vettori - fisicainweb

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I VETTORI
di
Federico Barbarossa
I vettori
Definizione di “vettore”:
Segmento orientato caratterizzato da “direzione” “verso” ed “intensità” o
“modulo”.
Può essere utilizzato per rappresentare alcune grandezze fisiche come:
Forza
Spostamento
..ed altre..
Velocità
Accelerazione
La direzione di un vettore
La direzione di un vettore è la retta su cui giace il vettore
vettore A
La direzione del vettore A
possiamo definirla, per
esempio, “orizzontale”
Vettore B
La direzione del vettore B
possiamo definirla, per
esempio, “verticale”
Il verso di un vettore
Il “verso” di un vettore è il suo orientamento sulla retta.
Graficamente è indicato dalla “punta” del vettore (freccia)
Punta del vettore
vettore A
Per ogni “direzione” si possono individuare due vettori di “verso” opposto
Retta di direzione
vettore (- A)
vettore A
Il segno “meno” davanti ad uno dei due vettori ci ricorda che un vettore è
opposto all’altro.
L’intensità di un vettore (o modulo)
L’ ”intensità” di un vettore è il suo valore numerico espresso nell’unità
di misura della grandezza che rappresenta.
Se un vettore rappresenta, per esempio, uno spostamento di 10 metri, la
sua intensità (o modulo) è 10 metri
Retta di direzione
vettore spostamento = - 10m
L’intensità
assume valore
positivo o
negativo,
secondo il verso
del vettore.
Il vettore è una
rappresentazione
grafica (freccia
orientata): sarà
quindi necessario
fissare una scala
di
rappresentazione
adeguata.
vettore spostamento = 10m
1 metro
SOMMA E DIFFERENZA DI
VETTORI NEL PIANO
il metodo punta-coda e
la regola del parallelogramma
Somma di vettori sulla stessa retta
Prendiamo l’esempio del vettore “spostamento”
Se uno “spostamento” avviene sulla stessa retta , dobbiamo ricordare che i
vettori che rappresentano tale spostamento hanno la stessa direzione ma
possono avere verso opposto
Posizione 1
Posizione 2
Posizione 3
Questo è lo spostamento
risultante, effettuato dal
nostro personaggio
Questi spostamenti sono uguali
ed opposti e si annullano
Il nostro personaggio si è spostato dalla posizione 1 alla posizione 2 e poi
alla posizione 3, tornando in dietro per un tratto. Lo spostamento effettivo,
cioè quello che risulta alla fine del movimento, è quello dalla posizione 1 alla
posizione 3, rappresentato dal vettore blu.
Somma di vettori sulla stessa retta
Potremo scrivere:
S1
+ (- S2) =
SR
SR
- S2
S1
Il “verso”
del vettore risultante sarà il medesimo verso del vettore somma di maggiore
intensità
Il nostro personaggio ha percorso il tratto S1 e poi il tratto S2 (verso opposto),
mantenendosi sulla stessa direzione. Lo spostamento risultante SR è
rappresentato dal vettore blu
Somma di vettori con direzioni diverse
Consideriamo sempre due vettori
spostamento e tre posizioni: A , B , C
B
Il nostro personaggio, alla
fine del movimento, si è
spostato dalla posizione A
alla posizione C
C
Risultato dello
spostamento
A
Qui abbiamo usato il metodo puntacoda
Possiamo dire che i due
spostamenti rappresentati dai
vettori rossi, hanno prodotto lo
spostamento risultante
rappresentato dal vettore blu
Si può notare, anche a occhio, che lo spostamento rappresentato dal vettore
blu è minore del totale dei due spostamenti rappresentati dai vettori rossi.
La “somma” di due (o più) vettori complanari, con direzioni diverse, NON può
essere svolta sommando algebricamente le loro “intensità”. E’ necessario usare
una “regola particolare” che si chiama “metodo punta- coda” o “regola del
parallelogramma”
Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma
Quando due vettori sono rappresentati con la coda posta nello
stesso punto ed hanno direzioni diverse
Vettore (A)
Vettore (B)
Risulta più conveniente utilizzare una regola che si chiama “regola del
parallelogramma”
Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma
Eseguiamo la SOMMA dei due vettori (A) e (B):
Risultante
Vettore (A)
Tracciamo, dalla punta del
vettore (A), la parallela al
vettore (B)
Vettore (B)
Tracciamo, dalla punta del
vettore (B), la parallela al
vettore (A)
Fissiamo alcune idee:
Questi modi di eseguire la “somma” di due (o più) vettori si chiamano
“regola del parallelogramma” e “metodo punta-coda”.
Si applica quando i vettori NON hanno la stessa direzione (cioè NON
giacciono sulla medesima retta o su rette parallele).
Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma
Osserviamo come si procede quando si vogliono sommare 3 vettori: (A) ; (B) ; (C)
Prima Risultante
Vettore (A)
Risultante
Finale
Vettore (B)
Vettore (C)
Fissiamo alcune idee:
Quando si esegue la “somma” di più vettori, si applica la“regola del
parallelogramma” in successione:
Si determina la risultante di una prima coppia di vettori
Si somma la risultante ottenuta con un vettore successivo…e così
via, fino ad ottenere la risultante finale.
oppure
Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma
Applichiamo il metodo punta-coda
Vettore (A)
Vettore (B)
risultante
Vettore (C)
Fissiamo alcune idee:
Quando si esegue la “somma” di più vettori, si applica può applicare la
“regola del parallelogramma” in successione ma il metodo punta coda
risulta di esecuzione più rapida
Somma e differenza di vettori nel piano: la regola del parallelogramma
Come si esegue la DIFFERENZA tra vettori?
Prendiamo i vettori (A) e (B).
Vogliamo eseguire (A) – (B)
Risultante
Vettore
Vettore(-(-B)
B)
Vettore (A)
Vettore (B)
La DIFFERENZA tra i vettori (A) e (B) è ancora la somma del vettore (A) con
il vettore opposto a (B), cioè (-B) (verso opposto) da cui (A) + (-B)
Somma e differenza di vettori nel piano: il punta coda
Se utilizziamo il metodo punta coda ……..
….il principio non cambia.
Prendiamo i vettori (A) e (B).
Vogliamo eseguire (A) – (B)
Vettore (-B)
Vettore (B)
Risultante
Vettore (A)
Anche con l metodo punta-coda la differenza tra il vettore (A) ed il vettore
(B) è data dalla somma del vettore (A) con il vettore opposto a (B), cioè (-B)
(verso opposto) da cui (A) + (-B)
Prova tu
Esegui le seguenti operazioni con i vettori:
Dati:
esegui
V1= 4
V2= 8
2 v1  v 2 
1
v3  v R
2
½ V3
V2
VR
2V1
v = vettore
V3= 10
soluzione
UN CASO PARTICOLARE
Quando due vettori sono perpendicolari tra loro
S2
S1
SR
S2
Il triangolo rettangolo che ne deriva, ha come ipotenusa la risultante dei due
vettori S1 ed S2
Potremo quindi applicare il Teorema di Pitagora per determinare
analiticamente ( e non solo per via grafica) il valore della risultante SR
La somma del quadrato dei cateti
da, come risultato, il quadrato
dell'ipotenusa
S2
R

