaba “interattiva”. Interattiva perché è
accompagnata da 18 schede operative, appositamente predisposte, che richiedono interventi di coloritura,
di costruzione di sagome, di completamento. Il racconto viene interrotto, in vari punti, da rimandi ad alcune
schede numerate che richiedono interventi operativi da parte degli alunni; le interruzioni fanno sì che il
racconto si presti ad essere letto a puntate. Questo lavoro consente agli alunni di scoprire le frazioni
equivalenti con una metodologia diversa. Le schede di lavoro e il racconto stesso, costituiscono per l’allievo
uno strumento di auto-controllo circa il lavoro fatto (in particolare le schede 9, 10, 11 e 12). Il lavoro
proposto è un percorso nel quale l’obiettivo “frazioni equivalenti” rappresenta una tappa fondamentale; il
traguardo è rappresentato dall’obiettivo “operazioni di addizione e sottrazione di frazioni con denominatori
differenti”, nei riguardi del quale, gli alunni della scuola media mostrano profonde incertezze.
Il mio aiuto consiste nella lettura dei primi due paragrafi, cioè per quella parte che richiede l’intervento
operativo sulle schede 2,3,4,5,6, principalmente per valutare l’impatto della fiaba sugli alunni e per
verificare le difficoltà di comprensione del testo.
Gli alunni dei tre gruppi proseguono autonomamente (riunendosi anche a casa) nella lettura e nello studio
del testo. Si hanno, in questo modo, tre diversi punti di vista sui quali si discute in classe.
Es.
Nel Paese delle Meraviglie vive la Regina di Cuori. La ricordate? Brutta, grassa e un po’ bassotta, oltre che
vanitosa, prepotente e molto intonata. Chi può, in tutta sincerità, affermare di non aver mai udito il suo
ormai famoso: «Tagliatele la testaaaaa…..!!»?. Ella non ha dubbi. Ogniqualvolta si presenta un problema,
questa è la soluzione.
Scheda 2: la regina e la sarta
Segui le istruzioni e colora il vestito della Regina: la stoffa utilizzata dietro la testa fino alla linea sotto il
mento è di colore giallo; la stoffa che va dalla linea sotto il mento fino alla vita è di colore rosso; la stoffa
che costituisce la prima balza, dalla vita alle ginocchia, è di colore blu; la stoffa che costituisce la seconda
balza, all’altezza delle ginocchia, è di colore verde; la stoffa che costituisce la terza balza, da sotto le
ginocchia ai piedi, è di colore rosa; la stoffa che ricopre le braccia (e per errore anche le mani), è di colore
viola.
Scheda 4: l’abito della regina, confronta
In base ai risultati ottenuti sapresti dire:
-
quante volte la parte rossa è più alta della parte verde?
-
quante volte la parte rosa è più alta della striscia su cui compare sia il colore viola che quello
giallo?
-
quante volte la parte viola è più alta della parte blu?
-
quali sono le parti di uguale altezza? Elencale
Scheda 7: sagoma del giullare
Ed ecco un episodio. All’inizio del suo regno la Regina stabilì che:
1. le finestre e i balconi dovevano essere alti quanto lei con il braccio alzato più ancora una volta la
lunghezza del braccio;
2. la finestra da cui venivano pronunciati i discorsi doveva essere alta quanto lei con il braccio alzato
più ancora tre volte la lunghezza del braccio;
3. il davanzale doveva trovarsi ad un’altezza tale che ella poteva poggiarvi le sue mani (quando
doveva dare più forza alle sue parole!).
scheda 10: i conti del muratore
Il giorno dopo si ritrovarono il Sig. Mattone e il Sig. Legno alla presenza della Regina pronti a mostrare i loro
calcoli.
La Regina: “Sig. Mattone, prego, esponga”.
Sig. Mattone: “Ebbene mia Regina prima di tutto ho calcolato che il punto raggiunto dalle Sue graziose dita
quando il Suo braccio è alzato si trova ad 11 volte 1/9 da terra”.
