spazio1b

Conservazione di Energia
Trasferimento di momento lineare
Trasferimento di energia
 
p  F  t
 
E  F  l
Prodotto scalare di due
vettori
F
l
Anche per l’energia
Una forza F trascina un
corpo per la distanza l
in un intervallo di
tempo t. (*)
E (mondo)  0
Robert von Mayer, medico, 1840, pazzo suicida
(*) l t  vmedia
1
E perchè????
La conservazione di energia e momento si spiega nel senso che è inevitabile, se
spazio e tempo sono uniformi – se non esistono punti nello spazio o tempo che
sono preferiti verso altri punti.
Uniformità dello spazio => conservazione di momento
Uniformità del tempo => conservazione di energia
Emmy Noether
2
Come abbiamo visto:
p  m  v  m  v
Per portare un corpo di massa m da velocità 0 a
velocità v si deve trasmettere il momento lineare
Ma si deve anche trasmettere l’energia
v
v
v
v
dv
0 Fdl  0 m  a  dl  0 m  dt  dl  m  0 v  dv  m 
1
2

m
v
2

1
2 v
2

v
0

1
2

m

v
2
si chiama energia cinetica
Ci sono varie forme di energia, come energia di calore (che è pero una forma di
energia cinetica) o energia di potenziale.
La energia può “cambiare forma”, per esempio energia potenziale può diventare
energia cinetica, ma l’energia non può essere creata o distrutta.
3
Energia Potenziale
h
E ( pot )  F  r  m  g  r  m  g  h
F  m g
Dato un qualsiasi punto di riferimento:
Se ad ogni punto dello spazio si può associare una certa energia, si parla di
“energia potenziale”
Una massa di 1kg ha al 10. piano di un palazzo (ogni piano 3 m) la energia
2
potenziale 1kg  30m  9.8 m  300 kg  m  300 Joule
Rispetto al suolo
2
2
s
s
30m
Rispetto al garage
sotterraneo ha
330 Joule
33m
4
Se alziamo un corpo di peso F ad una altezza h, aumenta la
sua energia potenziale come F  h
Se abbassiamo lo stesso corpo per h, si riduce la sua
energia potenziale.
Se il corpo cade in caduta libera, la sua energia potenziale
si trasforma in energia cinetica.
F
F  h  m  g  h  12  m  v2
 v  2 g  h
h
Notate: precedentemente abbiamo concluso (considerando
la distanza “r” invece della altezza “h”) :
con
v(t )  g  t
e r (t ) 
1
2

