1 Un arciere tende il suo arco tirando la corda per una lunghezza 40

C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2009-10
Fisica Generale
02-09-10
ESERCIZIO 1
Un arciere tende il suo arco tirando la corda per una lunghezza l  40 cm e scocca una freccia di massa
m  150 g . Per fare ciò deve applicare una forza F  400 N . Approssimando l'arco come una molla,
calcolare:
a. la costante elastica dell'arco;
b. l'altezza massima cui può arrivare la freccia se viene scagliata lungo la verticale;
c. l'altezza massima e la gittata della freccia se viene lanciata con una angolazione di 45°. Si trascurino
la resistenza dell'aria e gli attriti dell'arco.
Soluzione
a) Dall’equazione F   kx si ottiene: k   F x  400 N 0.4 m  1000 N m 1
b) L’energia potenziale elastica E p ,e all’atto del lancio della freccia è:
1 2 1 3
2
k x  10 N m 1   0.4 m   80 J .
2
2
Per la conservazione dell’energia essa da luogo a un’energia potenziale della freccia nel campo
gravitazionale terrestre E p , g pari a :
E p ,e 
E p , g  m g hb  hb 
E p ,g
mg

E p ,e
mg

80 J
 54.4m
 0.15 kg   9.8m s 2 
c) Adesso l’energia cinetica iniziale della freccia, che nel caso precedente era uguale all’energia
potenziale elastica iniziale, si ripartisce in modo uniforme per le due componenti del moto, cosicché si
ha dalla conservazione dell’energia meccanica:
E
E
h 54.4m
Ek  p , g  mghc  hc  p , g  b 
 27.2 m
2
2m g 2
2
L’equazione della traiettoria è:
1 g 2
y  x  x 
x
2 v02x
che ammette soluzioni, per y  0 : x1  0 ; x2  2 v02x g . La velocità iniziale si può calcolare dalla
risposta b):
v0 x  v0 cos 45 
2 Ek
cos 45 
m
2  80 J  2
 23.1m s 1
 0.15kg  2
da cui si ottiene la gittata:
2
0x
x2  2 v
g
2  23.1m s 1 
9.8m s 2
2
 108.8 m
ESERCIZIO 2
Un blocco di massa m1  2 kg viene lanciato su di un piano orizzontale liscio con velocità v0  4.5 m s 1
da una molla inizialmente compressa di x  20 cm . Successivamente la massa m1 urta un secondo blocco,
fermo, di massa m2  2 m1 . Dopo l'urto i due blocchi rimangono attaccati e scivolano su di un piano
orizzontale scabro, fermandosi dopo aver percorso un tratto d  2 m . Calcolare:
a. il valore della costante elastica della molla;
b. la velocità dei due blocchi subito dopo l'urto;
c. il coefficiente di attrito dinamico fra i blocchi e il piano scabro.
Soluzione
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2
a. L’energia cinetica in iniziale del primo blocco è: Ek1  1 2 m1v02  1 2  2 kg   4.5 m s 1   20.25 J . Per
la conservazione dell’energia meccanica questa è anche l’energia potenziale della molla prima del
lancio; da qui si ottiene la costante elastica della molla:
2E
2  20.25 J 
k  2p ,e 
 1012.5 N m 1
2
x
 0.2 m 
b. La velocità dei due blocchi dopo l’urto si ottiene dalla conservazione della quantità di moto:
mv
v
4.5 m s 1
m1v0  M totV  3 m1V  V  1 0  0 
 1.5 m s 1
3 m1 3
3
c. Il lavoro svolto dalla forza di attrito è pari all’energia cinetica dei due blocchi subito dopo l’urto:
Quest’ultima è:
2
1
1
3
Ek 2  M totV 2  3 m1V 2   2 kg  1.5 m s 1   6.75 J
2
2
2
Il coefficiente di attrito si ottiene quindi da:
W
6.75 J
W  d M tot g d  d 3 m1 g d  d 

