I FONDAMENTI DELLA MATEMATICA: LA LOGICA E GLI INSIEMI

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$OHVVDQGUR&RUGHOOL
6RPPDULR
GLI OPERATORI LOGICI............................................................................................................................... 3
1. Che cos’è la logica?................................................................................................................................... 3
2. Verità e correttezza.................................................................................................................................... 3
3. Il principio di non contraddizione ............................................................................................................. 3
3.1 Esempio: il principio di non contraddizione applicato alla risoluzione di un problema ..................... 4
4. Gli operatori logici .................................................................................................................................... 4
5. Il calcolo logico ......................................................................................................................................... 6
5.1 Esempio: le tavole di verità per risolvere un difficile caso giudiziario............................................... 7
6. Identità e equivalenza ................................................................................................................................ 7
7. Tautologie, contraddizioni, paradossi........................................................................................................ 8
8. Verifiche di comprensione ........................................................................................................................ 8
9. Problemi .................................................................................................................................................... 9
GLI ENUNCIATI APERTI E GLI INSIEMI ................................................................................................. 11
1. Enunciati aperti........................................................................................................................................ 11
2. Quantificatori........................................................................................................................................... 11
3. Insiemi ..................................................................................................................................................... 12
4. Operazioni sugli insiemi.......................................................................................................................... 12
5. Prodotto cartesiano .................................................................................................................................. 13
6. Relazioni tra insiemi e il concetto di numero .......................................................................................... 13
7. Verifiche di comprensione ...................................................................................................................... 14
8. Problemi .................................................................................................................................................. 15
LA DIMOSTRAZIONE .................................................................................................................................. 17
1. Dimostrare ............................................................................................................................................... 17
2. La struttura delle dimostrazioni............................................................................................................... 17
2.1 Lemma e corollario ........................................................................................................................... 17
2.2 Dimostrazione diretta ........................................................................................................................ 18
2.3 La tavola di verità dell’implicazione................................................................................................. 18
3. Il sillogismo ............................................................................................................................................. 18
3.1 Il sillogismo nelle dimostrazioni ....................................................................................................... 19
3.2 Il sillogismo in matematica e nelle scienze....................................................................................... 19
4. La dimostrazione indiretta ....................................................................................................................... 19
4.1 La FRQVHTXHQWLDPLUDELOLV ................................................................................................................. 20
5. Scrittura formale e schema di una dimostrazione.................................................................................... 20
5.1 Lo schema logico di una dimostrazione............................................................................................ 21
6. Verifiche di comprensione ...................................................................................................................... 22
7. Problemi .................................................................................................................................................. 22
L’INDUZIONE MATEMATICA.................................................................................................................... 24
1. La dimostrazione per induzione .............................................................................................................. 24
1.1 Il principio del minimo intero ........................................................................................................... 24
1.2 Dimostrazione del principio del minimo intero ................................................................................ 24
1.3 Equivalenza del principio di induzione con il principio del minimo intero ...................................... 25
2. Applicazioni del processo di induzione................................................................................................... 25
2.1 La somma dei primi n numeri ........................................................................................................... 25
2.2 La progressione geometrica e la sua somma ..................................................................................... 26
2.2.1 Achille e la tartaruga.................................................................................................................. 26
2.2.2 I numeri decimali periodici........................................................................................................ 27
3. Verifiche di comprensione ...................................................................................................................... 28
4. Problemi .................................................................................................................................................. 29
2
*/,23(5$725,/2*,&,
&KHFRV¶qODORJLFD"
Da sempre l’Uomo costruisce modelli e rappresentazioni del mondo in cui vive e usa il
linguaggio per descrivere e comunicare le sue esperienze e ragionamenti. La realtà, a tutti i livelli,
mostra dei caratteri fondamentali di cui dobbiamo tener conto nel formulare un discorso, se
vogliamo che questo abbia senso. La logica è proprio quell’insieme di regole a cui deve obbedire un
qualsiasi ragionamento sensato. Osserviamo che il linguaggio delle scienze, come quello della vita
di tutti i giorni, parla di esperienze, fatti, oggetti, fenomeni... mentre la logica ha come argomento
non i fatti ma il linguaggio che di questi fatti tratta; definiamo PHWDOLQJXDJJLR un linguaggio che
non parla di fatti ma bensì del linguaggio stesso.
9HULWjHFRUUHWWH]]D
Una SURSRVL]LRQH è un frammento del discorso in cui si afferma qualcosa riguardo alla realtà.
Definiamo la YHULWj di una proposizione come FRQIRUPLWj GL TXDQWR DIIHUPDWR QHOOD
SURSRVL]LRQHFRQODUHDOWj. Ad esempio, indichiamo con S la proposizione: “0LRFXJLQRSHVDSL
GLFKLOL”. Vi è un modo molto semplice di decidere se S è vera oppure no, basterà mettere mio
cugino su una bilancia e rilevare il valore indicato. Una proposizione può avere due possibili YDORUL
GLYHULWj, che indicheremo con V (vero) e F (falso).
Osserviamo che non per tutte le proposizioni è possibile stabilire un valore di verità. Ad
esempio, quando incontro un amico lo saluto dicendo: «&LDRFRPHVWDL"», ma non ha alcun senso
chiedersi se questa proposizione è vera o falsa. In altri casi avrebbe senso attribuire un valore di
verità ad una proposizione, ma tale determinazione è oggettivamente impossibile. È questo il caso
di proposizioni del tipo: «*LDQQLqXQUDJD]]RVLPSDWLFR»; come si può infatti stabilire in maniera
oggettiva se un ragazzo è simpatico oppure no? Due amici di Gianni potrebbero pronunciarsi in
maniera opposta, e non vi sarebbe modo per stabilire chi dei due ha ragione, visto che la simpatia è
una valutazione puramente soggettiva.
Poiché la logica non si occupa dei fatti ma dei discorsi che hanno i fatti come argomenti, non è
suo compito stabilire la verità delle proposizioni, ma solo la FRUUHWWH]]D dei ragionamenti.
Chiariamo questo punto con un esempio prendendo in esame la seguente proposizione: «3RLFKp
WXWWLLQXPHULVRQRSDULqXQQXPHURSDUL». Dal punto di vista dell’aritmetica l’affermazione è
manifestamente falsa, in quanto non tutti i numeri sono pari e 31 non è un numero pari; tuttavia
sotto l’aspetto della logica non vi è alcun problema: se davvero tutti i numeri fossero pari, anche il
31 – che è un numero come tutti gli altri – sarebbe pari. Diremo quindi che la proposizione è
corretta, non prendendo in considerazione la questione della sua verità. Naturalmente questo non
vuol dire che la logica non serve per stabilire la verità delle proposizioni, solo che la correttezza di
un ragionamento da sola non basta per poter affermare la verità di ciò che quel ragionamento
esprime. Se però partiamo da proposizioni vere e ad esse applichiamo un ragionamento corretto,
otterremo conclusioni vere.
,OSULQFLSLRGLQRQFRQWUDGGL]LRQH
La prima e fondamentale regola della logica è il cosiddetto SULQFLSLRGLQRQFRQWUDGGL]LRQH.
Esso si riferisce ad una constatazione dal carattere così universale e immediato da apparire
addirittura banale, e cioè il fatto che una qualsiasi cosa o situazione non può essere diversa da
quello che è. Per esprimere rigorosamente il principio di non contraddizione in logica abbiamo
bisogno della nozione di QHJD]LRQH. La negazione di una proposizione è un’altra proposizione
ottenuta, appunto, negando la prima, cioè premettendo ad essa la particella “QRQ”. Se S è ad
3
*OLRSHUDWRULORJLFL
esempio la proposizione: «6RORWXKDLVFHOWRLOJHODWRDOODFUHPD», la sua negazione – che si indica
ponendo una lineetta sopra il simbolo che indica la proposizione (o, talvolta anche premettendo il
simbolo ¬ alla proposizione), cioè S – sarà «1RQ VROR WX KDL VFHOWR LO JHODWR DOOD FUHPD», cioè:
anche altri hanno scelto il gelato alla crema oltre a te. Sia S una proposizione che descrive un certo
stato di cose, l’enunciato del principio di non contraddizione sarà pertanto il seguente: QRQSRVVRQR
HVVHUHFRQWHPSRUDQHDPHQWHYHUHXQDSURSRVL]LRQHHODVXDQHJD]LRQH.
Oltre a quello di non contraddizione, considereremo altri due importanti principi della logica; il
primo dei due è il SULQFLSLR GHO WHU]R HVFOXVR, secondo cui GDWD XQD SURSRVL]LRQH S GHYH
QHFHVVDULDPHQWH HVVHUH YHUD R S R OD VXD QHJD]LRQH S . L’altro è il SULQFLSLR GHOOD GRSSLD
QHJD]LRQH, secondo cuiVHODQHJD]LRQH S GLXQDSURSRVL]LRQHS q IDOVDDOORUDODSURSRVL]LRQHS
q YHUD.
(VHPSLRLOSULQFLSLRGLQRQFRQWUDGGL]LRQHDSSOLFDWRDOODULVROX]LRQH
GLXQSUREOHPD
7UH DPLFL $OGR %UXQR H&HVDUHVLVILGDQRDXQDJDUDGLFRUVD6DSSLDPRFKH%UXQRQRQKD
YLQWRHFKHQp%UXQRQp&HVDUHVRQRDUULYDWLDOVHFRQGRSRVWRTXDOqVWDWRO¶RUGLQHGLDUULYR"
Per risolvere questo problema riportiamo su una tabella tutti i possibili risultati della gara.
1
2
3
4
5
6
Aldo
Aldo
Cesare
Bruno
Cesare
Bruno
Bruno
Cesare
Bruno
Aldo
Aldo
Cesare
Cesare
Bruno
Aldo
Cesare
Bruno
Aldo
La prima riga corrisponde alla proposizione «È arrivato prima Aldo, poi Bruno e ultimo Cesare»,
e così via per tutte le altre righe. Inoltre sappiamo che sono vere altre due proposizioni:
S: «%UXQRQRQKDYLQWR»
T: «1p %UXQRQp&HVDUHVRQRDUULYDWLDOVHFRQGRSRVWR».
Controlliamo ora una per una tutte e sei le proposizioni della tabella: la 1 è in contraddizione con
la T in quanto afferma che Bruno è arrivato secondo; la 2 è in contraddizione con la T in quanto
afferma che Cesare è arrivato secondo; la 3 è in contraddizione con la T in quanto afferma che
Bruno è arrivato secondo; la 4 è in contraddizione con la S in quanto afferma che Bruno ha vinto,
come pure la 6. Rimane quindi solo la 5 che è compatibile sia con S che con T e poiché le sei
proposizioni della tabella esauriscono tutte i possibili esiti della gara, dobbiamo concludere che
l’ordine di arrivo è proprio Cesare, Aldo, Bruno.
*OLRSHUDWRULORJLFL
Due o più proposizioni possono essere combinate tra loro in vari modi per ottenere proposizioni
più complesse, i cui valori di verità dipenderanno da quelli delle proposizioni costituenti. Le
particelle linguistiche che permettono di collegare tra loro le proposizioni per crearne di nuove
prendono il nome di RSHUDWRUL ORJLFL (esattamente come gli operatori aritmetici, ad esempio la
somma o il prodotto, agiscono sui numeri per ottenerne altri). Uno di questi operatori l’abbiamo già
incontrato ed è il QRQ (NOT, nel gergo informatico) che trasforma una proposizione nella sua
negazione. Andiamo a vedere quali sono gli altri operatori.
La FRQJLXQ]LRQH corrisponde alla particella linguistica “H” (AND, nel gergo dell’informatica) e
viene indicata con il simbolo ∧ ; essa combina due proposizioni S e T per ottenere la proposizione
composta S ∧ T che è vera solo quando S e T sono entrambe vere, mentre è falsa in tutti gli altri
casi. Ad esempio la proposizione « q XQ QXPHUR SULPR H QRQ OR q» è vera (in quanto le due
4
*OLRSHUDWRULORJLFL
proposizioni costituenti: « qXQQXPHURSULPR», « QRQqXQQXPHURSULPR» sono
entrambe vere), invece la proposizione « qXQQXPHURSULPRHQRQORq» è falsa
(in quanto solo la prima delle due proposizioni costituenti è vera mentre non lo è la
seconda). Rappresentiamo questa definizione mediante una apposita tabella,
detta WDYRODGLYHULWj:
S
V
V
F
F
T
V
F
V
F
S∧T
V
F
F
F
La GLVJLXQ]LRQH LQFOXVLYD corrisponde alla particella linguistica “R” , nel senso del latino YHO
(OR, nel gergo informatico) e viene indicata con il simbolo ∨ ; essa combina due proposizioni S e T
per ottenere la proposizione composta S ∨ T che è vera se è vera almeno una delle due proposizioni
costituenti (o entrambe), mentre è falsa solo nel caso in cui sia S che T siano false. S T S ∨ T
Le proposizioni « qXQQXPHURSULPRRqXQQXPHURSULPR», « qXQQXPHUR V V V
SULPR R q XQ QXPHUR SULPR» sono entrambe vere, mentre non lo è la V F V
proposizione « qXQQXPHURSULPRRqXQQXPHURSULPR». Riportiamo la tavola F V V
di verità per la disgiunzione inclusiva:
F F F
Anche la GLVJLXQ]LRQHHVFOXVLYD corrisponde alla particella linguistica “R”, ma nel senso di “R
R”, cioè del latino DXW. La differenza rispetto alla disgiunzione inclusiva è che nel caso in cui
entrambe le proposizioni costituenti siano vere la proposizione composta è falsa, cioè una sola delle
due proposizioni costituenti deve essere vera affinché lo sia anche la proposizione composta.
