logica e problemi logici

LOGICA
E
PROBLEMI DI LOGICA
Un’inferenza è
una successione di n proposizioni
tale che
se le prime n – 1 proposizioni fossero vere,
allora la n-ma proposizione sarebbe vera.
queste prime n – 1 proposizioni sono dette
PREMESSE
la n-ma proposizione è detta
CONCLUSIONE
Schema di inferenza
Successione di
schemi di proposizione
che garantisce
la validità dell’inferenza
Schema di inferenza
ELENCO DELLE PREMESSE
CONCLUSIONE
Schemi sillogistici. Esempi:
Ogni N è P
Ogni M è N
Nessun N è P
Qualche N è M
Ogni M è P
Qualche M non è P
Gli Stoici scoprono
altri
schemi di inferenza
validi
Se piove, allora la strada è bagnata
Piove
La strada è bagnata
Se piove, allora la strada è bagnata
La strada non è bagnata
Non piove
Il Modus Ponens
Se p, allora q
p
q
Il Modus Tollens
Se p, allora q
non q
non p
MA NON
Se p, allora q
ERRORE
!!!
non p
non q
Infatti …
Se piove, allora la strada è bagnata
Non piove
E R R O R E !!!
La strada non è bagnata
Magari è bagnata, perché è stata lavata
I Modi stoici e la relativa fallacia
sono al centro del
Wason selection task
(o four-card problem)
il rompicapo logico inventato da
Peter Cathcart Wason nel 1966
Wason selection task
«Le carte che hanno un numero pari su
una faccia hanno l’altra faccia rossa»
Per controllare la verità della frase quali carte si
devono girare?
Wason selection task
«Le carte che hanno un numero pari su
una faccia hanno l’altra faccia rossa»
L’otto e la carta marrone
Wason selection task
Le carte che hanno un numero pari su
una faccia hanno l’altra faccia rossa
Se la carta x ha un numero pari su una
faccia, allora x ha l’altra faccia rossa
E dunque:
Se la carta x non ha una faccia rossa,
allora x non ha un numero pari sull’altra
La logica studia
la validità delle inferenze
rese possibili dal significato di alcune
parole non legate a uno specifico
campo semantico, ma di impiego
generale (dette costanti logiche):
p.es. “ogni”, “il”, “oppure”, “non”.
tra queste parole:
Le parole che servono
per generare
proposizioni da altre
proposizioni: i
CONNETTIVI
P.es: “non”, “se …,
allora …”, “e”
(nella grammatica o
avverbi o congiunzioni)
studiati dalla
LOGICA PROPOSIZIONALE
tra queste parole:
Parole che accompagnano nomi,
aggettivi e verbi dentro la
proposizione specificandola
quantitativamente: i
QUANTIFICATORI
P.es: “ogni”, “qualche”,
“nessuno”
(nella grammatica aggettivi
o pronomi indefiniti)
studiati dalla
LOGICA DEI PREDICATI
I connettivi studiati dalla logica
proposizionale
somigliano per significato a certi
avverbi e congiunzioni del
linguaggio ordinario, ma con una
differenza importante: sono tutti
VEROFUNZIONALI
Connettivi verofunzionali
Sono connettivi che per il loro significato
generano una proposizione il cui valore di
verità dipende solo dal valore di verità
delle proposizioni cui si applicano …
… ma non dal senso delle proposizioni cui si
applicano.
p.es.
La congiunzione “e” del linguaggio
ordinario è già verofunzionale nel suo
uso comune
“e”, connettivo verofunzionale
Il “Copernico” è un liceo e
ha più di mille studenti
VERO perché entrambi
i congiunti sono veri
Il “Copernico” è un liceo e
il numero 5 è maggiore di 3
VERO perché entrambi
i congiunti sono veri
Il “Copernico” è un liceo e
il numero 5 è minore di 3
FALSO perché uno dei
congiunti è falso
ma non è verofunzionale …
p.es.
“poiché”, nel significato ordinario:
Infatti NON BASTA NEPPURE
che i due
congiunti siano veri per rendere vero il composto
Il numero 18 è pari, poiché è divisibile per due
Il numero 18 è pari, poiché ha un successore
I connettivi basilari
•  , “non”:
•
•
•
•
proposizione generata vera s.se
quella cui si applica è falsa.
 , “e”:
proposizione generata vera s.se
le due cui si applica sono vere.
