MISURA DELLE SUPERFICI

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La superficie agraria di un terreno è quella definita dalla
proiezione della superficie fisica del terreno sul piano
orizzontale di riferimento.
La misura della superficie di un appezzamento è sempre indiretta.
Per eseguire questa misura indiretta è necessaria la misura di alcune
grandezze (perlopiù distanze e angoli) dell’appezzamento eseguite
durante le operazioni di rilievo.
Queste grandezze sono poi elaborate fino ad ottenere l’area cercata.
In relazione alle modalità di elaborazione delle misure si impiegano
diversi metodi:
metodi numerici
metodi grafo-numerici
metodi grafici
metodi meccanici
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2
I metodi numerici utilizzano formule già note dalla geometria e dalla
trigonometria per elaborare le misure eseguite durante il rilievo
dell’appezzamento.
TRILATERAZIONE
ALLINEAMENTI E
SQUADRI
4
3
5
3
4
2
2
6
5
1
1
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7
3
Vengono elaborate le coordinate cartesiane dei vertici del contorno
dell’appezzamento. Convenzionalmente i vertici vanno numerati in senso
orario.
Y
2
3
½ (y1+ y2) · (x2 – x1)+
½ (y1+ y2) · (x2 – x1)+
½ (y2+ y3) · (x3 – x2)+
½ (y2+ y3) · (x3 – x2)+
½ (y3+ y4) · (x4 – x3)–
½ (y3+ y4) · (x4 – x3)+
½ (y4+ y1) · (x4 – x1)
½ (y4+ y1) · (x1 – x4)
generalizzando si ottiene:
S1
1
S1
y3
x1
4
x2
( yi  yi 1 )  ( xi 1  xi )
sviluppando il prodotto dei 2 binomi, semplificando
e raccogliendo si ottiene:
y2
y1
2 1
n
x4
yi  ( xi 1  xi 1 )
oppure:
y4
x3
2 1
n
S1
X
2 1
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n
xi  ( yi 1  yi 1 )
4
Vengono elaborate le coordinate polari dei vertici del contorno del
terreno, misurate rispetto a una stazione interna o esterna (situazione più
generale).
2
N
1
½ d1· d2 · sen (2 – 1) +
½ d2· d3 · sen ( – 2)+
½ d2· d3 · sen (3 – 2)+
½ d3· d4 · sen (4 – 3)–
½ d3· d4 · sen (4 – 3)+
½ d4· d1 · sen (4 – 1)
½ d1· d4 · sen (1 – 4)
3
d2
d1
generalizzando si ottiene:
1
2
3
Staz.
½ d1· d2 · sen (2 – 1)+
4
-
d3
S1
2 1
n
di  di 1  sen(i 1  i )
d4
4
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● Il contorno di un appezzamento viene rilevato per camminamento quando
vengono misurate le lunghezze dei lati e l’ampiezza degli angoli interni. Per la
misura indiretta dell’area è necessario misurare tutti i lati del contorno meno
uno, e tutti gli angoli compresi tra i lati misurati.
1
● In questo caso l’area dell’appezzamento è determinata dalla semisomma di tutti i possibili prodotti (combinazioni) dei lati presi a due a
due, moltiplicati per il seno della somma degli angoli interni che si
incontrano per andare dall’uno all’altro, preso con il segno positivo o
negativo a seconda che il numero degli angoli incontrati sia dispari o
pari.
5
d
S
a

2
b


4
S = ½ [ ab sen  – ac sen (+) +
+ ad sen (++) + bc sen  
 bd sen (+) + cd sen  ]
c
3
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I metodi grafo-numerici consistono nell’applicazione di semplici formule che
utilizzano alcune grandezze opportunamente misurate sulla rappresentazione
grafica redatta in scala (mappa) dell’appezzamento.
1 - Si adotta un sistema di
riferimento cartesiano con
l’asse delle ascisse lungo una
direzione AB prevalente
dell’appezzamento.
Y
S
y0
y1
A d
y2
d
y3
d
y4
d
yn-1
y5
d
d
d
d
yn
d B
2 - Si divide la base AB in un
numero n di parti di uguale
lunghezza d e dai punti di
divisione si innalzano le
ordinate y0, y1, y2, y3,...,
yn–1, yn. L’appezzamento
risulta scomposto in tante
strisce che possono essere
considerate, approssimativamente, come trapezi aventi
tutti la stessa altezza d.
X
S = d  [½ (y0 + yn) + y1 + y2 + y3 + ... + yn–1 ]
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Se l’appezzamento ha il contorno completamente curvilineo, si dispone
l’asse delle ascisse lungo la larghezza massima AB. In questo modo le
ordinate y0 e yn diventano nulle.
Y
y1
y2
y3
S
y4
yn-1
y5
B
A
d
d
d
d
d
d
d
d
d
X
S = d  [ y1 + y2 + y3 + ... + yn–1 ]
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Si divide la base AB in un numero n pari di parti di uguale lunghezza d
Viene considerata la figura costituita dalle prime due strisce consecutive. L’area di questa figura è la
somma di un trapezio di basi y0 e y2 e del settore parabolico contenuto nel parallelogramma
MNPQ. Questa area è i 2/3 dell’area nel parallelogramma MNPQ.
P
Y
Q
N
M
S
y0
y1
A d
y2
d
y3
d
y4
d
y5
d
d
d
yn-1
yn
d
d
B
X
S = d /3   (y0 + yn) + 4 (y1 + y3 + … + y n–1) + 2 (y2 + y4 + … + yn–2)
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E
A
D
S
B
S = b · h /2
b e h vengono misurate
graficamente al termine
della procedura
C
B’
SABC=SAB’C
SABCDE=SAB’DE
SAB’D=SAB’’D
SABCDE=SAB’’E
B’’
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A
S=b·h/2
SABC=SAB’C
SABCDE=SAB’DE
E
b e h vengono misurate
graficamente al termine
della procedura
B
h
S
B’
C
SADE=SADD’
SABCDE=SAB’D’
D
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D’
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Procedura grafica che consente di trasformare una figura piana in un triangolo
equivalente.
S
h
S
b
S=b·h
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Procedura grafica che consente di trasformare una figura piana in un
rettangolo equivalente.
S
h
h’
Coefficiente di scala
b
(esempio di calcolo)
S=b·h
S’ = b · h’
Scala disegno 1:200
b : 1 cm = 2 m
h : 1 cm = 2 m
S : 1 cm2 = 4 m2
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Consentono di misurare l’area grafica di
un appezzamento operando con speciali
strumenti, detti planimetri, sulla sua
rappresentazione grafica
appositamente redatta in scala (mappa).
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polo (fisso)
puntatore
part. rotellina
rotellina
Schema funzionamento
Rotellina
(retro)
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1. È necessario tracciare tutto il con-torno
della
rappresentazione
in
scala
dell’appezzamento con il puntatore
posto a un estremo dell’asta (tracciante) di un apposito strumento
chiamato planimetro polare;
2. L’asta (polare) del planimetro è
collegata a cerniera in un estremo con
l’asta tracciante mentre l’altro estremo
(polo) deve rimanere fisso in fase
operativa.
3. L’area è proporzionale al numero di giri
compiuti da una rotella graduata
durante la perimetrazione del contorno
della superficie.
S = K·N polo esterno
S = K·N + C
polo interno
4. I giri della rotella venivano misurati da
un disco contagiri mentre le frazioni di
giro venivano lette su un tamburo
provvisto di nonio. Oggi tutte le misure
del planimetro sono riportate su un
display digitale.
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esempi e particolari
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