Supponiamo ad esempio che possa scegliere come passare la domenica pomeriggio tra il cinema e
la partita e che per entrambe le attività il biglietto costi 5 ¼ VSHQGHUò 5 ¼ VHDQGUò alla partita ma
non al cinema oppure al cinema ma non alla partita, mentre spenderò una cifra diversa se non andrò
da nessuna parte (0 ¼ RVLDDOFLQHPDFKHDOODSDUWLWD¼TXLQGLODYHULWà della
proposizione che esprime il fatto che spendo esattamente 5 ¼ GLSHQGH GDOOD S T S ∨ T
disgiunzione esclusiva tra le due proposizioni «9DGR DO FLQHPD» e «9DGR DOOD V V F
SDUWLWD». Il simbolo corrispondente alla disgiunzione esclusiva è come quello della V F V
disgiunzione inclusiva ma con un puntino sopra ( ∨ ); nel linguaggio informatico F V V
questo operatore viene indicato con XOR (che sta per eXclusive OR). La tavola di F F F
verità della disgiunzione esclusiva è la seguente:
L’LPSOLFD]LRQH corrisponde al costrutto linguistico “VH DOORUD” (IF...
THEN... in informatica) e si indica con il simbolo ⇒ . Nell’espressione S ⇒ T S
è chiamato l’DQWHFHGHQWH (o SUHPHVVH) e T il FRQVHJXHQWH (o FRQFOXVLRQL);
l’implicazione è definita essere sempre vera eccetto che nel caso in cui
l’antecedente è vero e il conseguente è falso, cioè ha la seguente tavola di verità:
S
V
V
F
F
T
V
F
V
F
S⇒T
V
F
V
V
Può forse suonare strano il fatto che l’implicazione sia vera anche quando l’antecedente è falso,
per convincerci della plausibilità ritorniamo ad una proposizione vista sopra e modifichiamola
leggermente in modo da esprimerla come una implicazione: «6H WXWWLLQXPHULVRQRSDULDOORUDq
XQQXPHURSDUL». In questa implicazione tanto l’antecedente (“7XWWLLQXPHULVRQRSDUL”) quanto il
conseguente (“ q XQ QXPHUR SDUL”) sono falsi, ma l’implicazione stessa è corretta (cioè vera,
perché è vero che qualora tutti i numeri fossero pari anche il 31, che è un numero come tutti gli altri,
sarebbe pari). D’altra parte consideriamo una versione leggermente modificata del nostro esempio:
«6H WXWWLLQXPHULVRQRSDULDOORUDqXQQXPHURSDUL». La differenza rispetto al caso precedente
è che adesso il conseguente è vero, malgrado l’antecedente sia falso. L’implicazione stessa però
continua ad essere vera, perché è vero che se tutti i numeri fossero pari anche il 32 (che è un
numero come tutti gli altri) sarebbe pari, e questo indipendentemente dal fatto che il 32 sia
realmente pari oppure no. Se però ci mettiamo nel caso in cui l’antecedente è vero mentre il
conseguente è falso, ad esempio: «6H q XQ QXPHUR SDUL GLYHUVR GD DOORUD q XQ QXPHUR
SULPR», vediamo subito che l’implicazione stessa è falsa, e questo non perché 32 non sia un numero
primo, ma perché dal fatto che un numero sia pari e diverso da due non si può far seguire il fatto che
5
*OLRSHUDWRULORJLFL
lo stesso numero sia anche primo; infatti “pari” significa divisibile per due mentre “primo” che non
ha altri divisori eccetto uno e sé stesso, e se il numero in questione è diverso da due il verificarsi
contemporaneamente delle due condizioni implicherebbe una contraddizione.
La GRSSLDLPSOLFD]LRQH (indicata con il simbolo ⇔ ) corrisponde al costrutto linguistico “ VH
H VROR VH ” (talvolta abbreviato come VVH o IFF in linguaggio informatico) ed è vera quando
l’antecedente e il conseguente sono entrambi veri o entrambi falsi, mentre è falsa quando le due
proposizioni costituenti hanno valori di verità differenti. Supponiamo di essere stati invitati ad una
festa e di lasciare detto a casa: «5LWRUQHUz SUHVWR VH H VROR VH DOOD IHVWD QRQ PL GLYHUWR»; la
proposizione è vera se trovandomi ad una festa noiosa decido di rincasare presto oppure se faccio
tardi perché alla festa mi diverto molto. Supponiamo però che la festa sia noiosa S T S ⇔ T
ma che uscendo trovi un amico e mi fermi a chiacchierare con lui fino a tardi, V V V
oppure che la festa sia molto divertente ma che sia costretto da un forte mal di V F F
testa a rincasare presto; in entrambi i casi la proposizione che ho detto prima di F V F
uscire di casa si rivelerà falsa. La tavola di verità della doppia implicazione è la
F F V
seguente:
,OFDOFRORORJLFR
Esattamente come applicando operatori aritmetici ai numeri otteniamo risultati che sono a loro
volta dei numeri, così applicando in vario modo gli operatori logici visti sopra a delle proposizioni
otterremo nuove proposizioni realizzando un vero e proprio calcolo logico il cui risultato è uno dei
due possibili valori di verità: V o F. Chiariamo questo punto servendoci di un esempio. Supponiamo
di voler stabilire il valore di verità della proposizione «6H LPRWRULGHOO¶DHUHRKDQQRDYXWRXQJXDVWR
H LOSLORWDVLqEXWWDWRFRQLOSDUDFDGXWHDOORUDLOSLORWDqULXVFLWRDVDOYDUVL» sapendo che l’aereo
ha avuto un guasto ma il pilota è rimasto a bordo riuscendo a riportare felicemente l’aereo a terra
con un atterraggio di emergenza. Abbiamo cioè una proposizione composta dalle seguenti
proposizioni elementari; S: «&¶qVWDWRXQJXDVWRDLPRWRULGHOO¶DHUHR», T: «LO SLORWDVLqEXWWDWRFRQ
LO SDUDFDGXWH», U: «,O SLORWD VL q VDOYDWR». Con le tre proposizioni elementari formiamo la
proposizione composta che corrisponde alla seguente espressione: (S ∧ T ) ⇒ U ; inoltre sappiamo
che S è vera (c’è stato un guasto), T è falsa (il pilota non si è buttato) e U è vera (il pilota si è
salvato). Per stabilire il valore di verità della proposizione composta consideriamo dapprima la
sottoespressione tra parentesi: è una congiunzione tra vero e falso, quindi dà come risultato falso. Ci
siamo così ridotti ad una implicazione in cui l’antecedente è falso e il conseguente vero; in questo
caso l’implicazione (e quindi la proposizione composta da cui siamo partiti) è vera. Possiamo
generalizzare il risultato costruendo la tavola di verità per
S T U S ∧ T (S ∧ T ) ⇒ U
l’espressione che stiamo considerando, esattamente come
V
abbiamo fatto per gli operatori logici elementari. Osserviamo V V V V
F
che adesso sono coinvolte non due bensì tre proposizioni e V V F V
V
F
V
F
V
quindi la nostra tabella avrà non 4 ma 8 righe (per ognuna delle
V
4 possibili combinazioni di valori di verità delle prime due V F F F
V
proposizioni ci sono due possibilità – vero o falso – per la F V V F
V
terza). Per maggiore chiarezza metteremo tra le colonne anche F V F F
V
quella corrispondente alla sottoespressione S ∧ T . Abbiamo F F V F
F F F F
V
dunque la seguente tavola di verità:
Come possiamo vedere dalla tavola di verità la proposizione composta è sempre vera eccetto nel
caso in cui il pilota, malgrado si sia gettato con il paracadute dopo il verificarsi del guasto, non sia
riuscito a salvarsi.
6
*OLRSHUDWRULORJLFL
(VHPSLROHWDYROHGLYHULWjSHUULVROYHUHXQGLIILFLOHFDVRJLXGL]LDULR
/¶DQ]LDQR H ULFFKLVVLPR ]LR $UPDQGR q VWDWR XFFLVR LQ FLUFRVWDQ]H PLVWHULRVH /H LPSURQWH
GLJLWDOL GHO QLSRWH )LOLSSR VRQR VWDWH WURYDWH VXO FROWHOOR GD FXFLQD FRQ FXL q VWDWR FRPPHVVR
O¶RPLFLGLR PD OXL VRVWLHQH FKH IUHTXHQWDYD VSHVVR OD FXFLQD GHOOR ]LR H TXLQGL FKH OH LPSURQWH
HUDQR VWDWH ODVFLDWH LQ DOWUH RFFDVLRQL /D VLWXD]LRQH GL )LOLSSR VL DJJUDYD DOO¶DSHUWXUD GHO
WHVWDPHQWR GHOOR ]LR $UPDQGR TXDQGR VL VFRSUH FKH )LOLSSR q O¶XQLFR HUHGH GHOOH ULFFKH]]H GHOOR
]LR LO JLXGLFH GHFLGH TXLQGL GL RUGLQDUH O¶DUUHVWR GL )LOLSSR FKH SHUz FRQWLQXD D SURFODPDUVL
LQQRFHQWH,OJLXGLFHSXzVWDELOLUHODFROSHYROH]]DGL)LOLSSRVXOODEDVHGHOOHLPSURQWHVXOO¶DUPDGHO
GHOLWWRHGHOIDWWRFKHO¶LQGL]LDWRDYHYDXQRWWLPRPRYHQWHSHUFRPSLHUHO¶RPLFLGLR"
Possiamo riassumere quello che sappiamo sull’omicidio dello zio Armando a partire da tre
proposizioni elementari; S: «)LOLSSRqO¶DVVDVVLQR», T: «/H LPSURQWHGL)LOLSSRVRQRVXOO¶DUPDGHO
GHOLWWR», U: «)LOLSSR HUHGLWD OH ULFFKH]]H GHOOD YLWWLPD». Ora, se Filippo fosse l’assassino
sicuramente le sue impronte sarebbero sul coltello (ma non necessariamente l’inverso, in quanto
avrebbe potuto lasciarcele anche in un’altra occasione); vale quindi l’implicazione: S ⇒ T . Per
quel che riguarda l’eredità, poi, c’è da dire che essa rappresenta un movente per l’omicidio, vale a
dire che se Filippo non fosse stato l’erede dello zio non avrebbe avuto alcun motivo per ucciderlo.
Abbiamo dunque una seconda implicazione: U ⇒ S . Costruiamo le tavole di verità per entrambe le
implicazioni:
S
V
V
F
F
T
V
F
V
F
S⇒T
V
F
V
V
U
V
V
F
F
S
V
F
V
F
U⇒S
V
V
F
V
Passiamo adesso ad analizzare le due tabelle per vedere se una situazione in cui Filippo è
innocente è logicamente compatibile con tutto quello che sappiamo, vale a dire la verità di T ed U
nonché delle due implicazioni. In altre parole, vogliamo vedere se è possibile che S sia falsa mentre
T, U, S ⇒ T e U ⇒ S siano vere. Riconosciamo facilmente che questo è proprio il caso descritto
dalla terza riga della prima tabella e dalla seconda riga della seconda tabella. Questo naturalmente
non significa che Filippo sia innocente (la situazione descritta dalle prime righe di entrambe le
tabelle è compatibile con la colpevolezza), ma solo che il giudice – se vorrà condannarlo – avrà
bisogno di altre prove.
,GHQWLWjHHTXLYDOHQ]D
Le due proposizioni «8Q QXPHUR PDJJLRUH GL GXH QRQ SXz HVVHUH FRQWHPSRUDQHDPHQWHSDULH
SULPR» e «8Q QXPHUR PDJJLRUH GL GXH QRQ q SDUL RSSXUH QRQ q SULPR» sono indubbiamente
diverse tra loro, malgrado siano composte dalle medesime proposizioni elementari S: «8QQXPHUR
PDJJLRUHGLGXHqSDUL» e T: «8Q QXPHURPDJJLRUHGLGXHqSULPR». In particolare la prima nega
che possano essere vere entrambe le proposizioni simultaneamente, cioè (S ∧ T ); la seconda invece
asserisce la falsità della prima o della seconda: S ∨ T . Proviamo però a costruire le tavole di verità
per entrambe:
7
*OLRSHUDWRULORJLFL
S
T
(S ∧ T )
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
S
V
V
F
F
T
V
F
V
F
S∨T
F
V
V
V
Come possiamo osservare, le due tavole di verità sono uguali, cioè in ogni caso in cui la prima
espressione è vera lo è anche la seconda e viceversa. Diremo allora che le due proposizioni sono
HTXLYDOHQWL.
7DXWRORJLHFRQWUDGGL]LRQLSDUDGRVVL
L’espressione S ∨ S è sempre vera, qualunque sia il valore di verità di S, come è immediato
verificare; infatti se S è falsa S è vera e viceversa, in modo che la disgiunzione non possa mai
essere falsa (cosa che – lo ricordiamo – si verifica solo se entrambe le proposizioni costituenti sono
false). Una espressione che è sempre vera qualunque sia il valore di verità delle proposizioni
elementari che la costituiscono si chiama WDXWRORJLD. Analogamente, vi sono espressioni che sono
sempre false, indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni costituenti (ad esempio
S ∧ S ); queste espressioni diremo che sono FRQWUDGGL]LRQL.
