CONSERVATORIO di MUSICA "G. VERDI"

CONSERVATORIO di MUSICA "G. VERDI" - COMO
Corso di diploma accademico
di primo livello in discipline musicali
Musica elettronica e Tecnologie del suono
IANNIS XENAKIS E LA COMPOSIZIONE ATTRAVERSO LA
STOCASTICA
Relatore
M° Marco MARINONI
Tesi finale di:
Giuliano ANZANI
Matr. 3048
Anno accademico 2013-2014
Dovremmo fare sempre come se fossimo su un ponte
traballante: dovremmo provare ad attraversarlo senza poter
sapere se così facendo andiamo incontro alla caduta o alla
continuità.
I. Xenakis
Indice
1.
Introduzione ........................................................................................................................ 1
2.
La stocastica nella composizione musicale ......................................................................... 4
2.1.
La crise de la musique sérielle ..................................................................................... 4
2.2.
Metastasis..................................................................................................................... 6
2.3.
Pithoprakta ................................................................................................................... 8
3.
Musica stocastica e codifica .............................................................................................. 12
4.
Nuove proposte formali ..................................................................................................... 26
5.
6.
4.1.
La crisi della serie di Fourier ..................................................................................... 26
4.2.
Microcomposizione e distribuzioni di probabilità ..................................................... 29
4.3.
Concetto di variazione poligonale ............................................................................. 32
GENDY ............................................................................................................................. 34
5.1.
Descrizione dell'algoritmo di sintesi stocastica dinamica.......................................... 36
5.2.
Architettura stocastica................................................................................................ 43
5.3.
Implementazione GENDY ......................................................................................... 45
5.4.
GENDY nel live electronics ...................................................................................... 57
Conclusione ....................................................................................................................... 61
Appendice: Creare dal "nulla" .................................................................................................. 63
Bibliografia ............................................................................................................................... 69
1. Introduzione
Nel presente lavoro si effettuerà un'analisi della produzione musicale stocastica di Iannis
Xenakis dal 1953-1954, anno della composizione di Metastasis, al 1994, quando realizzò
l'S709, sfruttando un'estensione dell'algoritmo GENDY.
In quest'arco di tempo, un momento fondamentale dell'evoluzione musicale del
compositore greco fu la pubblicazione, nel 1955, del suo famoso articolo La crise de la
musique sérielle: riflettendo sulla dodecafonia, Xenakis osservò che essa, anziché eliminare il
vincolo della tonalità che aveva regolato la composizione fino a quel momento, aveva
ulteriormente aumentato le restrizioni alla libertà espressiva.
Per ovviare al problema, egli introdusse anche in musica l'uso della stocastica: essa,
avvalendosi del calcolo combinatorio, studia le leggi dei grandi numeri e degli eventi aleatori,
nei quali possono essere compresi anche quelli sonori; rispetto alla dodecafonia, la stocastica
si pone a un livello compositivo superiore, facendo astrazione da tutte le convenzioni e
realizzando un insieme di eventi sonori secondo la successione desiderata.
L'applicazione della stocastica alla musica, secondo il pensiero di Xenakis, è giustificata da
diversi fattori: innanzitutto, la natura del suono è quantica, granulare; in secondo luogo, se a
un momento dato, si effettua una sezione parallela al piano delle frequenze e dei livelli di
ampiezza, l'immagine del suono in quell'istante preciso si presenta come un insieme di nuvole
di punti. La ripartizione geografica di queste nuvole di granuli sonori e la densità di superficie
locale caratterizzano un suono in un dato istante. Le relazioni logiche interne richiedono l'uso
della teoria degli insiemi, mentre quelle d'ordine e di disordine richiedono come misura
l'entropia, poiché la ripartizione in scala microscopica è stocastica.
1
Un esempio magistrale di utilizzo di questa logica, applicata in particolare ai glissandi, è il
brano Metastasis, per grande orchestra, composto tra il 1953-1954 e realizzato nel 1955 al
Festival di Donaueschingen per la direzione di Hans Rosband.
Trattando di Metastasis, osserveremo (cap. 2) come la stocastica sia stata applicata
sfruttando la formula che descrive la teoria cinetica dei gas messa a punto da Maxwell e
Boltzman: essa, in genere, permette di comprendere la distribuzione delle velocità delle
molecole di un gas a una temperatura conosciuta; in Metastasis, fu al contrario sfruttata per
distribuire le velocità dei glissati, considerati come rette disegnate su di un piano cartesiano e
intrecciate tra loro, ottenendo come prodotto delle masse sonore a variazione continua.
