Teoria della linea portante per ali di apertura finita

F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 8 – pagina 279 colore nero
Settembre 30, 2004
279
CAPITOLO 8
Teoria della linea portante
per ali di apertura finita
Introduzione Nel capitolo precedente abbiamo sviluppato la teoria dei profili
alari considerando l’ala come un cilindro di lunghezza infinita, avente la sezione
perpendicolare al suo asse con la forma di profilo alare e posto perpendicolarmente
alla corrente esterna uniforme. La geometria del problema e le condizioni al
contorno hanno permesso di affrontarlo considerando un flusso bidimensionale in
un piano normale all’asse dell’ala infinita. In realtà ogni superficie portante dei
velivoli è di lunghezza finita e quindi il flusso attorno a essa è necessariamente
tridimensionale. Di conseguenza dobbiamo analizzare se e in quale modo la teoria
dei profili sottili sviluppata nel capitolo precedente pu ò essere modificata per tenere
conto di questo aspetto. L’analisi che presentiamo costituisce un adattamento
più o meno fedele dei paragrafi iniziali del capitolo 5 del classico testo di John D.
Anderson: Fundamentals of Aerodynamics, third edition, McGraw-Hill, New York,
2001.
8.1 Descrizione delle ali di apertura finita
La descrizione geometrica di un’ala di apertura finita è molto complicata in quanto
richiede di specificare le sue due superfici, superiore e inferiore, in modo univoco.
Tuttavia, per delle ragioni che saranno indicate fra un momento, ai fini della teoria
della linea portante la forma dell’ala può essere caratterizzata indicando solo tre
funzioni della coordinata z che percorre l’ala nel senso della sua apertura. Supponiamo di indicare con b l’apertura dell’ala e di porre l’origine degli assi nel
suo centro per cui avremo − b2 ≤ z ≤ b2 . Allora, la pianta dell’ala sarà data dalla
funzione, ovviamente simmetrica,
c = c(z),
|z| ≤ b/2,
che specifica la lunghezza della corda dei profili nelle varie sezioni, in funzione
della coordinata z.
Le ali possono poi avere uno svergolamento geometrico consistente in una
variazione dell’angolo di incidenza α(z) della corda del profilo nelle diverse sezioni:
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CAPITOLO 8 Teoria della linea portante per ali di apertura finita
questa caratteristica è indicata dalla funzione
α = α(z),
|z| ≤ b/2.
Naturalmente, anche questa funzione è sempre simmetrica (sola eccezione il boomerang).
Per un’ala completamente piatta si avrà α(z) = 0.
Infine, le ali di molti aeroplani moderni hanno sezioni con profili alari diversi e
questo provoca valori diversi di α`=0 . Questa circostanza è descritta con il nome di
svergolamento aerodinamico dell’ala e sarà rappresentato da una terza funzione,
sempre simmetrica,
α`=0 = α`=0 (z),
|z| ≤ b/2.
Strettamente parlando, questa terza funzione non costituisce un’informazione di
natura puramente geometrica ma è una conseguenza diretta e calcolabile della
forma della profili di tutte le sezioni dell’ala.
L’utilità di queste tre funzioni nell’ambito della teoria della linea portante che
qui ci interessa sta nel fatto che esse sono sufficienti per elaborare una nuova
equazione che descrive gli aspetti fondamentali del flusso 3D attorno all’ala di
apertura finita. Più in particolare, la nuova equazione riguarda un’incognita lungo
la terza dimensione in direzione perpendicolare alle sezioni dei profili. In altre
parole le tre funzioni considerate permettono di analizzare il flusso tridimensionale
mediante una scomposizione delle direzioni introdotta genialmente da Prandtl:
prima si risolvono i problemi 2D nelle varie sezioni dell’ala e poi si scrive un
problema nella direzione trasversale al piano delle sezioni. La funzione α `=0 (z)
contiene la sola informazione delle soluzioni della teoria dei profili sottili che è
necessaria per la teoria della linea portante.
Come ultima osservazione notiamo che si dovrebbe specificare anche la posizione del punto medio della corda, al variare di z, nel piano x-z dell’ala. La
posizione di tale punto potrebbe essere data da una funzione x = x(z) per descrivere ali con maggiore o minore freccia. Noi supporremo di considerare solo ali con
freccia nulla.
8.2 Vortici di estremità
Per determinare in funzionamento dell’ala, ricordiamo per prima cosa che la generazione della portanza su un profilo alare è stata spiegata come effetto della differenza
di pressione fra la superfici del dorso e quella del ventre del profilo stesso: il dorso è
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PARAGRAFO 8.2: Vortici di estremità
−−−−−−−
+++++++
Figura 8.1
Formazione dei vortici di estremità
281
in depressione rispetto al ventre, con la conseguente generazione di una forza diretta
verso l’alto. Nel caso di un’ala di apertura infinita, la zona di sovrapressione e
la zona in depressione sono separate completamente dalla presenza della superficie
del corpo portante. Diversamente, nel caso di un’ala di apertura finita, in corrispondenza delle estremità alari la separazione si interrompe e quindi in queste
regioni il fluido tende a muoversi dalla parte inferiore verso quella superiore a causa
dei valori diversi della pressione, come mostrato nella figura 8.1 accanto. Pertanto
alle estremità dell’ala tende a formarsi un movimento vorticoso del fluido, che va
dal ventre al dorso girando all’esterno e che provoca una scia a valle delle due
estremità dell’ala. Si comprende allora che il modello di flusso bidimensionale, che
è alla base della teoria dei profili sottili, non è in grado di rappresentare la corrente
tridimensionale effettivamente presente attorno a un’ala reale.
