Il moto nel piano

Unità 6
I moti nel piano
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1. Vettore posizione e vettore spostamento
Per descrivere il moto di un punto materiale sul
piano, servono:
•
un riferimento cartesiano;
un metro per misurare le coordinate xp e yp del
punto;
•
•
un cronometro per misurare i tempi.
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Vettore posizione e vettore spostamento
Vettore posizione: individua il
punto P della traiettoria in cui si
trova il punto materiale ad un
dato istante.
Vettore spostamento: è la
variazione del vettore
posizione in un intervallo di
tempo.
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Il vettore spostamento
s
Il vettore spostamento
si determina
sottraendo i due vettori posizione
corrispondenti a due diversi istanti di tempo, t1
e t2.
Il vettore s definisce direzione, verso e lunghezza
dello spostamento.
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Vettore spostamento in t molto brevi
Lo spostamento di un punto materiale durante
un intervallo di tempo sempre più piccolo
diventa un vettore tangente alla traiettoria.
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2. Il vettore velocità
Nel moto di un punto materiale sul piano, le
informazioni che riguardano la velocità sono:
la direzione (nella figura, la retta BolognaFaenza);
•
•
il verso (da Faenza a Bologna);
•
il valore, o modulo, della velocità (30 km/h).
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Il vettore velocità
Quindi la velocità è un vettore (il cui punto di
applicazione non è rilevante) definito come:
t finito: velocità media
 t piccolissimo: velocità istantanea

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Il vettore velocità
Il vettore velocità è ottenuto moltiplicando il
vettore spostamento per il numero 1/t:
Perciò ha sempre il verso e la direzione dello
spostamento e la velocità istantanea è tangente
alla traiettoria.
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3. Il vettore accelerazione
Definiamo il vettore accelerazione come:

t finito: accelerazione media

t piccolissimo: accelerazione istantanea
Il vettore accelerazione ha sempre stessa
direzione e verso del vettore
v
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Direzione e verso del vettore accelerazione
In un moto su una curva, il vettore accelerazione
è diretto sempre verso l'interno della curva.
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Direzione e verso del vettore accelerazione
Nel moto rettilineo si ha accelerazione se cambia
il valore scalare della velocità.
Nel moto in un piano si ha un vettore
accelerazione non nullo se:
cambia il valore del vettore velocità
 cambia la direzione o/e il verso del vettore
velocità.
Il vettore accelerazione rappresenta la rapidità
con cui varia il vettore velocità.

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4. Il moto circolare uniforme
E' un moto in cui:
 la traiettoria è una circonferenza;
 il modulo (valore) della velocità non cambia;
il punto materiale percorre archi di circonferenza
che sono direttamente proporzionali ai tempi
impiegati.
P .
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Direzione del vettore velocità
Scegliamo un sistema di riferimento con origine
nel centro della traiettoria.
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Periodo e frequenza
Periodo (T): tempo impiegato a percorrere un
giro completo di circonferenza (es. la lancetta
dei secondi di un orologio ha un periodo di 60
s).
 Frequenza (f): numero di giri compiuti in un
secondo (es. la lancetta dei secondi ha una
frequenza di 1/60 Hz).

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Il valore della velocità istantanea
Poiché nel moto circolare uniforme il modulo della
velocità è costante, il suo valore è dato dal
rapporto s/t , dove:
s = la lunghezza della circonferenza = 2r e
t = il tempo impiegato a percorrerla = T
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5. La velocità angolare
Consideriamo un satellite in moto circolare
intorno alla Terra.
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La velocità angolare
Definiamo velocità angolare  il rapporto tra
l'angolo al centro, , ed il tempo necessario a
spazzarlo, t.
L'angolo  si misura in radianti.
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L'angolo in radianti
La misura di un angolo, espressa in radianti, è il
rapporto tra la lunghezza l dell'arco AB
corrispondente ad  e quella del raggio r della
circonferenza:
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Il valore della velocità angolare
Nel moto circolare uniforme gli angoli al centro
spazzati dal raggio vettore sono direttamente
proporzionali agli intervalli di tempo impiegati.
Per calcolare  prendiamo  = 2 e t = T:
Quindi v si può scrivere:
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6. L'accelerazione centripeta
Nel moto circolare uniforme, il vettore velocità
cambia continuamente in direzione e verso:
quindi c'è un'accelerazione.
Essa è detta accelerazione centripeta perché è
un vettore rivolto sempre verso il centro della
circonferenza.
Si indica con il simbolo
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L'accelerazione centripeta
Costruzione del vettore
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Il valore dell'accelerazione centripeta
Si dimostra che il modulo dell'accelerazione
centripeta è:
poiché v = r,
, da cui
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Dimostrazione delle proprietà di ac (1)
Il vettore velocità compie un giro completo ogni volta
che il raggio vettore percorre un giro, quindi ha lo
stesso periodo T.
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Dimostrazione delle proprietà di ac(2)
Il vettore “velocità della velocità” rappresenta
l'accelerazione centripeta.
La relazione tra a e v è la
stessa che c'è tra v e r:
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7. Il moto armonico
E' il moto di un punto che oscilla avanti e indietro
lungo lo stesso tragitto. Esempi: l'altalena; una
molla appesa al soffitto.
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Il moto armonico
E' il movimento che si ottiene proiettando su un
diametro il moto circolare uniforme di un punto.
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Il grafico spazio-tempo del moto armonico
Per ottenerlo, si può attaccare una penna al pesetto
appeso alla molla e farla tracciare su un foglio che
si srotola a velocità costante:
Foglio fermo
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Foglio in moto a v
costante
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Il grafico spazio-tempo del moto armonico
Si ottiene un grafico periodico
caratterizzato da:
ampiezza: distanza del
massimo spostamento
dall'origine.

periodo (T): durata di
un'oscillazione completa.

frequenza (f) : numero di
oscillazioni in un secondo.

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La legge del moto armonico
Il grafico periodico è quello della funzione
cosinusoide:
•
s: distanza del punto dall'origine.
•
r: raggio della circonferenza.
: velocità angolare del moto circolare o
pulsazione del moto armonico.
•
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La velocità istantanea
Il moto armonico è rettilineo non uniforme:
La velocità è massima al centro e diminuisce verso
gli estremi (dove si annulla).
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8. L'accelerazione del moto armonico
I vettori posizione, velocità e accelerazione del
moto armonico sono le proiezioni dei rispettivi
vettori nel moto circolare uniforme:
posizione
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velocità
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accelerazione
L'accelerazione del moto armonico
Il vettore accelerazione è proporzionale al
vettore posizione ed ha sempre verso opposto.
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L'accelerazione del moto armonico
I triangoli OPQ e LMP sono simili, perciò si può
scrivere la proporzione:
Il segno meno nella formula vettoriale indica che
i due vettori hanno sempre verso opposto.
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9. Composizione di moti
Consideriamo una persona che si sposta su una
nave in movimento:
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Composizione di spostamenti e velocità
Se un corpo è soggetto a due spostamenti
simultanei, lo spostamento complessivo è dato
dalla somma vettoriale dei due spostamenti:
Per le velocità vale la stessa legge: dividendo la
formula per t :
la velocità totale è la somma vettoriale delle
velocità.
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Composizione di velocità
Una ragazza che nuota in direzione
perpendicolare alla spiaggia (fig.A), in presenza
di corrente (fig.B) si muoverà seguendo una
direzione obliqua (fig.C).
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