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Punti fissi, Classificazione e Linearizzazione

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Punti fissi, Classificazione e Linearizzazione
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Punti fissi, Classificazione e
Linearizzazione
Pietro Pantano
Dipartimento di Matematica
Università della Calabria
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1 Punti fissi
4
2 Classificazione dei punti fissi
5
3 Classificazione dei punti fissi /2
6
4 Classificazione dei punti fissi /3
7
5 Classificazione dei punti fissi /4
8
6 Classificazione dei punti fissi /5
9
7 Linearizzazione
10
8 Linearizzazione /2
11
9 Esempio: Sistema preda-predatore
12
10 Parametri di controllo
13
11 Punti fissi
14
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12 Linearizzazione del sistema
15
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13 Linearizzazione del sistema /2
16
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14 Linearizzazione del sistema /3
17
15 Sistema di van der Pol: Ciclo limite
18
16 Ciclo limite
20
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1.
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Punti fissi
Dato un sistema
ẋ = F(x)
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i punti fissi sono le soluzioni dell’equazione
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F(x) = 0
Esempio 3
Per il sistema:
ẋ1 = x2
ẋ2 = − mb x2 −
k
x
m 1
l’unico punto fisso é (x1 , x2 ) = (0, 0))
2.
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Classificazione dei punti fissi
Consideriamo un sistema lineare omogeneo scritto in forma
matriciale
ẋ = Ax
con det(A) 6= 0. Il punto (x1 , x2 ) = (0, 0) é l’unico punto
fisso.
Distinguiamo 4 tipi di punti fissi in base alla natura degli
autovalori della matrice A.
3.
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Classificazione dei punti fissi /2
(0, 0) é un punto di SELLA se gli autovalori sono reali
e di segno opposto (Figura 1)
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Figure 1: Sella
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Classificazione dei punti fissi /3
(0, 0) é un NODO se gli autovalori sono reali e con lo
stesso segno, in particolare si ha:
1. Nodo Stabile se gli autovalori sono entrambi negativi;
2. Nodo Instabile se gli autovalori sono entrambi
positivi (Figura 2);
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Figure 2: Nodo instabile
5.
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Classificazione dei punti fissi /4
(0, 0) é un FUOCO se gli autovalori sono complessi coniugati: λ = α ± iβ, in particolare si ha:
1. Fuoco Stabile se Reλ < 0
2. Fuoco instabile se Reλ > 0, (Figura 3);
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Figure 3: Fuoco instabile
6.
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Classificazione dei punti fissi /5
(0, 0) é un Centro se gli autovalori sono puramente immaginari: Reλ = 0 (Figura 4)
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Figure 4: Centro
7.
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Linearizzazione
Consideriamo un sistema bidimensionale
ẋ1 = f1 (x1 , x2 )
ẋ2 = f2 (x1 , x2 )
dove almeno una tra f1 , f2 é non lineare . Sia
x = (x1 , x2 ) = (a, b)
un punto fisso del sistema.
Definiamo sistema linearizzato nell’intorno di x il sistema
lineare che si ottiene troncando lo sviluppo di Taylor al
primo ordine:
(
∂f
∂f
x˙1 = ∂x
(a, b)(x1 − a) + ∂x
(a, b)(x2 − b)
1
2
∂g
∂g
x˙2 = ∂x1 (a, b)(x1 − a) + ∂x2 (a, b)(x2 − b)
8.
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Linearizzazione /2
Posto y = x − x, il sistema linearizzato scritto in forma
compatta é:
ẏ = J(x̄)y
dove J(x̄) é la matrice Jacobiana.
Il punto fisso sará classificato in relazione agli autovalori
della matrice Jacobiana.
9.
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Esempio: Sistema preda-predatore
Modello preda-predatore
Ṅ1 = rN1 1 − Nk1 − αN1 N2
Ṅ2 = −cN2 + βN1 N2
dove N1 indica l’andamento delle prede e N2 l’andamento
dei predatori in funzione del tempo.
10.
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Parametri di controllo
Nel sistema sono presenti i seguenti parametri di controllo:
• α Indica l’efficacia della ricerca da parte dei predatori nello scovare le prede.
• β Indica il tasso di accrescimento dei predatori per
preda mangiata
• k Fattore di ripopolamento della specie (non dovuto
a cause naturali)
• r Indica il tasso di accrescimento delle prede
• c Tasso di mortalitá dei predatori
Si assumono i parametri α, β, r,c numeri reali positivi
compresi tra 0 ed 1, il parametro k maggiore di 1.
11.
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Punti fissi
Il sistema presenta i seguenti punti fissi:
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(N1 , N2 ) = (0, 0)
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(N1 , N2 ) = (k, 0)
c
βk − c
(N1 , N2 ) = ( , r
)
β
αβk
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soluzioni del sistema:
0 = rN1 1 − Nk1 − αN1 N2
0 = −cN2 + βN1 N2
0 = N1 r 1 − Nk1 − αN2
0 = N2 (−c + βN1 )
12.
Linearizzazione del sistema
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J(N1 , N2 ) =
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∂f
∂N1
∂g
∂N1
∂f
∂N2
∂g
∂N2
!
=
−αN1
−c + βN1
(N1 , N2 ) = (0, 0)
ha la matrice Jacobiana:
J(0, 0) =
r 0
0 −c
Gli autovalori della matrice Jacobiana sono:
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− aN2
Il sistema linearizzato nell’intorno del punto fisso
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2rN1
k
βN2
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r−
λ1 = −r, λ2 = c.
Il punto fisso
(N1 , N2 ) = (0, 0)
é una sella.
(Verificare per α = β = 0.6,r = 0.8, c = 3, k = 15.)
13.
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Linearizzazione del sistema /2
Il sistema linearizzato nell’intorno punto fisso
(N1 , N2 ) = (k, 0)
ha la matrice Jacobiana:
−r
−αk
J(k, 0) =
0 −c + βk
Gli autovalori della matrice jacobiana sono:
λ1 = −r, λ2 = −c + βk