g

t
2
Partendo dalla assunzione a=g=const.
 v  2  g  ( 12  g  t 2 )  2  g  r
=> Quale è la formulazione più semplice
e generale? => minima azione
5
Palla da biliardo
Precedentemente abbiamo visto che non siamo riusciti a risolvere il problema della
palla da biliardo, usando solo la conservazione di momento lineare:
Se una palla a velocità v colpisce una palla ferma, le due palle dopo si muovono
insieme con ognuno 1/2v, o una continua con v, l’altra rimane ferma?
(o una con 0.9v, l’altra con 0.1v etc)
6
Adesso possiamo risolvere il precedente problema delle palle di biliardo:
Sappiamo
:
E (iniziale )  1 2  m  v 2
Abbiamo considerato due casi (si potrebbe immaginare tanti altri), che
rispettano tutte e due la conservazione del momento lineare:
a) Dopo l’urto le due palle si muovono ognuna con v finale 
b) Dopo l’urto una palla rimane ferma, l’altra corre via con
 m  12  v  12  m  12  v 
Nel caso (a):
E ( finale ) 
Nel caso (b):
E ( finale)  1 2  m  v 2  E (iniziale )
1
2
2
2
1
4
1
2
v
v finale  v
 m  v 2  E (iniziale )
E va bene!
Conservazione di energia e momento ci dicono cosa può
succedere e cosa no
7
Da tutto ciò una volta si è concluso che il mondo è come un grande orologio: è
determinato già adesso cosa succederà nel futuro.
Invece non è cosi. Abbiamo considerato solo l’urto centrale:
Se l’urto non e’ centrale,
esistono tantissime possibiltà.
E nel caso di tante palle, già un minuscolo cambiamento della direzione della
prima palla può creare un risultato molto diverso:
Allora, in verità regna il caso o il caos?
Assolutamente no! Lo vediamo più in
avanti (se rimane tempo)
8
Esercizio: carrelli ferroviari
v(carro1)  v1
v(carro 2)  0
Carro arriva con
E’ una cosa possibile?
Descrivere in termini di
trasferimento di energia
e momento lineare
m
m
Carri connessi
continuano con
velocità comune
v2
p (iniziale )  p ( finale )
Segue che
E ( finale ) 
 v2  1 2  v1
 m  v1  2  m  v2
1
2
1
2  m  ( 2  v1 ) 
v  v1
1
4  m  v1
2
 1  E (iniziale )
2
9
E’ possibile, in quanto viene dissipata energia! Energia cinetica-> energia di calore
Esercizio: elica a vento
Problema: supponiamo che il vento abbia la velocità v1 molto prima dell’elica e dopo
averla attraversata abbia velocità v3. A quale velocità attraversa l’elica?
L’elica è considerata un disco che estrae energia dal flusso in modo uniforme.
Soluzione:
Il modulo della forza del vento sull’elica e dell’elica sul vento sono uguali.
La forza fra un volume d’aria e l’elica la chiameremo F.
La lunghezza del volume (nel direzione del flusso) la chiameremo x
Il tempo in cui il volume attraversa l’elica lo chiameremo t
La velocità dell’aria che attraversa l’elica risulta v2 = x/t
Dobbiamo determinare il rapporto fra x e t per risolvere il problema.
10
F  x  E 
1
2
1  m  v2 

m

v

2
2
1
3
1
2
2

m

(
v

v
2
1
3)
F  t  p  m  v1  m  v3  m  (v1  v3 )
Consideriamo anche che:
a 2  b 2  (a  b)  (a  b)

F  x x 1 (v1  v3 )  (v1  v3 ) 1



 2  (v1  v3 )
2
F  t t
v1  v3
Vuol dire: la velocità dell’aria che attraversa l’elica è la media
fra la velocità molto prima e molto dopo l’elica.
11
v
elica
v1
v2
v3
x
potenza = energia/tempo
E
t
 F  x
t
 F v
Più alto v, più alta la potenza! – perchè non possiamo alzare v sopra
p  F  t
1
2
 (v1  v3 ) ?
E  F  x
Perchè in tal caso t si abbassa, mentre x rimane uguale
Il flusso d’aria perderebbe troppo poco momento paragonato con la
perdita d’energia
12
Di conseguenza: se vogliamo aumentare v2, dobbiamo estrarre il momento
lineare “di eccesso”
forza
vento
controforza
Vela esterna
La vela esterna non si
muove, x=0
 E  F  x  0
Viene solamente estratto
momento lineare
p  F  t
=> v può aumentare
13
14
E: Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale di 500 m/s penetra per 12 cm in una
parete di muratura prima di fermarsi
Di quanto si riduce l’energia della pallottola?
Qual è la forza media che ha agito sulla pallottola mentre entrava nella parete?
Quanto tempo ha impiegato la pallottola per fermarsi?
Prima
Usiamo il sistema di riferimento del Laboratorio
per descrivere il moto:
la parete è ferma in tale sistema
Dopo
L’energia meccanica totale coincide con l’energia cinetica.
Nell’ipotesi di un moto orizzontale come mostrato in figura, non c’è variazione
dell’energia potenziale della forza peso
E 
1 2 1

mvi    30 10 3  500 2  J  3750 J
2
2

E
3750
3
E  Fx x  Fx 


31
.
2

10
N
2
x 12 10
3
P  mg  30 10  9.81  .294 N
Circa 100 mila volte il peso
15
x
tempo impiegato dalla pallottola per fermarsi:
La quantità di moto finale è nulla
Quella iniziale ha solo la componente x
F  t  p  mvi  30 10 3  500  15kgms1
15
 t 
 0.032 s
31250
Il proiettile impiega 3.2 centesimi di secondo per fermarsi
16
La pallottola (da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s) contro
un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m.
Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto.
Se la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che
ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urto
mv
30  10 3 kg  500 m s
Vx 

