Equazioni goniometriche elementari

Equazioni goniometriche elementari
Le equazioni goniometriche elementari sono equazioni del tipo
𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒎;
𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒏;
𝒕𝒈𝒙 = 𝒑
Equazioni del tipo
𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒎
Poiché
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1
affinché tale equazione sia possibile è necessario che
−1 ≤ 𝑚 ≤ 1
Disegniamo la circonferenza goniometrica e, poiché il seno di un angolo è rappresentato dall’ordinata del
punto di tale circonferenza, tracciamo la retta di equazione
𝒚=𝒎
Tale retta incontra la circonferenza in due punti A e A’. Gli angoli supplementari che partono dall’origine e
hanno estremi in A e A’ hanno il seno uguale a m.
A’
A
α
α
Detto α° l’angolo acuto e 180°-α° il suo supplementare, le soluzioni dell’equazione sono date dalle seguenti
formule se gli angoli sono espressi in gradi
𝒙 = 𝜶° + 𝒌𝟑𝟔𝟎°
∨
𝒙 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝜶° + 𝒌𝟑𝟔𝟎° 𝒄𝒐𝒏 𝒌 ∈ 𝒁
E dalle seguenti formule se gli angoli sono espressi in radianti
𝒙 = 𝜶𝒓 + 𝟐𝒌𝝅
∨
𝒙 = 𝝅 − 𝜶𝒓 + 𝟐𝒌𝝅 𝒄𝒐𝒏 𝒌 ∈ 𝒁
Esempio 1
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
1
2
Facciamo la rappresentazione grafica
Le soluzioni dell’equazione sono date dalle formule
𝑥=
𝜋
+ 2𝑘𝜋
6
∨
𝑥=𝜋−
Esempio 2
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
3
Poiché 2 > 1 l’equazione non ha soluzioni.
3
2
𝜋
+ 2𝑘𝜋
6
Esempio 3
𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
√3
2
Le soluzioni dell’equazione sono date dalle formule
𝑥 =𝜋+
𝜋
+ 2𝑘𝜋
3
∨
𝜋
𝑥 = − + 2𝑘𝜋
3
Esempio 3
𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
2
3
Facciamo la rappresentazione grafica
y=-2/3
L’equazione è soddisfatta dalle formule
2
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (− ) + 2𝑘𝜋
3
∨
2
𝑥 = [𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (− )] + 2𝑘𝜋
3
Equazioni del tipo
𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒏
Poiché
−1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1
affinché tale equazione sia possibile è necessario che
−1 ≤ 𝑛 ≤ 1
Disegniamo la circonferenza goniometrica e, poiché il coseno di un angolo è rappresentato dall’ascissa del
punto di tale circonferenza, tracciamo la retta di equazione
𝒙=𝒏
Tale retta incontra la circonferenza in due punti P e P’. Tenendo presente che la funzione coseno è pari, gli
angoli opposti che partono dall’origine A e hanno estremi in P e P’ hanno il coseno uguale a n.
Le soluzioni dell’equazione sono date dalle seguenti formule se gli angoli sono espressi in gradi
𝒙 = 𝜶° + 𝒌𝟑𝟔𝟎°
∨
𝒙 = −𝜶° + 𝒌𝟑𝟔𝟎° 𝒄𝒐𝒏 𝒌 ∈ 𝒁
E dalle seguenti formule se gli angoli sono espressi in radianti
𝒙 = 𝜶𝒓 + 𝟐𝒌𝝅
∨
𝒙 = −𝜶𝒓 + 𝟐𝒌𝝅 𝒄𝒐𝒏 𝒌 ∈ 𝒁
Esempio 1
𝑐𝑜𝑠𝑥 = −
√3
2
Facciamo la rappresentazione grafica
150°
-150°
Le soluzioni dell’equazione sono
𝑥 = 150° + 𝑘360°
∨
𝑥 = −150 + 𝑘360°
Esempio 2
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1
2
Facciamo la rappresentazione grafica
π/3
-π/3
Le soluzioni dell’equazione sono
𝑥=
𝜋
+ 2𝑘𝜋
3
∨
𝑥=−
𝜋
+ 2𝑘𝜋
3
Esempio 3
𝜋
1
cos (2𝑥 − ) = −
6
2
Facciamo la rappresentazione grafica
Le soluzioni dell’equazione si ottengono risolvendo le due equazioni
𝜋 2𝜋
=
+ 2𝑘𝜋
6
3
∨
2𝑥 −
12𝑥 − 𝜋 = 4𝜋 + 12𝑘𝜋
∨
12𝑥 − 𝜋 = −4𝜋 + 12𝑘𝜋
12𝑥 = 5𝜋 + 12𝑘𝜋
∨
12𝑥 = −3𝜋 + 12𝑘𝜋
5
𝜋 + 𝑘𝜋
12
∨
1
𝑥 = − 𝜋 + 𝑘𝜋
4
2𝑥 −
𝑥=
𝜋
2𝜋
=−
+ 2𝑘𝜋
6
3
Equazioni del tipo
𝒕𝒈𝒙 = 𝒑
Sulla tangente geometrica condotta per il punto A prendiamo il punto T di ordinata p; la retta OT incontra la
circonferenza in due punti diametralmente opposti che sono gli estremi di tutti gli archi che hanno tangente
uguale a p.
