SISTEMA DI DUE NUCLEONI Interazione nucleone–nucleone

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SISTEMA DI DUE NUCLEONI
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SISTEMA DI DUE NUCLEONI
Interazione nucleone–nucleone
Eliminato il moto del centro di massa, gli operatori fondamentali del sistema sono
x̂ = x̂1 − x̂2 ,
p̂ = 12 (p̂1 − p̂2 ),
(1)
ŝ1 = 21 σ̂1 ,
ŝ2 = 12 σ̂2 .
(2)
e lo spazio di Hilbert è H = L 2 (R3 ) ⊗ `2 ⊗ `2 .
(1)
(2)
Consideriamo nello spazio L 2 (Ω) ⊗ `2 ⊗ `2
L̂ = x̂ ∧ p̂/},
(orbitale)
i momenti angolari (in unità })
Jˆ = L̂ + Ŝ
(totale)
Ŝ = 21 (σ̂1 + σ̂2 ),
(totale di spin)
e l’operatore tensoriale
X x̂i x̂j
(x̂· σ̂1 )(x̂· σ̂2 )
− σ̂1 · σ̂2 =
Σ̂ = 3
3 2 − δij σ̂1i σ̂2j
ij
x̂2
x̂
Si ottengono facilmente le relazioni
σ̂1 · σ̂2 = 2Ŝ 2 − 3,
(Ŝ · x̂)2 =
1
2
L̂· Ŝ = 21 (Jˆ2 − L̂2 − Ŝ 2 ),
(σ̂1 · x̂)(σ̂2 · x̂) + x̂2 , cioè (σ̂1 · x̂)(σ̂2 · x̂) = 2(Ŝ · x̂)2 − x̂2
e quindi anche
(Ŝ · x̂)2
2
− Ŝ .
Σ̂ = 2 3
x̂2
Consideriamo anche la grandezza parità descritta dall’operatore
Z
Z
P̂ = d3 x |− x̂ih x̂ | ⊗ Iσ1 ⊗ Iσ2 = d3 p |− p̂ih p̂ | ⊗ Iσ1 ⊗ Iσ2
che agisce solo sulle variabili angolari.
Nota
Il nome dell’operatore tensoriale Σ̂ deriva dal fatto che esso è lo scalare risultante dalla contrazione
dell’operatore tensoriale simmetrico a traccia nulla nello spazio L 2 (Ω)
ûij = 3
x̂i x̂j
− δij
x̂2
(1)
(2)
con l’operatore tensoriale σ̂1i σ̂2j nello spazio di spin `2 ⊗ `2 , che non è simmetrico nè a traccia nulla.
Tuttavia, poiché ûij è simmetrico a traccia nulla
solo la parte simmetrica a traccia nulla di σ̂1i σ̂2j
v̂ij = 21 (σ̂1i σ̂2j + σ̂1j σ̂2i ) −
1
3
X
contribuisce alla contrazione e quindi
Σ̂ =
X
ij
ûij v̂ij .
k
σ̂1k σ̂2k δij
1
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La forma più generale solitamente considerata per l’operatore hamiltoniano del sistema di due nucleoni è
Ĥ = T̂ + V̂c + V̂ss + V̂LS + V̂Σ
dove
T̂ =
p̂2
2m
(energia cinetica, m = mN /2)
=
V̂c = vc (r̂)
(interazione centrale),
V̂ss = vss (r̂) σ̂1 · σ̂2
(interazione spin–spin)
V̂LS = vLS (r̂) L̂· Ŝ
(interazione LS o spin(totale)–orbita)
V̂Σ = vΣ (r̂) Σ̂
p̂2r
}2 1
+ vcf (r̂) L2 , vcf (r̂) =
2m
2m r̂2
= vss (r̂) 2S 2 − 3 ,
= vLS (r̂) 12 J 2 − L2 − S 2
(Ŝ · x̂)2
2
− Ŝ
= vΣ (r̂) 2 3
x̂2
(interazione tensoriale)
Costanti del moto
Si ottengono facilmente i commutatori
2 p̂ , L̂ = 0,
2
p̂ , σ̂1 = 0,
2
p̂ , σ̂2 = 0,
v(r̂), L̂ = 0,
v(r̂), σ̂1 = 0,
v(r̂), σ̂2 = 0,
σ̂1 · σ̂2 , L̂ = 0,
σ̂1 · σ̂2 , Ŝ = 0,
σ̂1 · σ̂2 , σ̂1 6= 0,
σ̂1 · σ̂2 , σ̂2 6= 0,
L̂· Ŝ, L̂2 = 0,
L̂· Ŝ, Ŝ 2 = 0,
L̂· Ŝ, Jˆ = 0,
L̂· Ŝ, L̂ 6= 0,
L̂· Ŝ, Ŝ 6= 0,
Σ̂, Ŝ 2 = 0,
Σ̂, Jˆ = 0,
Σ̂, P̂ = 0,
Σ̂, L̂2 6= 0,
dove, per il commutatore tra Σ̂ e P̂ , abbiamo usato le relazioni
P̂ x̂ = −x̂P̂ ,
P̂ σ̂1 = σ̂1 P̂ ,
P̂ σ̂2 = σ̂2 P̂ .
Pertanto,
••
•• se Ĥ = T̂ + V̂c
♥
sono costanti del moto L̂, σ̂1 e σ̂2 (e quindi anche Ŝ e Jˆ)
e sono tra di loro compatibili L̂2 , L̂z σ̂1z e σ̂2z ,
•
•
♦
se Ĥ = T̂ + V̂c + V̂ss
sono costanti del moto L̂ e Ŝ (ma non σ̂1 e σ̂2 ),