Osserviamo infine che si possono avere veri e propri paradossi logici quando una proposizione
ha come argomento la proposizione stessa o il soggetto che la pronuncia. È questo il caso del
celebre SDUDGRVVR GHO PHQWLWRUH, secondo cui un uomo afferma di sé stesso: «,R VRQR EXJLDUGR».
Ora, se la proposizione è vera significa che l’uomo ha detto la verità, quindi non è bugiardo e la
proposizione è falsa. Se invece la proposizione è falsa l’uomo non è bugiardo e quindi le cose che
dice sono vere, in particolare la proposizione in esame. In entrambi i casi la contraddizione è
inevitabile.
9HULILFKHGLFRPSUHQVLRQH
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Come possiamo definire la logica?
Che cos’è un PHWDOLQJXDJJLR?
Come si definisce la verità di una proposizione?
È possibile stabilire per ogni proposizione un valore di verità?
La logica è in grado di stabilire la verità delle proposizioni?
Che cos’è la FRUUHWWH]]D di un ragionamento?
Come si costruisce la negazione di una proposizione?
Che cosa afferma il principio di non contraddizione?
Che cosa afferma il principio del terzo escluso?
Che cosa afferma il principio della doppia negazione?
Che cosa sono gli operatori logici?
Che cos’è una WDYRODGLYHULWj?
Come è definita la FRQJLXQ]LRQH?
Qual è la tavola di verità della congiunzione?
Come è definita la GLVJLXQ]LRQHLQFOXVLYD?
Qual è la tavola di verità della disgiunzione inclusiva?
Come è definita la GLVJLXQ]LRQHHVFOXVLYD?
Qual è la tavola di verità della disgiunzione esclusiva?
Come è definita l’LPSOLFD]LRQH?
Qual è la tavola di verità dell’implicazione?
Come è definita la GRSSLDLPSOLFD]LRQH?
Qual è la tavola di verità della doppia implicazione?
8
*OLRSHUDWRULORJLFL
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
È possibile combinare tra loro proposizioni semplici con vari operatori logici?
Quante righe ha la tavola di verità di una espressione logica composta da due
proposizioni?
Quante righe ha la tavola di verità di una espressione logica composta da tre
proposizioni?
Che cosa significa che due espressioni logiche sono equivalenti?
Due espressioni non identiche possono essere equivalenti?
Due espressioni non equivalenti possono essere identiche?
Che cos’è una WDXWRORJLD?
Che cos’è una FRQWUDGGL]LRQH?
3UREOHPL
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Scrivi cinque proposizioni per le quali è possibile stabilire un valore di verità e cinque
proposizioni per le quali non è possibile.
Scrivi la negazione delle seguenti proposizioni:
a. Non sono mai stato in Olanda
b. A colazione prendo sempre il pane tostato col miele
c. I dinosauri si sono estinti 65 milioni di anni fa
d. È possibile che qualcuno sia già arrivato
e. C’è nessuno in casa?
Se la proposizione: “1RQqSRVVLELOHFKH$GULDQRQRQULHVFDDGDUULYDUHLQWHPSRDOOD
VWD]LRQH” è falsa, Adriano perderà il treno oppure no?
Indica tra le seguenti proposizioni quelle che corrispondono alla negazione della
proposizione “RJJLqXQDEHOODJLRUQDWDGLVROH” (giustificando la scelta)
a. Ieri era una bella giornata di sole
b. Nell’ultima settimana abbiamo sempre avuto il sole tranne oggi
c. Oggi piove
d. Spero proprio che domani il tempo non sia come oggi
Date le proposizioni elementari S: “,O FLHOR q VHUHQR”, T: “)D PROWR FDOGR”, U: “/D
VSLDJJLDqDIIROODWD”, enuncia le proposizioni composte:
a. (S ∧ T ) ⇒ U
b. S ∧ T ∧ U
c. U ⇒ (S ∨ T )
Costruisci la tavola di verità della proposizione composta S ∨ (T ∧ S )
Costruisci la tavola di verità della proposizione composta S ∧ T ∨ U
Individua tra le seguenti proposizioni quella equivalente a (S ∨ T ) giustificando la
risposta per mezzo delle tavole di verità:
a. S ∨ T
b. S ∧ T
c. S ∧ T
d. S ∨ S ∨ T ∨ T
Individua tra le seguenti proposizioni quella equivalente a S ∨ T giustificando la
risposta per mezzo delle tavole di verità:
a. S ∧ T
b.
c.
d.
(S ∨ T )
(S ∧ T )
(S ∨ T )
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*OLRSHUDWRULORJLFL
10.
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12.
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17.
18.
Della maglietta che ho comprato si sa che è falso che: è rossa oppure non è verde. Di che
colore è? (6XJJHULPHQWR GRSR DYHU LQGLYLGXDWR OH SURSRVL]LRQL HOHPHQWDUL H OD
SURSRVL]LRQHFRPSRVWDFRVWUXLVFLODWDYRODGLYHULWj).
Gianni, Nicola e Luca escono con le loro ragazze: Aurora, Beatrice e Carla. Sapendo che
Aurora è la ragazza di Gianni e che Carla non è la ragazza di Luca, sapresti dire chi è la
ragazza di Nicola?
Due cavalieri, che combattono uno per l’imperatore e l’altro per il re di Francia, si
sfidano a duello. I due cavalieri si chiamano Sigismondo e Vittore; uno dei due ha nel
proprio stemma un grifone, l’altro una torre. Sapendo che il cavaliere dell’imperatore
non ha nel suo stemma il grifone e che la torre non compare nello stemma di
Sigismondo, chi è il cavaliere del re di Francia e chi dell’imperatore?
Nel torneo triangolare di pallavolo la squadra C supera la squadra A se e solo se vince la
squadra B, inoltre la squadra A non vince; qual è l’ordine di piazzamento delle tre
squadre?
Determina il segno di tre numeri sapendo che:
a. se il primo è positivo allora anche gli altri due sono positivi;
b. il prodotto del primo e del secondo è un numero positivo;
c. è falso che: se il secondo è positivo o il terzo è negativo allora il primo è negativo.
(6XJJHULPHQWR FRQVLGHUD OH WUH SURSRVL]LRQL ³LO SULPR QXPHUR q SRVLWLYR´ ³LO
VHFRQGR QXPHUR q SRVLWLYR´ LO WHU]R QXPHUR q SRVLWLYR´ H FRVWUXLVFL OH WDYROH GL
YHULWjFRUULVSRQGHQWLDOOHWUHFRQGL]LRQL).
Mostra che S ∧ S è una contraddizione.
Mostra che S ∨ S è una tautologia.
Mostra che (S ∧ T )∨ S è una tautologia.
Mostra che (S ⇒ T ) ∧ (S ∧ T ) è una contraddizione.
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*/,(181&,$7,$3(57,(*/,,16,(0,
(QXQFLDWLDSHUWL
Per stabilire il valore di verità di una proposizione elementare è necessario operare il confronto
tra la proposizione stessa e la situazione reale da essa descritta; se il confronto è possibile esso darà
come risposta uno e uno solo tra i due valori: vero o falso. Vi sono però enunciati in cui per poter
effettuare il confronto abbiamo bisogno di ulteriori specificazioni. Supponiamo che mi si dica: «,O
WXRDPLFRqDPPDODWR», la proposizione è vera o falsa? Per rispondere alla domanda devo sapere a
quale dei miei amici si riferisce, in quanto la condizione espressa potrebbe essere verificata per uno
dei miei amici ma non per un’altro. Vediamo dunque che la proposizione contiene un termine
variabile che, a seconda del valore che assume, determinerà o meno la verità della proposizione.
Proposizioni di questo tipo – contenenti cioè un riferimento indeterminato – le chiameremo
HQXQFLDWL DSHUWL, mentre le ordinarie proposizioni in cui il riferimento di ogni termine è
determinato (del tipo di «,O WXRDPLFR5LFFDUGRqDPPDODWR») saranno HQXQFLDWLFKLXVL. Il termine
variabile lo si indica con una lettera (ad esempio [) e, per evidenziare la dipendenza dell’enunciato
dal valore della variabile si usano le parentesi, cosicché – ad esempio – indicheremo con S([ ) la
proposizione «[ qDPPDODWR». Osserviamo poi che, nel nostro esempio, [ non sta a rappresentare un
qualsiasi essere umano, ma una persona appartenente alla cerchia dei miei amici; più in generale,
l’insieme dei valori che [ può assumere si chiama GRPLQLRGHOO¶HQXQFLDWR. Quei valori di [ per cui
la proposizione è vera formano l’HVWHQVLRQHdell’enunciato.
4XDQWLILFDWRUL
Specificare il valore della variabile non è l’unico modo per determinare la verità di un enunciato
aperto. Consideriamo infatti la proposizione: «7XWWL L PLHL DPLFL VRQR DPPDODWL». In questo caso
non è stato specificato il soggetto dell’enunciato, tuttavia sarà possibile determinarne il valore di
verità controllando se ognuno dei miei amici è ammalato. In altri termini, se S è la proposizione che
esprime il fatto di essere ammalato, diremo che vale S([ ) per tutti gli [ appartenenti alla cerchia dei
miei amici e scriveremo: ∀[ S([ ). Il simbolo ∀ si chiama TXDQWLILFDWRUH XQLYHUVDOH, e si legge
“SHU RJQL”.Abbiamo poi un altro tipo di quantificatore, il TXDQWLILFDWRUH HVLVWHQ]LDOH, che si
indica con il simbolo ∃ e si legge “HVLVWHDOPHQRXQ”. Ad esempio, se la proposizione quantificata
fosse stata «7UDLWXRLDPLFLYHQHqDOPHQRXQRDPPDODWR», avremmo scritto: ∃[ S([ ).
Osserviamo che nella negazione delle proposizioni quantificate il ruolo dei quantificatori si
scambia. Ad esempio, la negazione della proposizione: «,Q TXHVWD FODVVH L UDJD]]L VRQR WXWWL
GLOLJHQWL» non è: «,Q TXHVWDFODVVHLUDJD]]LVRQRWXWWLIDQQXOORQL» (cioè nessun ragazzo della classe
è diligente), ma piuttosto: «7UDLUDJD]]LGLTXHVWDFODVVHFLVRQRGHLIDQQXOORQL» (cioè, non tutti i
ragazzi della classe sono diligenti). Supponiamo che S esprima il fatto di essere diligente (e quindi
S significhi essere fannullone), avremo allora la seguente formalizzazione di quanto appena visto:
(∀[ S([ )) = ∃[ S ([ ), in cui il dominio dell’enunciato è dato dai ragazzi della classe. Analogamente,
se la proposizione di partenza ha il quantificatore esistenziale la sua negazione conterrà quello
universale. Ad esempio, la negazione di: «(VLVWRQR GHL EDQFKLHUL JHQHURVL» non è: «(VLVWRQR GHL
EDQFKLHUL WDFFDJQL», bensì: «7XWWL L EDQFKLHUL VRQR WDFFDJQL» (cioè, non esistono banchieri
generosi). In simboli: (∃[ S ([ )) = ∀[ S ([ ), dove S esprime il fatto di essere generosi e il dominio
dell’enunciato è la totalità dei banchieri.
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*OLHQXQFLDWLDSHUWLHJOLLQVLHPL
,QVLHPL
Per mezzo di un enunciato aperto possiamo individuare un raggruppamento di cose, persone o
idee astratte che ne costituisce l’estensione. Vi è, in altri termini, una corrispondenza tra ogni
enunciato aperto e l’LQVLHPH dei riferimenti della variabile per cui l’enunciato è vero. Il concetto di
insieme è elementare e intuitivo, tuttavia seguendo le orme di Georg Cantor – il grande matematico
tedesco padre della teoria degli insiemi – possiamo tentarne una semplice definizione; egli infatti
non considerava “insieme” un qualsiasi raggruppamento di oggetti, ma piuttosto una molteplicità
che possa – sulla base di qualche criterio – essere pensata come una unità. In questo modo il legame
tra gli insiemi e gli enunciati aperti è chiaro, infatti il criterio che unifica gli elementi di un insieme
sarà proprio espresso da una proposizione del tipo “tutti gli oggetti che godono della proprietà di...”.
Se S([ ) è l’enunciato aperto che definisce l’insieme $, il dominio dell’enunciato S([ ) rappresenta
il cosiddetto LQVLHPHDPELHQWH per $; ad esempio S([ ) sia «8QDOXQQRGHOOD,9$KDODVXIILFLHQ]D
LQ PDWHPDWLFD», in questo caso [ potrà essere un qualsiasi alunno della IV A (insieme ambiente).
Può accadere che un enunciato aperto non risulti verificato per nessun elemento dell’insieme
ambiente, in tal caso il corrispondente insieme (che non contiene alcun elemento) si chiama LQVLHPH
YXRWR e si indica con ∅ . Ad esempio è vuoto l’insieme definito dall’enunciato «8QQXPHURLQWHUR
UHODWLYR FKH HOHYDWR DO TXDGUDWR Gj XQ QXPHUR QHJDWLYR»; infatti qualsiasi numero intero, sia
positivo che negativo, se elevato al quadrato darà sempre un risultato positivo.
