TsdM5 File - e

Consideriamo un cristallo di Ag
(fcc; a=4.09Å), descritto da un qualche
potenziale semiempirico (negli esempi
sarà EAM, ma non importa). Vogliamo
studiarne delle quantità di bulk: quanto
grande dobbiamo prendere la cella di
simulazione?
4 atomi (c.conv.)
32 atomi
108 atomi
256 atomi
864 atomi
2048 atomi
4000 atomi
L(Å)
Atomi
A(Å2)
Atomi
V(Å3)
Atomi
Vc.conv
V  CN ; C 
;
4( fcc)
V L
3
2
3
A/6  L  C N
2
1
3
1
3
2
3
L  C N ; Ag : C  17.1 Å
Spostamenti da posizioni di bulk dopo minimizzazione
energia (4 atomi; non è nemmeno un fcc..)
Spostamenti da posizioni di bulk dopo minimizzazione
energia (4 atomi)
Spostamenti da posizioni di bulk dopo minimizzazione
energia (32 atomi)
Spostamenti da posizioni di bulk dopo minimizzazione
energia (32 atomi)
Spostamenti da posizioni di bulk dopo minimizzazione
energia (4000 atomi)
Spostamenti da posizioni di bulk dopo minimizzazione
energia (4000 atomi)
Chiaramente, ho sempre degli effetti di superficie: posso
sperare di individuare una “zona di bulk” all’interno?
A/V
1