In ultima analisi, nel capitolo 5, si procederà a un approfondimento di GENDY, l'algoritmo
ideato da Xenakis e scritto nel 1991 grazie alla collaborazione del CEMAMu (Centre d'Étude
de Mathématique et Automatique Musicales). La sua elaborazione fu il risultato della lunga
riflessione di Xenakis sulle tecniche usate dai compositori di musica elettronica degli anni '60,
in particolare circa l'utilizzo della serie di Fourier nella sintesi sonora, rispetto alle quali egli è
sempre stato critico.
Xenakis propose infatti un nuovo modello di microcomposizione fondata sulla teoria delle
probabilità. L'obbiettivo era quello di costruire lo spettro di un suono interpretando i suoi
elementi costitutivi come processi stocastici, non più partendo da un elemento unitario e dalla
sua ripetizione nel tempo, ma sfruttando variazioni continue come, ad esempio, il movimento
di una particella intorno a un punto di equilibrio.
Questo presupposto ha rappresentato la base del software GENDY, che è stato utilizzato
per la produzione dei seguenti brani: Gendy3 (1991), Gendy301 (1991) e S709 (1994).
2
Allo studio del funzionamento dell'algoritmo citato ne seguirà (cap. 5.3) l'implementazione
nel software Pure Data, con la quale cercherò di riprodurre le sonorità tipiche di GENDY in
tempo reale, così da poterne variare i parametri e verificarne direttamente l'effetto.
Nell'ultima sezione (cap. 5.4), presenterò infine un mia personale interpretazione di
GENDY, denominata 8Voices, nel quale ho ripreso l'algoritmo implementato in Pure Data
riproponendolo in una nuova veste, ossia un'interfaccia dedicata al live electronics che
permette la manipolazione della sintesi stocastica prodotta dal vivo e soggetta ai parametri di
interpretazione musicale propri della situazione concertistica.
3
2. La stocastica nella composizione musicale
2.1. La crise de la musique sérielle
Nel 1955, Iannis Xenakis, nell'articolo La crise de la musique sérielle, apparso sul primo
numero della rivista Gravesaner Blätter, esprimeva la sua insoddisfazione nei confronti della
dodecafonia, affermando che, ben lungi dall'arricchire la fruizione della musica da parte
dell'ascoltatore, la rendeva talmente complessa che riusciva difficilmente comprensibile.
Inoltre, essa veniva meno all'obbiettivo che si era posta: creare un nuovo linguaggio musicale
che superasse i limiti o le rigidità del sistema tonale. Egli osservava:
«La polifonia lineare si autodistrugge a causa della sua attuale complessità. Ciò
che si ascolta è in realtà soltanto un ammasso di note su diversi registri. La
complessità enorme impedisce all'ascoltatore di seguire l'intrecciarsi delle linee,
con l'effetto macroscopico di una dispersione irrazionale e casuale dei suoni su
tutta l'estensione dello spettro sonoro. Di conseguenza, c'è contraddizione tra il
sistema polifonico lineare e il risultato che si sente, che è superficie, massa.
Questa contraddizione inerente alla polifonia scomparirà quando l'impedenza dei
suoni sarà totale. Se infatti le combinazioni lineari e le loro sovrapposizioni
polifoniche non fossero più operative, a contare sarebbe piuttosto la media
statistica degli stati isolati di trasformazione delle componenti a un momento dato.
L'effetto macroscopico sarà allora controllato tramite la media dei movimenti
degli n oggetti da noi scelti. Verrà introdotta, di conseguenza, la nozione di
probabilità, che d'altra parte implica precisamente il calcolo combinatorio.»1
Per risolvere la contraddizione insita nella dodecafonia, Xenakis propone di applicare
anche in ambito musicale la stocastica, in particolare la teoria della probabilità e di
conseguenza il calcolo combinatorio.
La dodecafonia, basata sulla serialità, seguiva uno sviluppo lineare consistente nell'utilizzo
di una serie definita di dodici note poste in relazione soltanto l'una con l'altra, come affermava
lo stesso Schönberg, creatore del metodo. Il suo approccio però non teneva conto delle
variabili che dipendono dall'ambiente.