Indicheremo un insieme per mezzo di parentesi graffe, enumerando gli elementi se è possibile,
oppure specificando la condizione cui gli elementi devono obbedire se sono molti o addirittura
infiniti. Ad esempio: 6 = {OXQHGt , PDUWHGu, PHUFROHGu, JLRYHGu, YHQHUGu, VDEDWR, GRPHQLFD} è
l’insieme dei giorni della settimana, mentre ( = {[ [ HUELYRUR} è l’insieme degli animali erbivori.
2SHUD]LRQLVXJOLLQVLHPL
A partire da uno o più insiemi possiamo costruirne altri per mezzo di alcune semplici procedure.
Il primo di tali procedimenti che prendiamo in considerazione è quello che permette di individuare
dei VRWWRLQVLHPL di un insieme dato. Sia ad esempio $ l’insieme degli alunni maschi della IV A e %
l’insieme degli alunni maschi della IV A che hanno una media non inferiore a sette. Poiché ogni
elemento di % è sicuramente anche elemento di $, ma potrebbero esistere elementi di $ che non
sono elementi di %, diremo che % è un sottoinsieme di $. Anche l’insieme vuoto e l’insieme $
stesso sono considerati sottoinsiemi di $, ma vengono qualificati come VRWWRLQVLHPL LPSURSUL,
mentre i sottoinsiemi di $ non vuoti e non coincidenti con $ sono VRWWRLQVLHPLSURSUL. La relazione
tra un insieme $ e un suo sottoinsieme % si chiama LQFOXVLRQH e si indica con la seguente notazione:
% ⊂ $ che significa che $ include %, intendendo che % è un sottoinsieme proprio; se invece % può
anche coincidere con la stesso $ useremo una notazione diversa: % ⊆ $ . Per indicare invece che un
elemento D appartiene all’insieme $ scriveremo: D ∈ $ . Osserviamo la relazione di appartenenza e
quella di inclusione sono molto diverse tra loro in quanto la prima coinvolge un insieme e un
elemento e la seconda due insiemi.
Un concetto molto importante è quello di LQVLHPHSRWHQ]D (o LQVLHPHGHOOHSDUWL) di un certo
insieme $, indicato con ℘($) e definito come un insieme i cui elementi sono al loro volta degli
insiemi, e precisamente tutti i sottoinsiemi (propri e impropri) di $; se ad esempio $ = {D, E, F}
allora: ℘($) = {∅, {D}{
, E}{
, F}{
, D, E}{
, D, F}{
, E, F}{
, D, E, F}}.
L’LQVLHPHFRPSOHPHQWDUH di un insieme $ è formato da tutti gli elementi dell’insieme ambiente
che non appartengono ad $. Se ad esempio $ è l’insieme dei numeri pari (definito sull’insieme
ambiente dei numeri naturali), il complementare di $ – che si indica con $ – è l’insieme dei
numeri dispari. Osserviamo che se $ è l’estensione di un certo enunciato aperto S([ ), il suo
complementare $ sarà l’estensione della negazione S([ ) di S([ ). Questa corrispondenza tra
12
*OLHQXQFLDWLDSHUWLHJOLLQVLHPL
operazioni logiche ed insiemistiche non è limitata alla negazione/complementarità, ma si estende
anche agli altri operatori logici.
Dati due insiemi $ e % definiamo l’insieme & formato dagli elementi che appartengono
contemporaneamente ad $ e a % LQWHUVH]LRQH dei due insiemi, indicata con & = $ ∩ % . È facile
vedere che se $ è l’estensione dell’enunciato aperto S([ ) e % quella dell’enunciato T([ ) ,
l’intersezione & sarà l’estensione della congiunzione S([ ) ∧ T([ ). Due insiemi che hanno come
intersezione l’insieme vuoto si dicono GLVJLXQWL.
L’XQLRQH tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono all’uno o all’altro;
sono cioè elementi dell’unione quelli che appartengono al primo ma non al secondo, quelli che
appartengono al secondo ma non al primo e quelli che appartengono all’intersezione tra i due.
Osserviamo che se $ è l’estensione dell’enunciato aperto S([ ) e % quella dell’enunciato T([ ) ,
l’unione & tra $ e % (indicata con & = $ ∪ % ) sarà l’estensione della disgiunzione inclusiva
S([ )∨ T([ ).
Consideriamo due insiemi $ e %, e costruiamo l’insieme & formato dagli elementi di $ che non
appartengono a %. Tale insieme prende il nome di GLIIHUHQ]D tra $ e % e si indica con la scrittura
& = $ − % . In altri termini & si ottiene togliendo da $ gli elementi dell’intersezione tra $ e % o, il
che è lo stesso, facendo l’intersezione tra $ e il complementare di %. Se i due insiemi sono disgiunti
la differenza tra $ e % coinciderà con lo stesso $; osserviamo inoltre che & = $ − % e & ′ = % − $
sono due insiemi differenti. Se $ è l’estensione dell’enunciato aperto S([ ) e % quella dell’enunciato
T([ ) , la differenza & = $ − % sarà l’estensione della proposizione S([ ) ∧ T ([ ) .
3URGRWWRFDUWHVLDQR
Consideriamo due insiemi: $ e %; prendendo un elemento D di $ e un elemento E di % possiamo
costruire una FRSSLDRUGLQDWD (D, E ). L’insieme di tutte le possibili coppie ordinate in cui il primo
elemento appartiene ad $ ed il secondo a % si chiama SURGRWWRFDUWHVLDQRtra $ e % e si indica con
$ × % . Siano ad esempio Alberto e Bruno due fratelli che hanno una maglia rossa ed una verde che
spesso si scambiano l’un l’altro. Se indichiamo con ) = {$, %} e 0 = {U , Y} l’insieme dei fratelli e
delle maglie rispettivamente (avendo abbreviato i nomi dei fratelli e dei colori con le sole iniziali), i
possibili modi in cui i due possono andare vestiti sono dati dal prodotto cartesiano tra ) e 0:
) × 0 = {($, U ), ($, Y ), (%, U ), (%, Y )}, cioè: Alberto con la maglia rossa, Bruno con quella verde, ecc...
Osserviamo che l’ordinamento della coppia (il fatto cioè che il primo elemento della coppia
appartenga al primo insieme e il secondo elemento al secondo insieme) è essenziale nella
definizione del prodotto cartesiano. Ad esempio, nel caso visto sopra, la coppia (Y, % ) non
appartiene al prodotto ) × 0 , ma piuttosto a 0 × ) , che è un insieme diverso da ) × 0 ; in altri
termini, il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa.
5HOD]LRQLWUDLQVLHPLHLOFRQFHWWRGLQXPHUR
Riferendoci all’esempio visto sopra, supponiamo che Alberto metta la maglia verde e Bruno
quella rossa; la situazione, descritta dall’insieme di coppie {($, Y ), (%, U )}, può anche essere vista
come una particolare relazione tra l’insieme dei fratelli e quello delle maglie. Più in generale,
definiremo UHOD]LRQH tra due insiemi XQ VRWWRLQVLHPH GHO ORUR SURGRWWR FDUWHVLDQR. Esistono
molte possibili relazioni tra due insiemi (precisamente, ogni elemento dell’insieme potenza del
prodotto cartesiano corrisponde ad una relazione), a noi però interessa una particolare classe di
relazioni, e precisamente le relazioni in cui ad ogni elemento del primo insieme corrisponde uno ed
un solo elemento del secondo insieme e viceversa. Una relazione di questo tipo si chiama
FRUULVSRQGHQ]D ELXQLYRFD. Nell’esempio dei fratelli e delle maglie sono corrispondenze
biunivoche {($, U ), (%, Y )} e {($, Y ), (%, U )}, mentre non lo sono {($, U ), (%, Y ), (%, U )} né {($, U )}; la
prima perché tanto a Bruno che alla maglia rossa corrisponde più di un elemento dell’altro insieme,
13
*OLHQXQFLDWLDSHUWLHJOLLQVLHPL
la seconda perché vi sono elementi (Bruno e la maglia verde) che non hanno un corrispondente
nell’altro insieme.
Supponiamo che Alberto e Bruno acquistino un’altra maglia, di colore grigio; è possibile adesso
costruire una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi? Se facciamo qualche prova ci accorgiamo
facilmente che la risposta è no; il motivo è semplice: ci sono più maglie che fratelli. Introduciamo
allora una importante definizione: due insiemi si dicono HTXLSRWHQWL quando possono essere messi
in corrispondenza biunivoca. Per chiarire questo concetto consideriamo il seguente esempio: ad una
prima teatrale c’è stato il “tutto esaurito”, non ci sono spettatori in piedi ma neanche poltrone
rimaste vuote; evidentemente l’insieme degli spettatori e quello delle poltrone sono equipotenti. È
abbastanza ovvio osservare che due insiemi sono equipotenti quando hanno lo stesso numero di
elementi, ma l’esempio del teatro ci mostra che non è necessario contare gli elementi di due insiemi
per stabilire se questi sono equipotenti (di fatto noi non sappiamo quanti posti a sedere ha il teatro
né quanti spettatori sono presenti in sala, ma dalla constatazione che non vi sono spettatori in piedi
né poltrone vuote deduciamo che i due numeri sono uguali). Piuttosto, potremo utilizzare
l’equipotenza per definire il concetto di numero. Che cosa hanno infatti in comune l’insieme di due
maglie, quello di due fratelli, quello di due tazze di tè, quello di due tartarughe...? Il fatto, appunto,
di avere due elementi, cosicché possiamo definire il numero due come la proprietà che hanno tutti
gli insiemi equipotenti ad un insieme di due elementi (ad esempio quello formato da due
tartarughe).
In questo modo siamo passati dall’ambito elementare degli insiemi a quello più complesso dei
numeri; si tratta di un passaggio basato su un processo di DVWUD]LRQH che rappresenta il punto di
partenza dell’aritmetica. Possiamo così definire l’insieme dei QXPHUL QDWXUDOL (che si indica con
1), cioè l’insieme dei numeri interi positivi, i primi in cui si imbatte ogni bambino nella sua
scoperta del mondo (e anche i primi in cui si è imbattuto l’uomo nella sua storia intellettuale)
poiché sono i numeri che servono per contare gli oggetti.
9HULILFKHGLFRPSUHQVLRQH
1.
2.
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8.
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22.
Che cos’è un termine variabile all’interno di una proposizione?
Che cos’è un HQXQFLDWRDSHUWR?
Che cos’è un HQXQFLDWRFKLXVR?
Che cos’è il GRPLQLR di un enunciato aperto?
Che cos’è l’HVWHQVLRQH di un enunciato aperto?
Come è definito e come si indica il TXDQWLILFDWRUHXQLYHUVDOH?
Come è definito e come si indica il TXDQWLILFDWRUHHVLVWHQ]LDOH?
Come avviene la negazione delle proposizioni quantificate?
Che relazione sussiste tra enunciati aperti e insiemi?
Come sono stati definiti gli insiemi da Georg Cantor?
Che cos’è l’LQVLHPHDPELHQWH di un certo insieme?
Che cos’è e come si indica l’LQVLHPHYXRWR?
Come si può rappresentare un insieme quando i suoi elementi sono facilmente
enumerabili?
Come si rappresenta un insieme quando non è possibile enumerare tutti i suoi elementi?
Che cosa sono i VRWWRLQVLHPL di un insieme?
Quali sono i VRWWRLQVLHPLLPSURSUL di un insieme $?
Quali sono i VRWWRLQVLHPLSURSUL di un insieme $?
Che cos’è e come si indica la relazione di LQFOXVLRQH?
Che cos’è e come si indica l’LQVLHPHSRWHQ]D di un insieme $?
Che cos’è e come si indica l’LQVLHPHFRPSOHPHQWDUH di un insieme $?
Che relazione sussiste tra il complementare di un insieme e l’enunciato di cui tale
insieme è l’estensione?
Che cos’è e come si indica l’LQWHUVH]LRQH tra due insiemi?
14
*OLHQXQFLDWLDSHUWLHJOLLQVLHPL
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30.
31.
32.
33.
34.
35.
Quando è che due insiemi si dicono GLVJLXQWL?
Che relazione sussiste tra l’intersezione di due insiemi e gli enunciati aperti di cui tali
insiemi sono l’estensione?
Che cos’è e come si indica l’XQLRQH tra due insiemi?
Che relazione sussiste tra l’unione di due insiemi e gli enunciati aperti di cui tali insiemi
sono l’estensione?
Che cos’è e come si indica la GLIIHUHQ]D tra due insiemi?
Che relazione sussiste tra la differenza tra due insiemi e gli enunciati aperti di cui tali
insiemi sono l’estensione?
Come è definito il SURGRWWRFDUWHVLDQR tra due insiemi?
Come è definita una UHOD]LRQH tra insiemi?
Che cos’è una FRUULVSRQGHQ]DELXQLYRFD?
Quando due insiemi si dicono HTXLSRWHQWL?
È possibile stabilire che due insiemi hanno la stesso numero di elementi senza contarli?
Come possiamo introdurre il concetto di numero a partire dagli insiemi?
Che cosa sono i QXPHULQDWXUDOL?