S2  S2
1
2
SR

S12  S22
IL METODO ANALITICO (gocce di trigonometria)
…….è però necessario imparare
È sempre possibile calcolare analiticamente
la risultante fra più vettori…………….
alcune regole di trigonometria (??)
Non è necessario conoscere perfettamente la trigonometria
Poche regole saranno sufficienti al nostro scopo
La trigonometria introduce alcune
funzioni collegate agli angoli
Consideriamo il triangolo
rettangolo di lati a b c
Queste funzioni non sono altro che numeri
associati ai diversi angoli
Ed in particolare consideriamo
l’angolo  (alfa)
c
a

b
IL METODO ANALITICO (gocce di trigonometria)
Siamo interessati in particolare a due funzioni
sen  (seno dell’angolo alfa)
c
a

cos  (coseno dell’angolo alfa)
Quale significato
hanno queste
funzioni?
b
sen  
a
c
catetooppostoad α
ipotenusa
cos  
b
c
cateto adiacente ad alfa
ipotenusa
Il seno dell’angolo  è il rapporto tra il
cateto opposto ad  e l’ipotenusa
Il coseno dell’angolo  è il rapporto tra il
cateto adiacente ad  e l’ipotenusa
Non posiamo dire di conoscere a fondo la trigonometria e neppure le sole funzioni seno
e coseno, ma ciò che abbiamo imparato è sufficiente ad aiutarci ad approfondire l’uso
dei vettori.
IL Teorema di Carnot
a
V1
V1
R
b