1
Xenakis, Iannis, "La crise de la musique serielle", Gravesaner Blatter, n. 1, 1955 (tr. it. di Agostino Di Scipio,
Iannis Xenakis - Universi del suono - Scritti e interventi 1955-1994, Milano 2003, p. 29).
4
«La musica ha avuto e avrà sempre un aspetto sensoriale, per la sua stessa
essenza, un aspetto sensoriale. [...] La musica è un messaggio (veicolato dalla
materia) tra la natura o l'uomo, o un messaggio degli uomini tra loro, perciò deve
poter parlare a tutta la gamma delle percezioni e dell'intelligenza umana.»2
Non si può tuttavia negare che, senza la spinta data dalla serialità, la ricerca musicale del
secondo novecento non avrebbe avuto luogo; nella fattispecie, essa diede a Xenakis lo spunto
per introdurre la teoria della probabilità in campo musicale. La dodecafonia, con la quale la
seconda scuola di Vienna cercò di formalizzare una base funzionale e strutturalista per la
composizione musicale, seguiva una logica seriale deterministica.
Xenakis decise di sfruttarla eliminandone però l'eccessivo rigore e portandola a un livello
più astratto. Egli sfruttò pertanto la teoria della probabilità e la stocastica, teoria matematica,
quest'ultima, che descrive i comportamenti caotici presenti in natura. Nel 1954, Xenakis
definì pertanto il suo approccio musica stocastica, evidenziando così quanto le sue leggi
fossero indispensabili ai fini del controllo dei parametri implicati dal suo personale approccio
compositivo.
La stocastica può essere applicata a tutte le fonti sonore. Essa studia le leggi dei grandi
numeri e degli eventi rari, nei quali si possono includere fenomeni sonori quali, ad esempio, il
frinire delle cicale oppure l'impatto della pioggia su una superficie rigida e risonante o ancora
il suono emesso da un contatore Geiger in presenza di una sostanza radioattiva.
L'interesse di Xenakis nei confronti di questi fenomeni naturali, composti da un vasto
numero di eventi sonori, trova applicazione in una serie di lavori che impiegano i gesti
musicali di natura granulare o continua che possono essere eseguiti da un'orchestra, come i
pizzicati degli strumenti a arco, le percussioni e i glissandi.
2
Op. cit., pp. 29-30.
5
2.2. Metastasis
Un esempio rilevante di utilizzo di questa logica, applicata in particolare ai glissandi, è il
brano Metastasis, per grande orchestra, composto tra il 1953 e il 1954 e realizzato nel 1955 al
Festival di Donaueschingen per la direzione di Hans Rosband.
Xenakis, nell'opera sopracitata, costruisce un'entità sonora che si evolve sia in modo
continuo che discontinuo; per tale scopo, egli usa come strumento di verifica il glissando
degli strumenti ad arco (un'orchestra può generarne contemporaneamente un numero che
varia tra i quarantacinque e i cinquanta) e le percussioni, in particolare i colpi woodblock.
Xenakis immagina ciascun evento sonoro come una retta compresa tra due punti su un
piano cartesiano in cui si abbia sull'asse delle ordinate una scala in semitoni temperati e
sull'asse delle ascisse il tempo trascorso; egli definisce poi un glissando, in termini
matematici, come il rapporto tra la variazione dei semitoni in un dato lasso di tempo:
g=
∆𝑠
∆𝑡
[1]
dove g = velocità del glissando, Δs = variazione semitoni e Δt = intervallo tempo.
Il compositore greco traduce poi la formula sopra riportata in un grafico dell'intera opera e
successivamente trasforma quest'ultimo in una partitura che descrive uno spazio sonoro a
variazione continua. Il metodo descritto permette a Xenakis di costruire un numero
ipoteticamente infinito di opere musicali attraverso una semplice tecnica esecutiva. Tra l'altro,
la tendenza di Xenakis a partire dalle forme geometriche per poi arrivare a una partitura è
riconducibile anche alla sua attività di architetto: che musica e architettura per lui procedano
in parallelo e si influenzino reciprocamente si vede infatti ad esempio nella struttura del
6
Padiglione Philips (Bruxelles, 1958) i cui progetti architettonici si ispirarono ai grafici di
Metastasis3.