 0.057
3 m1 g d 3  2 kg   9.8m s 2   2 m 
ESERCIZIO 3
Una macchina di Atwood consiste di due masse, A e B, collegate da una fune inestensibile e
priva di attrito che scorre attorno a una carrucola senza strisciare. La carrucola ha raggio
R  10 cm e il suo momento di inerzia è tale che I R 2  2.5 kg . Le masse valgono:
mA  2 kg e mB  5 kg . Calcolare:
B
a. l'accelerazione con cui si muovono le due masse;
b. l'accelerazione angolare della carrucola.
Soluzione
a) Le equazioni del moto per le due masse sono:
mA g  TA  mA a A ; mB g  TB  mB aB
Per la carrucola invece si ha:
a
I
TB R  TA R  I  I  TB  TA  2 a
R
R
Con a  aB   a A , utilizzando le tre equazioni precedenti si ha:
TA  mA  g  a  e quindi:
I
a
R2
 5 kg  2 kg   9.8 m s 2 
TB  TA  mB  g  a   mA  g  a  
 mB  mA  g

 3.1 m s 2
I
5
kg

2
kg

2.5
kg
mB  mA  2
R
b) La espressione della accelerazione angolare è:
a 3.1 m s 2
 
 30.9 rad s 2
R
0.1 m
a
2
A
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ESERCIZIO 4
Un gas perfetto compie un ciclo di Carnot. L'espansione isoterma avviene a T1  523 K , mentre la
compressione isoterma avviene a T2  323 K . In dieci cicli il gas sottrae alla sorgente a temperatura più
calda una quantità di calore pari a 12000 J . Calcolare
a) il calore ceduto in ogni ciclo alla sorgente a temperatura più bassa;
b) il lavoro compiuto dal gas in ogni ciclo;
c) la variazione di entropia in dieci cicli..
Soluzione
a) Essendo i cicli uguali si può supporre che il calore assorbito in un singolo ciclo sia la decima parte del
calore totale:
Q
Qa  a ,tot  1200 J
10
Dalla definizione di rendimento per il ciclo di Carnot si ottiene il calore ceduto per ciclo:
Q
T
T
323 K
  1  2  1  c  Qc  Qa 2  1200 J
 741J =
T1
Qa
T1
523K
b) Il lavoro si può calcolare dal primo principio della termodinamica:
W  Q  U  Qa  Qc  1200 J  459 J  459 J
Essendo nulla la variazione di energia interna su di un ciclo.
c) Essendo l’entropia una funzione di stato, la sua variazione su qualunque numero di cicli è sempre
nulla
ESERCIZIO 5
Due corpi puntiformi identici di massa m  2.0 mg e carica q  10 C si trovano in quiete alla distanza relativa di
4.0 cm . Ad un certo istante essi vengono lasciati andare. Calcolare il modulo della loro velocità quando si trovano
ad una distanza molto grande (al limite infinita) tra loro.
Soluzione
L’energia potenziale dei due corpi alla distanza data è:
2
E p ,e
10 106 C 

1 q2
1


 22.5 J
4 0 r 4  8.85 1012 C 2 N 1m 2   0.04 m 
Per la conservazione dell’energia essa si deve convertire in energia cinetica, ripartita in modo uguale tra i
due corpi. La velocità di ciascuno dei due corpi sarà quindi:
v
2 Ek

m
2 Ek
22.5 J

 3.354  103 m s 1
6
m 2
2.0  10 kg
ESERCIZIO 6
Un solenoide di area A  10 cm 2 , ha n  105 spire per metro. Esso è percorso da una corrente
i  i0 cos  t  , con frequenza pari a 50 Hz e i0  10 A . Una bobina di area A1  A , resistenza R  5  , è
formata da N  10 spire e viene avvolta attorno al solenoide in modo che i due avvolgimenti siano
concentrici. Si determini:
a. l'espressione della forza elettromotrice indotta nella bobina;
b. il valore massimo della stessa f.e.m.;
c. il valore massimo della corrente indotta.
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Soluzione
a) La pulsazione legata alla frequenza data è:
  2  2  50 Hz   314.16 rad s 1
Il campo magnetico generato dal solenoide è:
B  0 ni
Il flusso sulla bobina, assumendo che il campo magnetico sia nullo fuori dal solenoide, è:
  B   NA B
E la f.e.m. indotta ha espressione:
d  B
d
d
d
f 
   NAB     NA0 n i  t      NA0 n i0 cos  t    0 nNAi0 sin  t 
dt
dt
dt
dt
b) Il suo valore massimo si ha quando il seno vale 1; per cui:
f max  0 nNAi0   4 107 NA2 105  10  10 104 m 2  10 A   314.16 rad s 1   3.95V
c) La corrente indotta vale al massimo: imax 
f max 3.95V

 0.79 A
R
5
4