3UREOHPL
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Riconosci tra i seguenti gli enunciati aperti e quelli chiusi:
a. Mi piacciono in gatti che si fanno volentieri accarezzare.
b. Il mio gatto sta dormendo sulla poltrona.
c. Anni dopo incontrai un soldato che era rimasto ferito nella battaglia.
d. I soldati feriti nella battaglia vennero riportati in patria.
e. La ruota della tua bici è a terra.
f. La tua bici ha una ruota a terra.
Riconosci tra le seguenti le proposizioni quantificate e quelle che non lo sono:
a. Ho visto una barca vicino al faro.
b. Con questa bella giornata sicuramente alcune barche saranno uscite.
c. Ogni tanto incontro tuo cugino in palestra.
d. Lo scorso inverno ogni fine settimana siamo andati a sciare.
Indica il dominio e l’estensione dei seguenti enunciati:
a. Gli europei di madrelingua tedesca.
b. I rettili privi di zampe.
c. I condottieri romani che scrissero il 'H EHOORJDOOLFR.
d. Le persone che hanno vissuto più di 250 anni.
e. I poligoni di tre lati per cui la somma degli angoli interni è 180 gradi.
Scrivi la negazione delle seguenti proposizioni:
a. C’è almeno uno studente con la media superiore a 8.
b. Tutti i partecipanti avranno una maglietta in regalo.
c. Qualche pianta ha già i fiori.
d. Ogni computer dell’ufficio è connesso a una stampante.
e. Qualche alunno non ha ancora consegnato la relazione finale.
Scrivi i seguenti insiemi enumerandone esplicitamente gli elementi:
a. I numeri naturali minori di 20 che siano divisibili per 7.
b. I mesi dell’anno che hanno meno di 31 giorni.
c. I numeri ottenuti moltiplicando per sé stesso un numero naturale minore di 5.
d. Le parole di tre lettere che si possono ottenere in vario modo componendo tra loro le
prime due lettere dell’alfabeto.
e. Le lettere del tuo nome.
Per ciascuno dei seguenti insiemi scrivi un enunciato di cui l’insieme stesso sia
l’estensione:
15
*OLHQXQFLDWLDSHUWLHJOLLQVLHPL
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18.
19.
20.
a. {2, 4, 6, 8}
b. {OXQHGuPHUFROHGuYHQHUGu}
1 2 3 4 5 6 
c.  , , , , , 
7 7 7 7 7 7 
d. {1, 8, 27, 64}
e. {[ \]}
Scrivi almeno tre enunciati diversi di cui sia estensione l’insieme {2, 4, 6}.
Scrivi almeno tre enunciati diversi di cui sia estensione l’insieme vuoto.
Scrivi tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme {1, 5, α }, evidenziando i sottoinsiemi
propri.
Tra i seguenti insiemi in dica quelli che sono inclusi nell’insieme così definito: {DQLPDOL
FRQTXDWWUR]DPSH}
a. {FDYDOORPHGXVDDQDWUD}
b. {OXFHUWRODWXWWLLPDPPLIHUL}
c. {DQLPDOLFRQTXDWWUR]DPSH}
d. {OXSRWXWWLLIHOLQL}
Scrivi l’insieme potenza dell’insieme {IUDJRODFLOLHJLDEDQDQD}.
Quanti elementi contiene l’insieme potenza di un insieme di 3 elementi? E di 4? E di 5?
Riesci a individuare una relazione generale per calcolare il numero di elementi
dell’insieme potenza di un insieme di Q elementi?
Nell’insieme ambiente dei giorni della settimana indica l’insieme dei giorni festivi e il
suo complementare.
Dopo aver scritto esplicitamente l’insieme definito dall’enunciato “, QXPHULGLXQDFLIUD
FKHVLDQRPXOWLSOLGL” scrivine l’insieme complementare e il relativo enunciato.
Dati i due insiemi: {L PHVL DXWXQQDOL} e {L PHVL FRQ PHQR GL JLRUQL}, determina
l’unione e l’intersezione tra di essi.
In un gruppo di 97 bambini che hanno avuto il morbillo, 20 si sono ammalati anche di
varicella. Se i bambini che hanno avuto solo il morbillo sono 77, quanti sono quelli che
hanno avuto la varicella ma non il morbillo?
In una classe 3 studenti hanno avuto il debito solo a matematica, 2 solo a latino e 2 sia a
matematica che a latino.
a. Quanti studenti hanno avuto almeno un debito?
b. Quanti studenti hanno avuto il debito a matematica?
c. Quanti studenti hanno avuto il debito a latino?
Nell’insieme ambiente delle lettere dell’alfabeto sono dati gli insiemi: $ = {OH OHWWHUH
GHOOD SDUROD ³PDWHPDWLFD´}, % = {OH SULPH WUH OHWWHUH GHOO¶DOIDEHWR}, & = {O¶XOWLPD
OHWWHUDGHOO¶DOIDEHWR}. Determina i seguenti insiemi:
a. $ ∩ %
b. % − $
c. ($ ∪ % )∪ &
d. $ ∪ &
e. ($ ∪ & )∩ %
f. $ ∩ % ∩ &
Scrivi il prodotto cartesiano tra gli insiemi: {SL]]D SDQLQR JHODWR} e {DUDQFLDWD
FKLQRWWR}.
Quali tra le seguenti coppie di insiemi sono equipotenti?
a. professori e alunni di una classe
b. gli alunni di una classe e l’elenco dei nomi sul registro
c. gli zii e i cugini di una certa persona
16
/$',02675$=,21(
'LPRVWUDUH
Ci sono tre modi in cui possiamo accedere alla verità di un enunciato: il primo è l’esperienza
diretta, il secondo è il racconto di un testimone, il terzo la deduzione secondo i principi della logica
a partire da altre proposizioni che già sappiamo essere vere. La prima modalità è tipica delle scienze
naturali, mentre la seconda è la modalità della conoscenza storica; nessuna delle due, comunque, è
pienamente affidabile: sappiamo infatti che i nostri sensi (come pure un apparecchio di misura)
possono ingannare e d’altra parte la conoscenza storica dipende in maniera critica da quanto il
testimone è attendibile.
La terza modalità, la GLPRVWUD]LRQH, è il processo che consiste nel costruire proposizioni vere a
partire da altre utilizzando i principi della logica; in quanto basata solo sulle leggi della logica – che
sono assolute e universali a differenza dei dati di esperienza e delle notizie riportate da un testimone
– essa sembrerebbe la forma più sicura di conoscenza. C’è però da osservare che anche la
deduzione logica ha un punto debole: la verità delle premesse. Per molto tempo si ritenne infatti che
alcune proposizioni fossero così evidenti da potersi considerare vere senza bisogno di dimostrazione
o richiamo all’esperienza; tale era ad esempio il caso delle proprietà fondamentali delle figure
geometriche. Ci si accorse però che anche negando questi principi non si verificava alcuna
contraddizione nel sistema delle altre proprietà, cosa che invece avrebbe dovuto accadere se i
principi fossero stati veri. L’evidenza non è dunque garanzia di verità delle premesse; per questo
motivo la geometria (e più in generale la matematica) moderna è considerata una scienza LSRWHWLFR
GHGXWWLYD, perché le conseguenze vengono dedotte sulla base di ragionamenti corretti a partire da
premesse, che vengono assunte come ipotesi sulla cui verità non ci si può esprimere.
/DVWUXWWXUDGHOOHGLPRVWUD]LRQL
Ci domandiamo come si fa costruire logicamente una dimostrazione. In primo luogo abbiamo
bisogno di una più proposizioni che fungono da SUHPHVVH o LSRWHVL. Queste sono come le
fondamenta su cui poggia tutta la costruzione logica della dimostrazione. A partire dalle premesse si
formano altre proposizioni, anch’esse vere in base alle regole della logica, fino ad arrivare al punto
finale del ragionamento, ciò che si voleva dimostrare e che chiamiamo WHVL. Tutta la sequenza di
operazioni logiche che ci ha portato dalle premesse alla tesi si chiama WHRUHPD. Una volta che un
teorema è stato dimostrato la sua tesi potrà essere utilizzata come parte delle premesse di un nuovo
teorema e così via, fino alla costruzione di un VLVWHPDIRUPDOH (la geometria di Euclide è l’esempio
più celebre di sistema formale). Naturalmente in questa sequenza di proposizioni dimostrate a
partire da altre ci dovrà essere un punto di inizio fatto da proposizioni che sono considerate vere
senza però essere dimostrate: tali proposizioni prendono il nome di SRVWXODWL o DVVLRPL.
/HPPDHFRUROODULR
Un teorema che viene introdotto nel sistema formale al solo scopo di ottenere un risultato utile
per la dimostrazione di un altro teorema si chiama OHPPD, mentre un teorema che discende da un
altro in maniera quasi immediata (cioè mediante una dimostrazione fatta di pochissimi semplici
passaggi) si dice che è un FRUROODULR di quest’ultimo.
17
/DGLPRVWUD]LRQH
'LPRVWUD]LRQHGLUHWWD
Lo schema deduttivo più semplice è quello della dimostrazione diretta, o PRGXV SRQHQV, nel
quale, a partire dalle ipotesi considerate vere e da una deduzione logicamente corretta, si arriva alla
tesi. Vedremo più avanti che la dimostrazione diretta non è l’unico schema dimostrativo possibile.
Come esempio di modus ponens consideriamo la seguente situazione: stamattina il signor Anselmo
è uscito a piedi e senza l’ombrello, verso le 10 è cominciato un temporale che all’ora di pranzo non
è ancora cessato; possiamo dedurre che il signor Anselmo rientrerà a casa bagnato fradicio. Infatti
abbiamo due proposizioni vere: una è il noto teorema secondo cui andando in giro sotto la pioggia e
senza ombrello ci si bagna, l’altra esprime il fatto che il signor Anselmo è in giro a piedi senza
ombrello e che sta piovendo. La prima proposizione è una implicazione della forma S ⇒ T (in cui
S è la proposizione «8QDSHUVRQDYDLQJLURVRWWRODSLRJJLDVHQ]DRPEUHOOR» mentre T è «4XHOOD
SHUVRQDVLEDJQD» ), la seconda asserisce la verità della premessa: S = 9 . Ora, ricordando la tavola
di verità dell’implicazione, vediamo che quando l’antecedente è vero anche il conseguente deve
essere vero affinché l’implicazione sia vera. Ma nel nostro caso l’antecedente è vero per ipotesi
mentre l’implicazione è vera in quanto teorema precedentemente dimostrato; quindi il conseguente
sarà necessariamente vero.
/DWDYRODGLYHULWjGHOO¶LPSOLFD]LRQH
Tornando alle considerazioni svolte a proposito dell’operatore di implicazione logica, siamo
adesso in grado di capire meglio certi aspetti “un po’ strani” della sua tavola di verità. Date infatti
due proposizioni dai significati completamente scollegati tra loro come ad esempio: «,OFDFWXVqXQ
SHVFH» (proposizione S, falsa) e «/H VSLQHGHOODURVDSXQJRQR» (proposizione T, vera), che senso ha
dire che la proposizione «6H LOFDFWXVqXQSHVFHDOORUDOHVSLQHGHOODURVDSXQJRQR» (implicazione
S ⇒ T ) è vera? Il punto è che l’uso corretto dell’implicazione va in un certo senso all’incontrario
rispetto a quello degli altri connettivi logici: nel caso ad esempio della congiunzione si parte dalla
verità delle proposizioni costituenti per dedurre la verità proposizione composta, con l’implicazione
invece noi sappiamo che l’implicazione stessa è vera e che è vero l’antecedente, da ciò deduciamo
la verità del conseguente.
,OVLOORJLVPR
In base a quanto abbiamo visto, dimostrare un teorema significa costruire una serie di
proposizioni vere, utilizzando le regole della logica, a partire dalle premesse che assumiamo vere
per ipotesi, fino ad arrivare alla tesi. Per costruire proposizioni vere la concatenazione per mezzo
dei connettivi logici (ad esempio la congiunzione tra due proposizioni vere) non è l’unico
procedimento possibile. Un tipo di argomentazione molto importante e noto fin dall’antichità è il
VLOORJLVPR. Un sillogismo è formato da tre proposizioni: due premesse e una conclusione, come ad
esempio nella deduzione: «7XWWLJOLLQVHWWLKDQQRVHL]DPSHOHDSLVRQRLQVHWWLGXQTXHOHDSLKDQQR
VHL]DPSH». Nella prima delle premesse – la cosiddetta SUHPHVVDPDJJLRUH – si afferma che tutti gli
elementi di un insieme godono di una certa proprietà, nella seconda premessa (la SUHPHVVDPLQRUH)
si individua un sottoinsieme dell’insieme della premessa maggiore, nella conclusione si riconosce
che gli elementi del sottoinsieme godono della stessa proprietà di cui godono gli elementi
dell’insieme più ampio. Se indichiamo con $ e % rispettivamente l’insieme della premessa maggiore
e il suo sottoinsieme, e con S([) la proprietà di cui gode un certo elemento [, potremo formalizzare
il sillogismo nella seguente maniera: se ∀[ ∈ $ S([ ) (premessa maggiore) e [ ∈ % ⇒ [ ∈ $
(premessa minore), allora ∀[ ∈ % S([ ) (conclusione).