Il compositore greco controlla poi la tessitura sonora del brano sfruttando la teoria cinetica
dei gas messa a punto da Maxwell e da Boltzman: essa permette di comprendere, in fisica, la
distribuzione delle velocità delle molecole di un gas a una temperatura conosciuta, e in musica
il parametro della probabilità di esistenza della velocità v in una data ―atmosfera sonora‖
determinata dalla costante di temperatura α, da cui la formula utilizzata:
𝑓(𝑣) =
2
𝛼 𝜋
𝑒
−𝑣2
𝛼2
[2]
questa formula rappresenta una distribuzione gaussiana o normale della probabilità di
esistenza della velocità v.
3
Xenakis, Iannis, Formalized Music – Thought and Mathematics in Composition, ―Harmonologia Series N°6‖,
revised edition, Stuyvesant NY, Pendragon Press, 1992, p. 10.
7
2.3. Pithoprakta
Anche in Pithoprakta, composizione per orchestra d'archi scritta tra il 1955 e il 1956, è
applicata la formula [2] per determinare la velocità dei glissandi a una ―temperatura‖ α = 35.
Nell'immagine alla pagina seguente (Figura 1), si può osservare una rappresentazione grafica
dell'insieme delle suddette velocità su un piano cartesiano che descrive le battute da 52 a 60.
Il tempo è riportato sull'asse delle ascisse (5 cm corrisponde a una semiminima a 26 BPM),
mentre sull'asse delle ordinate è indicata l'altezza (0,25 cm sul grafico corrisponde a un
semitono). Nel grafico è visibile un insieme di segmenti, ciascuno corrispondente a uno
strumento a corda (in totale sono quarantasei); la pendenza delle rette rappresenta la velocità
del glissando.
Il grafico in Figura 1 ha la durata di 18,5 secondi e riproduce 1142 velocità distribuite in 58
valori distinti secondo la legge di Gauss [2].4
Una volta tradotto il grafico in notazione musicale, si ottiene una massa sonora in cui:
4

le durate non variano;

le altezze sono continuamente modulate;

la densità dei grani sonori è costante;

la dinamica è stabilita a ff;

i timbri non mutano per la durata della sezione.
Op. cit., p. 15.
8
Figura 1: grafico originale di Pithoprakta
9
Il medesimo percorso matematico interessa due parametri: durata e altezza.
Considerando il tempo come una linea retta su cui vengono inseriti casualmente n punti, la
distanza fra due punti indica la durata di un evento; stabilita una media di punti su un
segmento dato corrispondente a un tempo x, Xenakis si chiede di quanto si possano far variare
le durate ottenute.
Egli risolve il quesito sfruttando le leggi delle probabilità continue, da cui ottiene la
seguente formula di distribuzione:
𝑃𝑥 = 𝛿𝑒 −𝛿𝑥 𝑑𝑥
[3]
dove δ è la densità lineare dei punti e x è la lunghezza di un segmento qualsiasi. La
deviazione standard è definita da:
1
𝜎=
𝛿
[4]
di cui Xenakis stabilisce che variazioni di ± 5 σ sono improbabili.
Associando un'altezza a una durata ricavata dal precedente ragionamento, grazie alla
formula di Poisson possiamo ricavare la probabilità di distribuzione di questo parametro:
𝑃𝜇 =
𝜇
𝜇0
𝜇!
𝑒𝜇0
[5]
dove µ0 corrisponde alla densità media, μ è una densità qualsiasi e la deviazione standard è
𝜎=
𝜇0
[6]
all'interno della quale, come per le durate, Xenakis considerava uno scarto tipo di ± 5 σ
improbabile.
Il procedimento effettuato per la distribuzione delle altezze può essere applicato sia alla
dinamica e sia al timbro.
10
Questo fu il punto di partenza dal quale Xenakis sviluppò il metodo probabilistico che
portò la sua musica a essere definita stocastica.
Attraverso i procedimenti probabilistici, si è in grado di:
1. controllare trasformazioni continue di complessi di suoni granulari e/o di suoni
continui. Variabili come densità, velocità, durata e altezza del suono, se
opportunamente approssimate, sono riconducibili alle leggi dei grandi numeri. Con
l'aiuto di medie e deviazioni standard si possono calcolare le direzioni in cui si
sviluppano gli agglomerati sonori. La più nota - afferma Xenakis - è quella che va
dall'ordine al disordine e viceversa e che introduce il concetto di entropia5;
2. verificare il comportamento di una trasformazione instabile quando si riscontrano
valori molto distanti dalla deviazione standard;
3. costruire atmosfere sonore molto rarefatte avvalendosi di un unico strumento con i
valori ricavati ad esempio dall'applicazione della legge di Poisson;
4. stabilire, mediante la teoria degli errori di Gauss, l'identità di variazione, ossia entro
quali limiti un ritmo iniziale A possa variare senza diventare B. A tal fine, si definisce
staticamente A sulla base della deviazione standard, calcolando le percentuali massime
di variazione ammissibili per mantenere l'identità di A. Il tema dell'identità può inoltre
essere generalizzato non solo al ritmo ma a tutte le componenti del suono e anche a
insiemi di suoni.