Il moto del fluido generato alle estremità modificherà la corrente principale nel
senso che la direzione della velocità sul dorso sarà deviata verso la radice dell’ala
(ossia verso l’interno) mentre sul ventre sarà deviata verso l’esterno, come mostrato
nella figura 8.2.
Figura 8.2
Direzione della velocità
a valle delle estremità alari
Questo tipo di differenza nella direzione della velocità, ma non nel suo modulo,
è compatibile con la condizione di Kutta–Joukowski, per cui si intuisce che, a
partire del bordo di uscita dell’ala, può formarsi una superficie di discontinuità per
la velocità, cioè una scia vorticosa orizzontale, che è chiamata scia di Prandtl.
Un’eventuale sezione di questa superficie, eseguita con un piano perpendicolare
alla velocità asintotica, metterebbe in evidenza una linea di discontinuità della
componente z della velocità fra la zona superire e quella inferiore del fluido. La
presenza di questa scia influisce su tutto il campo di moto, modificando le prestazioni
dell’ala rispetto alla situazione dell’ala di apertura infinita. Per cercare di descrivere
in maniera quantitativa e non solo qualitativa il comportamento dell’ala occorre per ò
partire da un’analisi più approfondita del flusso tridimensionale in presenza di un
vortice uscente da una superficie.
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CAPITOLO 8 Teoria della linea portante per ali di apertura finita
Legge di Biot–Savart
Incominciamo a studiare il campo di velocità associato alla presenza di un vortice
rettilineo. A tale fine, assumiamo, senza dimostrarla, la relazione che descrive il
contributo al campo di velocità associato a un tratto infinitesimo di lunghezza dl di
un filamento vorticoso di circolazione Γ . Questa relazione è analoga a quella che
descrive il contributo al campo magnetico statico dovuto a un elemento di corrente
elettrica stazionaria, nota come legge di Biot–Savart. Nel caso fluidodinamico tale
legge dice che il contributo du alla velocità indotta è dato da
du =
Vedi paragrafo 3.7.
dl
θ
l
r
Γ
R
φ
Figura 8.3
Contributo elementare di
un vortice rettilineo al campo di velocità
Vedi esempio 5 del paragrafo 3.7.
Γ dl r
,
4π |r|3
dove r è il vettore che va dall’elemento dl al punto P in cui si calcola la velocit à,
come mostrato nella prossima figura 8.3 in margine.
Incominciamo col verificare che, nel caso di una distribuzione rettilinea di
elementi vorticosi, la legge di Biot–Savart conduce allo stesso campo di velocit à
del vortice rettilineo studiato nel capitolo 3. Consideriamo allora la somma di tutti i
contributi di velocità indotta nel punto P da parte di tutti gli elementi del filamento
vorticoso rettilineo mostrato nella figura 8.3.
La formula del contributo alla velocità indotta contiene il prodotto vettoriale per
cui la velocità risultante u sarà perpendicolare al piano contenente la retta del vortice
e il punto r e il suo verso sarà ottenuto applicando la regola della mano destra. Per
determinare il modulo di u, indichiamo con R la distanza del punto P dal vortice
e sia θ l’angolo compreso fra r e la retta del vortice. Allora, |r| = R/ sin θ e
|dl r| = (R/ sin θ) dl sin θ = R dl. Prendendo poi come origine della variabile
di integrazione l la proiezione del punto P in cui si calcola la velocit à sulla retta
R dθ
del vortice, si ha l = R tan φ = R tan θ − π2 = −R cot θ, per cui dl = sin
2 θ . Il
modulo della velocità risultante sarà quindi dato dall’integrale
Z π
Z π
sin3 θ R 2 dθ
Γ
Γ
Γ
sin θ dθ =
|u(P)| =
=
.
4π 0
R 3 sin2 θ
4π R 0
2π R
Questo risultato, unitamente alla direzione di u, corrisponde al campo di moto del
vortice rettilineo infinito, espresso in coordinate cilindriche, con l’asse z coincidente
con la sua retta.
Teoremi dei vortici di Kelvin e Helmholtz
Per giungere a valutazioni quantitative occorre caratterizzare in maniera pi ù precisa
il comportamento della scia. Per questo sono utili altre due propriet à dei vortici, formulate tramite due teoremi di Kelvin e Helmholtz. Il primo afferma che l’intensit à,
cioè la circolazione, di un vortice che non si divide mai in pi ù filamenti è costante.
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PARAGRAFO 8.3:
Velocità indotta dai vortici di estremità
283
Bla Bla
È utile osservare che, se considerassimo solo la velocità indotta da una metà1
di un vortice rettilineo, come risultato si otterrebbe la met à del valore precedente,
ossia,
|u(P)| =
Γ
4π R
(vortice rettilineo semi−infinito).
8.3 Velocità indotta dai vortici di estremità
Una volta dimostrati i teoremi di Kelvin–Helmholtz, abbiamo gli strumenti per
comprendere il funzionamento di un’ala di apertura finita. Prendiamo un’ala che
generi una portanza e consideriamo le sue sezioni mediante piani parelleli fra loro
e normali all’asse z dell’ala, come mostrato nella figura 8.4.
y
Γ
x
z
Figura 8.4
Sezione di un’ala di apertura finita
1
A rigore, il contributo che compare nella legge di Biot–Savart appena scritto non può
essere interpretato come diretta conseguenza fisica del termine elementare di vorticità Γ dl.
Un’interpretazione fisica corretta della legge di Biot–Savart richiede di considerare l’integrale su
un intero vortice. Il considerare la metà di un vortice rettilineo rappresenta quindi più un artificio
euristico per ricavare la soluzione che non un ragionamento suscettibile di un’interpretazione
dotata di fondamento fisico.