3
C N
Atomi
1

3
32 atoms
bonds
% atoms in perfect positions: 0
r(Å)
108 atoms
bonds
% atoms in perfect positions: 0
r(Å)
256 atoms
bonds
% atoms in perfect positions: 3
r(Å)
864 atoms
bonds
% atoms in perfect positions: 7
r(Å)
2048 atoms
bonds
% atoms in perfect positions: 11
r(Å)
4000 atoms
bonds
% atoms in perfect positions: 15
r(Å)
Esiste un metodo alternativo a
costruire sistemi sempre più grandi per
cercare di eliminare gli effetti di
superficie (a parte “trucchi” come la
saturazione dei legami nei
semiconduttori)?
YES! LET’s GO PBC
Periodic boundary conditions
?
?
Ri-seleziono la vera cella di partenza …
Ri-seleziono la vera cella di partenza …
d=6a; dimm=a
d=5a; dimm=2a
d=4a; dimm=3a
d=3a
d=2a
d=a
a
L=7a
Ci siamo concentrati sui primi vicini. In realtà se uso un potenziale “privo di cutoff”
come Lennard-Jones, se ripeto la cella ogni atomo sarà influenzato dalle proprie
immagini. Se non studio situazioni in cui tutti gli atomi si comportano in maniera
identica (proprietà statiche di un cristallo perfetto) NON VA BENE!
d=a
d=2a
Minimum image
convention:
definisco distanza d tra
l’atomo i e l’atomo j della
cella originale la
distanza tra i e l’immagine
di j che minimizza d.
Nei conti, considero solo
l’interazione tra i e tale
immagine. Di fatto questo
modo di procedere un po’
arbitrario diventa più
chiaro se forzo un cutoff
preciso per il potenziale.
Per esempio, se il cutoff è
pari alla distanza tra nn,
risulta chiaro con chi può
interagire l’atomo giallo
d=3a
d=3a
d=2a
d=a
a
L=7a
Implementazione in fortran: è banale!!!!!!!
1 2 3 4 5
Voglio calcolare la separazione (con segno) tra un atomo
e l’atomo 1 (giallo). In assenza di PBC è banale.
L=5a
Con le PBC ….
x(2)-x(1)=a
x(3)-x(1)=2a
x(4)-x(1)=3a
x(5)-x(1)=4a
PBC + minimum image convention
x(2)-x(1)=a
x(2’)-x(1)=-4a
-> x(2,MI)-x(1)=a
x(3)-x(1)=2a
x(3’)-x(1)=-3a
-> x(3,MI)-x(1)=2a
x(4)-x(1)=3a
x(4’)-x(1)=-2a
-> x(4,MI)-x(1)=-2a
x(5)-x(1)=4a
x(5’)-x(1)=-a
-> x(5,MI)-x(1)=-a
1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 1 2 3 4 5
L=5a
L=5a
Occhio che cambia tutto. Con un cutoff a primi vicini, e senza PBC, l’atomo 1
interagisce solo con 2. Con le PBC interagisce anche con 5 (tramite la sua
immagine). Se non avessi cutoff nel potenziale, l’utilizzo della minimum image
convention di fatto ne introduce uno, pari alla metà della cella. Ma è abrupto.
Molto meglio usare una cella grande e imporre un vero cutoff (vedi dopo).
PBC + minimum image convention
x(2)-x(1)=a
x(2’)-x(1)=-4a
-> x(2,MI)-x(1)=a
x(3)-x(1)=2a
x(3’)-x(1)=-3a
-> x(3,MI)-x(1)=2a
x(4)-x(1)=3a
x(4’)-x(1)=-2a
-> x(4,MI)-x(1)=-2a
x(5)-x(1)=4a
x(5’)-x(1)=-a
-> x(5,MI)-x(1)=-a
1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 1 2 3 4 5
L=5a
L=5a
Considero la funzione anint, che approssima con l’intero più vicino.
Suppongo di calcolare un certo dx, poi calcolo anint (dx/L).
anint(dx/cella)=0 se |dx|<L/2, =1 altrimenti. Bene, se allora prima calcolo dx e poi
lo sostituisco con
dx=dx-L*anint(dx/L) sono a posto!!!!!
Es. dx=3a; anint 3/5=1; dx=3a-5a=-2a
Es. dx=2a; anint 2/5=0; dx=2a
1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 1 2 3 4 5
L=5a
L=5a
Considero la funzione anint, che approssima con l’intero più vicino.
Suppongo di calcolare un certo dx, poi calcolo anint (dx/L).
anint(dx/cella)=0 se |dx|<L/2, =1 altrimenti. Bene, se allora prima calcolo dx e poi
lo sostituisco con
dx=dx-L*anint(dx/L) sono a posto!!!!!
Es. dx=3a; anint 3/5=1; dx=3a-5a=-2a
Es. dx=2a; anint 2/5=0; dx=2a
Implementazione in fortran
dx  ( x(i )  x( j ))
dx  dx  sx  anint (
dx
)
sx
sx=17.64739=sy
sz=24.957179
dy  ( y (i )  y ( j ))
dy
dy  dy  sy  anint ( )
sy
dz  ( z (i )  z ( j ))
dz
dz  dz  sz  anint ( )
sz
Dove sx,sy,sz=dimensioni della cella di simulazione (solo per celle in cui x,y, e z sono
direzioni perpendicolari, se no è più complicato). Notare: può essere cambiato il segno
(ed è giusto che sia così, pensare alle forze) di dx,dy,dz.
Dimensioni della cella e cutoff
rc
Gli atomi interagiscono con le proprie immagini. Posso usare la
minimum image convention per ovviare a questo fatto, ma non è
formalmente un gran chè (di fatto introduco un nuovo cutoff).
Invece, se L>2rc la minimum image convention viene soddisfatta in
modo naturale. Nel caso in figura, la cella di simulazione scelta era
troppo piccola. La condizione L>2rc va considerata come
condizione minimale per effettuare una simulazione decente.
Attenzione! Anche se L>2rc l’utilizzo delle PBC non equivale in tutto
e per tutto a simulare un sistema infinito. In un vero sistema infinito
….
Nel sistema “replicato” invece …..
Tipici problemi connessi …..
Esempio: consideriamo un difetto che
provoca un campo di deformazione
a lungo raggio.
Se la cella con PBC è troppo piccola ..
E’ chiaro che non posso descrivere una situazione simile con le PBC che forzano
uguale distorsione in ogni cella immagine. Con le PBC non sto simulando l’effetto di
un difetto isolato ma di un certo coverage di difetti disposti ordinatamente nel sistema
Se lo simulo con le PBC e la cella piccola:
a) il campo di deformazione sarà diverso da quello vero
b) un difetto risentirà del campo di deformazione creato dalla sua immagine
(“interazione” laterale spuria). In generale: “impossibilià di simulare un difetto (o
un adsorbato) isolato”
Coppia di difetti che si annichilano se si incontrano (interstiziale vacanza)
Se il difetto si muove e se muovendosi crea un “antidifetto” (potrebbe essere una
coppia vacanza/interstiziale)
la probabilità di annichilazione è molto maggiore
di quella reale
Notare infine che la densità atomica volumetrica è fissata da N/V della cella
principale: non posso simulare fenomeni come l’espansione termica.
Se gli atomi al centro della cella aumentano la loro distanza, necessariamente
la distanza tra atomi dovrebbe diminuire. Il sistema preferisce allora mantenere
distanze uguali
Nei codici, ovviamente, non vengono allocate le posizioni di tutte le immagini:
la pittura delle celle ripetute non deve ingannare. Se ho processi diffusivi si può
verificare la seguente situazione quando visualizzo la posizione degli atomi:
Nei codici, ovviamente, non vengono allocate le posizioni di tutte le immagini:
la pittura delle celle ripetute non deve ingannare. Se ho processi diffusivi si può
verificare la seguente situazione quando visualizzo la posizione degli atomi:
Nei codici, ovviamente, non vengono allocate le posizioni di tutte le immagini:
la pittura delle celle ripetute non deve ingannare. Se ho processi diffusivi si può
verificare la seguente situazione quando visualizzo la posizione degli atomi:
Nei codici, ovviamente, non vengono allocate le posizioni di tutte le immagini:
la pittura delle celle ripetute non deve ingannare. Se ho processi diffusivi si può
verificare la seguente situazione quando visualizzo la posizione degli atomi:
Nei codici, ovviamente, non vengono allocate le posizioni di tutte le immagini:
la pittura delle celle ripetute non deve ingannare. Se ho processi diffusivi si può
verificare la seguente situazione quando visualizzo la posizione degli atomi:
Nei codici, ovviamente, non vengono allocate le posizioni di tutte le immagini:
la pittura delle celle ripetute non deve ingannare. Se ho processi diffusivi si può
verificare la seguente situazione quando visualizzo la posizione degli atomi:
Nei codici, ovviamente, non vengono allocate le posizioni di tutte le immagini:
la pittura delle celle ripetute non deve ingannare. Se ho processi diffusivi si può
verificare la seguente situazione quando visualizzo la posizione degli atomi:
Se voglio calcolare il coefficiente di diffusione del’oggetto che si muove (proporzionale
allo scarto quadratico medio dalla posizione iniziale), devo considerare la traiettoria
vera. Contemporaneamente però, è comodo visualizzare anche quella riferita alla cella
principale
E’ comodo tenere in memoria sia le coordinate reali sia quelle riferite alla sola cella
principale di simulazione.