< 0 ↔ βk − c < 0 → k <
λ1 < 0, λ2 → = 0 ↔ βk − c = 0 → k =

> 0 ↔ βk − c > 0 → k >
c
β
c
β
c
β
Per α = β = 0.6,r = 0.8, c = 3, k = 15 il punto é una
sella.
Per k = 3 il punto é un nodo stabile.
14.
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Linearizzazione del sistema /3
Il sistema linearizzato nell’intorno punto fisso
c r (βk − c)
(N1 , N2 ) =
,
β
αβk
ha la matrice Jacobiana:
−cr
c
βk − c
βk
J( , r
) = r(βk−c)
β
αβk
αk
−αc β
0
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Gli autovalori sono:
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cr (βk − c)
cr
λ+
=0
βk
βk
p
c2 r2 − 4crβk (βk − ck)
cr
λ=−
±
2βk
2βk
Per α = β = 0.6,r = 0.8, c = 3, k = 15, il punto é un
fuoco stabile.
λ2 +
15.
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Sistema di van der Pol: Ciclo limite
Nei sistemi 2D é possibile che si presenti un nuovo tipo
di attrattore: un’orbita chiusa, chiamata ciclo limite.
L’equazione di van der Pol é la seguente
ẍ + x + (x2 − 1)ẋ = 0
Sotto forma di sistema diventa:
ẋ1 = x2
ẋ2 = (x21 − 1)x2 − x1
Punti fissi (x1 , x2 ) = (0, 0). Matrice Jacobiana:
! ∂f1
∂f1
0
1
∂x1
∂x2
J(x1 , x2 ) = ∂f2 ∂f2 =
−2x1 x2 − 1 (1 − x21 )
∂x
∂x
1
2
Esci
J(0, 0) =
0 1
−1 Autovalori
JJ
II
−λ
1
2
−1 − λ = λ − λ + 1 = 0
√
± 2 − 4
λ=
2
• e ≤ −2 Nodo Stabile
J
I
• −2 < < 0 Fuoco Stabile
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• = 0 Centro
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• 0 < < 2 Fuoco Instabile
Pieno Schermo
• ≥ 2 Nodo Instabile
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Ciclo limite
Il diagramma di fase in Figura 5 per il valore di = −1
mostra l’esistenza un’orbita chiusa (una sola) che attrae tutte le traiettorie che partono fuori dell’orbita e
dall’interno dell’orbita.
Un’orbita periodica isolata è detta ciclo limite(stabile
o instabile). Nel caso mostrato in figura, si ha un ciclo
limite stabile.
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Figure 5: Piano delle fase dell’oscillatore di van der Pol per = −1
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