18
/DGLPRVWUD]LRQH
,OVLOORJLVPRQHOOHGLPRVWUD]LRQL
Nelle dimostrazioni dei teoremi di geometria si fa uso del sillogismo ogni volta che si attribuisce
ad una particolare figura una proprietà che – in un precedente teorema – era stata dimostrata valida
per tutte le figure di quel tipo; ad esempio, quando nel corso di una dimostrazione stabiliamo che un
certo triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali in virtù del teorema secondo cui in tutti i
triangoli isosceli gli angoli alla base sono uguali, applichiamo un sillogismo.
,OVLOORJLVPRLQPDWHPDWLFDHQHOOHVFLHQ]H
Il sillogismo sta alla base di tutto il ragionamento scientifico da Aristotele fino ai giorni nostri.
Nella matematica e nella geometria esso costituisce la struttura logica della maggior parte dei
passaggi delle dimostrazioni, in cui si applica un teorema precedentemente dimostrato al caso
particolare che si sta in quel momento considerando. Nelle scienze naturali (fisica, chimica,
biologia…) esso si applica per spiegare particolari fenomeni sulla base di leggi generali. Così, ad
esempio, la legge fisica che afferma che in una leva in equilibrio il braccio e la forza sono
inversamente proporzionali sarà la premessa maggiore di un sillogismo, in cui la premessa minore è
che in una particolare leva, su cui stiamo eseguendo un esperimento, la prima forza è il triplo della
seconda mentre il braccio della prima forza è un terzo di quello della seconda, e la conclusione è
che la leva è in equilibrio.
/DGLPRVWUD]LRQHLQGLUHWWD
La costruzione in sequenza di proposizioni vere a partire da premesse vere non è l’unico modo
per dimostrare la verità di una tesi. Un’altra possibile strada è quella che conduce a dimostrare la
falsità della negazione della tesi. Questa strada indiretta si basa sul principio della doppia
negazione, per cui se la negazione della tesi viene rifiutata, necessariamente si deve accettare la tesi.
Può lasciare perplessi il fatto che si arrivi ad una tesi senza averla realmente dimostrata ma solo –
diciamo così – per esclusione; tuttavia quando si accettino i principi del terzo escluso e della doppia
negazione, non vi è alcuna ambiguità nel ragionamento.
Il punto di partenza della dimostrazione indiretta è assumere ipoteticamente che la tesi che
vogliamo dimostrare sia falsa, dopodiché si costruisce una sequenza di proposizioni coerenti con
tale assunzione (per mezzo dei connettivi logici o del sillogismo) fino ad arrivare ad una violazione
del principio di non contraddizione; a quel punto il ragionamento termina e la tesi può considerarsi
dimostrata. Il fatto che da certe assunzioni si pervenga a una contraddizione si indica come UHGXFWLR
DG DEVXUGXP, per questo motivo la dimostrazione indiretta si chiama anche GLPRVWUD]LRQH SHU
DVVXUGR.
Lo schema deduttivo della dimostrazione per assurdo, in base al quale dalla falsità della tesi si
deduce la falsità dell’ipotesi (e quindi la necessità che la tesi sia vera per evitare contraddizioni), si
chiama anche PRGXVWROOHQV. Riprendendo l’esempio visto a proposito della dimostrazione diretta,
vediamo come avremmo potuto dedurre la proposizione che asserisce il fatto che il signor Anselmo
torna dalla sua passeggiata tutto bagnato, utilizzando il modus tollens. Iniziamo il nostro
ragionamento negando la tesi, cioè assumiamo che il signor Anselmo torni a casa asciutto. Ora, vi è
un teorema di cui dobbiamo tenere conto, e precisamente quello che afferma che ad andare in giro
senza ombrello sotto la pioggia ci si bagna. Affinché questa implicazione sia vera – dato che il
conseguente è falso – anche l’antecedente deve necessariamente essere falso (infatti se
l’antecedente fosse vero e il conseguente falso l’implicazione sarebbe falsa). In altri termini, se
assumiamo che il signor Anselmo torni a casa asciutto – poiché sappiamo che ad andare in giro
senza ombrello sotto la pioggia ci si bagna – dovrà necessariamente essere falso che il signor
Anselmo sia uscito senza ombrello e che abbia piovuto. Ma noi sappiamo invece che il signor
Anselmo è uscito senza ombrello e che ha piovuto; ci troviamo quindi di fronte ad una violazione
19
/DGLPRVWUD]LRQH
del principio di non contraddizione e per evitarla non c’è altro modo che abbandonare l’assunzione
che la tesi fosse falsa; quindi la tesi è vera.
/DFRQVHTXHQWLDPLUDELOLV
Un tipo particolarmente rilevante di dimostrazione per assurdo è la cosiddetta FRQVHTXHQWLD
PLUDELOLV. Secondo questo schema dimostrativo, se una proposizione può essere dedotta dalla sua
negazione allora la proposizione è vera. Sia infatti S una proposizione qualsiasi, l’espressione logica
(S ⇒ S ) ⇒ S è una tautologia in quanto: se S è falsa la deduzione S ⇒ S è falsa (vero implica
falso...) e quindi tutta l’espressione – avendo antecedente e conseguente falsi – è vera; se invece S è
vera la deduzione S ⇒ S è vera (avendo l’antecedente falso) e l’espressione completa è ancora una
volta vera (vero implica vero...). Supponiamo allora di aver dimostrato che S ⇒ S è vera, poiché
(S ⇒ S ) ⇒ S è sempre vera, segue necessariamente che S – che è il conseguente di una deduzione
in cui l’antecedente è vero – è vero. Come esempio di consequentia mirabilis dimostriamo che
l’insieme dei numeri naturali è illimitato, cioè che non esiste un numero più grande di tutti gli altri.
Supponiamo per assurdo che questo non sia vero e che esista un numero – chiamiamolo 0 – più
grande di tutti; la proposizione S , da cui parte il nostro ragionamento, è: «(VLVWHXQQXPHUR0FKH
q LOSLJUDQGHGLWXWWLLQXPHUL», la proposizione S che vogliamo dimostrare è invece «1RQHVLVWHXQ
QXPHUR SL JUDQGH GL WXWWL L QXPHUL». Ora, noi sappiamo che dato un numero Q possiamo sempre
costruire il numero Q + 1 che è maggiore di Q. Quindi, dalla semplice affermazione che 0 esiste,
segue che possiamo ottenere un numero 0 + 1 maggiore di 0, e quindi che – comunque venga
scelto 0 – esso non potrà essere il più grande di tutti i numeri, il che è lo stesso che dire che non
esiste un numero più grande di tutti.
6FULWWXUDIRUPDOHHVFKHPDGLXQDGLPRVWUD]LRQH
La dimostrazione di un teorema è un processo rigoroso che ha le stesse caratteristiche di un
calcolo. I vari passaggi corrispondono infatti alla costruzione di proposizioni vere che conducono –
seguendo una serie di passaggi rigorosamente regolati dalle leggi della logica – dalle ipotesi fino
alla tesi. Il modo migliore per presentare una dimostrazione consiste nell’evidenziare chiaramente
tutti i passaggi intermedi indicando sulla base di quali premesse sia stato possibile formulare
ciascuno di questi enunciati. Sulla base di tale formalizzazione sarà poi possibile uno schema
grafico per rappresentare le varie relazioni di
dipendenza logica tra enunciati.
Illustriamo queste cose prendendo come esempio
una semplice dimostrazione geometrica. Supponendo
di conoscere già il risultato in base al quale la somma
degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto
(che
consideriamo
quindi
un
teorema
precedentemente dimostrato), vogliamo dimostrare
che la somma degli angoli interni un quadrilatero
convesso è pari a 360 gradi. Per la dimostrazione
facciamo riferimento alla Figura 1.
Avendo tracciato la diagonale '% il quadrilatero
$%&' risulta suddiviso nei due triangoli $%' e '%&,
in ognuno dei quali – secondo il teorema sulla somma
degli angoli interni di un triangolo – la somma degli
angoli interni vale 180 gradi. Ricordiamo inoltre che )LJXUD 6RPPD GHJOL DQJROL LQWHUQL GL XQ
la somma di due angoli si ottiene portando un lato di TXDGULODWHURFRQYHVVR
un angolo a coincidere con un lato dell’altro in modo
20
/DGLPRVWUD]LRQH
che non vi siano sovrapposizioni tra gli angoli stessi. Avremo quindi: $'ˆ & = $'ˆ % + %'ˆ & e
&%ˆ $ = $%ˆ ' + '%ˆ & .
La somma degli angoli interni del quadrilatero è: %$ˆ ' + $'ˆ & + '&ˆ % + &%ˆ $ che – in base a
quanto visto – possiamo scrivere:
%$ˆ ' + $'ˆ % + %'ˆ & + '&ˆ % + $%ˆ ' + '%ˆ & cioè, applicando la proprietà commutativa della
somma: %$ˆ ' + $'ˆ % + '%ˆ $ + %'ˆ & + '&ˆ % + &%ˆ ' . Ora, le due parentesi in quest’ultima
(
(
)
(
) (
)
)
espressione contengono la somma degli angoli interni per i triangoli $%' e %'& rispettivamente,
ognuna delle quali vale – come abbiamo visto – 180 gradi. Risulta in tal modo dimostrato che la
somma degli angoli interni del quadrilatero è pari a 360 gradi.
Vogliamo adesso scrivere formalmente la dimostrazione appena vista, dividendola in punti ed
evidenziando le dipendenze logiche dei vari enunciati tra loro e con altri teoremi e proprietà.
Riporteremo quindi in una lista numerata le varie proposizioni che costituiscono la dimostrazione;
accanto ad ogni proposizione metteremo tra parentesi da quali punti precedenti o teoremi già
dimostrati essa deriva. Ovviamente l’elenco inizia sempre con l’ipotesi e termina con la tesi.
,SRWHVL: $%&' quadrilatero convesso, %' diagonale (vedi Figura 1)
%$ˆ ' + $'ˆ % + '%ˆ $ = 180° (ipotesi, teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo)
%'ˆ & + '&ˆ % + &%ˆ ' = 180° (ipotesi, teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo)
$'ˆ & = $'ˆ % + %'ˆ & (definizione di somma di due angoli)
&%ˆ $ = $%ˆ ' + '%ˆ & (definizione di somma di due angoli)
%$ˆ ' + $'ˆ & + '&ˆ % + &%ˆ $ = %$ˆ ' + $'ˆ % + %'ˆ & + '&ˆ % + $%ˆ ' + '%ˆ & (3, 4)
%$ˆ ' + $'ˆ & + '&ˆ % + &%ˆ $ = %$ˆ ' + $'ˆ % + '%ˆ $ + %'ˆ & + '&ˆ % + &%ˆ ' (propr. commutativa
della somma, 5)
7HVL: %$ˆ ' + $'ˆ & + '&ˆ % + &%ˆ $ = 360° (6, 1, 2)
(
(
)
) (
(
)
)
/RVFKHPDORJLFRGLXQDGLPRVWUD]LRQH
Per chiarire bene la struttura logica della dimostrazione ed evidenziare quali siano le relazioni di
implicazione tra i vari punti del ragionamento e dove intervengano risultati esterni (come teoremi
precedentemente dimostrati o definizioni) possiamo aiutarci mediante una rappresentazione grafica
dello schema deduttivo seguito.
A tal fine costruiamo il
diagramma di Figura 2, per la
cui stesura abbiamo utilizzato
le seguenti convenzioni: i
vari
passaggi
sono
rappresentati da quadrati
contenenti il numero che
nella
scrittura
formale
identifica quella proposizione
(l’ultimo punto, cioè la tesi, è
evidenziato da un quadrato
con il bordo più spesso o di )LJXUD6FKHPDORJLFRGHOODGLPRVWUD]LRQH
diverso colore); l’ipotesi è
rappresentata da un rettangolo; i risultati esterni (come ad esempio teoremi già dimostrati, proprietà
o definizioni) sono rappresentati con degli ovali. Inoltre i vari punti sono collegati da frecce che
esprimono il nesso di dipendenza logica; una freccia cioè che termina su una proposizione parte da
21
/DGLPRVWUD]LRQH
un punto che è necessario per dimostrare quella proposizione. Sul punto 6 del diagramma di Figura
2, ad esempio, convergono due frecce: una che parte dal punto 5 e una che parte dalla proprietà
commutativa della somma. Se infatti torniamo alla formalizzazione per punti della dimostrazione
vediamo che la proposizione del punto 6 si ottiene da quella del punto 5 in cui sono stati spostati i
termini in modo da avere raggruppati gli angoli di ciascun triangolo, uno spostamento che può
essere eseguito in virtù della proprietà commutativa della somma.
Vi sono alcune regole generali a cui deve obbedire lo schema logico di una qualsiasi
dimostrazione:
se vi sono dei punti intermedi da cui non parte alcuna freccia questi possono essere tolti, in
quanto non servono a completare la deduzione;
se vi sono dei punti su cui non arriva nessuna freccia può esservi un errore; infatti solo
l’ipotesi e i teoremi esterni non devono essere giustificati (in alcuni casi tuttavia la
giustificazione è così ovvia che per brevità la si omette, come ad esempio quando scriviamo
che un ente geometrico è uguale a sé stesso);
se vi sono delle frecce che da un punto ritornano ad uno precedente la dimostrazione non è
valida: infatti si sta utilizzando una condizione per dedurre le premesse da cui tale
condizione deve essere ricavata: evidentemente un errore logico che nei testi classici viene
indicato con il termine GLDOOHOH.