 , “o”:
proposizione generata vera s.se
almeno una delle due cui si applica è vera.
, “implica”, “se …, allora”: proposizione generata
falsa s.se l’antecedente è vero e falso il
conseguente.
 , “equivale”, “se e solo se”: proposizione generata
vera s.se le due cui si applica hanno lo
stesso valore di verità
Il significato di un connettivo
verofunzionale
è definito interamente dalla sua tavola di verità
p
Negazione:

p
V
F
V
F
V
F
Congiunzione:
p
q
p

q
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
Disgiunzione:
p
q
p

q
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
Implicazione:
p
q
p

q
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
Equivalenza:
p
q
p

q
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
Gli alberi di Beth
Un albero di Beth è un diagramma formato da
• una sequenza ramificata di proposizioni, in cui
• la radice è rappresentata da una certa proposizione,
• ad ogni proposizione seguono le sue conseguenze
logiche,
• proposizioni di significato disgiuntivo danno luogo a
una ramificazione che conduce ai due disgiunti,
• un ramo si chiude quando compare la negazione di una
proposizione precedente nella sequenza.
Un esempio
Regole di costruzione
pq
|
p, q
congiunzione
pq
/
\
disgiunzione
p
implicazione
negazione
q
pq
/
\
p
q
(p  q)
/
\
p
q
 (p  q)
|
 p,  q
 (p  q)
|
p,  q
 p
|
p
Leggi logiche proposizionali
sono proposizioni sempre vere in
virtù del significato logico dei
connettivi
alcune delle più notevoli
•
•
•
•
Modus Tollens:
Terzo escluso:
Doppia negazione:
Leggi di De Morgan:
((pq)  q)  (p)
p  (p)
( (p))  p
(  (p  q))  ((p)  (q))
(  (p  q))  ((p)  (q))
Metodi di controllo logico
Metodi per controllare:
• se una certa proposizione è una legge logica;
• se una certa inferenza è logicamente valida.
Due fondamentali:
• il metodo della tavola di verità;
• il metodo dell’albero di Beth.
Individuazione di una legge
logica
Una proposizione è
legge logica,
se e solo se:
Nella sua tavola di verità
la colonna del connettivo
principale contiene solo
valori VERO
Tutti i rami dell’albero di
Beth che ha la propria radice
nella negazione della
proposizione sono CHIUSI
Controllo della validità logica di
un’inferenza
Che si usi la tavola di verità o l’albero di Beth
l’inferenza dalle
premesse p1 … pn
alla conclusione q è
logicamente valida,
se e solo se:
L’implicazione
(p1  …  pn)  q
è legge logica
Un esempio
La seconda legge di De Morgan
controllata attraverso la tavola di verità
p
q
(
(p

q)
 (( p)

(
q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
Un altro esempio
Il modus Tollens controllato con l’albero di Beth
I quantificatori fondamentali
• , il quantificatore universale:
•  , il quantificatore esistenziale:
“per ogni”
“c’è almeno un”
Si impiegano associati a variabili per contare gli
individui che godono del predicato:
x P
Per ogni x, P di x Tutti gli individui sono P
x Qx
C’è un x, Q di x
Qualche individuo è Q
L’idea del quantificatore
È dovuta al matematico
tedesco Gottlob Frege
(1848-1925)
I simboli usati per i quantificatori
all’americano Charles e all’italiano Giuseppe
Sanders Peirce (1839- Peano (1858-1932)
1914)
Sono introdotti formalmente
• con gli schemi di inferenza:
x Px
Pa
Pa
x Px
Sono introdotti formalmente
e/o con gli assiomi:
• (x Px)  Pa
• Pa  (x Px)
Interdefinibilità per mezzo della
negazione
x Px
x Qx


x (Px)
x (Qx)
Quantificatori annidati
• Cambiando l’ordine dei quantificatori cambia il senso
dell’enunciato:
• P.es:
x y y > x
y x y > x
Quantificatori annidati
Quantificatori annidati
Quantificatori annidati
x y y > x
y x y > x
Per ogni numero c’è un
numero maggiore
C’è un numero che è
maggiore di ogni numero
Quantificatori annidati
La disposizione dei quantificatori nella
definizione di limite di Cauchy
lim f(x) = l
xa
  x ( >0  >0  a– < x < a+ )  (l– < f(x) < l+ )
Per ogni  esiste un  tale che per ogni x, se  e 
sono positivi e x è compreso tra a– e a+ , allora
f(x) è compreso tra l– e l+ .
