Introduzione alla logica matematica - Liceo Scientifico Mariano IV d

LA LOGICA
Ecco di cosa parleremo:
• COS’E’ LA LOGICA
• ELEMENTI E OPERAZIONI
• APPLICAZIONE PRATICA
A cura degli alunni Mauro Alessandro e Driusso Marco, con il supporto
degli insegnanti Donno Mario Carlo e Altan Daniele (Scienze
matematiche e fisiche).
Anno scol. 2001-2002.
COS’E’ LA LOGICA
La LOGICA è una disciplina che si occupa di stabilire le
regole per procedere in ragionamenti coerenti e corretti.
Nel nostro caso ci occuperemo in particolare della logica
matematica o formale, cioè della branca della matematica
che studia i concetti e ne stabilisce regole precise.
ELEMENTI E OPERAZIONI
LE PROPOSIZIONI O ENUNCIATI
Sono delle espressioni discorsive, corrette dal punto di vista
sintattico, a cui è possibile assegnare uno ed uno solo dei
due valori di verità, vero o falso.
Viene indicata con una lettera dell’alfabeto:
p: “Sono uno studente”
V 1
q: “Un anno ha 1000 giorni”
F 0
LA NEGAZIONE
E’ la proposizione che è vera se l’enunciato di partenza è
falso e falsa nell’altro caso.
Si indica
e corrisponde al connettivo «non».
Nel linguaggio informatico è anche indicato NOT o
INVERTER.
La tavola di verità corrispondente è:
p
p
V
F
Esempio:
p: «6 è pari»
non p: «6 non è pari »
p
F
V
V
F
LA CONGIUNZIONE
Dati due enunciati, la congiunzione è quella terza proposizione
che è vera solo se le due di partenza sono vere.
Si indica
pq
e corrisponde al connettivo «e» anche detto AND.
La tavola di verità è la seguente.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
V
F
F
F
Esempio:
p: “Roma è in Italia”
q: “Il forno raffredda”
pq: “Roma è in Italia e il forno raffredda”
V
F
F
LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA
E’ quell’operazione che permette di trovare una terza
proposizione che è vera se almeno uno degli enunciati di
partenza è vero.
p siÚlegge
q “p vel q”
Viene indicata:
o altrimenti:
p OR q
Corrisponde al connettivo linguistico «o».
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pÚq
V
V
V
F
Esempio:
p: «Pordenone è in Friuli»
V
q: «Il ghiaccio è caldo»
F
p Ú q: «Pordenone è in Friuli o il ghiaccio è caldo » V
LA DISGIUNZIONE ESCLUSIVA
La disgiunzione esclusiva è l’operazione binaria che fa
corrispondere a due proposizioni p e q la proposizione composta
p
q che è vera quando è vera una sola delle proposizioni
componenti.
La disgiunzione esclusiva corrisponde al connettivo “o…o…”(in
latino a “aut”) o, nel linguaggio informatico, a “XOR”.
La tavola di verità corrispondente è:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
q
F
V
V
F
Esempio:
p:”Napoli è in Campania”
V
q:”Venezia è in Liguria”
F
p q:”o Napoli è in Campania o Venezia è in Liguria”
V
L’IMPLICAZIONE MATERIALE
L’implicazione materiale o condizionale è l’operazione binaria
che fa corrisponere a due proposizioni p e q la propopsizione
composta pq che è sempre vera tranne quando p è vera e q è
falsa.
L’implicazione materiale corrisponde al connettivo “se…allora”.
La tavola di verità corrispondente è:
p
V
V
F
F
q pq
V
V
F
F
V
V
F
V
Esempio:
p: “Milano è in Lombardia”
V
q: “Madrid è in Italia”
F
pq: “Se Milano è in Lombardia allora Madrid è in Italia”
F
LA DOPPIA IMPLICAZIONE
La doppia implicazione materiale o bicondizionale è
l’operazione binaria che fa corrispondere a due proposizioni p e
q la proposizone composta pq che è vera quando p e q sono
entrambe vere o entrambe false.
La doppia implicazione materiale corisponde al connettivo “...se
e solo se…” o, nel linguaggio informatico, a “NOT XOR”.
La tavola di verità corrispondente è:
p
V
V
F
F
q pq
V
V
F
F
V
F
F
V
Esempio:
p:”Genova è in Liguria”
V
q:”Il monte Bianco è in Sicilia”
F
pq:”Genova è in Liguria se e solo se il monte Bianco è in Sicilia”
F
TAUTOLOGIE
Si definisce tautologia una proposizione composta che risulta
sempre vera, indipendentemente dai valori di verità delle
proposizioni componenti.
Ecco alcuni esempi di tautologie:
•Principio del Terzo Escluso.
pÚ p
p
V
F
p pÚ p
F
V
V
V
Esempio: è sempre vero che
cammino o non cammino.
•Principio di non contraddizione.
p p
p
V
F
p
F
V
p p p  p
F
V
F
V
Esempio: non può essere vero
che piove e
(contemporaneamente)
non piove.
CONTRADDIZIONI
Si definisce contraddizione una proposizione composta sempre
falsa, indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni
componenti.
La proposizione p p è una contraddizione perché è sempre
falsa, come si può vedere nella corrispondente tabella di verità.
p
V
F
p
F
V
p p
F
F
Esempio:
è sempre falso che piove e (contemporaneamente) non piove