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CAPITOLO 8 Teoria della linea portante per ali di apertura finita
y
U
z
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x
b
Figura 8.5
Vortice a ferro di cavallo
e sistema di riferimento
Ciascun profilo ottenuto da ogni sezione sarà caratterizzato da una determinata
portanza `(z) per unità di apertura che, una volta integrata lungo tutta l’apertura,
fornirà la portanza totale L. Alla portanza locale `(z) corrisponderà, in base al
teorema di Kutta–Joukowski, una circolazione locale Γ (z) = − `(z)
ρU anch’essa
funzione della distanza z dalla radice dell’ala.
Supponiamo per il momento che Γ (z) sia costante: questo vuole dire che l’ala
può essere schematizzata con un tratto di vortice rettilineo disposto lungo l’apertura
e di intensità Γ . Dato che il secondo teorema di Kelvin–Helmholtz stabilisce che
un vortice filamentoso (o un tubo di vorticità) può solo estendersi fino al contorno
(parete solida o all’infinito) del campo di moto o richiudersi su s è stesso, è legittimo
domandarsi che cosa accade a tale vortice agli estremi dell’ala. D’altra parte,
come abbiamo visto in precedenza analizzando qualitativamente la corrente attorno
all’ala vicino alle sue estremità, in queste due zone si osserva la formazione di due
vortici rettilinei semi-infiniti allineati con la direzione della velocit à esterna, che
contribuiscono a formare una scia vorticosa dietro l’ala. Siccome questi due vortici
ruotano in versi opposti ma sono entrambi coerenti con il verso della vorticit à Γ (z)
associata all’ala, si può descrivere l’insieme come un unico vortice a forma di U o
a ferro di cavallo costituito da tre tratti di vortici rettilinei di cui due semi-infiniti e
uno di lunghezza finita compreso fra gli altri due, come mostrato nella figura 8.5.
Questa ipotesi riguardo la struttura della corrente alle estremit à dell’ala sembra
plausibile considerando la natura convettiva dell’equazione della vorticit à studiata
nella prima parte.
Consideriamo adesso il campo di moto associato ai due filamenti vorticosi che
costituiscono la scia. Chiameremo questo campo di velocità, abusando un po’ del
termine, velocità indotta. In particolare siamo interessati a calcolare la velocit à
indotta in corrispondenza del vortice di lunghezza finita che schematizza l’ala,
che chiameremo in seguito vortice portante. Utilizzando la relazione ricavata
in precedenza per il tratto di vortice rettilineo semi-infinito, siamo in grado di
esprimere la velocità indotta in funzione della posizione sull’ala. Introduciamo
allora un sistema di riferimento cartesiano in cui l’asse x sia orientato come la
velocità all’infinito U e l’asse z sia diretto come il vortice portante, ossia come
l’asse dell’ala, verso il lato sinistro, per un osservatore che guardi nel verso negativo
dell’asse x. L’asse y sarà preso in modo da formare una terna destra e sarà quindi
rivolto verso l’alto, vedi figura 8.5.
Se i vortici della scia sono posizionati rispettivamente in − 12 b e 12 b, le corrispondenti velocità indotte, calcolate in un punto del vortice portante di coordinata
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PARAGRAFO 8.4:
Resistenza indotta
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z, saranno dirette come l’asse z e saranno date da
+
vind
(z) = −
Γ
,
4π(z − b/2)
|z| ≤
b
,
2
per quanto riguarda il vortice in z = b/2 e
−
vind
(z) =
Γ
,
4π(z + b/2)
|z| ≤
b
,
2
per l’altro. Se l’ala è effettivamente portante, la circolazione Γ sarà negativa, altrimenti essa sarà positiva. La velocità indotta dai due vortici sarà data semplicemente
dalla somma delle velocità appena calcolate
vind (z) = −
α
U
U
αind
α
u
Figura 8.6
vind
Triangolo delle velocità
e angolo di incidenza indotta
b
Γ
,
4π z 2 − b2 /4
|z| ≤
b
.
2
In corrispondenza del vortice portante la velocità indotta dalla scia va a sommarsi
con la velocità della corrente indisturbata, modificando sia la direzione sia l’intensit à
della velocità incidente sull’ala. La velocità risultante sarà data quindi dalla somma
vettoriale delle due: u(z) = U x̂ + vind (z) ẑ.
Considerando il triangolo delle velocità riportato nella figura 8.6, si deduce che,
se per una determinata stazione in apertura la velocità indotta è positiva, l’angolo di
incidenza a cui lavora il relativo profilo aumenta di un angolo α ind (z). Quest’angolo
viene detto angolo di incidenza indotta ed è quindi definito da:
v (z)
b
αind (z) = tan−1 ind
,
|z| ≤ .
U
2
Possiamo, sempre considerando la stessa figura, determinare l’ampiezza di tale
angolo nonché il modulo della velocità che incide effettivamente sul vortice portante.
L’angolo di incidenza effettivo, αeff (z), è definito da
αeff (z) = α(z) + αind (z),
mentre il modulo della velocità u(z) lungo l’ala è dato da
q
2
|u(z)| = u(z) = U 2 + vind
(z),
essendo entrambe le funzioni definite per |x| ≤ b/2. [Porre attenzione al fatto che
in questa analisi u(z) indica il modulo del vettore u(z) e non la sua componente x.]
Notiamo che mentre α(z) rappresenta una funzione nota, le due funzioni α ind (z) e
vind (z) sono da determinare.
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CAPITOLO 8 Teoria della linea portante per ali di apertura finita
8.4 Resistenza indotta
La variazione nella direzione della velocità incidente in corrispondenza del profilo
nelle varie sezioni dell’ala ricavata nel paragrafo precedente produce effetti di
grande importanza sul funzionamento di un’ala di apertura finita.