Un esempio dai test 2012 (n.31)
Simona afferma: “In ogni corso di laurea in Medicina e Chirurgia c'è almeno uno studente che ha superato tutti gli esami del
primo anno”. Se tale affermazione è falsa, allora sicuramente …
A) c'è almeno un corso di laurea in Medicina e Chirurgia in cui
nessuno studente ha superato tutti gli esami del primo anno.
B) in tutti i corsi di laurea in Medicina e Chirurgia nessuno
studente ha superato tutti gli esami del primo anno.
C) in ogni corso di laurea in Medicina e Chirurgia c'è almeno uno
studente che non ha superato alcun esame del primo anno.
D) c'è almeno un corso di laurea in Medicina e Chirurgia in cui c'è
almeno uno studente che non ha superato alcun esame del primo
anno.
E) c'è almeno un corso di laurea in Medicina e Chirurgia in cui
almeno uno studente ha superato tutti gli esami del primo anno.
Un esempio dai test 2012 (n.31)
La frase di Simona:
x y z
-
Nel corso x lo studente y ha superato l’esame z del primo
anno
La sua negazione e proposizioni equivalenti:
 (x y z Nel corso x lo studente y ha superato l’esame z del primo------------------ anno)
x  (y z Nel corso x lo studente y ha superato l’esame z del primo ---------------- anno)
x y  (z Nel corso x lo studente y ha superato l’esame z del primo anno)
x y z  (Nel corso x lo studente y ha superato l’esame z del primo ---------------- anno)
I problemi relativi alle cause
Sono spesso analizzabili in termini di
implicazione quantificata.
Si consideri l’esempio seguente, Test
2013 n.3:
Un esempio
• Di solito Laura pota le rose nel mese di novembre, ma lo scorso
anno ha dimenticato di farlo. Ha aspettato, invece, che terminasse
il gelo invernale per poi potarle nel mese di marzo. Quest’estate
Laura ha avuto la più abbondante fioritura di rose che si fosse
mai vista nel suo giardino. Quindi, il gelo fa bene alle rose. Quale
delle seguenti risposte costituisce il passaggio logico errato nel
brano precedente?
• A) Si presuppone che il gelo abbia causato l’abbondante fioritura
di rose.
• B) Si presuppone che non ci siano gelate nel mese di marzo.
• C) Si presuppone che le rose debbano essere potate.
• D) Si presuppone sulla base di un solo caso che una tarda potatura
faccia bene a tutte le piante in generale.
• E) Si presuppone che il mese di novembre e il mese di marzo
siano gli unici mesi in cui si può effettuare la potatura.
Un esempio
• Gli estensori del test ritengono che la conclusione
“Il gelo fa bene alle rose” sia tratta
scorrettamente dalle premesse “Laura ha
aspettato che terminasse il gelo invernale per
potare le rose nel mese di marzo” e “Quest’estate
Laura ha avuto la più abbondante fioritura di
rose che si fosse mai vista nel suo giardino”.
• Tradurre formalmente in termini di implicazione
quantificata può aiutarci a comprendere meglio.
Un esempio
• La frase “Il gelo fa bene alle rose” ha un
significato causale e la potremmo rendere con:
x (x pota le rose dopo il gelo  x ha una
fioritura abbondante).
• Le due premesse potrebbero essere rese da:
1) Laura pota le rose dopo il gelo;
2) Laura ha una fioritura abbondante.
Un esempio
• Vediamo bene che le leggi della quantificazione
non autorizzano a trarre la conclusione:
x (x pota le rose dopo il gelo  x ha una
fioritura abbondante),
• ma solo quella più modesta:
x (x pota le rose dopo il gelo  x ha una
fioritura abbondante).
Traduzione degli schemi di
enunciato aristotelici
Approssimativamente:
• x (Px  Qx)
• x (Px  Qx)
• x (Px  Qx)
• x (Px  Qx)
Tutti i P sono Q
Nessun P è Q
Qualche P è Q
Qualche P non è Q
Ma con la precisazione che gli enunciati
aristotelici non prevedono termini vuoti,
sempre:
x Px
Problemi di sillogistica
Test 2007, n.1: Nessun minerale è animato – qualche esistente è
animato – dunque .............................. non è minerale.
S’individui il CORRETTO COMPLETAMENTO del sillogismo:
A) qualche esistente; B) ogni animato; C) qualche minerale; D)
ogni esistente; E) ogni minerale.