5
In meccanica statistica, il temine entropia indica una grandezza riferita a misurare il disordine in un qualsiasi
sistema fisico come ad esempio l'universo.
11
3. Musica stocastica e codifica
La musica si è sempre basata su convenzioni: regole di composizione e di esecuzione, che,
se da una parte limitavano il compositore costringendolo a rispettare, ad esempio, il vincolo
della tonalità, dall'altra però gli garantivano anche una certa libertà esecutiva. A tal proposito,
la stocastica segna una svolta: alla massima libertà compositiva corrisponde infatti il venir
meno dell'esecutore umano sostituito dal calcolatore, che si limita a eseguire le istruzioni
fornitegli da un algoritmo.
Qualcosa di simile si ritrova nel lavoro del compositore e matematico francese Michel
Philippot: egli applicò infatti alla musica il concetto di "macchina mentale", ossia una serie di
decisioni tradotte successivamente in un algoritmo (ne è un esempio Composition for Double
Orchestra, 1959).
Figura 2: diagramma del primo movimento di Composition for Double Orchestra
12
Xenakis, ricollegandosi a Philippot, affermava che un'opera musicale può essere vista come
una serie di macchine mentali6. Egli adottò dunque la matematica come strumento
compositivo, mostrandone il valore ai fini della creazione di un nuovo tipo di arte
formalizzata.
Nel 1960, grazie all'amico Georges Boudourius del CNRS (Centre National de la
Recherche Scientifique), il compositore greco poté sperimentare i suoi processi compositivi
basati sulla stocastica sul calcolatore IBM-7090, che possedeva una potenza di calcolo di
circa cinquecentomila operazioni elementari al secondo, producendo ST/10,1-0802627,
eseguito la prima volta nella sede francese della IBM il 24 maggio 1962 dall'Ensemble
Instrumental de Musique Contemporaine di Parigi con la direzione del M° Costantin
Simonovic. La complessità del brano era tale da richiedere un'ora di calcolo da parte della
macchina. ST/10,1-080262 ben esemplifica l'idea di stocastica come percorso compositivo
sospeso tra matematica e musica o, con le parole di Xenakis, "evoluzione musicale che si
svolge nel campo della meta-composizione"8.
In ST/10,1-080262, Xenakis riflette sulla possibilità di costruire, sfruttando la stocastica,
un processo musicale con il minor numero possibile di regole compositive. Egli, come punto
di partenza, ipotizza le seguenti condizioni essenziali di un'opera musicale:
- l'esistenza di una o più sorgenti sonore e di persone che ne usufruiscano, ad esempio un
certo numero di strumenti musicali e di esecutori;
- la capacità dell'esecutore di produrre dei suoni applicando una tecnica musicale.
6
Xenakis, Iannis, Formalized Music, pp. 39-42.
In ST/10,1 ST sta per stocastica, mentre 10 si riferisce all'organico (dieci strumentisti). 1-080262 indica che è la
prima opera stocastica, elaborata l'8 febbraio 1962.
8
Xenakis, Iannis, Musique.Architecture, Casterman, Tournai, 1976 (tr.it di Letizia Lionello, Giancarlo Secco e
Angelo Varese, Musica. Architettura, Milano, Spirali, 1982, p. 28).
7
13
Partendo da questi due punti e con l'utilizzo della stocastica, in particolare attraverso la
leggi degli eventi rari (la legge di Poisson), Xenakis elaborò una forma musicale che gli
permettesse di costruire un brano in cui fossero presenti il minor numero di regole
compositive tra gli eventi sonori.
Il primo brano nel quale il compositore greco adottò questo criterio fu Achorripsis, per
ventuno strumenti scritto tra il 1956 e il 1957 e eseguito nel 1958 a Buenos Aires per la
direzione di Hermann Scherchen. In esso Xenakis definisce uno specifico tipo di musica
stocastica detta "libera", poiché ciascun evento sonoro è in correlazione solo con se stesso.