La Regina (che dì matematica non capiva nulla): “Bene, bene. E lei Sig. Legno, dica, esponga”.
Sig. Legno: “Ebbene mia Regina, i miei calcoli mi portano ad affermare che il punto di cui parla il mio illustre
collega è a 33 volte 1/27 da terra”.
Tuoni, fulmini e saette!!!
Attività didattica B: scheda storica, frazioni e musica
LE FRAZIONI PRESSO GLI EGIZI
Il gruppo A si cimenta con la lettura e lo studio della scheda storica sulle frazioni presso gli antichi Egizi.
Riformula, discute e prepara i cartelloni da esporre.
Es.
Papiro di Rhind
… è probabile che Ahmes o A’hmose fosse più di uno scriba: sebbene affermi di aver solo trascritto un testo
precedente di circa cinquant’anni. Il testo probabilmente era destinato all’educazione dei ragazzi ed è una
vera guida alla matematica dell’ antico Egitto.
Nel testo sono trattati 87 problemi sulle quattro operazioni, sulle aree, sui volumi, ed altro, ma sopra tutti è
trattato il problema delle parti decimali, le cosiddette frazioni egiziane, per la cui soluzione è riportata una
tabella che fornisce per ogni intero dispari n compreso tra 3 e 101 la scomposizione in frazioni unitarie della
frazione 2/n.
Papiro di Rhind: tavola 2/n
3  2+6
35  30 + 42
69  46 + 138
5  3 + 15
37  24 + 111 + 296
71  40 + 568 + 710
7  4 + 28
39  26 + 78
73  60 + 219 + 292 + 365
9  6 + 18
41  24 + 246 + 328
75  50 + 150
11  6 + 66
43  42 + 86 + 129 + 301
77  44 + 308
13  8 + 52 + 104
45  30 + 90
79  60 + 237 + 316 + 790
15  10 + 30
47  30 + 141 + 470
81  54 + 162
17  12 + 51 + 68
49  28 + 196
83  60 + 332 + 415 + 498
19  12 + 76 + 114
51  34 + 102
85  51 + 255
FRAZIONI E MUSICA
Organizza e predispone, inoltre, il lavoro su frazioni e musica: da Numeri A, pag 83-85 (La Matematica: E.
Castelnuovo)
Es.
Le frazioni sono nella musica….. pensate alla chitarra, al violino….per produrre un suono si pizzica una corda:
si vede allora la corda vibrare e contemporaneamente si sente un suono….facciamo un esperimento:
prendiamo un filo di nylon lungo circa 90 cm. Fissiamone un capo alla maniglia della porta e tenendo ben
teso il filo con la mano sinistra pizzichiamolo con la destra: sentiremo un suono grave. Poi riduciamo la
lunghezza di 1/2 (circa 45 cm), ripetiamo l’esperimento e sentiremo un suono più acuto (è comunque la
stessa nota).
Perché il suono diventa più acuto? Accade che aumenta il numero delle vibrazioni al secondo, e l’altezza del
suono – essere grave o acuto – dipende dal numero delle vibrazioni. Più questo numero è grande e più il
suono è acuto….
Attività didattica C: costruzione del Tangram
Gruppo B. Questa attività incorpora sia il Tangram che le frazioni. Il puzzle del Tangram, inventato dai
cinesi, è un quadrato diviso in sette parti. Una volta riorganizzate, queste parti formano una grande varietà
di figure e di immagini.
Si può, infatti, mettere in evidenza il concetto di frazioni equivalenti facendo osservare, con la
manipolazione dei pezzi del Tangram, come la somma di parti frazionarie può corrispondere ad un'altra
parte frazionaria quindi equivalente. Il concetto di frazioni equivalenti introdotto operativamente con il
Tangram, induce intuitivamente anche il concetto di equiestensione: frazioni equivalenti indicano
equiestensione. Infatti, alcuni pezzi del Tangram corrispondono alla stessa unità frazionaria: le figure sono
diverse ma hanno la stessa area.