Test 2007, n.2: Tutti i piccioni mangiano le fave – alcuni uccelli non
mangiano le fave – dunque ...................... non sono piccioni .
S’individui il CORRETTO COMPLETAMENTO del sillogismo:
A) alcuni uccelli; B) le fave; C) alcuni piccioni; D) alcune fave; E)
tutti gli uccelli.
Il sillogismo
Un sillogismo è un’inferenza costituita da tre enunciati,
due premesse (maggiore e minore) e una conclusione,
con le seguenti caratteristiche:
• ogni enunciato ha una delle quattro forme
previste;
• i termini che compaiono sono tre;
• uno di essi (termine medio) compare in entrambe
le premesse ed è assente nella conclusione;
• degli altri (termini estremi), nella conclusione
funge da soggetto quello comparso nella premessa
minore, da predicato quello comparso nella
maggiore.
Il sillogismo
Gli schemi di sillogismo validi si possono dividere
in quattro gruppi (figure), tre dovute ad Aristotele,
una individuata nel Medioevo, secondo la
disposizione del termine medio nelle premesse.
Le figure del sillogismo
Prima figura
Il termine
medio è
soggetto nella
premessa
maggiore,
predicato nella
minore.
MP
SM
SP
Seconda figura
Il termine
medio è
predicato in
entrambe le
premesse.
PM
SM
SP
Terza figura
Il termine
medio è
soggetto in
entrambe le
premesse.
MP
MS
SP
Quarta figura
Il termine
medio è
predicato nella
premessa
maggiore,
soggetto nella
minore.
PM
MS
SP
Le figure del sillogismo
Prima figura
Barbara
Celarent
Darii
Ferio
(Barbari)
(Celaront)
Seconda figura
Cesare
Camestres
Festino
Baroco
(Cesaro)
(Camestros)
Terza figura
Darapti
Disamis
Datisi
Felapton
Ferison
Bocardo
Quarta figura
Bramantip
Camenes
Dimaris
Fesapo
Fresison
(Calemos)
Le vocali indicano il tipo di enunciato: A, universale affermativo; E,
universale negativo; I, particolare affermativo; O, particolare
negativo. I nomi tra parentesi indicano gli schemi ottenibili
banalmente da altri della medesima figura per riduzione della
quantità della conclusione: se Amn è vero, allora anche Imn è vero;
se Emn è vero, allora anche Omn è vero.
L’esecuzione grafica del sillogismo
• Per rappresentare graficamente i termini, gli
enunciati e la loro concatenazione nel sillogismo,
si può impiegare il metodo dovuto al matematico
svizzero Leonhard Euler (Eulero) e perfezionato
poi da altri, tra cui l’inglese John Venn. La rappresentazione deve convogliare tutta e solo l’informazione contenuta nel termine e nell’enunciato,
senza nulla aggiungervi, affinché la rappresentazione possa consentire l’esecuzione del sillogismo
con mezzi grafici.
L’esecuzione grafica del sillogismo
Si stabiliscono perciò le seguenti convenzioni interpretative:
• Ogni termine di ciascun enunciato formante il sillogismo è
rappresentato da un ovale.
• All’interno di un ovale, o dell’area chiusa da uno o più ovali,
non ci può essere più di un punto.
• Un punto all’interno dell’area chiusa da uno o più ovali
indica che il sottoinsieme rappresentato da quell’area chiusa
non è vuoto, senza nulla precisare circa il numero degli
elementi contenuti.
• Un punto sul confine tra due o più aree chiuse indica che il
sottoinsieme rappresentato da una di tali aree non è vuoto.
• L’area chiusa da uno o più ovali che non contenga alcun
punto indica che il sottoinsieme rappresentato da quell’area
chiusa può essere tanto vuoto quanto non vuoto.
L’esecuzione grafica del sillogismo
Dato il senso
attribuito a
ciascuna forma
di enunciato e le
convenzioni
interpretative, le
quattro forme
risultano
rappresentabili
nella maniera
seguente:
L’esecuzione grafica del sillogismo
• Dopo aver rappresentato l’enunciato che funge da premessa
maggiore, si rappresenta nel medesimo diagramma quello che
funge da minore, aggiungendo all’ovale del termine medio e al
punto di questo l’ovale del nuovo termine estremo ed
eventualmente un nuovo punto.
