Foglio 1

Esercitazione 1 di Analisi Matematica I
• Esercizi di logica matematica
1. Considerando la proposizione p(x, y) = “x è un multiplo di y”, dove x e y variano nell’insieme N \ {0, 1}, dire se le seguenti proposizioni sono vere o false; indicare poi la
negazione delle proposizioni false usando connettivi logici e quantificatori:
− ∀x∀y,
− ∀y∃x,
p (x, y)
p (x, y)
− ∃y∀x,
− ∀x∃y,
p (x, y)
p (x, y)
− ∃x∃y,
− ∃x∀y,
p (x, y)
p (x, y) .
2. Sia p(x, y) la proposizione “x2 + y 2 < 4”, dove x e y sono numeri interi. Dire se le
seguenti proposizioni sono vere o false
− ∀x, ∀y,
− ∀x, ∃y,
− ∃x, ∃y,
p(x, y)
NOT p(x, y)
p(x, y)
− ∀x, ∀y,
− ∃x, ∀y,
− ∃x, ∃y,
NOT p(x, y)
p(x, y)
NOT p(x, y).
− ∀x, ∃y,
− ∃x, ∀y,
3. Mostrare con un esempio che la seguente proposizione è falsa:
per qualsiasi scelta di tre insiemi A, B e C, A ∪ C = A ∪ B =⇒ B = C.
• Esercizi sul valore assoluto
Scrivere le seguenti proposizioni usando il valore assoluto
1. x è 5 oppure −5
2. la distanza da x a 3 è 7
3. la distanza da x a 5 è minore di 2
4. la distanza da x a −3 è maggiore o uguale a 4
5. x è compreso fra −2 e 2
6. x è compreso fra 4 e 6
7. x è compreso fra −3 e 1
• Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni
x2 + 2x − 3
≥ 0;
1 − 7x
3. |x2 − 1| − |x2 − 5| = 3;
1.
2x − 3
1
1
≥
+
;
x2 − 25
x−5 x+5
1
7. 2 + > 0
x
5.
|2|x| − 1| = 5;
√
√
11.
x − 1 − 2x − 3 = 0;
p
13.
4x2 + 12x + 9 = 3;
9.
2. |x − 1| + |2x + 1| = 10;
6x + 1
4. − 3 < 1;
2x + 5
p
6.
x2 − 6x > x + 2;
p
x |x2 − 4|
8.
− 1 > 0;
x2 − 4
√
10. 3 x + 4 = 3;
√
√
12.
x + 2 + 3x − 1 > 0;
14. x2 − 5|x| + 4 > 1.
• Determinare esplicitamente i seguenti sottoinsiemi di R
3x + 1
1. A = {x ∈ R : (x + 2)(x − 1)(x − 5) < 0} ∩ x ∈ R :
≥0 ;
x−2
n
o p
√
2. B = x ∈ R : x − 4 ≥ x2 − 6x + 5 ∪ x ∈ R : x + 2 > x − 1 ;
p(x, y)
NOT p(x, y)