9HULILFKHGLFRPSUHQVLRQH
1. In quanti e quali modi si può accedere alla verità di un enunciato?
2. Come si definisce la GLPRVWUD]LRQH?
3. È possibile stabilire la verità delle premesse per pura evidenza? Perché?
4. Che cosa significa che la matematica è una scienza LSRWHWLFRGHGXWWLYD?
5. Che cosa sono l’LSRWHVL e la WHVL?
6. Che cos’è un WHRUHPD?
7. Che cos’è un VLVWHPDIRUPDOH?
8. Che cosa sono i SRVWXODWL o DVVLRPL?
9. Che cos’è un OHPPD?
10. Che cos’è un FRUROODULR?
11. Che cos’è la GLPRVWUD]LRQHGLUHWWD(oPRGXVSRQHQV)?
12. Fai un esempio di PRGXVSRQHQV.
13. Che cos’è il VLOORJLVPR?
14. Come è strutturato un sillogismo?
15. Fai un esempio di sillogismo.
16. Che cos’è la GLPRVWUD]LRQHLQGLUHWWD (o PRGXVWROOHQV)?
17. Che cos’è la UHGXFWLRDGDEVXUGXP?
18. Fai un esempio di dimostrazione indiretta.
19. Che cos’è la FRQVHTXHQWLDPLUDELOLV?
20. Fai un esempio di FRQVHTXHQWLDPLUDELOLV.
21. Come si scrive una dimostrazione?
22. Come si costruisce lo schema logico di una dimostrazione per mezzo di un diagramma?
23. Che cosa esprimono le frecce nel diagramma di una dimostrazione?
24. Che cosa vuol dire quando nello schema di una dimostrazione vi sono punti intermedi da cui
non parte alcuna freccia?
25. Che cos’è il GLDOOHOH e come lo si può individuare analizzando il diagramma di una
dimostrazione?
3UREOHPL
1. Distingui tra le seguenti proposizioni quelle per le quali la verità è stabilita per esperienza,
per il resoconto di un testimone o per dimostrazione:
22
/DGLPRVWUD]LRQH
a. Il rumore che sta facendo questo motore è veramente assordante.
b. Si vede chiaramente dal filmato che il presidente Kennedy venne colpito alla testa.
c. Mi ha detto Giorgio che nessuno ha pulito i pavimenti da più di una settimana.
d. Essendo i pavimenti così sporchi, è chiaro che nessuno li ha puliti da diversi giorni.
e. Dopo aver aspettato tanto, finalmente è apparso un puntino sul radar.
f. C’è un aereo a 10 chilometri da noi, lo vedo sul radar.
2. Nella seguente implicazione individua le premesse e la tesi: VHFRQWLQXDDQRQSLRYHUHQHL
SURVVLPLJLRUQLOHSLDQWHGHOJLDUGLQRDSSDVVLUDQQRWXWWHVHQHVVXQROHLQQDIILHUj.
3. Con riferimento alla proposizione del precedente problema (VHFRQWLQXDDQRQSLRYHUHQHL
SURVVLPL JLRUQL OH SLDQWH GHO JLDUGLQR DSSDVVLUDQQR WXWWH VH QHVVXQR OH LQQDIILHUj),
individua tra i seguenti enunciati un lemma di tale teorema:
a. Le piante devono essere innaffiate con regolarità.
b. Se a una pianta manca un regolare apporto di acqua, essa in breve tempo appassisce.
c. Nelle zone in cui non piove mai non può sopravvivere alcuna pianta.
d. Quando piove, la vegetazione prospera.
4. Sfruttando il lemma individuato nel precedente problema, dimostra il teorema dell’esercizio
2 (VHFRQWLQXDDQRQSLRYHUHQHLSURVVLPLJLRUQLOHSLDQWHGHOJLDUGLQRDSSDVVLUDQQRWXWWH
VHQHVVXQROHLQQDIILHUj), scrivi formalmente la dimostrazione e costruiscine un diagramma.
5. Nel seguente sillogismo individua la premessa maggiore, la premessa minore e la
conclusione: DQFKHDTXHOPLRDPLFRFKHYLYHD%HUOLQRFRPHDWXWWLLWHGHVFKLSLDFHPROWR
ODELUUD.
6. Costruisci un sillogismo – evidenziando esplicitamente le due premesse e la conclusione –
con cui si dimostra che la gatta Cleopatra non ama restare fuori quando piove, dato che i
gatti detestano bagnarsi.
7. Costruisci un sillogismo – evidenziando esplicitamente le due premesse e la conclusione –
con cui si dimostra che per il compleanno di Anna (15 gennaio), come in tutto l’inverno,
sarà molto freddo.
8. Dimostra per assurdo che non sei stato tu a mangiare tutta la torta al cioccolato, dato che il
giorno dopo non hai avuto mal di pancia.
9. In riferimento al precedente problema, sapendo che non ti sei mangiato tutta la torta al
cioccolato, puoi affermare che il giorno dopo non avrai mal di pancia? Perché?
10. Ripeti il problema 4 utilizzando la dimostrazione per assurdo.
11. Dimostra – facendo ricorso alla FRQVHTXHQWLD PLUDELOLV – la proposizione: “HVLVWRQR
SURSRVL]LRQLYHUH”.
12. Sfruttando i risultati esterni “la bicicletta non si può utilizzare se la ruota è bucata ” e “a
piedi occorre più tempo a percorrere lo stesso tratto che in bicicletta” dimostra il seguente
teorema: “uno studente che quando esce di casa trova la ruota della bici a terra arriverà a
scuola in ritardo”. Scrivi formalmente i passaggi della deduzione e costruisci lo schema
logico della dimostrazione.
23
/¶,1'8=,21(0$7(0$7,&$
/DGLPRVWUD]LRQHSHULQGX]LRQH
Il principio dell’LQGX]LRQHPDWHPDWLFD è una tecnica dimostrativa che si basa su questa semplice
idea: dovendo dimostrare che una certa proprietà vale per tutti i numeri naturali (o comunque per
tutta una classe di enti matematici che possono essere “contati”, cioè messi in corrispondenza
biunivoca con l’insieme dei numeri naturali) eseguiamo due operazioni logiche:
1.
facciamo innanzitutto vedere che tale proprietà vale per il primo numero o elemento
dell’insieme
2.
dimostriamo che se la proprietà vale per un certo numero (o elemento), vale anche per il
successivo.
Se ad esempio vogliamo dimostrare che tutti i poligoni godono di una certa proprietà, potremo
dapprima far vedere che il triangolo gode di quella proprietà e poi che se ne gode il poligono di n
lati ne gode anche il poligono di Q + 1 lati. Infatti avendo il triangolo quella proprietà ne gode anche
il quadrilatero, ma se ne gode il quadrilatero ne gode anche il pentagono, e così via.
,OSULQFLSLRGHOPLQLPRLQWHUR
Il principio di induzione matematica è strettamente collegato ad un’altra importante proprietà dei
numeri naturali: SULQFLSLR GHO PLQLPR LQWHUR, secondo cui: RJQL LQVLHPH QRQ YXRWR GL QXPHUL
QDWXUDOL KD XQ HOHPHQWR PLQRUH GL WXWWL JOL DOWUL. Questo principio è abbastanza intuitivo; ci
convinciamo infatti facilmente che un insieme di numeri interi positivi che sia finito – come i
numeri compresi tra 100 e 200 – o infinito – come l’insieme dei numeri pari – dovrà
necessariamente avere un elemento minimo. È importante osservare che questa proprietà dei numeri
naturali non può essere estesa ai numeri interi relativi (ad esempio l’insieme dei relativi minori di 0
non ha un elementi minimo) né ai numeri razionali, quelli cioè che si possono esprimere per mezzo
di una frazione (ad esempio l’insieme dei numeri razionali maggiori di zero non ha un elemento
minimo; è sempre possibile infatti trovare una frazione positiva che sia più piccola di una frazione
data).
'LPRVWUD]LRQHGHOSULQFLSLRGHOPLQLPRLQWHUR
Il principio del minimo intero si dimostra per assurdo applicando il metodo di induzione.
Negando la tesi che tutti gli insiemi di numeri naturali hanno un elemento minimo, supponiamo che
esista un insieme $ di numeri naturali che non ha un elemento minimo, e consideriamo l’insieme
complementare di $: $ ; dimostreremo che $ coincide con 1, cosicché l’insieme $ non può
contenere alcun elemento.
Sicuramente il numero 1 deve appartenere ad $ , altrimenti apparterrebbe ad $, e poiché 1 è il
più piccolo numero naturale, sarebbe anche il più piccolo elemento di $, contro la nostra
assunzione. In questo modo abbiamo applicato la prima operazione logica del processo di
induzione, facendo vedere che la proprietà che stiamo dimostrando vale in un caso particolare.
Supponiamo ora che i primi Q numeri: 1, 2, 3, ! , Q appartengano ad $ . Se il numero Q + 1
appartenesse all’insieme $, sarebbe necessariamente il minimo elemento (in quanto tutti i numeri
più piccoli di lui appartengono ad $ ), contro ciò che abbiamo ipotizzato, che $ non avesse un
minimo elemento. Se dunque Q + 1 non appartiene ad $, appartiene ad $ . Questo è il secondo
24
,OSULQFLSLRLQGX]LRQH
passo del processo di induzione: se i primi Q numeri interi appartengono ad $ , anche Q + 1
appartiene ad $ . Il principio di induzione ci dice quindi che tutti i numeri appartengono ad $ , cioè
che $ coincide con l’insieme dei numeri naturali 1, il che è come dire che l’insieme $ è vuoto,
cioè che nessun insieme $ di numeri naturali gode della proprietà di non avere un minimo elemento,
cioè infine che tutti gli insiemi di numeri naturali hanno un elemento minimo.
(TXLYDOHQ]D GHO SULQFLSLR GL LQGX]LRQH FRQ LO SULQFLSLR GHO PLQLPR
LQWHUR
Si può dimostrare che il principio di induzione può essere dedotto a partire dal principio del
minimo intero. Poiché abbiamo appena dimostrato che il principio del minimo intero attraverso
l’induzione, possiamo affermare che i due principi sono equivalenti. Ricordiamo infatti che due
enunciati si dicono equivalenti quando il primo implica il secondo e il secondo implica il primo.
Anche in questo caso la dimostrazione procede per assurdo. Assumiamo come ipotesi valido il
principio del minimo intero e consideriamo una proprietà S dei numeri naturali che:
1.
vale per Q = 1 , cosicché S(1) è vera;
2.
se vale per Q vale anche per Q + 1 ; cioè S(Q ) ⇒ S(Q + 1)
Siccome stiamo utilizzando una dimostrazione indiretta, supponiamo per assurdo che esista
almeno un numero naturale k tale che S(N ) sia falsa. Ovviamente non può essere N = 1 , avendo
ipotizzato che S(1) è vera, quindi N ≥ 2 . Chiamiamo C l’insieme dei numeri naturali per i quali la
proprietà p è falsa. In base al principio del minimo intero (che è la nostra ipotesi), l’insieme C deve
avere un elemento minimo che chiameremo N 0 . Poiché N 0 è il minimo elemento di C, tutti i numeri
n minori di N 0 non appartengono a C, cioè S(Q ) è vera per ogni Q < N 0 , in particolare per
Q = N 0 − 1 . Siamo dunque giunti alla conclusione che S (N 0 − 1) è vera mentre S (N 0 ) è falsa, in
palese contraddizione con le nostre ipotesi.
$SSOLFD]LRQLGHOSURFHVVRGLLQGX]LRQH
Vi sono parecchie interessanti proprietà dei numeri interi che possono essere dimostrate per
induzione. Tipicamente, nella ricerca di una relazione matematica si procede per tentativi facendo
diversi esempi sotto varie condizioni, fino a che non si riesce ad intuire una regolarità esprimibile
con una opportuna formula. In altri casi, la relazione cercata emerge direttamente da una analisi del
problema. Quando siamo riusciti a scrivere una relazione che riteniamo risolva correttamente il
problema, passiamo alla dimostrazione, verificando dapprima che essa è soddisfatta per Q = 1 e poi
che se vale per Q essa vale anche per Q + 1 . Vediamo qualche esempio di tale procedimento.
/DVRPPDGHLSULPLQQXPHUL
Secondo un celebre aneddoto, quando il celebre matematico Carl Friederich Gauss era ancora
alle scuole elementari risolse brillantemente un problema di calcolo che, affrontato con le tecniche
tradizionali avrebbe richiesto molto tempo e fatica. Si trattava di sommare i primi 50 numeri. Dopo
pochi minuti il piccolo Gauss portò al maestro il risultato corretto: 1275. Come aveva fatto? Per
trovare anche noi una formula che risolva il problema, consideriamo un caso più semplice, la
somma dei primi 10 numeri: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 . Se in questa sequenza di numeri
associamo il primo con l’ultimo, il secondo con il penultimo, e così via, otteniamo sempre lo stesso
valore pari all’ultimo numero della serie più uno (11) ripetuto un numero di volte pari alla metà del
numero di termini nella serie (5), cioè 55. Possiamo estendere questo risultato alla somma dei primi
Q ⋅ (Q + 1)
Q numeri, lasciando il valore di Q non specificato: 1 + 2 + 3 + ! + Q =
. Verifichiamo che
2
25
,OSULQFLSLRLQGX]LRQH
questa formula è corretta dimostrandola per induzione. Osserviamo innanzitutto che essa vale per
1 ⋅ (1 + 1)
Q = 1 , infatti 1 =
. Supponiamo poi che essa sia valida per una somma di Q termini; per la
2
Q ⋅ (Q + 1)
+ (Q + 1); il secondo termine di
somma di Q + 1 termini avremo: (1 + 2 + ! + Q ) + (Q + 1) =
2
Q ⋅ (Q + 1)
Q ⋅ (Q + 1) + 2(Q + 1) (Q + 1)⋅ (Q + 2 )
+ (Q + 1) =
=
, cioè la formula da
questa equazione vale:
2
2
2
cui eravamo partiti nella quale abbiamo sostituito Q + 1 a Q. Con ciò la dimostrazione è completa.