e sono tra di loro compatibili L̂2 , L̂z , Ŝ 2 e Ŝz ,
♣ se Ĥ = T̂ + V̂c + V̂ss + V̂LS
sono costanti del moto L̂2 e Ŝ 2 (ma non le loro componenti) e Jˆ,
e sono tra di loro compatibili L̂2 , Ŝ 2 , Jˆ2 e Jˆz ,
♠ se Ĥ = T̂ +V̂c +V̂ss +V̂LS +V̂Σ
sono costanti del moto P̂ (ma non L̂2 ), Ŝ 2 e Jˆ.
e sono tra di loro compatibili P̂ , Ŝ 2 , Jˆ2 e Jˆz .
Nota
In ciascuno degli ultimi tre casi il sistema di costanti del moto indicato
era tale anche in tutti casi rispettivamente precedenti,
ma la sua considerazione in quei casi era superflua.
Nei primi tre casi la considerazione di P̂ era inutile in quanto funzione di L̂2 .
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Equazioni radiali
(1)
(2)
(1)
(2)
Lo spazio di Hilbert del sistema è H = L 2 (R3 ) ⊗ `2 ⊗ `2 = L 2 (r; r2 dr) ⊗ L 2 (Ω) ⊗ `2 ⊗ `2 .
Usando la rappresentazione di Schrödinger in L 2 (r; r2 dr) ⊗ L 2 (Ω)
(1)
(2)
e la rappresentazione standard in `2 e `2
gli elementi di H sono funzioni del tipo ψ(r, ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ).
Gli operatori di momento angolare L̂, 21 σ̂1 , 12 σ̂2 e le loro funzioni nonché l’operatore tensoriale Σ̂
(1)
(2)
agiscono solo nello spazio L 2 (Ω) ⊗ `2 ⊗ `2
i cui elementi sono funzioni del tipo φ(ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ).
Indicheremo con
ZI (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ) = hϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 |Ii
le autofunzioni specificate dal complesso di autovalori I
degli operatori diagonali nella base usata in ciascun caso via via considerato.
••
••
Nel caso ♥
(1)
(2)
possiamo diagonalizzare simultaneamente Ĥ, L̂2 , L̂z σ̂1z e σ̂2z in L 2 (R3 ) ⊗ `2 ⊗ `2 .
Le corrispondenti autofunzioni sono del tipo
1 y(r) Z
LML Mσ1 Mσ2 (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ),
r
dove
ZLML Mσ1 Mσ2 (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ) = YLML (ϑ, ϕ) δmσ1Mσ1 δmσ2Mσ2 .
Dall’ equazione agli autovalori di Ĥ si ottengono le equazioni radiali
}2 d2
{L}
+ Veff (r) yνL (r) = EνL yνL (r),
−
2m dr2
dove il potenziale efficace
{L}
Veff (r) = vc (r) + vcf (r) L(L + 1)
dipende da L ma non da M , Mσ1 , Mσ2 .
Ciascun autovalore EνL è (2L + 1)·2·2 volte degenere,
tante volte quante sono, fissato L, le autofunzioni ZLML Mσ1 Mσ2 .
3
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•
•
Nel caso ♦
(1)
(2)
possiamo diagonalizzare simultaneamente Ĥ, L̂2 , L̂z , Ŝ 2 e Ŝz in L 2 (R3 ) ⊗ `2 ⊗ `2 .
Le corrispondenti autofunzioni sono del tipo
1 y(r) , Z
LSML MS (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ),
r
dove
ZLSML MS (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ) = YLML (ϑ, ϕ) h 12 21 ( 12 mσ1 )( 21 mσ2 )|SMS i.
Dall’equazione agli autovalori di Ĥ si ottengono le equazioni radiali
}2 d2
{LS}
+
V
(r)
yνLS (r) = EνLS yνLS (r),
−
eff
2m dr2
dove il potenziale efficace
{LS}
Veff
(r) = vc (r) − 3 vss (r) + vcf (r) L(L + 1) + 2 vss (r) S(S + 1)
dipende da L e S ma non da ML , MS .
