La teoria di portafoglio

La teoria di portafoglio: cap.7-9
• Funzioni matrice Cap.28.
• Passare dalla serie storica dei prezzi ai rendimenti:
 Pt 

rt  ln 
 Pt 1 
• Calcolare il rendimento medio, la varianza, usando
le funzioni di Excel: MEDIA, VAR.POP,
DEV.ST.POP, VAR, DEV.ST
COVARIANZA
• Rappresenta una misura della propensione
dei rendimenti di due attività a muoversi
insieme.
1
Cov(ra , rb ) 
M
t
t
[
r

E
(
r
)][
r
 a
a
b  E ( rb )]
t
• T=1,…M
• COVARIANZA(Matrice1;Matrice2)
CORRELAZIONE
• E’compreso tra –1 e 1.
• Correlazione(Matrice1;Matrice2)
 a ,b 
Cov(ra , rb )
 a b
 R2
• Aggiungi linea di tendenza
PORTAFOGLIO
• MEDIA:
E (rP )  E (ra )  (1   ) E (rb )
• VARIANZA:
 p2   2 a2  (1   2 ) b2  2 (1   ) a,b a b
L’insieme dei portafogli
ammissibili con due titoli
• Esaminiamo il caso di correlazione = -1, 0,
1
Rendimento medio Portafoglio
Rendimenti Portafoglio e Correlazione tra le attività
5,50%
5,00%
4,50%
corr = +1
4,00%
corr = 0
3,50%
corr = -1
3,00%
2,50%
2,00%
0,00%
1,00%
2,00%
3,00%
4,00%
5,00%
Sigma Portafoglio
6,00%
7,00%
8,00%
Media e varianza di un
portafoglio con più titoli
• Media:
n
E (rP )    i E (ri )  T E (r )
i 1
2
T







• Varianza:
 i j ij S
p
i
j
S = matrice varianze-covarianze
• Covarianza
portafoglio 1 e 2:
Cov(1,2)   S2
T
1
Matrice varianze-covarianze
• Costruire la matrice dei rendimenti addizionali:
N = titoli
 r11  r 1 . . . r1n  r n 


.
.
M = n. osservazioni


A .

 .
r  r 1
 m1
• La matrice var-cov:
.
.
.
.