 3.72 m s
M m
4.030kg
Ekin
2
m
2
2
 1 2  m  M  v  1 2  4.03  3.72 kg 2  27.9 J
s
O
m
v
M
Da paragonare con 3750 J
3722
F 
 124 103 N
2
3 10
t 
p f  pi
F
30 103 3.72  500
3


0
.
12

10
s
3
 124 10 N
17
Urto centrale elastico-bersaglio fermo
•
v1
Per risolvere il sistema conviene metterlo in questa
forma:
m 1v1x  m 1v' 1x m 2 v' 2 x
1
1
1
m1v21x  m1v' 21x  m 2 v' 22x
2
2
2
•
x
m2
m 1v1x  v' 1x   m 2 v' 2 x
2
m 1 v1x
 v' 21x  m 2 v' 22 x


Dividendo membro a membro la seconda per la prima:
m 1v1x  v' 1x   m 2 v' 2 x
v1x  v' 1x  v' 2 x

m1



v'2 x  v1x
2m1
m1  m2 
m1 v1x  v'1x   m2 v1x  v'1x
m 1  m 2 
m 1  m 2 

m  m 2 
v1x  v1x  1
  v' 2 x

m1  m 2 
v1x m1  m2   v'1x m1  m2 
v' 1x  v1x
18
Il Principio della minima azione
p  F  t , E  F  x, E (mondo)  0,
p(mondo)  0
Bastano per il esame.
Però:
1) In situazioni complicate, con tante forze diverse che puntano in direzioni
diverse, sarebbe molto difficile valutare per esempio
2) F=-F’ più precisamente vuol dire “per ogni forza c’è allo stesso tempo una
contro forza” – nella teoria di relatività (e nell’elettromagnetismo) non è banale
stabilire cosa vuol dire “allo stesso tempo”
3) Se si lavora con onde, invece di punti di massa, come applicare
p  F  t ?
Si usa un metodo più generale:
19
Si definisce :
L  T V
T energia cinetica, V energia potenziale
L viene chiamato “funzione di Lagrange”
Legge della minima azione: ogni processo avviene così che
 Ldt
estremo (minimo o massimo) (*)
 Ldt
ha la dimensione di una “azione” :=
(*) Non per l’esame
Fdrdt
20
Attrito
Gli esseri umani cercano da 3000 anni di capire come funziona il mondo. Perchè
hanno trovato
E (mondo)  0, p(mondo)  0
solo 200-300 anni fa?
Forse perchè la conservazione di energia (e momento) sono contro intuitivi: nella vita
quotidiana l’energia NON sembra MAI conservata
Perchè un corpo che si muove libero da forze esterne si trova raramente, c’è sempre
la forza di attrito.
21
Attrito statico: il corpo non è in moto
Al massimo
fs
F
f s  s  Fn
Fn
Forza fra corpo
e superficie
fd
F
Attrito dinamico: corpo scivola
f d  d  Fn
Fn
Forza fra corpo
e superficie
22
Esercizio
fs
F  sin 

Fn  F  cos 
F  m g
per
per
f s F  sin 
v = cost.
f s F  sin 
accelera
23
Una forza F di 400 N è necessaria per mettere in moto una scatola di massa
m=40 kg sopra un pavimento di calcestruzzo.
a) Qual è il coefficiente di attrito statico tra la scatola ed il pavimento?
b) Se il coefficiente di attrito dinamico tra una cassa di 20 kg ed il pavimento è di
0,30, quale forza orizzontale è necessaria per muovere la cassa a velocità
costante sul pavimento?
a)
Per trovare il coefficiente di attrito statico, occorre eguagliare la forza che spinge la
scatola, alla forza di attrito che oppone resistenza al moto:
F  mg
dove m è il coefficiente di attrito statico. Da questa eguaglianza risulta:

F
400 N

 1,02
2
mg 40kg  9,8m / s
b) Si chiami d il coefficiente di attrito dinamico. Allora deve essere:
F   d mg  0,30  20kg  9,8m / s 2  58,8 N
24
Supponete di avere un tappo metallico appoggiato su un piano che è stato inclinato
di un angolo qrispetto al piano orizzontale. Dopo vari tentativi si trova che quando
q è aumentato fino a 17°, il tappo comincia a scivolare lungo il piano. Quale è il
coefficiente di attrito statico s tra il tappo ed il piano inclinato?
Il tappo può cominciare a scivolare quando la forza di attrito statico raggiunge il
suo massimo valore, e questo valore eguaglia quello della forza peso applicata al
tappo. Si deve avere:
mg  sen17 o   s mg  cos17 0
Quindi:
sen17 o
0,29
s 

 0,3
o
cos17
0,96
25
Esercizio
Fn
Potenza di un’asse rotante
P  E
t
 F  r
t
 F v
v
r 2  r  

t
T
r
F  d  Fn
  2  T
 P  d  Fn  r  
Per una ferrari importano però due cose:
1) potenza e
2) momento di forza
26
Momento di una forza
Il momento di forza dice “quando fortemente una forza vuol far rotare
una asse”
asse
leva
Molto fortemente
Forza preme
fortemente
Non fa girare
Stessa cosa
Se disegniamo la freccia rossa (forza) nel centro
dell’asse, vediamo subito il prodotto vettoriale:

F
Fa girare poco

f

r
  
f  r F
Descrive “quanto fortemente una forza vuol
far rotare una asse” : momento di forza
27
Attenzione: ogni libro usa la sua nomenclatura, invece di f si trova anche t, M, D …
 
r  F  rn  F
Ci ricordiamo:

r
rp
rn
Sempre quando si tratta di un movimento intorno ad un’asse, è più conveniente usare il
momento di forza invece della forza.
Esempio: nel caso statico momento e contro-momento devono essere uguale (opposto)

r1

F1
0

r2
 
 
r1  F1  r2  F2
 rn ,1  F1  rn , 2 F 2

F2
 F2  F1 
rn ,1
rn, 2
 F1 
r1
r2
28
Rotazione
Per descrivere la cinematica di un punto di massa,
abbiamo precedentemente usato le variabili
v (velocità), m (massa), F (forza), p (momento lineare)

v
r
m

Si potrebbe usare queste variabili anche per discutere il
moto rotatorio – la fisica è sempre quella,
però, è più facile usare variabili più adatte al problema
E facendo così, si scopre una nuova proprietà del nostro mondo!
29

v
Visto il discorso fatto precedentemente, è chiaro
che useremo la velocità angolare, =d/dt ,
invece di v
v  r
Con questa scelta e visto che
la energia cinetica
Ecin 
1
2
r
m

d
 r 
dt
 m  v2
diventa
Ecin 
1
2
 m  r 2  2
Che ha la stessa forma come prima,
se sostituiamo non solo v con , ma anche m
con una nuova variabile
che chiamiamo I,
con :
 Ecin 
1
2
m  r 2 : I
Momento di
inerzia
 I  2
30
Attenzione!
Quando ero studente ho fatto confusione,
la massa (“sorgente” della forza di inerzia) viene chiamata “massa”,
Invece m  r 2 viene chiamata “momento di inerzia”.
Forse sarebbe meglio chiamare :
e
:
m
“inerzia traslazionale”
mr2
“inerzia rotazionale”
o simile
(Halliday, pag.219)
31
Momento di inerzia, I, per un punto di massa m:
Per un oggetto composto da tanti punti:
mr2
asse di
rotazione
I   mi  ri2
r = distanza (minima)dalla asse di rotazione
r
Per corpo “continuo”:
I   r 2 dm
Il momento di inerzia di un corpo dipende sempre dalla asse di rotazione.
Non per l’esame:
nel caso generale, se non vogliamo fare riferimento ad una certa asse,
dobbiamo usare il tensore I  j , k  1,2,3
j ,k
32
Riassunto:

v
A questo punto abbiamo sostituito le variabili
r
velocità
forza
massa
v  
velocità angolare
F f
momento di forza
  
f  r F
mI
momento di inerzia
I  m r2
m

33
Manca ancora la sostituzione per il momento lineare
Il momento lineare è definito così:
Visto
che abbiamo già scelto la sostituzione per F:
La nuova variabile – la chiamiamo
Dalla seconda legge di Newton
l
 
r F
-deve obbedire
F  p
segue
e di conseguenza
2
Il momento angolare
m
kg
è una azione:
s
p
F
 p
t

 
(r  F ) : l 
    
r  F  r  p  l 
  
l rp
Momento angolare
34
  
l rp
A questo punto conosciamo la nuova
variabile, che deve sostituire p, è:
Però, nella sua definizione si trova sempre “p”!
Come possiamo sostituire
Per i moduli sappiamo:
 
 
r  p  mr v ?
v  r 
Per la direzione sappiamo: per 
conta solo la componente di velocità
perpendicolare a r.
(1) e (2) =>

v
v

r
r
m

(1)

 
 e  er  ev
(2)

1  
  2  r  v 
r
35
e con
  
 
l  r  p  mr v
e

1  
  2  r  v 
r


2 
 l  m  r   I 
due lucidi fa abbiamo anche visto che


 
l   (r  F )  f
=> Legge di Newton:

 
p   m  v  F
“Moto lineare”



l  I   f
rotazione
36
Insomma:
Movimento “lineare”
velocità
forza
massa
rotazione


v

F


f
momento di forza
m
I
momento di inerzia
Velocità angolare
  
f  r F
I  m r2
Con questi nuove variabili segue:
momento
lineare


p  mv
 
F  p   m  v


l  I 
momento angolare
 

f  l   I  
  
l rp
  
l   r F
37
Per l’esame:
Si deve saper usare il prodotto vettoriale in generale
Però, per calcoli del movimento rotatorio non sarà necessario,
Basta considerare
l  r p
l  I 
etc
38
l(mondo) = cost.
Se lo spazio è invariante sotto rotazione, il
momento angolare è conservato
39
Precedentemente abbiamo visto che la velocità non è una proprietà del
punto di massa, ma dipende dall’osservatore
Il momento angolare di un punto di massa non dipende dall’
osservatore, ma è una proprietà del corpo
40
Le proprietà del mondo
Tutta la materia è composta da atomi.
Gli atomi consistono di una shell di elettroni e un nucleo.
Il nucleo è fatto di protoni e neutroni.
Protoni e neutroni sono composti da quarks. p=(uud) n=(udd)
Alla fine tutta la materia e composta da quarks e elettroni
Fra i quarks e gli elettroni agiscono 3 “diverse” forze - debole:
elm.:
forte:
Elettroni e quarks hanno
l  12  
I portatori delle forze hanno
l    6.6 10 34 J  s
W,Z
g
gluoni
41
Le proprietà dell’elica a vento
Per ottimizzare le energie eoliche, vogliamo sapere
1) In generale: che potenza sviluppa una elica a vento a una certa velocità di
rotazione (data una certa velocità del vento): se non sappiamo questa funzione
P(w), non sappiamo che tipo di elica è ottimale, e non sappiamo scegliere il
generatore giusto.
2) In particolare: che forza il vento deve creare per far cominciare a girare l’ elica:
se serve un uragano per mettere in moto l’elica, essa sarebbe inutile.
Vogliamo conoscere il momento di forza creato dal vento sulla elica e la
potenza risultante per tutte le velocità angolari, , dell’elica.
42
Abbiamo visto che la potenza di una
asse – per esempio di un’elica a
vento – può essere misurata se si
conosce: F    F
d
Sapere d e
n
 P  d  Fn  r  
Fn con precisione è però difficile
r
d
r
Fn
r
 