Innanzitutto, poiché l’angolo di incidenza effettivo a cui è sottoposto ogni
profilo dipende dalla sua posizione z lungo l’ala, si crea un legame inscindibile fra
la distribuzione di portanza sull’ala e la distribuzione di circolazione nella scia.
Inoltre, poiché il vortice portante è investito da una velocità ‘ruotata’ dell’angolo
di incidenza indotta, anche la direzione della forza portante risulter à ruotata dello
stesso angolo, in virtù del teorema della portanza di Kutta–Joukowsky che afferma
che la forza generata da un profilo alare, nelle ipotesi di flusso incomprimibile e
irrotazionale, è diretta normalmente alla velocità incidente sul profilo.
Sia allora `(z) la portanza per unità si apertura generata dal profilo in corrispondenza della sezione z, come mostrato nella figura 8.7. Per il teorema di
Kutta–Joukowsky la portanza per unità di apertura è
y
`
x
αind
U
Figura 8.7
Scomposizione della
portanza lungo le coordinate cartesiane
`(z) = −ρu(z)Γ (z).
La forza corrispondente è normale al vettore velocità u(z), somma vettoriale della
velocità del campo lontano e della velocità indotta, per cui la portanza `(z) può
essere scomposta nelle due direzioni x e y, rispettivamente parallela e normale alla
velocità asintotica U:
`x (z) = −`(z) sin αind (z)
e
` y (z) = `(z) cos αind (z).
Si può mostrare facilmente che la forza in direzione dell’asse x è sempre positiva
e costituisce dunque una resistenza, alla quale si dà il nome di resistenza indotta.
Per fissare le idee, consideriamo la relazione per il vortice a ferro di cavallo ricavata
in precedenza. Essa afferma che, quando Γ (z) è positiva, la velocità indotta sul
vortice portante è positiva e quindi αind (z) è positivo, dove −b/2 ≤ z ≤ b/2. In
questo caso il teorema di Kutta–Joukowsky ci assicura inoltre che ` è negativa,
quindi ` x deve essere positiva ed essere dunque una forza che si oppone al moto.
La presenza di una componente ` x (z) non nulla nel flusso attorno all’ala di
apertura finita mostra che questo flusso incomprimibile inviscido non soddisfa le
condizioni per potere applicare il paradosso di D’Alembert. Infatti, a causa della
presenza della scia a valle dell’ala e del suo estendersi all’infinito, la corrente non
diventa uniforme allontanandosi dal corpo in tutte le direzioni dello spazio.
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PARAGRAFO 8.5:
Teoria della linea portante
287
8.5 Teoria della linea portante
−−−−−−−
+++++++
Figura 8.8
Relazione fra la
circolazione sul vortice portante e
quella nella scia
Riprendiamo ora il ragionamento sul vortice a forma di U. Si pu ò vedere, analizzandone la formula, che la velocità indotta tende all’infinito in prossimità delle
estremità del vortice portante. Questo, oltre a essere fisicamente inammissibile,
dato che per un’ala portante Γ < 0 e αind < 0, produrrebbe anche un’incidenza
indotta negativa tale da rendere i profili vicini alle estremità alari deportanti e quindi
caratterizzati da circolazione positiva. Questo contraddice chiaramente le ipotesi di
Γ costante e negativa!
Questo ragionamento ci porta a concludere che lo schema del vortice a U con
distribuzione di Γ (z) uniforme lungo tutta l’ala è troppo grossolano per descrivere
in maniera adeguata il comportamento di un’ala reale. D’altronde, fin dall’inizio,
avevamo osservato che, a causa della discontinuità al bordo d’uscita fra la velocità
dell’aria proveniente dal dorso e la velocità dell’aria proveniente dal ventre, si
generava una superficie di discontinuità uscente dal bordo d’uscita. Proviamo
dunque a delineare un modello più accurato che tenga conto di questa osservazione.
Incominciamo con l’osservare che l’ipotesi fatta di circolazione costante lungo
il vortice portante può essere rilassata se supponiamo che le variazioni di circolazione al suo interno si ritrovino nella scia. Quindi esister à un legame fra la
circolazione Γ (z) e la circolazione per unità di apertura presente nella scia, γ (z).
Determiniamo ora un legame fra le due in modo tale che i teoremi sui vortici
filamentosi siano soddisfatti. Consideriamo due punti vicini sul vortice portante, di
coordinate z e z + dz rispettivamente. La circolazione nei due punti sar à rispettivamente Γ (z) e Γ (z + dz). Per il teorema sulla conservazione della circolazione nei
tubi vorticosi alla variazione di circolazione nel vortice portante Γ (z + dz) − Γ (z)
deve corrispondere una medesima circolazione nella scia. Essa sarà costituita, per
il nostro modello, da una circolazione per unità di apertura γ (z) distribuita sulla
variazione di apertura dz nella scia e sarà quindi data da γ (z) dz. Supponiamo γ (z)
positiva se il vettore che la rappresenta ha il verso dell’asse x, negativa altrimenti.
Come mostrato in figura 8.8, una diminuzione della circolazione all’aumentare di z
determina una circolazione positiva nella scia, a un aumento lungo l’apertura della
circolazione sul vortice portante corrisponderà invece una circolazione negativa
nella scia. Questo ci porta a concludere che la relazione cercata è
Γ (z + dz) − Γ (z) = −γ (z) dz,
da cui si ricava, dividendo per dz e passando al limite per dz → 0,
dΓ
= −γ (z).
dz
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CAPITOLO 8 Teoria della linea portante per ali di apertura finita
−−−−−−−
+++++++
Figura 8.9
Vortici a U
Per comprendere meglio la presenza del segno negativo nell’equazione precedente
possiamo ragionare utilizzando dei vortci a U. Supponiamo di affiancare due vortici
a U di diversa intensità, rispettivamente Γ1 e Γ2 , i cui vortici portanti siano disposti
sull’asse z, come rappresentato nella figura 8.9. Il verso positivo della circolazione
è rappresentato dalle frecce. Supponiamo che Γ1 > Γ2 > 0 e avviciniamo i due
vortici fino a far coincidere il vortice di scia sinistro del primo, che ha intensit à Γ1
positiva perché il suo verso è concorde con quello dell’asse x, con il vortice di scia
destro del secondo vortice, di intensità −Γ2 nella convenzione di segno adottata.