. 
rmn  r n 
.
.
AT A
S  [ i , j ] 
M
Cap. 9 La determinazione dei portafogli
efficienti in assenza di vendite allo
scoperto
Rendimento medio
portafoglio
PORTAFOGLI FATTIBILI
11%
10%
9%
8%
7%
6%
Efficiente e
envelope
Portafoglio
NON fattibile
Fattibili, ma
NON efficienti
5%
4%
Envelope , ma NON
efficiente
10%
30%
50%
70%
Deviazione standard portafoglio
90%
Il calcolo di due portafogli sulla
envelope
• E’ sufficiente trovare due portafogli sulla envelope
per identificare l’intera envelope.
• Tutti i portafogli sulla envelope sono dati da:
• R–c=S*z
• R = vettore E(Ri)
• c = costante arbitraria
• S = matrice varianza covarianze
• z = vettore componenti
Il calcolo di due portafogli sulla
envelope
• x = vettore componenti normalizzate
zi
xi 
i zi
• Scegliendo due valori differenti per c, risolviamo
per z e troviamo due vettori x corrispondenti a due
portafogli sulla envelope.
• z = S-1 * ( R – c )
• Calcoliamo le corrispondenti proporzioni
normalizzate xi
Il calcolo della envelope
• Calcoliamo media e sqm dei due portafogli
ottenuti.
• Costruiamo un nuovo portafoglio con pesi 
e 1- nei due portafogli sulla envelope.
• Creiamo una tabella dati al variare di 
della media e dello sqm del portafoglio
• Facciamo il grafico di tipo “dispersione”
La Envelope
11%
Media
10%
w
9%
y
z
8%
7%
x
6%
q
5%
10%
20%
30%
40%
50%
Sigma
60%
70%
80%
90%
Il calcolo del portafoglio di mercato:
quello per cui c = tasso risk free
La Frontiera Efficiente con la RMC
Rendimento medio portafoglio
Retta del mercato dei capitali, RMC
Portafoglio di
mercato, M
Tasso privo di rischio, rf
Deviazione standard portafoglio
Test del CAPM
• Dato un insieme di attività finanziarie (tra cui il
portafoglio di mercato), calcolare i rendimenti.
• Calcolare la media dei rendimenti ed il beta di
ciascuna attività.
• Regredire le medie sui beta:
• E(Ri)=rf+bi(E(RM)-rf)
• Si trovano così le quantità in grassetto, che
sommate devono essere uguali al rendimento
atteso del portafoglio di mercato.
Funzioni statistiche
• INTERCETTA(y_nota;x_nota)
Calcola il punto in cui una retta inteseca l'asse y
utilizzando i valori x e y esistenti. Tale punto è
basato su una retta di regressione lineare ottimale
tracciata attraverso i valori x_nota e y_nota.
• PENDENZA(y_nota;x_nota)
Restituisce la pendenza della retta di regressione
lineare tramite i valori in y_nota e x_nota.
• RQ(y_nota;x_nota)
Restituisce il quadrato del coefficiente r della retta di
regressione lineare tramite i valori in y_nota e
x_nota.
VaR
• Il VaR è la perdita che ci si aspetta venga
ecceduta con una probabilità del x% su un
periodo di T giorni
• T = orizzonte temporale
• x% = probabilità
• y = quantile = P(Yy) = x%
Il quantile corrispondente
all’1% è 50,20974, quindi il
VaR all’1% è 49,79026
Distribuzione del valore
del portafoglio
Distribuzione Normale Cumulata
(rappresentazione parziale per poter vedere il
quantile corrispondente all'1%)
0,014
0,012
0,01
0,008
0,006
0,004
0,002
0
0,03
0,025
0,02
Probabilità
Probabilità
Distribuzione di Probabilità Normale
Funzione di Densità
0
30
60
90
120 150 180 210 240 270
0,015
0,01
0,005
0
-40
-20
0
20
40
60
Valori del Portafoglio
Valore del portafoglio (milioni di $)
80
Funzione Distrib.norm
• DISTRIB.NORM(x;media;dev_standard;cumul
ativo)
• X è il valore per il quale si desidera la
distribuzione.
• Media è la media aritmetica della distribuzione.
• Dev_standard è la deviazione standard della
distribuzione.
• Cumulativo è un valore logico che determina la
forma assunta dalla funzione. Se cumulativo è
VERO, DISTRIB.NORM restituirà la funzione di
distribuzione cumulativa, se è FALSO restituirà la
funzione massa di probabilità.
INV.NORM
• Restituisce l'inversa della distribuzione normale
cumulativa per la media e la deviazione standard
specificate.
• INV.NORM(probabilità;media;dev_standard)
• Probabilità è la probabilità corrispondente alla
distribuzione normale.
• Media è la media aritmetica della distribuzione.
• Dev_standard è la deviazione standard della
distribuzione
VaR di un portafoglio
• Se disponiamo delle medie e della matrice
var-cov per le attività in portafoglio,
possiamo calcolare media e varianza del
portafoglio.
• Assumendo che i rendimenti delle attività
siano distribuiti normalmente, possiamo
calcolare il VaR del portafoglio.
Simulazione dei dati: il
bootstrapping
• Senza imporre nessuna restrizione sulla
distribuzione di probabilità dei rendimenti.
• Si supponga di disporre delle serie storiche
relative alle attività in portafoglio.
• Il bootstrapping è una tecnica di “rimpasto”
casuale dei dati: per ogni iterazione le serie
storiche vengono riordinate e viene
calcolato il rendimento di portafoglio.
CASUALE
• Restituisce un numero casuale distribuito in
maniera uniforme maggiore o uguale a 0 e
minore di 1. Ogni volta che si calcola un
nuovo foglio di lavoro viene restituito un
nuovo numero casuale.
• Sintassi: CASUALE( )
CASUALE.TRA
• Sintassi: CASUALE.TRA(minore,
maggiore)
• Minore è l'intero più piccolo restituito da
CASUALE.TRA.
• Maggiore è l'intero più grande restituito da
CASUALE.TRA.