• Si aggiunge un nuovo punto solo se non se ne trova uno già
tracciato nell’area chiusa che lo dovrebbe ospitare.
• Per quanto riguarda il rapporto spaziale tra il nuovo estremo e
quello già rappresentato, si fa in modo che il nuovo ovale
intersechi l’ovale dell’estremo già rappresentato e tocchi col
confine il punto di questo, se l’area chiusa dove deve essere
tracciato il nuovo ovale lo consente.
• A questo punto la conclusione del sillogismo può essere letta nel
diagramma costruito, ricavandola dal rapporto spaziale tra i due
termini estremi.
Esempio: Celarent
EMP
ASM
ESP
Esempio: Celarent
Esempio: Celarent
Esempio: Celarent
Esempio: Celarent
I problemi di identificazione
(Zebra puzzles)
•
•
•
•
Un certo numero di elementi
Diversi nelle proprietà
Proprietà suddivise per campi
Si devono identificare gli elementi
elencandone le proprietà
Un esempio
Alberto, Bruno e Carlo formano un equipaggio di
volo svolgendo le funzioni uno di pilota, uno di
copilota e uno di ingegnere.
• Il copilota, figlio unico, guadagna meno di tutti.
• Carlo, marito della sorella di Bruno, guadagna più
del pilota.
Qual è l’identità di ciascuno?
Il metodo delle griglie multiple
Una griglia per ogni combinazione di campi
Alberto
Bruno
Carlo
Massimo
Medio
Minimo
Pilota
Copilota
Ingegnere
Massimo
Medio
Minimo
Qui:
campo nome,
campo ruolo,
campo stipendio
Le regole del metodo
• Riportare le informazioni circa identità e distinzione
tracciando segni opposti (p.es. + e -).
• Quando una riga (o colonna) contiene un segno +,
inserire segni – in tutte le altre caselle della riga (o
colonna).
• Quando una riga (o colonna) contiene una sola
casella vuota e poi solo segni –, segnare un + nella
casella che è vuota.
• Se tutte le righe eccetto una hanno il loro + e tutte le
colonne eccetto una hanno il loro +, segnare il +
mancante nella casella in cui si incrociano la riga
incompleta e la colonna incompleta.
Le regole del metodo
• Se sappiamo che il segno + della colonna M si trova
nella riga S o nella riga T e che il segno + della
colonna N si trova ugualmente nella riga S o nella
riga T, segnare un - in tutte le caselle della colonna
M fuori della riga S e della riga T, in tutte le caselle
della colonna M fuori della riga S e della riga T, in
tutte le caselle della riga S fuori della colonna M e
della colonna N, e in tutte le caselle della riga T
fuori della colonna M e della colonna N.
• Per transitività riportare l’identità risultante da due
tabelle anche nella terza tabella.
• Per transitività riportare la distinzione risultante da
due tabelle anche nella terza tabella.
L’esempio
Alberto
Bruno
–
Pilota
Copilota
Carlo
–
Medio
Minimo
–
+
Ingegnere
Massimo
Medio
Minimo
Massimo
–
L’esempio
Alberto
Bruno
–
Pilota
Copilota
Carlo
–
Ingegnere
Massimo
Medio
Minimo
–
Massimo
–
–
Medio
–
Minimo
–
+
–
L’esempio
Alberto
Bruno
–
Pilota
Copilota
Carlo
–
Ingegnere
Massimo
Medio
Minimo
–
–
–
Massimo
–
–
+
Medio
+
–
–
Minimo
–
+
–
L’esempio
Alberto
Bruno
Carlo
–
Pilota
–
Copilota
Ingegnere
Massimo
Medio
Minimo
+
–
+
–
–
Massimo
–
–
+
Medio
+
–
–
Minimo
–
+
–
L’esempio
Alberto
Bruno
Carlo
–
Pilota
–
Copilota
Ingegnere
Massimo
Medio
Minimo
+
+
–
+
–
–
Massimo
–
–
+
Medio
+
–
–
Minimo
–
+
–
L’esempio
Alberto
Bruno
Carlo
–
Pilota
–
Copilota
Ingegnere
Massimo
Medio
Minimo
–
–
+
–
+
–
+
–
–
Massimo
–
–
+
Medio
+
–
–
Minimo
–
+
–
L’esempio
Alberto
Pilota
Copilota
+
Bruno
+
–
Ingegnere
Massimo
Medio
Minimo
–
–
+
–
+
–
Carlo
–
+
+
–
–
Massimo
–
–
+
Medio
+
–
–
Minimo
–
+
–
L’esempio
Alberto
Pilota
Copilota
Ingegnere
Massimo
Medio
Minimo
–
+
–
–
–
+
Bruno
+
–
–
–
+
–
Carlo
–
–
+
+
–
–
Massimo
–
–
+
Medio
+
–
–
Minimo
–
+
–
Il metodo dell’albero
I problemi di identificazione possono essere
affrontati anche con schemi grafici simili agli
alberi di Beth:
• si riportano in sequenza i dati e le informazioni
che via via se ne possono dedurre;
• si aprono biforcazioni in corrispondenza di ogni
dato di forma disgiuntiva;
• si chiudono i rami nei quali emergono
contraddizioni.