Questa operazione ci porta ad avere un unico vortice portante con circolazione che
aumenta bruscamente da Γ1 a Γ2 . In corrispondenza dell’aumento della circolazione
del vortice portante abbiamo un vortice di scia di intensità −Γ2 + Γ1 , ottenuto dalla
somma algebrica dei vortici di scia dei due vortici a U considerati, che è negativo
per le ipotesi fatte.
8.6 Equazione della linea portante (integro-differenziale)
Una volta ottenuta una relazione che leghi la distribuzione di circolazione lungo
l’apertura del vortice portante con la distribuzione di circolazione per unit à di
apertura nella scia possiamo passare a ricercare un’equazione che ci permetta di
ricavare la distribuzione di circolazione una volta assegnata la geometria dell’ala,
l’incidenza geometrica e la velocità della corrente lontano da essa.
Per far questo introduciamo delle ipotesi semplificative. Innanzitutto supponiamo che sia applicabile la teoria dei profili sottili in ogni sezione dell’ala. In questo
caso il coefficiente di portanza del profilo relativo alla sezione z sar à dato dalla
relazione
C` (z) = 2π αeff (z) − α`=0 (z) .
Il coefficiente di portanza è stato scritto come funzione dell’angolo di incidenza
efficace, poiché questo è l’angolo di incidenza cui è sottoposto il profilo.
D’altra parte, ricordando il teorema di Kutta–Joukowsky il coefficiente adimensionale di portanza è definito da
C` (z) =
−ρu(z)Γ (z)
2Γ (z)
=−
.
1
2
u(z)c(z)
ρu (z)c(z)
2
Pertanto, eguagliando le due ultime espressioni si trova il legame fra la circolazione
e l’angolo di incidenza, che risulta essere della forma
Γ (z)
= −αeff (z) + α`=0 (z).
πu(z)c(z)
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PARAGRAFO 8.6:
Equazione della linea portante (integro-differenziale)
289
Possiamo a questo punto sostituire all’angolo di incidenza efficace α eff (z) la sua
espressione ricavata in precedenza, αeff (z) = α(z) + αind (z), ottenendo
Γ (z)
+ αind (z) = −α(z) + α`=0 (z),
πu(z)c(z)
dove, come già visto, αind (z) = tan−1 vind (z)/U .
Avendo supposto valida la teoria dei profili sottili l’angolo di incidenza geometrica e l’angolo di incidenza indotta devono essere piccoli. Questo ci consente
di approssimare la tangente e il seno di un angolo con l’angolo stesso, per cui
scriviamo
αind (z) ' vind (z)/U
e anche di considerare la velocità indotta vind (z) piccola rispetto a quella asintotica,
per cui
u(z) ' U.
Di conseguenza la relazione contenente l’incognita Γ (z) diventa
v (z)
Γ (z)
+ ind
= −α(z) + α`=0 (z).
πU c(z)
U
Rimane ora il problema di determinare la velocità vind (z) indotta dalla scia di
Prandtl. Per fare questo possiamo utilizzare le relazioni viste in precedenza per i
vortici rettilinei semi-infiniti. In questo caso un tratto di apertura infinitesima dζ
della scia, in corrispondenza della coordinata z = ζ , si comporter à come un vortice
rettilineo semi-infinito, e darà un contributo alla velocità indotta
dvind = −
γ (ζ ) dζ 1
,
4π
z−ζ
che, introducendo la relazione fra la derivata della circolazione sul vortice portante
e la circolazione per unità di apertura nella scia, diventa
dvind =
1 dΓ (ζ ) dζ
.
4π dζ z − ζ
Integrando sull’apertura, si ottiene
Z b/2
1
dΓ (ζ ) dζ
vind (z) =
,
4π −b/2 dζ z − ζ
F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 8 – pagina 290 colore nero
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CAPITOLO 8 Teoria della linea portante per ali di apertura finita
che può essere sostituita nella precedente equazione contenente Γ (z) per ottenere
un’equazione in questa sola incognita
Γ (z)
1
+
πU c(z) 4πU
Z
b/2
−b/2
dΓ (ζ ) dζ
= −α(z) + α`=0 (z).
dζ z − ζ
Questa equazione è nota come equazione della teoria della linea portante.
Essa consiste in un legame che deve essere soddisfatto, per ogni valore di z
nell’intervallo [−b/2, b/2], dalla funzione Γ (z) da determinare nello stesso intervallo. L’equazione è integro-differenziale in quanto l’incognita Γ (z) compare
sia sotto il segno d’integrale sia come derivata. Le tre funzioni c = c(z), α = α(z)
e α`=0 = α`=0 (z), definite per − b2 ≤ z ≤ b2 , sono note e insieme definiscono in
modo completo le caratteristiche geometriche dell’ala.
Caratteristiche aerodinamiche dell’ala
La soluzione Γ (z) dell’equazione della linea portante permette di determinare le
caratteristiche aerodinamiche dell’ala di apertura finita. Per prima cosa abbiamo
l’angolo di incidenza indotto
Z b/2
v (z)
dΓ (ζ ) dζ
1
αind (z) = ind
=
.