Il Tangram permette la determinazione delle parti frazionarie rispetto all’intero, che può essere o il
quadrato iniziale o una delle sue parti. Infatti uno stesso pezzo del Tangram ha valori frazionari diversi
secondo l’intero considerato.
E’ interessante cambiare l’intero perché lo studente deve spostare la percezione del valore frazionario del
singolo pezzo rispetto all’intero considerato.
Quindi l’insieme dei 7 pezzi del Tangram costituenti il quadrato, rappresenta l’intero ma i suoi pezzi sono
unità frazionarie dell’intero. L’intero può essere variato considerando per esempio come unità un singolo
pezzo del Tangram.
Es.
Dopo aver costruito i sette pezzi del tangram esaminando il foglio istruzioni, rispondete alle seguenti
domande spiegando il ragionamento che avete fatto per giungere alla risposta:
1. Quale frazione del quadrato grande è rappresentata dal triangolo grande?
2. Quale frazione del quadrato grande è rappresentata dal triangolo medio?
………
6. Il triangolo piccolo che frazione è del triangolo grande?
………
13. Se voglio ottenere 5/8 dell’intero quadrato iniziale, quali forme dovrò sommare?
14. Se l’area del triangolo iniziale rappresenta l’unità, quanto misura la superficie occupata da:
-
3 quadrati piccoli
-
2 quadrati piccoli + 2 triangoli grandi
-
4 triangoli grandi
Attività didattica D: contenitori equivalenti e gioco del domino
CONTENITORI EQUIVALENTI
Il gruppo C ha a disposizione sei contenitori di cartoncino sui quali è indicato il valore numerico di una
frazione e 32 cartoncini su ognuno dei quali c’è scritta una frazione. I ragazzi mettono i cartoncini nei
contenitori in modo tale che tutte le frazioni in essi contenute siano equivalenti a quella indicata su ogni
contenitore. Gli alunni devono, inoltre, rappresentare le frazioni e il rispettivo valore numerico sulla retta
orientata, in modo da apprendere, e verificare concretamente, il nesso tra numero e frazione.
Es.
Contenitore 1: 1/1; 2/2…..
……….
Contenitore 4/5: 8/10; 12/15…..
GIOCO DEL DOMINO
Il gioco è composto da carte formate da due caselle che contengono rappresentazioni grafiche e numeriche
di frazioni. Uno dei componenti del gruppo distribuisce cinque carte ad ogni partecipante; colui che
possiederà il domino doppio (due caselle uguali) inizierà posizionando una carta sul banco. Il compagno che
lo segue dovrà affiancare una carta in modo che le caselle contigue rappresentino la stessa frazione
(accostando le parti con i disegni alle parti con i numeri). Se non possiederà la carta adatta, ne pescherà
un’altra. Vincerà chi finirà per primo le carte che ha in mano. Dopo ogni mossa tutti i componenti del
gruppo discutono se essa è corretta e, in caso negativo, annotano su un foglio eventuali errori senza
indicare il nome di chi ha sbagliato.
Es.
Carte del domino
1/2
2/5
Valutazione delle competenze e analisi dell’apprendimento
Durante tutto il percorso didattico vengono valutate le attività dei ragazzi sia direttamente sia dalle schede
di lavoro compilate. L’impegno, la partecipazione e dinamiche relazionali degli alunni, infatti, potranno
fornire indicazioni complessive sull’efficacia del processo educativo-cognitivo, fornendo al contempo un
buon metro di giudizio rispetto alla sperimentazione del metodo da me usato e delle competenze via via
acquisite.
Verrà valutata inoltre l’autonomia di individuazione degli obiettivi educativi e la scoperta (o la riscoperta)
delle proprie creatività e personalità, utili in qualunque situazione.
L’insegnante
Gianluca Bartoli
IC “Marco Polo” Torricella in S.