L’esempio
Il metodo delle tessere
• Alcuni problemi di identificazione sono
relativi a elementi caratterizzati da un certo
ordine di disposizione spaziale.
• Talvolta è opportuno affrontarli completando
la griglia logica per composizione di tessere
spaziali nelle quali sono riportati i dati.
Un esempio
• Su un tavolo ci sono nove carte rovesciate che
vanno dall’asso al nove, disposte su tre file di tre
carte ciascuna. Individuare la loro posizione,
sapendo che:
• Il 2 è sopra il 4.
• Il 4 è a sinistra del 3.
• Il 3 è nella stessa colonna del 9.
• Il 5 è più in basso dell’8.
• Il 5 si trova tra il 6 e il 9.
• L’8 e il 7 stanno in quest’ordine nella stessa fila.
• Nessuno dei due occupa la colonna del 5.
Un esempio
Si tratta di completare una griglia spaziale
come la seguente:
Un esempio
Alcuni dati possono essere incorporati in
tessere come le seguenti:
2
4
3
6
5
8
4
9
7
Un esempio
Considerati gli altri dati, è chiaro che le tessere
possono essere composte tra loro solo nel modo
seguente:
8
2
7
1
4
3
6
5
9
Problemi con mentitori
Una categoria di problemi di logica molto
frequentata, presente anche nei test di
ammissione, è quella in cui si deve scegliere
tra alternative, basandosi su un numero
limitato di risposte fornite da interlocutori,
dei quali però non si sa se mentano o dicano
la verità.
Il problema-paradigma
È quello che circola in versioni più o meno simili alla
seguente:
Un esploratore percorre una regione abitata da due popoli
indigeni, fisicamente indistinguibili, l’uno formato da
persone sempre sincere, l’altro da sistematici mentitori.
Si trova ad un bivio e deve decidere se la strada che porta
al villaggio è quella di destra o quella di sinistra.
Può ricevere aiuto solo dall’indigeno che siede presso il
bivio e deve prendere la decisione dopo avere ottenuto
risposta a una sola domanda.
Quale domanda può servire a risolvere il suo problema?
Il metodo della metadomanda controfattuale
• I problemi con mentitori possono essere
spesso risolti con l’uso di metadomande
controfattuali, cioè:
• domande relative ad altre domande,
• che non vengono effettivamente poste, ma
che potrebbero esserlo.
L’esempio
• Nel nostro esempio la domanda potrebbe essere:
• “Se io chiedessi a uno del tuo popolo se la
strada per il villaggio è quella di destra o quella
di sinistra, lui che cosa risponderebbe?”
• Notare: è una domanda intorno alla risposta che
verrebbe data a una domanda che potrebbe
essere posta, ma al momento non lo è.
L’esempio
• Nel nostro caso, supponiamo che la risposta
giusta sia: “Quella di destra”. I casi sono due.
• Se l’interlocutore è dei sinceri, uno del suo
popolo direbbe correttamente: “Quella di
destra”. E lui, riportando a sua volta
correttamente la risposta dei suoi, risponderà:
“Quella di destra”.
• Se l’interlocutore è dei bugiardi, uno del suo
popolo direbbe: “Quella di sinistra”. E lui,
mentendo a sua volta circa la risposta dei suoi,
risponderà: “Quella di destra”.
L’esempio
• NOTARE: La stessa risposta verrà data sia che
l’interlocutore sia sincero o bugiardo.
• Dire il vero a proposito di una risposta vera e
mentire a proposito di una menzogna producono
lo stesso effetto: una risposta vera.