U
4πU −b/2 dζ z − ζ
Inoltre si potranno calcolare le seguenti quantità aerodinamiche nella loro versione
locale e globale:
1. La distribuzione della portanza locale per unità di apertura in base al teorema
della portanza di Kutta–Joukowski
` y (z) = `(z) cos αind (z)
' `(z) = −ρU Γ (z).
Per indicare la portanza usiamo la lettera `, che è molto diffusa nella letteratura
aeronautica per aderenza al termine inglese lift.
2. La portanza totale dell’ala, ottenuta integrando la relazione precedente,
Z b/2
Z b/2
` y (z) dz = −ρU
Γ (z) dz.
L≡
−b/2
−b/2
Da questa quantità si ricava il coefficiente di portanza dell’ala finita
Z b/2
L
2
CL ≡ 1
Γ (z) dz.
=−
U S −b/2
ρU 2 S
2
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Settembre 30, 2004
PARAGRAFO 8.7: Distribuzione ellittica della portanza
291
3. La resistenza indotta locale per unità di apertura:
dind (z) = −`(z) sin αind (z)
' −`(z) αind (z) = ρU Γ (z) αind (z).
Per indicare la resistenza usiamo la lettera d, che è assai diffusa nella letteratura
aeronautica per aderenza al termine inglese drag.
4. La resistenza indotta totale dell’ala. Questa quantità si ottiene integrando
dind (z) lungo tutta l’apertura dell’ala, ottenendo
Dind ≡
Z
b/2
−b/2
dind (z) dz = ρU
Z
b/2
−b/2
Γ (z) αind (z) dz.
Da questa quantità si ottiene la sua versione adimensionale, chiamata coefficiente di resistenza indotta
Z b/2
2
Dind
=
Γ (z) αind (z) dz.
C Dind ≡ 1
U S −b/2
ρU 2 S
2
8.7 Distribuzione ellittica della portanza
Consideriamo una distribuzione della circolazione nelle vari sezioni dell’ala che
abbia il seguente andamento
q
2
Γ (z) = Γ0 1 − 2zb ,
dove Γ0 è il valore della circolazione in corrispondenza della sezione centrale
(z = 0) dell’ala. Notiamo che questo valore non è un dato ma solo un elemento
della soluzione dell’equazione integro-differenziale e quindi è determinato dalle tre
funzioni note presenti nell’equazione stessa.
Si vede che la circolazione varia in modo ellittico con la distanza z lungo
l’apertura: ha il valore massimo Γ (0) = Γ0 al centro dell’ala e si annulla alle due
estremità per z = ±b/2. Per questo motivo essa è chiamata distribuzione ellittica
della circolazione. Dato che, in base alla legge della portanza di Kutta–Joukowski,
` = −ρU Γ , la portanza locale della distribuzione ellittica di Γ (z) è data da
q
2
`(z) = −ρU Γ0 1 − 2zb
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292
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CAPITOLO 8 Teoria della linea portante per ali di apertura finita
e quindi anche la distribuzione della portanza è ellittica.
La distribuzione ellittica non è stata ricavata come soluzione dell’equazione
integro-differenziale ma abbiamo soltanto supposto che tale distribuzione potesse
essere soluzione del problema. Verifichiamo ora quali potrebbero essere le propriet à
aerodinamiche di un’ala con distribuzione ellittica della portanza.
Per prima cosa determiniamo la velocità verticale indotta. Calcoliamo la
derivata della funzione Γ (z)
dΓ (z)
4Γ0
z
=− 2 q
dz
b
1−
2z 2
b
.
Sostituendo la derivata nella definizione della velocità verticale indotta abbiamo
Z b/2
ζ dζ
Γ0
v(z) = − 2
q
2 .
πb −b/2
(z − ζ ) 1 − 2ζb
Per calcolare l’integrale è utile considerare il cambiamento di variabile
b
z = − cos θ,
2
e quindi introdurre la funzione v̂(θ) che esprime la velocità verticale indotta in
funzione della nuova variabile, essendo definita da
v̂(θ) = v(z(θ)) = v cos−1 − 2zb .
Se la nuova variabile che corrisponde alla variabile di integrazione ζ è indicata con
ϑ, per cui
b
ζ = − cos ϑ
2
e
dζ =
b
sin ϑ dϑ,
2
l’integrale precedente diventa
Z π
cos ϑ
Γ0
v̂(θ) =
dϑ.
2πb 0 cos ϑ − cos θ
Questo integrale corrisponde al caso particolare n = 1 della formula standard degli
integrali definiti incontrati nello studio del flusso attorno a un profilo sottile piatto
e che è ricavata nell’appendice G. Per comodità riportiamo tale formula
Z π
cos(nϑ)
π sin(nθ)
dϑ =
,
n = 0, 1, 2, 3, . . .
sin θ
0 cos ϑ − cos θ
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PARAGRAFO 8.8: Distribuzione generica della portanza
Per n = 1 l’integrale vale quindi π e pertanto si ottiene v̂(θ) =
v=
Γ0
2b
per
|z| ≤
Γ0
2b ,
293
ovvero
b
,
2
e la velocità verticale indotta in un’ala con una portanza ellittica è uniforme lungo
tutta l’apertura dell’ala (sarà però nulla al suo esterno). A sua volta, l’angolo di
incidenza indotto è dato da
αind =
v
Γ0
=
U
2U b
per
|z| ≤
b
,
2
e quindi anche l’angolo di incidenza indotto di un’ala con una portanza ellittica è
uniforme lungo la sua apertura.
8.8 Distribuzione generica della portanza
Cambiamento di variabili ed equazione trasformata
Consideriamo ora il caso di un’ala le cui caratteristiche geometriche siano note ma
comunque arbitrarie. Ricorriamo ancora allo stesso cambiamento di variabile
b
z = − cos θ
2
adottato nel caso di andamento ellittico della portanza e introduciamo quindi
l’incognita trasformata, ovvero Γ̂ (θ), funzione della nuova variable θ, definita
da
Γ̂ (θ) = Γ (z(θ)) = Γ cos−1 − 2zb .