/DSURJUHVVLRQHJHRPHWULFDHODVXDVRPPD
Consideriamo una successione di numeri tale che il rapporto tra un qualsiasi termine e il
precedente sia costante; una tale successione prende il nome di SURJUHVVLRQH JHRPHWULFD. Ad
1 1 1
esempio potrebbe trattarsi della sequenza: 1, , , , ! nella quale ogni termine è la metà del
2 4 8
3 9 27
, ! nella quale il rapporto tra un termine e
precedente. Un altro esempio potrebbe essere: , ,
4 16 64
3
il precedente è
. Più in generale, una progressione geometrica avrà la seguente forma:
4
1 3
1, [, [ 2 , [ 3 ,! in cui [ si chiama UDJLRQH della progressione (negli esempi visti sopra [ vale
e
2 4
rispettivamente). Ci domandiamo se esiste una formula per la somma dei primi Q termini della
progressione geometrica, cioè se è possibile esprimere mediante una relazione matematica la
quantità: 6 Q = 1 + [ + [ 2 + [ 3 + ! [ Q . Dopo qualche tentativo (ad esempio le progressioni di ragione
1
1
2
[ = , [ = , [ = ... sommate fino al terzo o quarto termine) ci convinciamo che un buon
2
3
3
1 − [ Q +1
candidato potrebbe essere l’espressione 6 Q =
, ma per dimostrarlo dobbiamo far ricorso al
1− [
principio di induzione. Il primo termine della progressione è sempre 1 (indipendentemente da [),
1− [
1 − [ Q +1
corrispondente a Q = 0 ; e infatti: 6 0 =
= 1 . Nell’ipotesi che 6 Q =
, scriviamo ora la
1− [
1− [
somma fino all’ordine Q + 1 :
1 − [ Q +1
1 − [ Q +1 + [ Q+1 ⋅ (1 − [ ) 1 − [ Q + 2
.
6 Q+1 = 1 + [ + [ 2 + [ 3 + ! [ Q + [ Q +1 =
+ [ Q +1 =
=
1− [
1− [
1− [
1 − [ Q +1
Vediamo chiaramente che si tratta della stessa espressione 6 Q =
in cui a Q è stato
1− [
sostituito Q + 1 ; ciò completa la nostra dimostrazione.
$FKLOOHHODWDUWDUXJD
Come prima applicazione della somma di una progressione geometrica consideriamo un celebre
paradosso attribuito al filosofo =HQRQH GL (OHD, vissuto nel V secolo a.C., in base al quale il
velocissimo Achille non riuscirà mai a raggiungere una lenta tartaruga alla quale ha dato un certo
vantaggio. Infatti, supponiamo ad esempio che in una ipotetica gara di corsa tra Achille e la
tartaruga quest’ultima abbia un vantaggio di un metro alla partenza e che la velocità di Achille sia
doppia di quella della tartaruga (la scelta di considerare la velocità della tartaruga esattamente metà
di quella di Achille non è essenziale nei ragionamenti che seguono, è solo una scelta che rende i
26
,OSULQFLSLRLQGX]LRQH
calcoli particolarmente semplici). Nel tempo in cui Achille percorre il primo metro la tartaruga si è
portata avanti di mezzo metro; Achille copre il mezzo metro e la tartaruga avanza nel frattempo di
25 centimetri… Achille – dice Zenone – non raggiungerà mai la tartaruga! L’aspetto paradossale di
questo ragionamento consiste nell’aver dimostrato una conclusione in palese disaccordo con la più
elementare esperienza.
Per risolvere questo paradosso consideriamo il seguente fatto: abbiamo visto che ogni tratto che
deve percorrere Achille per raggiungere la tartaruga è metà del precedente, quindi anche il tempo
necessario a percorrerlo sarà la metà del tempo necessario a percorrere il tratto precedente. Se
dunque Achille percorre il primo tratto, ad esempio, in 1 secondo, percorrerà il secondo in ½
secondo, il terzo in ¼ di secondo, e così via. Il tempo necessario ad Achille per percorrere Q tratti
1 1
1
sarà quindi dato dalla somma 1 + + + ! Q , ma questa è proprio la somma della progressione
2 4
2
1
geometrica di ragione [ = . In questo caso la regola che abbiamo trovato per il calcolo della
2
1
somma assume una forma particolarmente semplice: 6 Q = 2 − Q . Vediamo quindi che – anche
2
considerando un numero di tratti molto grande – la somma della progressione (e quindi il tempo
necessario ad Achille per percorrerli tutti) rimane sempre inferiore a 2. Se poi estendiamo
idealmente tale somma fino all’infinito (come se volessimo considerare tutti i tratti che separano
1
Achille dalla tartaruga) otterremmo per tale somma il valore 2; infatti la frazione Q diviene
2
sempre più piccola al crescere di Q poiché il denominatore rimane finito mentre il denominatore
aumenta illimitatamente. Osserviamo che 2 secondi è proprio il tempo che occorre ad Achille per
raggiungere la tartaruga, calcolato sulla base di considerazioni elementari. Infatti in 2 secondi
Achille percorre 2 metri mentre la tartaruga solo 1 metro (poiché la sua velocità è metà di quella di
Achille); ma la tartaruga aveva 1 metro di vantaggio, quindi dopo 2 secondi si ritroveranno
entrambi nello stesso punto, cioè a 2 metri dalla posizione iniziale di Achille (o, il che è lo stesso, a
1 metro dalla posizione iniziale della tartaruga).
,QXPHULGHFLPDOLSHULRGLFL
Un numero decimale periodico ha uno sviluppo illimitato dopo la virgola, con le cifre che da un
certo punto in poi si ripetono in gruppi tutti uguali. Il gruppo che si ripete prende il nome di SHULRGR
e viene indicato con una lineetta ad esso sovrapposta, le cifre dopo la virgola che precedono il
periodo si chiamano DQWLSHULRGR. Così ad esempio la scrittura 0,623 significa 0,623232323! ; in
questo numero l’antiperiodo è 6 mentre il periodo è 23. Sia i numeri decimali che hanno un numero
finito di cifre dopo la virgola che i numeri periodici si ottengono dal quoziente di due numeri interi
e sono pertanto esprimibili in forma di frazione (detta IUD]LRQHJHQHUDWULFH). Tuttavia, mentre per un
131
numero decimale finito è immediato scrivere la frazione generatrice (ad esempio 1,31 =
), per i
100
numeri periodici le cose stanno in maniera diversa e vi è una regola – invero abbastanza oscura e
difficile da ricordare – che dice più o meno così: ODIUD]LRQHJHQHUDWULFHGLXQQXPHURSHULRGLFRKD
FRPH QXPHUDWRUH ODGLIIHUHQ]DWUDLOQXPHURVFULWWRVHQ]DYLUJRODHLOQXPHURIRUPDWRGDOOHFLIUH
FKHSUHFHGRQRLOSHULRGRFRPHGHQRPLQDWRUHXQQXPHURIRUPDWRGDWDQWLQRYHTXDQWHVRQROHFLIUH
GHOSHULRGRVHJXLWHGDWDQWL]HULTXDQWHVRQROHFLIUHGHOO¶DQWLSHULRGR. Ora, facendo qualche prova,
ci convinciamo che questa regola effettivamente funziona, ma quale è la spiegazione di un
procedimento tanto astruso?
Partiamo da un caso elementare: un numero periodico semplice in cui il periodo è formato da
una sola cifra, da esempio 0, 6 . La sequenza di cifre del periodo può essere riportata alla somma di
27
,OSULQFLSLRLQGX]LRQH
1
1


una progressione geometrica. Infatti 0,666 ! = 0,6 + 0,06 + 0,006 + ! = 0,6 ⋅ 1 + +
+ ! .
 10 100

1
Ora, tra parentesi abbiamo la somma della progressione geometrica di ragione
che – nel caso sia
10
Q
1
1−  
 10  . Quando scriviamo 0, 6 il numero di cifre dopo la virgola è
costituita da Q termini – vale
1
1−
10
1
10
= ; infatti per Q
illimitato e quindi l’espressione che dà il valore della somma si riduce a
1
9
1−
10
Q
6
1
molto grande   è trascurabile e possiamo porlo pari a zero. Ricordando che 0,6 =
possiamo
10
 10 
6 10 2
infine scrivere la frazione generatrice del numero periodico: 0, 6 = ⋅ = .
10 9 3
Veniamo ora al caso in cui il periodo è composto da più di una cifra, ad esempio 0, 35 . Avremo
1
1


adesso: 0,353535! = 0,35 + 0,0035 + 0,000035 + ! = 0,35 ⋅ 1 +
+
+ ! . Ancora la
2
 100 100

1
somma di una progressione geometrica, stavolta di ragione
. Ragionando come nell’esempio
100
35
1
35 1
35 100 35
⋅
=
⋅
=
⋅
=
. Se infine sono presenti altre cifre
precedente otterremo:
1
100
100 99 100 99 99
1−
100
100
prima del periodo, basterà sommare le due parti come nel seguente esempio: 1,6 2 = 1,6 + 0,0 2 ; il
16 8
2 
1
1
 1 10 1
primo termine della somma è 1,6 =
.
= , mentre 0,0 2 =
⋅ 1 + +
+ ! =
⋅ =
10 5
100  10 100
 50 9 45
8 1 73
Quindi: 1,6 2 = +
.
=
5 45 45
9HULILFKHGLFRPSUHQVLRQH
1. Enuncia il principio di induzione matematica.
2. Enuncia e il principio del minimo intero.
3. Il principio del minimo intero si può estendere anche ai numeri relativi e razionali?
4. Dimostra il principio del minimo intero utilizzando l’induzione matematica.
5. Che cosa significa che due enunciati sono equivalenti?
6. Dimostra il principio di induzione assumendo come ipotesi il principio del minimo intero.
7. Enuncia e dimostra per induzione la formula per la somma dei primi Q numeri interi.
8. Che cos’è una progressione geometrica?
9. Che cos’è la UDJLRQH di una progressione geometrica?
10. Enuncia e dimostra per induzione la formula per la somma di una progressione geometrica.
11. Come si applica la formula per la somma della progressione geometrica al paradosso di
Achille e la tartaruga?
12. Che cos’è un numero decimale periodico?
13. Come può essere scritto un numero decimale periodico in forma di somma di una
progressione geometrica?
28
,OSULQFLSLRLQGX]LRQH
14. Come si ricava la frazione generatrice di un numero periodico applicando la formula per la
somma di una progressione geometrica?
3UREOHPL
1. Assumendo per acquisito il teorema in base a cui la somma degli angoli interni di un
triangolo è pari a un angolo piatto, dimostra per induzione che la somma degli angoli interni
di un qualsiasi poligono convesso di Q lati è pari a (Q-2) angoli piatti.
2. Dimostra per induzione che Q rette dividono il piano al massimo in 2Q regioni.
3. Dimostra per induzione che, essendo Q e S due numeri naturali qualsiasi, vale la
Q
disuguaglianza: (1 + S ) ≥ 1 + QS (questa importante proprietà dei numeri naturali è nota
anche come GLVXJXDJOLDQ]DGL%HUQRXOOL).
1
1
1
1
Q
4. Dimostra per induzione che
+
+
+"+
=
.
1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
Q ⋅ (Q + 1) Q + 1
5. Dimostra per induzione che 2 Q > Q .
6. Dimostra per induzione che 3 Q > Q .
7. Generalizza i risultati dei due precedenti esercizi, cioè dimostra che, per una qualsiasi
numero intero . > 1 vale la disuguaglianza: . Q > Q .
8. Costruisci la frazione generatrice del numero 0,1 3 .
9. Costruisci la frazione generatrice del numero 1, 4 3
10. Trova l’errore nella dimostrazione del seguente teorema: GXH QXPHUL LQWHUL SRVLWLYL
TXDOVLDVLVRQRXJXDOL. Dimostrazione: siano D e E due numeri interi positivi, indichiamo con
max(D, E ) il più grande dei due. La proposizione che vogliamo dimostrare vale quando
max(D, E ) = 1 ; infatti in tal caso sarà necessariamente D = 1 e E = 1 . Supponiamo ora che la
proposizione sia vera quando max(D, E ) = Q (cioè che in tal caso sia D = E ). Consideriamo
due numeri D ′ e E ′ tali che max(D ′, E′) = Q + 1 ; sottraendo 1 a entrambi è immediato
verificare che max(D ′ − 1, E′ − 1) = Q , ma poiché la relazione è vera per Q sarà D ′ − 1 = E ′ − 1 ,
cioè D ′ = E ′ .
29