Ciascun autovalore EνLS è (2L + 1)(2S + 1) volte degenere,
tante volte quante sono, fissato {LS}, le autofunzioni ZLSML MS (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ).
Nel caso ♣
(1)
(2)
possiamo diagonalizzare simultaneamente Ĥ, L̂2 , Ŝ 2 , Jˆ2 e Jˆz in L 2 (R3 ) ⊗ `2 ⊗ `2
Le corrispondenti autofunzioni sono del tipo
1 y(r) Z
LSJM (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 )
r
dove
ZLSJM (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ) =
X
ML MS
YLML (ϑ, ϕ) h 21 12 ( 12 mσ1 )( 12 mσ2 )|SMS ihLSML MS |JM i.
Dall’equazione agli autovalori di Ĥ si ottengono le equazioni radiali
}2 d2
{LSJ}
−
+ Veff
(r) yνLSJ (r) = EνLSJ yνLSJ (r),
2m dr2
dove il potenziale efficace
{LSJ}
Veff
(r̂) = vc (r) − 3 vss (r) + vcf (r) − 12 vLS (r) L(L + 1)
+ 2 vss (r) − 21 vLS (r) S(S + 1) + 21 vLS (r) J(J + 1)
dipende da L, S e J ma non da M .
Ciascun autovalore EνLSJ è (2J + 1) volte degenere,
tante volte quante sono, fissato {LSJ}, le autofunzioni ZLSJM (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ).
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Nel caso ♠
non possiamo diagonalizzare simultaneamente Ĥ e L̂2 ;
(1)
(2)
consideriamo ugualmente, nello spazio L 2 (Ω) ⊗ `2 ⊗ `2 , gli elementi di matrice
hL0 S 0 J 0 M 0 | Σ̂ |LS J M i.
Questi possono essere non nulli solo alle seguenti condizioni.
Poiché Σ̂ commuta con Jˆ2 , Ŝ 2 e Jˆz deve essere S 0 = S, J 0 = J e M 0 = M .
0
Poiché Σ̂ commuta con P̂ deve essere (−)L = (−)L .
Inoltre devono essere rispettati i triangoli L–S–J e L0 –S–J.
(1)
(2)
Gli elementi di matrice hS = 0, 0|v̂ij |S = 0, 0i nello spazio `2 ⊗ `2
sono tutti nulli.
Infatti, poiché |S = 0, 0i è sfericamente simmetrico,
hS = 0, 0| σ̂1i σ̂2i |S = 0, 0i non dipende da i e pertanto hS = 0, 0|v̂ii |S = 0, 0i = 0;
inoltre si verifica facilmente che hS = 0, 0| σ̂13 σ̂21 |S = 0, 0i = 0
e quindi hS = 0, 0| σ̂1i σ̂21j |S = 0, 0i = 0 anche per tutte le altre coppie i 6= j.
Pertanto l’interazione tensoriale contribuisce solo nel caso degli stati S = 1.
♠ • L = J 6= 0
Il triangolo L–S–J è rispettato.
Il triangolo L0 –S–J diventa L0 –S–L e i valori permessi di L0 sono L, L ± 1.
0
Dovendo essere (−)L = (−)L rimane il solo valore L0 = L.
Pertanto l’unico elemento di matrice con L = J possibilmente non nullo è
hΣiJ00 = hL = J, S = 1, J, M | Σ̂ |L = J, S = 1, J, M i.
Ciò significa che |L = J, S = 1, J, M i è autovettore, oltre che di L̂2 , Ŝ 2 , Jˆ2 e Jˆz , anche di Σ̂;
l’autovalore di Σ̂ è hΣiJ00 ed è funzione di J = L.
(1)
(2)
Il corrispondente autospazio in L 2 (R3 ) ⊗ `2 ⊗ `2
è costituito dalle funzioni del tipo
1 y(r) Z
L=J,S=1,J,M (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 )
r
Dall’equazione agli autovalori di Ĥ si ottengono le equazioni radiali
}2 d2
{J}
−
+ Veff (r) yνJ (r) = EνJ yνJ (r),
2m dr2
dove il potenziale efficace
{J}
Veff (r̂) = vc (r) + vss (r) − vLS (r) + vcf (r) J(J + 1) + vΣ (r)hΣiJ00
dipende da J = L ma non da M .
Ciascun autovalore EνJ è (2J + 1) volte degenere,
