DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DORFMAN#STEINER

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DORFMAN-STEINER
Supponiamo che la quantità domandata per una certa impresa dipenda dal
prezzo del prodotto p praticato dall’impresa e dal livello di pubblicità da essa
e¤ettuato: in termini formali, q = q(p; ) con @q=@p < 0 (maggiore è il prezzo
minore è la quantità domandata, per ogni dato livello di pubblicità) e @q=@ > 0
(maggiore è il livello di pubblicità maggiore è la quantità domandata, per ogni
dato livello del prezzo). I costi dell’impresa dipendono dalla quantità prodotta
e dal livello di pubblicità: in particolare, assumiamo C(q; ) = cq + c , dove
c è il costo medio e marginale di produzione e c è il costo medio e marginale
della pubblicità.
L’impresa sceglie p ed (e, di conseguenza la quantità q) in modo da massimizzare il suo pro…tto, = pq (cq + c ). Indichiamo con p ,
e q , rispettivamente, i valori ottimali di p, e q La formula di Dorfman-Steiner stabilisce
che in corrispondenza della scelta che massimizza il pro…tto dell’impresa, il rapporto tra spese pubblicitarie e ricavi risulta uguale al rapporto tra l’elasticità
della domanda rispetto alla pubblicità ( ) e l’elasticità (in valore assoluto) della
domanda rispetto al prezzo (j p j), vale a dire:
c
=
p q
j
p
j
:
Dimostriamo questa formula. Ricordiamo innanzitutto le de…nizioni di elastic@q p
= @@q q e j p j= @p
q.
L’espressione del pro…tto dell’impresa,
variabili, p; q ed , ma queste si riducono a
domanda. Possiamo cioè scrivere: = pq(p;
del primo ordine per la massimizzazione del
delle due derivate parziali, cioè @@p = 0 e
ità,
= pq (cq + c ), contiene tre
due facendo uso della funzione di
) cq(p; ) c . Le condizioni
pro…tto sono l’uguaglianza a zero
@
= 0. Imponendo @@p = 0 si
@
@q
@q
@q
ottiene q + p @p
c @p
= 0: questa può essere riscritta come (p c) @p
= q,
p c
1
da cui si ottiene, mediante semplici passaggi, p p c =
e
quindi
=
@q p
p
@p q
1
j
. Imponendo poi
pj
@
@
= 0 si ottiene p @@q
c
= 0: da questa si
= c q e quindi p p c = cpq .
ottiene, mediante semplici passaggi, (p
p c
1
Tenendo conto dell’equazione p = j p j precedentemente trovata, si ottiene
in…ne
c
p q
=
j
pj
c) @@q q
c @@q
.
1