• RISULTATO: Non importa se l’interlocutore è
sincero o mente,
• la sua risposta indicherà comunque la strada
giusta !
L’esempio
• Il nostro problema potrebbe essere risolto anche
attraverso altre domande, p.es. chiedendo:
• “Se io chiedessi a uno dell’altro popolo se la
strada per il villaggio è quella di destra o quella
di sinistra, lui che cosa risponderebbe?”
• In questo caso, però, dovremmo avere
l’accortezza di prendere la strada opposta a
quella indicata.
• Sempre comunque è necessario ricorrere a una
metadomanda controfattuale.
The Hardest Logic Puzzle Ever
• È il più intricato nella famiglia dei problemi con mentitori. Fu
pubblicato da George Boolos nel 1996 su The Harvard Review of
Philosophy. Ecco i suoi termini:
• I tre dèi A, B e C si chiamano, non necessariamente in questo
ordine, True, False e Random.
• True dice sempre la verità, False mente sempre, Random dice il
vero o il falso indifferentemente e a caso.
• Devi determinare l’identità di A, B e C attraverso tre domande cui
sia possibile rispondere con un sì o un no; ciascuna domanda deve
essere posta a un dio solo e deve essere una domanda di cui i tre
dèi conoscano la risposta.
• Gli dèi capiscono l’italiano, ma risponderanno nella lingua degli
dèi, in cui le parole per sì e no sono ‘da’ e ‘ja’, ma tu non sai quale
in particolare significhi sì e quale no.
• Buon divertimento e coraggio !!!
• (Ne avrete bisogno)
Problemi epistemici
Anche questa una categoria di problemi di logica
molto frequentata e presente anche nei test di
ammissione:
• In questi problemi ci sono dei personaggi che, a
loro volta, devono risolvere un problema di
logica, ragionando sui dati a loro disposizione.
• Noi dobbiamo trovare la soluzione del loro problema, ragionando sul fatto che, mentre alcuni di
loro non sono riusciti a risolvere il problema,
altri, successivamente, ci sono riusciti, precisamente sapendo in più solo che i primi non avevano modo di trovare la soluzione.
Il problema-paradigma
È quello che circola in versioni del genere seguente:
Tre prigionieri saranno liberati solo se potranno essere certi del colore del cappello
che sarà posto sulla loro testa.
Sanno che i tre cappelli verranno prelevati da un cesto che ne contiene tre rossi e
due verdi.
Dopo che sono stati bendati, sulla testa di ognuno viene posto un cappello preso dal
cesto.
Viene tolta la benda al primo, che, visti i cappelli degli altri due, dichiara di non
poter risolvere il problema e viene riportato in cella.
Tolta la benda al secondo, questi guarda il cappello del terzo, dichiara che nemmeno
lui può risolvere il problema e viene riportato in cella.
A questo punto il terzo, senza che possa veder niente, è sicuro del colore del suo
cappello.
Qual è il colore del cappello del terzo?
Il metodo iterativo
Questi problemi possono essere risolti solo se
• Si riesce ad avere un elenco completo delle situazioni che
ciascuno dei personaggi può trovarsi di fronte al principio.
• Si individua la situazione in cui il primo sarebbe in grado di
risolvere il problema.
• Si modifica l’elenco del secondo, scartando la situazione che
avrebbe consentito al primo di risolvere il problema.
• Si individua la situazione in cui il secondo sarebbe in grado di
risolvere il problema.
• Si modifica l’elenco del terzo, scartando le situazioni che
avrebbero consentito ai primi due di risolvere il problema.
• Si ripete la procedura con gli altri personaggi.
• Alla fine l’elenco aggiornato dell’ultimo deve contenere una sola
possibile situazione.
L’esempio
Nel nostro caso:
• Il primo personaggio avrebbe potuto risolvere il
problema solo se avesse visto due cappelli verdi.
Ma non ha potuto.
• Il secondo e il terzo dunque hanno due cappelli
rossi o uno verde e uno rosso.
• Sapendo del fallimento del primo, perciò, il
secondo personaggio avrebbe potuto risolvere il
problema se avesse visto un cappello verde. Ma
non ha potuto.
• Dunque il terzo ha un cappello rosso.
Per finire
Nei test sono comparsi anche
• problemi di orientamento spaziale,
• problemi di genealogia,
• problemi di calendario.
È chiaro che in tutti questi casi è assolutamente
opportuno aiutare l’intuizione logica con
schemi e diagrammi grafici.