tante volte quante sono, fissato {J}, le autofunzioni ZL=J,S=1,J,M (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ).
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♠ •• L = J ± 1
Il triangolo L–S–J è rispettato.
Se L = J − 1, il triangolo L0 –S–J diventa L0 –1–(L + 1)
e i valori permessi di L0 sono L + 2 = J + 1, L + 1 = J, L = J − 1.
Se L = J + 1, il triangolo L0 –S–J diventa L0 –1–(L − 1)
e i valori permessi di L0 sono L = J + 1, L − 1 = J, L − 2 = J − 1.
0
In entrambi i casi, dovendo essere (−)L = (−)L , rimangono solo i valori L0 = J + 1 e L0 = J − 1.
♠ •• a J = 0
Sia L che L0 possono avere solo il valore 1.
Pertanto l’unico elemento di matrice possibilmente non nullo è
hΣi011 = hL0 = 1, S = 1, J = 0, M = 0| Σ̂ |L = 1, S = 1, J = 0, M = 0i.
Ciò significa che |L = 1, S = 1, J = 0, M = 0i è autovettore, oltre che di L̂2 , Ŝ 2 , Jˆ2 e Jˆz , anche di Σ̂;
l’autovalore di Σ̂ è hΣi011 .
(1)
(2)
Il corrispondente autospazio in L 2 (R3 ) ⊗ `2 ⊗ `2
è costituito dalle funzioni del tipo
1 y(r) Z
L=1,S=1,J=0,0 (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ).
r
Dall’equazione agli autovalori di Ĥ si ottiene l’equazione radiale
}2 d2
+ Veff (r) yν (r) = Eν yν (r),
−
2m dr2
dove il potenziale efficace è
Veff (r̂) = vc (r) + 2 vcf (r) + vss (r) − 2 vLS (r) + vΣ (r)hΣi011 .
Gli autovalori Eν non sono degeneri.
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♠ •• b J ≥ 1
Gli unici elementi di matrice possibilmente non nulli sono
hΣiJ−− = hL0 = J −1, S = 1, J, M | Σ̂ |L = J −1, S = 1, J, M i,
hΣiJ++ = hL0 = J +1, S = 1, J, M | Σ̂ |L = J +1, S = 1, J, M i,
hΣiJ−+ = hL0 = J+1, S = 1, J, M | Σ̂ |L = J−1, S = 1, J, M i = hL0 = J−1, S = 1, J, M | Σ̂ |L = J+1, S = 1, J, M i.
(1)
(2)
Ciò significa che il sottospazio in L 2 (Ω) ⊗ `2 ⊗ `2
è invariante per Σ̂ oltre che per L̂2 , Ŝ 2 Jˆ2 e L̂z .
(1)
(2)
Il corrispondente sottospazio in L 2 (R3 ) ⊗ `2 ⊗ `2
generato dai due vettori |L = J ∓1, S = 1, J, M i
è costituito dalle funzioni del tipo
1 (+) (r) Z
1 y (−) (r) Z
L=J−1,S=1,J,M (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 ) + r y
L=J+1,S=1,J,M (ϑ, ϕ, mσ1 , mσ2 )
r
(∗)
ed è invariante per Ĥ.
Dall’equazione agli autovalori di Ĥ in tale sottospazio
si ottengono in quest’ultimo caso i sistemi di due equazioni radiali accoppiate

}2 d2
{J−−}
(−)


−
(r) yνJ (r)

2 + Veff

2m

dr





V
{J−+}
(r)
(−)
yνJ (r)
(+)
(−)
+ V {J−+} (r) yνJ (r)
= EνJ yνJ (r),
}2 d2
{J++}
(+)
+ −
+ Veff
(r) yνJ (r)
2
2m dr
= EνJ yνJ (r),
(+)
dove, omettendo per brevità i contributi delle interazioni spin–spin e LS nei termini diagonali,
{J−−}
(r) = vc (r) + vcf (r) J(J − 1) + vΣ (r)hΣiJ−− ,
{J++}
(r) = vc (r) + vcf (r) (J + 1)(J + 2) + vΣ (r)hΣiJ++ ,
Veff
Veff
V {J−+} (r) = vΣ (r)hΣiJ−+ .
Ciascun autovalore EνJ è (2J + 1) volte degenere,
(−)
(+)
tante volte quante sono, fissato {J} e determinati yνJ (r) e yνJ (r), le autofunzioni (∗).
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