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Si colleghi ad una molla orizzontale di massa trascurabile un
solido cilindrico, in modo che questo possa rotolare senza
strisciare lungo una superficie orizzontale.
La costante elastica k della molla vale 3 N / m.
Se il sistema viene lasciato libero quando la molla è
allungata di 0.25 m, trovare:
a) l’energia cinetica rotazionale e quella traslazionale
quando passa per la posizione d’equilibrio.
b) dimostrare che in queste condizioni il centro di massa del
cilindro si muove di moto armonico e trovarne il periodo.
Due molle uguali con k = 6430 N / m sono collegate fra loro
e a una massa m = 0.245 kg, su una superficie priva di
attrito. Calcolare la frequenza di oscillazione.
Un oggetto di massa m è attaccato al soffitto
tramite una molla di costante elastica k.
Trovare il periodo delle oscillazioni.
Problema
Si colleghi ad una molla orizzontale di massa trascurabile un
solido cilindrico, in modo che questo possa rotolare senza
strisciare lungo una superficie orizzontale.
La costante elastica k della molla vale 3 N / m.
Se il sistema viene lasciato libero quando la molla è
allungata di 0.25 m, trovare :
a) l’energia cinetica rotazionale e quella traslazionale
quando passa per la posizione d’equilibrio.
b) dimostrare che in queste condizioni il centro di massa del
cilindro si muove di moto armonico e trovarne il periodo.
KB + UB = KA + UA
A
B
istante iniziale
posizione di equilibrio
vA = ωA = 0
KA = 0
UB = 0
UA = ½ k d2
KB = ½ k d2
Conservazione energia meccanica
K=½
Icdm ω2 + ½ M v2cdm
ω = vcdm / R
condizione per il rotolamento
K = ½ M [ 1 + Icdm / (M R2) ] v2cdm
K = ½ M [ 1 + Icdm / (M R2) ] v2cdm
Icdm
= ½ M R2
K=½M[ 1 + 1/2
] v2cdm
K = ½ M [ 3 / 2 ] v2cdm
K tra = 2 / 3 K
K rot = 1 / 3 K
KB = ½ k
K tra = (1 / 3 ) k d2
K rot = (1 / 6) k d2
d2
b) dimostrare che in queste condizioni il centro di massa del
cilindro si muove di moto armonico e trovarne il periodo.
K=
(3/4) M
v2cdm
U = ½ k x2
K + U = costante
Forze conservative
d (K + U)
= 0
dt
K+U=
0 =
(3/4) M
(3/4) M2
v2cdm + ½ k x2
va +½k2xv
0=
(3/2) Mva +kxv
0= [ ( 3 / 2 ) M a + k x ] v
d2x 2 k
+
x=0
2
dt
3M
2k
ω=
3M
2π
= 2π
T =
ω
3M
2k
Due molle uguali con k = 6430 N / m sono collegate fra loro
e a una massa m = 0.245 kg, su una superficie priva di
attrito. Calcolare la frequenza di oscillazione.
½x
½x
x
F
–F
F
F=kx/2
F = k1 x
k1 x = k x / 2
k1 = k / 2
k
ω= 1
m
ω=
k
2m
6430 N/m
kg m 1
ω=
≈ 13122 2
≈ 114.6 s -1
2 ⋅ 0.245 kg
s m kg
–F
Un oggetto di massa m è attaccato al soffitto tramite una
molla di costante elastica k.
Trovare il periodo delle oscillazioni.
F=ma=mg–kx
x
ma+kx=mg
ma+kx=0
x = xm cos( ω t + Φ )
d2 x
m 2 + k x = mg
dt
x = xm cos( ω t + Φ ) + A
kA = mg
A costante
A=mg/k
x = xm cos( ω t + Φ ) + m g / k
k
ω=
m
T=2π/ω