Quest'ultima si differenzia tuttavia dalla musica "aleatoria" vera e propria, introdotta alla
fine degli anni cinquanta dai compositori neoserialisti per uscire dai sistemi tradizionali senza
ricorrere alla dodecafonia. Con "musica aleatoria" si intende un tipo di musica in cui diversi
elementi della composizione vengono lasciati al caso e/o in cui alcuni aspetti fondamentali
nella realizzazione del lavoro di composizione sono affidati alle libere decisioni
dell'esecutore. Se la libertà di improvvisazione è limitata a specifici parametri (ad esempio
l'improvvisazione tra determinate altezze) si parla di "alea controllata". Il termine è spesso
associato a procedure nelle quali l'elemento casuale viene circoscritto ad un numero
relativamente basso di possibilità.
Xenakis non condivise questo approccio in quanto esso non è in grado di relazionare
efficacemente la natura del fenomeno musicale, evento raro e complesso che risponde a
specifiche leggi matematiche (ad esempio la legge di Poisson) non riproducibili mediante la
semplice improvvisazione. Inoltre la musica aleatoria, anziché ampliare le possibilità
espressive, le riduce notevolmente, al contrario di quanto avviene nella stocastica, intesa come
utilizzo della teoria della probabilità ai fini del controllo musicale.
Tornando ad Achorripsis, Xenakis vi applicò un nuovo metodo di composizione
formalizzato in diagrammi a blocchi (Figura 3): la scrittura del brano divenne dunque una
14
serie di istruzioni e di condizioni da rispettare, simile a quella usata in un linguaggio orientato
alle macchine. Nel pensiero musicale che sta alla base di Achorripsis si può anche ritrovare
l'origine dell'algoritmo poi utilizzato per ST/10,1-0802621.
Figura 3: estratto del diagramma a blocchi di Achorripsis
15
L'implementazione in linguaggio macchina dell'algoritmo ST, viene descritta da Xenakis
(Formalized music, 1992) in undici punti:
1. il lavoro è costituito da una serie di sequenze o eventi sonori ai quali è associata
una durata in secondi ai. Ciascuna durata è indipendente dalle altre ed è in
relazione al parametro "media delle durate". Ciascuna durata è ricavata dalla
formula:
𝑃𝑎𝑖 = 𝑐𝑒 −𝑐𝑎 𝑖 𝑑𝑎𝑖
[7]
dove c è la densità lineare9, e è la costante di Nepero10 e dai è l'incremento della
funzione per cui 𝑎𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑑𝑎𝑖 ;
2. viene definita una densità media di suoni emessi all'interno di un evento di durata
ai. La densità media dei cluster sonori è determinata dal rapporto tra il numero di
suoni Nai rispetto alla durata dell'evento ai, ossia Nai /ai (n° suoni/sec.). In generale,
si può affermare che il valore della densità è determinato dal numero di
strumentisti e dalle loro capacità esecutive.
Nel brano ST10,1-080262 è stata calcolata arbitrariamente una densità massima di
circa 44.4 n° suoni/sec. e un limite inferiore di 0.11 n° suoni/sec. Xenakis adotta
una progressione logaritmica in base naturale e, per mantenere una coerenza nel
percorso musicale, introduce un fattore di "memoria" tra una sequenza e la
successiva con la seguente formula:
(𝐷𝐴)𝑖 = (𝐷𝐴)𝑖−1𝑒 ±𝑥
[8]
9
La densità lineare c viene definita come il rapporto di un determinato numero di punti n posti su di un segmento
di dimensione l :
𝑐 = 𝑛/𝑙
10
Costante di Nepero e = 2.718282...
16
dove (DA)i è la densità calcolata rispetto alla precedente (DA)i-1, in cui x è una linea
qualsiasi ricavata da una porzione di segmento di lunghezza s. La probabilità di x è
data da:
𝑃𝑥 =
2
𝑠
𝑥
1 − 𝑠 𝑑𝑥
[9]
quindi si avrà che il numero di suoni Nai sarà uguale alla densità (DA)iai:
𝑁𝑎𝑖 = (𝐷𝐴)𝑖𝑎𝑖
[10]
3. sono determinati gli strumenti che l'orchestra Q utilizza durante una sequenza ai.