p
Detta α° l’ampiezza dell’arco positivo che termina in P e ricordando che la tangente è periodica di
periodo 180°, le soluzioni dell’equazione sono date dalla formula
𝒙 = 𝜶 + 𝒌𝟏𝟖𝟎°
E in radianti da
𝒙 = 𝜶 + 𝒌𝝅
Esempio 1
𝑡𝑔𝑥 = −
Facciamo la rappresentazione grafica
3
2
Le soluzioni dell’equazione si ottengono dalla seguente formula
3
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (− ) + 𝑘𝜋
2
Esempio 2
Risolvere la seguente equazione con la condizione 0 ≤ 𝑥 < 360°
𝑡𝑔(180° + 3𝑥) = 1
Facciamo la rappresentazione grafica
Le soluzioni dell’equazione si ottengono dalla seguente formula
180° + 3𝑥 = 45° + 𝑘180°
3𝑥 = 45° + 𝑘180°
𝑥 = 15° + 𝑘60°
Le soluzioni si ottengono sostituendo a k = 0; 1; 2…. Fino a che si ottengono angoli soddisfacenti la
condizione 0 ≤ 𝑥 < 360°
Le soluzioni sono
𝟏𝟓°; 𝟕𝟓°; 𝟏𝟑𝟓°; 𝟏𝟗𝟓°; 𝟐𝟓𝟓°; 𝟑𝟏𝟓°
Particolari equazioni goniometriche elementari
𝑳′ 𝒆𝒒𝒖𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝒔𝒆𝒏𝜷
Tenendo conto della periodicità della funzione seno, due angoli di circonferenza hanno lo stesso
seno se tali angoli sono uguali o supplementari, cioè
𝜶 = 𝜷 + 𝟐𝒌𝝅
∨
𝜶 = 𝝅 − 𝜷 + 𝟐𝒌𝝅
Esempio 1
𝑠𝑒𝑛(3𝑥 − 30°) = 𝑠𝑒𝑛(10° − 𝑥)
In base alle precedenti formule possiamo scrivere
3𝑥 − 30° = 10° − 𝑥 + 𝑘360°
∨
3𝑥 − 30° = 180° − 10° + 𝑥 + 𝑘360°
E risolvendo otteniamo
4𝑥° = 40° + 𝑘360°
∨
2𝑥 = 200° + 𝑘360°
𝑥° = 10° + 𝑘90°
∨
𝑥 = 100° + 𝑘180°
Esempio 2
𝑠𝑒𝑛(20° + 2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 40°) = 0
𝑠𝑒𝑛(20° + 2𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 40°)
Poiché la funzione seno è dispari, cioè 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥, possiamo scrivere
𝑠𝑒𝑛(20° + 2𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(−𝑥 + 40°)
Ci siamo ricondotti al caso precedente e quindi
20° + 2𝑥 = −𝑥 + 40° + 𝑘360°
∨
20° + 2𝑥 = 180° + 𝑥 − 40° + 𝑘360°
Risolvendo otteniamo
3𝑥 = 20° + 𝑘360°
∨ 𝑥 = 120° + 𝑘360°
𝑥 = 6°40′ + 𝑘120°
∨ 𝑥 = 120° + 𝑘360°
Esempio 3
𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 30°)
Per le proprietà degli archi associati, sappiamo che 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(90° − 𝛼) quindi
𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(90 − 𝑥 + 30°)
3𝑥 = 120° − 𝑥 + 𝑘360°
∨
4𝑥 = 120° + 𝑘360°
𝑥 = 30° + 𝑘90°
3𝑥 = 180° − 120° + 𝑥 + 𝑘360°
∨
∨
2𝑥 = 60° + 𝑘360°
𝑥 = 30° + 𝑘180°
La soluzione
𝑥 = 30° + 𝑘90°
Include anche la soluzione
𝑥 = 30° + 𝑘180°
Per cui come soluzione finale possiamo scrivere
𝑥 = 30° + 𝑘90°
Esempio 4
𝑠𝑒𝑛(20° − 𝑥) = −𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 10°)
Dagli archi non associati sappiamo che
𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(90° − 𝛼) → −𝑐𝑜𝑠𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(90° − 𝛼) → −𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(−90° + 𝛼)
L’equazione può, quindi, essere scritta come