rF
F
E’ molto più facile misurare
Il momento di forza
f  rF
43
E scriviamo invece di (“caso lineare”)
P  F v
P  f 
Cominciamo la misura a
produrre energia
f F 0
=> la elica gira libera, senza
Aumentando la forza frenante F, l’elica sarà rallentata sempre di più,  si
abbassa
Possiamo aumentare la forza frenante solo fino a quando diventa uguale alla
forza del vento (per esempio in una galleria a vento) – la velocità angolare
corrispondente chiamiamo u - per forze frenanti più grandi, l’elica si fermerà,
perchè il momento di forza del vento e’ più piccolo del momento del forza
frenante.
44
Così sembra, che non possiamo fare misura per < u.
Questo sarebbe un grande problema, perchè per ottimizzare un’elica a vento,
essa deve essere costruita in modo tale, che cominci a girare il più presto,
quando c’é un filo di vento – perciò vogliamo sapere, come si comporta nel
momento di partenza, che vuol dire a  piccoli.
Il problema può essere risolto se e solo se prendiamo in considerazione non solo
il momento di forza causato dal vento e il momento di forza frenante, ma anche il
momento di forza causata dalla accelerazione angolare del frenare.
f vento  f Newton  f freno
con




f Newton  l  I  
45
Per valutare sperimentalmente
f vento  f Newton  f freno
approssimiamo
 

t
con



f Newton  l   I  
dalla misura sperimentale – osserviamo
quanto fortemente l’elica rallenta in presenza
del vento
invece può essere ottenuto con massa e forma dell’elica noti, o in alternativa
misurando la forza frenante e la risultante decelerazione angolare in assenza di
vento.
46
47
48
Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/min
Qual è la sua velocità angolare in rad/s?
Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano?
Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min
in 60 s la velocità angolare del volano?
Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano?
Quanti giri compirà in questi 60 s?
200giri 200  2 rad


 20.9 rad
s
min
60s
m
v    R  20.9 rad

.
60
m

12
.
55
s
s
diametro
R
 .60m
2
1000giri 1000  2 rad
f 

 104.7 rad
s
min
60s
v R
 f   o 104.7  20.9


 1.397 rad
s2
t
60
at  R  1.397 rad
 .60m  .49
84
s2
m
s2
Quanti giri compirà in questi 60 s?
 f   o 104.7  20.9


 1.397 rad
s2
t
60

200giri 200  2 rad

 20.9 rad
s
min
60s
q  qo  ot  12 t 2
q  qo   ot  12 t 2 
20.9  60  12 1.397  602  1254  2414 
 3668rad
giro
3668rad 
 583.79giri
2rad
50
Accelerazione centripeta

v
(moto circolare uniforme)

v

r
con


v

v
a
t
v  r 
v  v  sin(  )  v  
v

a
 (r   ) 
 r  2
t
t
51

Momento di inerzia di un punto materiale di massa M
M
1
I

m i R2i
R
2
 MR
i1
Momento di inerzia di un anello omogeneo di massa M e raggio R
rispetto al proprio asse
I   dmR 2
anello

M
R
52

M
I   dmR 2
R
anello
Indichiamo con la
densità lineare dell’anello:

M
2R
dm  d
d  Rd 
M
M
dm  d 
Rd 
d
2R
2
I
 dmR  
2
anello
2
0
y
R
d
d
x
M
dR2
2
M 2 2
M 2 2
M 2
I
R  d 
R  0 
R 2  0  MR 2
0
2
2
2
I=MR2 come se la massa dell’anello fosse concetrata in un punto
materiale a distanza R dall’asse.
53
Momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse
Supponiamo che il disco ruoti attorno un asse, perpendicolare al
disco passante per il suo centro (asse del disco).
M
Indichiamo con  la densità superficiale del disco:

R 2
•Suddividiamo il cerchio in tante corone circolari infinitesime e
concentriche di spessore dr. A tutti gli effetti può essere
considerato un anello di massa:
M
2M
dm  dS 
R 2
2rdr 
R2
rdr
•
a cui corrisponde un momento di inerzia:
2M
dI  dmr 2  2 r3 dr
R
• Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi
continui:
I
 dI  
corp o
R
0
R
4
2M 3
2M r 4  2M 
R

1


r
dr



0

MR2
2
2  
2
R
R 4 0 R  4
 2
54
Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per un estremo
Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse,
perpendicolare alla sbarra passante per un suo
estremo.
Indichiamo con  la densità lineare della sbarra.
•
•
M
L

M
L
Introduciamo un sistema di riferimento come in figura
Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di
lunghezza dx,
– indichiamo con x la coordinata del primo estremo
dell’elemento infinitesimo
– La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di
rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

z



M
L
R=x
x
x+dx
x
dm  dx 
L
3
M L2
M x3 
M 
L
2
2
  0
  1 ML 2
I  dmR  dx x 
x dx    
L 0
L  3 0 L  3
 3
sbarra
0
L
M
L
55
M
dx
L
Ciascuna delle tre pale del rotore di un elicottero, mostrate in figura , è lunga 5.20m ed
ha una massa di 240 kg
Qual è il momento di inerzia del rotore rispetto all’asse di rotazione? (le pale possono
essere considerate come asticelle sottili)
Qual è l’energia cinetica rotazionale del rotore alla velocità angolare di 350 giri/min?
1
1
I p ala  ML2   240kg  5.202  2163.2kgm 2
3
3
I ro tore  3Ip ala  3  2163.2kgm 2  6489.6kgm 2

350giri 350  2 rad

 36.6 rad
s
min
60s
E
1 2 1
I   6489.6  36.6 2  4.34 M J
2
2
56
Disco e blocco
Disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20cm
montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa
m=1.2 kg appeso a un filo privo di massa avvolto intorno
al bordo del disco.
Trovate: accelerazione di caduta del blocco,
accelerazione angolare del disco
la tensione del filo
T  m g  ma
R  T  I    1 2  M  R 2  
con
R    a
 T  12  M  a
 12  M  a  m  g  m  a
a   1 2  M  m  m  g
m
2 1.2kg  9.8 2
2m g
m
s
a

 4.8 2
M  2  m 2.5kg  2 1.2kg
s
57
Insomma:
Movimento “lineare”
velocità
forza
massa
rotazione


v

F


f
momento di forza
m
I
momento di inerzia
Velocità angolare
  
f  r F
I  m r2
Con questi nuove variabili segue:
momento
lineare


p  mv
 
F  p   m  v


l  I 
momento angolare
 

f  l   I  
  
l rp
  
l   r F
58
Disco e blocco
Disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20cm
montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa
m=1.2 kg appeso a un filo privo di massa avvolto intorno
al bordo del disco.
Trovate: accelerazione di caduta del blocco,
accelerazione angolare del disco
la tensione del filo
T  m g  ma
R  T  I    1 2  M  R 2  
con
R    a
 T  12  M  a
 12  M  a  m  g  m  a
a   1 2  M  m  m  g
m
2 1.2kg  9.8 2
2m g
m
s
a

 4.8 2
M  2  m 2.5kg  2 1.2kg
s
59
Disco e blocco
Disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20cm
montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa
m=1.2 kg appeso a un filo privo di massa avvolto intorno
al bordo del disco.
Trovate: accelerazione di caduta del blocco,
accelerazione angolare del disco
la tensione del filo
con
e
T  12  M  a
m
a  4.8 2
s
m
T  2  M  a  2  2.5kg  4.8 2  6.0 N
s
1
1
m
a 4.8 s 2
  
 24 rad 2
s
R 0.20m
60