Essi sono stati suddivisi in r classi di timbri (ad esempio: flauti e clarinetti, oboi e
fagotti, ecc...). La composizione dell'orchestra è ricavata mediante formule usate
nella stocastica ed è in stretta relazione con la densità sonora: quest'ultima
variabile dipende dalla numero e dal tipo di strumenti presenti durante un evento
ai. La formula matematica è espressa nel seguente modo:
𝑄𝑟 = 𝑛 − 𝑥 𝑒𝑛,𝑟 − 𝑒𝑛+1,𝑟 + 𝑒𝑛,𝑟
[11]
in cui r è il numero della classe strumentale, x è il logaritmo naturale del rapporto
tra la densità (DA)i e il limite inferiore della densità V3 (0.11 n° suoni/sec.) e n è un
numero positivo razionale;
4. definire il momento in cui un suono N si manifesta all'istante ai. La densità media
dei punti o suoni da distribuire all'interno di un evento ai è uguale a:
𝑘=
𝑁𝑎𝑖
𝑎𝑖
[12]
e l'intervallo di separazione tra i suoni è ricavato dalla formula [7], ossia:
𝑃𝑡 = 𝑘𝑒 −𝑘𝑡 𝑑𝑡;
[13]
17
5. attribuire uno specifico tipo di suono a uno strumento appartenente a un insieme Q.
Partendo dalla composizione dell'orchestra viene ricavato, da una tabella arbitraria,
lo strumento n secondo la probabilità pn. La distribuzione degli strumenti non è
molto chiara, viene definita dallo stesso Xenakis "delicata e complessa"11;
6. l'altezza è definita come funzione dello strumento. Utilizzando come punto di
partenza il Sib0 (29,14 Hz), si ricava una scala cromatica in semitoni suddivisa in
85 gradi. Il registro di emissione di ciascuno strumento viene specificato come s,
ossia la distanza in semitoni espressa da un numero naturale. Ma l'altezza hu di un
suono è espressa mediante un numero decimale il cui intero si riferisce alla nota
della scala cromatica in cui è inserito il registro dello strumento. Come per la
densità, anche per l'altezza Xenakis utilizza un fattore di memoria tra un'altezza
espressa in Hz e la successiva, definita da:
ℎ𝑢 = ℎ𝑢 −1 ± 𝑧
[14]
dove z è una funzione stocastica definita dalla formula di probabilità già utilizzata
al punto 2:
𝑃𝑧 =
2
𝑠
𝑧
1 − 𝑠 𝑑𝑧
[15]
in cui Pz è la probabilità di un intervallo z, ricavato casualmente dal registro s, e s è
espresso come la differenza tra il valore dell'altezza più acuto e quello più grave
che può essere eseguita sullo strumento scelto;
7. se la classe r (ossia il numero della classe strumentale) è caratterizzata da un
glissando, le si attribuisce, come in Pithoprakta, una velocità ricavata dalla
formula della distribuzione gaussiana:
𝑓(𝑣) =
11
2
𝛼
−𝑣2
𝑒 𝛼2
𝜋
[16]
Xenakis, Iannis, Formalized Music, p. 138.
18
e trasformando 𝑣/𝑎 = 𝑢, avremo che
𝑇 𝑢 =
𝑢
𝜋 0
2
2
𝑒 𝑢 𝑑𝑢
[17]
La probabilità di esistenza della velocità v (espressa in semitoni/sec.) è definita
dalla funzione f(v) dove a è un parametro proporzionale alla deviazione standard s,
per cui 𝑎 = 𝑠 2.
a è definita come la funzione logaritmica della densità di una sequenza ai nella
funzione inversamente proporzionale
𝑎 = 𝜋 30 −
20
𝑅
ln
𝐷𝐴 𝑖
𝑉3
,
[18]
ln
𝐷𝐴 𝑖
𝑉3
,
[19]
o nella funzione direttamente proporzionale
𝑎 = 𝜋 10 +
20
𝑅
o ancora nella funzione indipendente dalla densità
𝑎 = 17.7 + 35𝑘,
[20]
dove k è un numero casuale equidistribuito tra 0 e 1.
Le costanti delle formule [18] e [20] derivano dai limiti delle velocità dei glissandi
che possono essere eseguiti dagli strumenti ad arco. Perciò per (𝐷𝐴)𝑖 = 145 n°
suoni/sec e 𝑉3 = 0.11 n° suoni/sec. avremo
𝑎 = 53.2 semitoni/sec.
2𝑠 = 75 semitoni/sec.,
e per (𝐷𝐴)𝑖 = 0.13 n° suoni/sec. avremo
𝑎 = 17.7 semitoni/sec.
