Esercizio-II-urto-anelastico-corpo-rigido-vincolato-e

Un asta di massa m e lunghezza l e’ vincolata ad un estremo O,
un punto materiale di massa m e componente della velocita’
perpendicolare alla sbarretta pari a v colpisce l’asta a distanza r
dall’estremo fisso e vi rimane attaccato. Determinare :
1) la velocita’ angolare del sistema dopo l’urto
2)
l’angolo massimo q rispetto alla verticale che raggiungera’ l’asta
durante l’urto agisce una forza esterna di tipo impulsivo dovuta al vincolo
in O di conseguenza il sistema non e’ isolato e non sara’ possibile
conservare la quantita’ di moto totale del sistema
inoltre l’urto e’ perfettamente anelastico percio’ non si potra’
neppure imporre la conservazione della energia cinetica
O
ma, rispetto al punto in cui e’ incernierata l’asta e che rimane
fisso nel tempo, il momento angolare delle forze vincolari e’ nullo
assumendo il punto fisso O come polo sara’ quindi possibile
conservare il momento angolare totale rispetto a questo punto r
il momento angolare e’ L  r  mv
prima dell’urto
LTiniz  mrv
uguagliando
mvr  I
considerando i moduli
LTfin  I
mvr

m
I
dopo l’urto
il momento d’inerzia dell’asticella rispetto ad O risulta essere
I m
L2
3
 mr
2
percio’

vr
L2
3
 r2
l
assumendo un sistema di coordinate centrato nel polo O e con asse x
diretto positivo verso il basso la posizione del centro di massa del
sistema, nel momento dell’urto e’
O
xcm 
m
L
 mr
2
2m
1
L
 (r  )
2
2
dopo l’urto, perfettamente anelastico, il sistema iniziera’ ad
oscillare come un pendolo se si possono trascurare gli attriti
si potra’ imporre la conservazione della energia meccanica
r
l
EC  EP  Em  cost
assumendo l’energia potenziale nella posizione
iniziale pari a 2mgxCM ( 2m perche’ tutta la massa
e’concentrata nel centro di massa)
m
immediatamente dopo l’urto anelastico l’energia meccanica e’
Em  0  2mgxCM
successivamente l’energia meccanica sara’ x
1 2
1
Em  I   2mgx ' uguagliando 0  2mgxCM  I  2  2mgx '
2
2
2mgxCM  2mgx ' 
1 2
I  da cui
2
posto h = xCM  x’
del centro di massa
2mg ( xCM  x ') 
1 2
I
2
h > 0 e’ l’ innalzamento della posizione
1 2
I   2mg h
2
I 2
h 
4mg
O
O
l/2
r
xCM
l
CM
h
CM
O
OB  OC cos

cos  
xCM
B
C
I 2
h 
4mg
OB  xCM  h
x  h
OB
 CM
OC
xCM
h
cos   1 
xCM