Riscriviamo l’equazione integro-differenziale della teoria della linea portante in
termini delle nuove variabili introducendo la nuova variabile d’integrazione ϑ legata
a quella, ζ , dell’equazione originaria tramite lo stesso cambiamento di variabili:
b
ζ = − cos ϑ.
2
Il cambiamento di variabili considerato conduce pertanto all’equazione
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294
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CAPITOLO 8 Teoria della linea portante per ali di apertura finita
Γ̂ (θ)
1
+
πU ĉ(θ) 2πU b
Z
π
0
dϑ
d Γ̂ (ϑ)
= −α̂(θ) + α̂`=0 (θ),
dϑ cos ϑ − cos θ
dove sono state introdotte le seguenti funzioni trasformate dei dati
ĉ(θ) = c(z(θ)) = c cos−1 − 2zb ,
α̂(θ) = α(z(θ)) = α cos−1 − 2zb ,
α̂`=0 (θ) = α`=0 (z(θ)) = α`=0 cos−1 − 2zb .
L’equazione integro-differenziale appena scritta deve essere soddisfatta per ogni
θ nell’intervallo [0, π] e la sua soluzione Γ̂ (θ) è definita nello stesso intervallo.
Notare la lettera greca ϑ usata come variabile d’integrazione, che è diversa dalla
normale lettera θ con cui si indica invece la variabile libera dell’equazione integrodifferenziale.
Rappresentazione in serie di Fourier della soluzione
La soluzione del caso ellittico, cioè Γ̂ ell (θ) = Γ0 sin θ, suggerisce che la soluzione
del caso generale potrebbe avere la forma di una serie di Fourier di soli seni,
ovverosia:
Γ̂ (θ) = 2U b
∞
X
Bm sin(mθ),
m=1
dove il coefficiente 2U b è stato introdotto affinché i coefficienti Bm , m = 1, 2, . . . ,
della serie siano adimensionali. I coefficienti B m , m = 1, 2, . . . , sono incognite da
determinate imponendo che la serie soddisfi l’equazione di Prandtl della teoria della
linea portante. Calcoliamo allora la derivata della funzione Γ̂ (θ) per poi sostituire
nell’equazione integro-differenziale. Si ha
∞
X
d Γ̂ (θ)
m Bm cos(mθ).
= 2U b
dθ
m=1
Sostituendo nell’equazione della linea portante si ottiene
∞
2b X
1
Bm sin(mθ)+
π ĉ(θ) m=1
π
Z
π
P∞
m Bm cos(mϑ)
dϑ = −α̂(θ)+α̂`=0 (θ),
cos ϑ − cos θ
m=1
0
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PARAGRAFO 8.8: Distribuzione generica della portanza
295
ovverosia, scambiando fra loro l’ordine di integrazione e di sommatoria,
Z π
∞
∞
1X
cos(mϑ)
2b X
Bm sin(mθ) +
m Bm
dϑ
π ĉ(θ) m=1
π m=1
cos
ϑ − cos θ
0
= −α̂(θ) + α̂`=0 (θ).
Ma gli integrali definiti sono proprio quelli della formula appena riportata per cui
l’equazione precedente diventa
∞
∞
X
sin(mθ)
2b X
m Bm
Bm sin(mθ) +
= −α̂(θ) + α̂`=0 (θ),
π ĉ(θ) m=1
sin θ
m=1
ovverosia, scrivendo un’unica sommatoria,
∞ X
2b
m
sin(mθ) Bm = −α̂(θ) + α̂`=0 (θ).
+
π ĉ(θ) sin θ
m=1
Questa equazione deve essere soddisfatta in tutti i punti θ dell’intervallo [0, π]
essendo note le tre funzioni ĉ(θ), α̂(θ) e α̂`=0 (θ) sullo stesso intervallo. Gli infiniti
coefficienti Bm , m = 1, 2, . . . , sono le incognite del problema. Esse compaiono
linearmente nell’equazione per cui il problema pu ò essere riguardato come un
sistema lineare di infinite equazioni, una per ogni valore di θ ∈ [0, π], nelle infinite
incognite Bm , m = 1, 2, . . . .
Approssimazione e discretizzazione del problema
La risoluzione del problema lineare di “ordine infinito” appena formulato pu ò
essere affrontata in modo approssimato troncando la serie della soluzione a un
numero finito M di termini, ovvero scrivendo
Γ̂ (θ) = 2U b
M
X
Bm sin(mθ),
m=1
e soddisfacendo l’equazione lineare soltanto in M punti dell’intervallo [0, π].
La scelta dei punti non è ovvia anche perché il coefficiente fra parentesi quadre
nell’equazione contiene le due funzioni ĉ(θ1 ) e sinm θ che divergono agli estremi
dell’intervallo [0, π]. Per controllare pi ù agevolmente questo comportamento
dell’equazione discretizzata, conviene moltiplicare entrambi i suoi membri per
ĉ(θ) sin θ, e scrivere l’equazione troncata nella forma seguente
M X
2b
sin θ + m ĉ(θ) sin(mθ) Bm = − α̂(θ) + α̂`=0 (θ) ĉ(θ) sin θ.