R

R

R

a  v 1  sen 

b  v 1  cos 


V2



v 2  v1  cos 
 
2

 v1  sen

2
2 2
 
2
2
v 2  v1  cos   2  v 2  v1  cos  v1  sen2
2 2
 
2
2
v 2  v1  cos   sen   2  v 2  v1  cos





 
R  v 22  v12  2  v 2  v1  cos
oppure
essendo
cos   sen   1
2
2

2 2
 
R  v 2  v1  2  v 2  v1  cos
In laboratorio
Forza equilibrante di due forze e regola del parallelogramma
Nel disegno, si vedono tre forze F 1 , F 2 e
- F 3 , applicate ad un punto P. Le tre
forze hanno direzioni diverse.
il punto P è in equilibrio (fermo) in quanto
l’azione di F 1 e F 2 è controbilanciata da - F 3
(forza equilibrante del dinamometro)
Ciò è possibile perché la “somma vettoriale”
di F 1 e F 2 dà come risultante F 3 , UGUALE
ED OPPOSTA A - F 3
Possiamo concludere che:
La forza F 3 è la risultante delle forze F 1 e F 2
e la sua intensità (modulo), direzione e verso
possono essere determinate con la regola del
parallelogramma.
P
In laboratorio
Forza equilibrante di due forze e regola del parallelogramma
Procedimento:
dinamometro
Posizionate le carrucole di F 1 e F 2 in modo
che le direzioni siano diverse.
Modificate l’intensità delle forze F 1 e F 2
variando il numero di masse applicate.
Potrete leggere sul dinamometro l’intensità
della forza - F 3 (forza equilibrante prodotta
dal dinamometro, uguale e opposta alla
risultante F 3 )
carrucole
forze
P
In laboratorio
Forza equilibrante di due forze e regola del parallelogramma
Procedimento:
Misurate con il goniometro l’angolo tra F 1 e F 2
, poi misurate anche l’angolo tra F 2 e - F 3
trascrivendo i dati in tabella (vedi esempio)
P
0,50
0,50
85°
0,75
160°
Trascrivete in tabella l’intensità delle forze
F 1 e F 2 e della forza - F 3 letta sul
dinamometro (vedi esempio)
In laboratorio
Direzione di – F3
Completate la tabella proponendo tre casi
diversi tra loro (variare angoli e forze)
- F 3 = 0,75N
160°
0,50
0,50
85°
0,75
85°
160°
F2
F1
Su carta millimetrata riporta la direzione di - F 3 (per
comodità ponila sempre verticale)
riporta con il goniometro l’angolo tra - F 3 e F2 e traccia il
vettore F2 in scala
Riporta con il goniometro l’angolo tra F 1 e F 2 e traccia il
vettore F 1 in scala
Traccia la risultante (F 3) tra i vettori F 1 e F 2, con la regola
del parallelogramma
F3
risultante
Verifica che la risultante F 3 abbia modulo e direzione uguali (nei limiti degli errori
sperimentali) alla equilibrante - F 3 e che possieda verso opposto (ricorda che
anche la risultante è in scala).
In laboratorio
Completa la tabella inserendo nell’ultima
colonna il valore della risultante grafica.
0,50
0,50
85°
0,75
160°
0,75
P
Nei limiti degli errori sperimentali la risultante
grafica F3 deve avere modulo e direzione
uguali a quelli dell’equilibrante – F3
E’ possibile determinare l’errore percentuale sia per
il modulo che per la direzione del vettore
risultante, assumendo come “più probabile” il
modulo indicato dal dinamometro e la sua
direzione.