calcolo dei volumi

Due sono le tipologie di opere che prevedono movimenti di masse
terrose e che, pertanto, richiedono operazioni topografiche
finalizzate a determinarne i volumi:
Sistemazioni superficiali del terreno (spianamenti);
Costruzione di opere stradali o di canali.
Nel primo caso sono interessate piccole estensioni di territorio,
perlopiù a contorno regolare (es. spianamenti connessi alla realizzazione di parcheggi, impianti sportivi o sistemazioni agrarie). In questo
caso il rilievo topografico alla base dello studio della sistemazione, in
generale, si traduce in una rappresentazione a piano quotato.
Nel secondo caso sono interessate grandi estensioni di territorio che,
tuttavia, si sviluppano prevalentemente in una direzione (asse
stradale). In questo caso il rilievo topografico alla base dello studio
dell’opera, in generale, produce una rappresentazione a curve di
livello.
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
2
Quando il terreno viene rappresentato
con
un
piano
quotato, si assume che la sua
superficie sia rappresentata da
un sequenza continua di piccoli
piani (falde) triangolari.
In questo caso si genera un
insieme continuo di prismi a
sezione triangolare i cui
spigoli, non solo sono paralleli,
ma sono anche verticali.
Nella
nostra
trattazione
questi spigoli coincideranno con
le quote relative (quote
rosse) dei punti del terreno.
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
3
Il volume di un solido prismatico
(spigoli paralleli) è fornito dal
prodotto tra l’area della sezione
normale S0 (ortogonale agli spigoli)
e la distanza hG tra i baricentri
delle basi del prisma:
V  S0  hG
Nel caso semplificato di prisma a
base triangolare la distanza hG tra
i baricentri delle basi coincide con
la media delle altezze dei spigoli:
abc
V  S0 
3
G2
G2
hG
hG
G1
G1
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
4
Nel nostro contesto i prismi hanno gli
spigoli verticali, dunque la sezione
normale è contenuta in un piano
orizzontale (quindi S0 è l’area
topografica: S=S0) e le loro altezze
rappresentano le quote rosse qi dei
punti del terreno:
V S
q1  q2  q3
3
Nel caso di più prismi adiacenti, il
volume complessivo è fornito dalla
somma dei volumi dei singoli prismi:
q1  q2  q3
3
q  q  q5
V3  S3  1 4
3
V1  S1 
q3
q1  q3  q4
3
VTOT  V1  V2  V3
q1
q2
q5
q4
q3
q2
q1
V2  S2 
S3
S1
S
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
S3
5
Quando il terreno non viene
rappresentato con un piano quotato,
esso è rilevato in modo che possa
essere rappresentato con prismoidi.
I prismoidi sono solidi contenuti tra
due basi piane e parallele (di area
A1 e A2), e delimitati lateralmente da
una superficie rigata, generata dal
movimento rototraslatorio di una
retta, che non si distacca dai
perimetri delle due basi.
Il volume del prismoide è fornito
dalla seguente formula di Torricelli
in cui Am è l’area della sezione
mediana:
V
A2
D
2
Am
D
2
A1
D
  A1  4 Am  A2 
6
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
6
La formula di Torricelli pone il
problema della conoscenza dell’area
della sezione mediana (equidistante da A1 e A2 e ad esse parallela); si
accetta pertanto la seguente semplificazione:
A1  A2
Am 
2
A2
D
2
Am
D
2
Pertanto
dalla
formula
di
Torricelli si ottiene una formula
approssimata detta delle sezioni
ragguagliate:
A  A2
V 1
D
2
A1
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
7
La formula semplificata delle sezioni ragguagliate viene utilizzata
nel contesto del calcolo dei volumi dei solidi stradali e dei volumi
relativi agli sbandamenti, connessi alla realizzazione di opere civili,
dopo aver rilevato un congruo numero di sezioni opportunamente
ravvicinate in relazione all’andamento del terreno.
S  SB
V1  A
 D1
2
SB  SC
 D2
2
S  SD
V3  C
 D3
2
V2 
VTOT  V1  V2  V3
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
8