𝑠𝑒𝑛(20° − 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(−90° + 2𝑥 − 10°)
𝑠𝑒𝑛(20° − 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(−100° + 2𝑥)
20° − 𝑥 = −100° + 2𝑥 + 𝑘360°
∨
−3𝑥 = −120° + 𝑘360°
20° − 𝑥 = 180° + 100° − 2𝑥 + 𝑘360°
∨
3𝑥 = 120° + 𝑘360°
𝑥 = 40° + 𝑘120°
∨
∨
𝑥 = 260° − 2𝑥 + 𝑘360°
𝑥 = 260° + 𝑘360°
𝑥 = 260° + 𝑘360°
𝑳′ 𝒆𝒒𝒖𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝒄𝒐𝒔𝜷
Tenendo conto della parità e della periodicità della funzione coseno, due angoli di circonferenza
hanno lo stesso coseno se sono opposti, cioè
𝜶 = 𝜷 + 𝟐𝒌𝝅
∨
𝜶 = −𝜷 + 𝟐𝒌𝝅
Esempio 1
3
𝜋
𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋 − 4𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − )
4
3
In base alle precedenti formule possiamo scrivere
3
𝜋
𝜋 − 4𝑥 = 2𝑥 − + 2𝑘𝜋
4
3
3
𝜋
𝜋 − 4𝑥 = −2𝑥 + + 2𝑘𝜋
4
3
∨
E risolvendo otteniamo
9𝜋 − 48𝑥 = 24𝑥 − 4𝜋 + 24𝑘𝜋
∨
9𝜋 − 48𝑥 = −24𝑥 + 4𝜋 + 24𝑘𝜋
72𝑥 = 13𝜋 + 24𝑘𝜋
∨
24𝑥 = 5𝜋 + 24𝑘𝜋
13
𝜋
𝜋+𝑘
72
3
∨
𝑥=
𝑥=
5
𝜋 + 𝑘𝜋
24
Esempio 2
𝑐𝑜𝑠(50° + 𝑥) = −𝑐𝑜𝑠(20° − 2𝑥)
In base alle precedenti formule e tendo presente che –cosα = cos(π-α) possiamo scrivere
𝑐𝑜𝑠(50° + 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(180° − 20° + 2𝑥)
𝑐𝑜𝑠(50° + 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(160° + 2𝑥)
50° + 𝑥 = 160° + 2𝑥 + 𝑘360°
∨
50° + 𝑥 = −160° − 2𝑥 + 𝑘360°
∨
3𝑥 = −210° + 𝑘360°
E risolvendo otteniamo
𝑥 = −110° + 𝑘360°
𝑥 = −110° + 𝑘360°
∨
𝑥 = −70° + 𝑘120°
𝑳′ 𝒆𝒒𝒖𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒕𝒈𝜶 = 𝒕𝒈𝜷
Tenendo presente la periodicità della funzione tangente, due angoli di circonferenza hanno la stessa
tangente se tali angoli differiscono per un numero intero di semicirconferenze, cioè
𝜶 = 𝜷 + 𝒌𝝅
Esempio 1
𝜋
𝜋
𝑡𝑔 (3𝑥 + ) = 𝑡𝑔(4𝑥 − )
7
8
In base alla precedente formula possiamo scrivere
3𝑥 +
𝜋
𝜋
= 4𝑥 − + 𝑘𝜋
7
8
E risolvendo otteniamo
𝑥=
𝜋 𝜋
+ − 𝑘𝜋
7 8
𝑥=
15
𝜋 − 𝑘𝜋
56
Esempio 2
𝑡𝑔(3𝑥 + 65°) = −𝑡𝑔(2𝑥 − 25°)
Poiché la funzione tangente è dispari e cioè -tgx = tg(-x), possiamo scrivere
𝑡𝑔(3𝑥 + 65°) = 𝑡𝑔(−2𝑥 + 25°)
3𝑥 + 65° = −2𝑥 + 25° + 𝑘180°
5𝑥 = −40° + 𝑘180°
𝑥 = −8° + 𝑘36°
Esempio 3
𝑡𝑔(2𝑥 − 30°) = 𝑐𝑡𝑔(𝑥 − 30°)
Poiché
𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔(90° − 𝑥)
possiamo scrivere
𝑡𝑔(2𝑥 − 30°) = 𝑡𝑔(90° − 𝑥 + 30°)
𝑡𝑔(2𝑥 − 30°) = 𝑡𝑔(120° − 𝑥)
2𝑥 − 30° = 120° − 𝑥 + 𝑘180°
3𝑥 = 150° + 𝑘180°
𝑥 = 50° + 𝑘60°
Esempio 4
𝑡𝑔(2𝑥 + 30°) = −𝑐𝑡𝑔(𝑥 + 45°)
Poiché la funzione cotangente è dispari
−𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑡𝑔(−𝑥)
possiamo scrivere
𝑡𝑔(2𝑥 + 30°) = 𝑐𝑡𝑔(−𝑥 − 45°)
𝑡𝑔(2𝑥 + 30°) = 𝑡𝑔(90 + 𝑥 + 45°)
𝑡𝑔(2𝑥 + 30°) = 𝑡𝑔(135° + 𝑥)
2𝑥 + 30° = 135° + 𝑥 + 𝑘180°
𝑥 = 105° + 𝑘180°
Bibliografia
N. Dodero – P. Baroncini – R. Manfredi: Elementi di matematica 3 – Ghisetti & Corvi editori
M. Bergamini – A. Trifone – G. Barozzi: Matematica.blu.2.0 - Zanichelli