π
m=1
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CAPITOLO 8 Teoria della linea portante per ali di apertura finita
A questo punto possiamo considerare una distribuzione uniforme di punti, ad esempio, θm = (m − 1)π/(M − 1), con m = 1, 2, . . . , M, che include gli estremi
dell’intervallo. Imporremo infine che l’equazione sia soddisfatta in ognuno di essi,
per cui avremo M equazioni lineari in M incognite
M X
2b
sin θn + m ĉ(θn ) sin(mθn ) Bm = − α̂(θn )+ α̂`=0 (θn ) ĉ(θn ) sin θn ,
π
m=1
per n = 1, 2, . . . , M. Naturalmente, aumentando l’ordine M di questo sistema
lineare si dovrebbe ottenere una soluzione del problema sempre pi ù accurata. Gli
elementi della matrice A del sistema lineare sono dati da
2b
sin θn + m ĉ(θn ) sin(mθn )
A → an,m =
π
e quindi il sistema è non simmetrico.
Proprietà aerodinamiche dell’ala
Una volta che Γ̂ (θ) è stato calcolato, il coefficiente di portanza dell’ala è determinato
mediante la seguente relazione
Z b/2
2
L
`(z) dz
=
CL = 1
2
ρU 2 S −b/2
2 ρU S
Z b/2
2
−ρU
Γ
(z)
dz
=
ρU 2 S
−b/2
Z π
2 b
Γ̂ (θ) sin θ dθ.
=
US 2 0
Sostituendo l’espansione in serie della soluzione Γ̂ (θ) si ottiene
CL =
=
b
US
Z
π
2U b
0
∞
X
Bm sin(mθ) sin θ dθ
m=1
Z π
∞
2b2 X
Bm
sin(mθ) sin θ dθ.
S m=1
0
Ma per la nota relazione di ortogonalità
(
Z π
π/2 per m = 1,
sin(mθ) sin θ dθ =
0 per m =
6 1,
0
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PARAGRAFO 8.8: Distribuzione generica della portanza
297
di tutti i termini della sommatoria rimane solo il primo e quindi risulta
CL =
πb2
B1 = π All. B1 ,
S
dove si è anche introdotto il rapporto di forma o allungamento All. = b 2 /S
dell’ala. Notiamo che, anche se C L dipende solo dal primo coefficiente della serie
di Γ̂ (θ), la sua determinazione richiede di risolvere il sistema lineare relativo a tutti
i coefficienti Bm , per m = 1, 2, . . . , M.
Il calcolo del coefficiente di resistenza indotta è un po’ più complicato. Per
definzione abbiamo:
Z b/2
Dind
2
C Dind = 1
=
`(z) αind (z) dz
2
ρU 2 S −b/2
2 ρU S
Z b/2
2
Γ (z) αind (z) dz
−ρU
=
ρU 2 S
−b/2
Z π
b
=
Γ̂ (θ) α̂ind (θ) sin θ dθ.
US 0
Il calcolo dell’integrale richiede di sostituire la serie della soluzione Γ̂ (θ) come
pure l’espressione corrispondente della funzione α̂ ind (θ). Quest’ultima, utilizzando
il consueto cambiamento di variabili, è definita da
Z
dϑ
1 2 π d Γ̂ (ϑ)
α̂ind (θ) =
4πU b 0
dϑ cos ϑ − cos θ
P
Z π
2U b ∞
1
m=1 m Bm cos(mϑ)
=
dϑ
2πU b 0
cos ϑ − cos θ
Z π
∞
1X
cos(mϑ) dϑ
m Bm
=
π m=1
cos
ϑ − cos θ
0
=
∞
X
m=1
m Bm
sin(mθ)
.
sin θ
Sostituendo le due serie nell’espressione di C Dind si ha
X
Z π
∞
∞
X
b
0
0
C Dind =
2U b
Bm sin(mθ)
m Bm 0 sin(m θ) dθ
US 0
m=1
m 0 =1
Z π
∞
∞ X
2b2 X
Bm m 0 Bm 0
sin(mθ) sin(m 0 θ) dθ.
=
S m=1 m 0 =1
0
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CAPITOLO 8 Teoria della linea portante per ali di apertura finita
Ricorriamo ora alla relazione di ortogonalità
Z
π
0
sin(mθ) sin(m 0 θ) dθ =
(
π/2 per m = m 0 ,
0 per m 6= m 0 ,
per cui le due sommatorie si riducono a una sola:
C Dind =
∞
∞
X
πb2 X
m Bm2 = π All.
m Bm2 .
S m=1
m=1
dove si è introdotto il rapporto di forma dell’ala, All. = b 2 /S. Questo risultato si
scrive anche in una forma leggermente diversa separando il contributo del primo
termine della serie da tutti i successivi
∞
X
B2
C Dind = π All. B12 1 +
m m2 ,
B1
m=2
ovverosia, introducendo il parametro adimensionale δ =
C Dind = π All. (1 + δ)B12 .
P∞
m=2
m Bm2 /B12 ,
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PARAGRAFO 8.9: Ruolo del rapporto di forma
Tabella 1.
Γ (z)
`(z)
299
Soluzione dell’equazione integro-differenziale della teoria
della linea
portante di Prandtl–Lanchester: θ = θ(z) = cos−1 − 2zb SEGNI
ANCORA DA CONTROLLARE.
ala di forma ellittica
q
2
Γ0 1 − 2zb
q
−ρU Γ0 1 −
L
− π4 ρU Γ0 b
CL
− π2
vind (z)
Γ0
2b
αind (z)
v
U
C Dind
π Γ0 b
2 US
2z 2
b
Γ0 b
US
=
8.9 Ruolo del rapporto di forma
2U b
P∞
−2ρU 2 b
π
2
Bm sin[mθ(z)]
m=1
P∞
m=1
Bm sin[mθ(z)]
ρU 2 b2 B1
π All. B1
Γ0
2U b
=
αind =
All. ≡
ala di forma arbitraria
b2
S
CL
π All.
C L2
π All.
P∞
m=1
(z)]
m Bm sin[mθ
sin θ (z)
C L2
(1 +
π All.
δ≡
P∞
δ)
m=2
m
Bm 2
B1