19
2𝑠 = 25 semitoni/sec.;
8. attribuire una durata x ai suoni emessi. Per semplificare stabiliamo una durata
media per ciascun strumento, che è indipendente dal timbro, il quale potrà essere
modificato a seconda delle necessità in fase di trascrizione in notazione
tradizionale. I seguenti vincoli sono stati presi in considerazione per il calcolo
della durata x:
-
G = limite massimo della durata;
-
(DA)i = densità della sequenza;
-
qr = probabilità della classe strumentale r;
-
pn = probabilità dello strumento n.
Se si definisce z come un parametro della durata del suono, z sarà inversamente
proporzionale alla probabilità dell'esistenza dello strumento, ossia:
1
𝑧 = (𝐷𝐴) 𝑝
[21]
𝑖 𝑛 𝑞𝑟
in cui z assumerà il valore massimo quando il prodotto di (DA)i pn qr sarà al
minimo, in questo caso avremo che zmax= G.
Applicando invece una funzione logaritmica a z, se ne bloccherà la crescita; avremo
che:
ln 𝑧
𝑧 ′ = 𝐺 ln 𝑧
𝑚𝑎𝑥
.
[22]
Poiché si ammetterà una totale indipendenza, la distribuzione delle durate x sarà
gaussiana:
𝑓 𝑥 =
1
𝑠
𝑒
2𝜋
(𝑥 −𝑚 )2
2𝑠 2
−
[23]
20
in cui m è la media aritmetica di tutte le durate, s la deviazione standard, e
𝑚 − 4.25𝑠 = 0
[24]
𝑚 + 4.25𝑠 = 𝑧′
[25]
il sistema lineare che calcolerà le costanti m e s. Assumendo che 𝑢 = (𝑥 − 𝑚)/𝑠 2
troveremo la funzione T(u).
Infine, la durata x di un suono sarà data dalla relazione
𝑥 = ±𝑢𝑠 2 + 𝑚;
[26]
9. assegnare una forma di dinamica per i suoni prodotti. Vengono definite quattro
zone significative di intensità: ppp, p, f, ff. Ne vengono scelte arbitrariamente tre
alla volta in relazione tra loro attraverso simboli dinamici di crescendo e
diminuendo, ottenendo 64 combinazioni possibili, di cui 44 tra loro differenti (ad
esempio ppp<f>p);
10. le medesime operazioni sono applicate a ciascun cluster sonoro Nai;
11. le stesse operazioni vengono calcolate per ciascuna sequenza ai.
Successivamente, Xenakis tradusse e implementò il processo qui descritto nel linguaggio
macchina Fortran IV. Il Fortran (Formula Translation) è un linguaggio di programmazione
sviluppato a partire dal 1954 da un gruppo di ricerca della IBM diretto da John Backus e
progettato principalmente per il calcolo scientifico e numerico, ma di cui esistono anche
implementazioni con codice interpretato. Ne è un esempio il software ST che Xenakis utilizzò
per produrre le tabelle con i parametri di durata, altezza,intensità, ecc., utilizzati ad esempio
nella composizione di ST10,1-080262.
Inoltre, per utilizzarle nel suo algoritmo, il compositore greco, in Formalized music (1992),
convertì le equazioni di probabilità in espressioni discrete. Partendo dal presupposto che un
21
computer possa generare valore casuali equamente distribuiti tra 0 e 1, si può proporzionare
questa distribuzione a seconda del tipo di legge interessata. Le leggi della probabilità di cui
Xenakis si avvale sono due (prima e seconda legge).
Come prima legge egli determina la formula
𝑃𝑥 = 𝑐𝑒 −𝑐𝑥 𝑑𝑥
[27]
utilizzata per il calcolo del parametro della durata, che viene definita come la lunghezza x di
un segmento qualsiasi ricavato da una linea di lunghezza l; il parametro c indica la densità
lineare 𝑐 = 𝑛/𝑙, vale a dire il rapporto di n punti posti su una linea di dimensione l. Quindi la
probabilità di avere un segmento di lunghezza xi sarà compresa fra x e x+dx.
La sua implementazione tradotta in espressione discreta sarà:
𝑦0 = −
ln (1−𝑥 0 )
𝑐
[28]
dove x0 è un numero maggiore o uguale a 0 e x0 è una variabile aleatoria equidistribuita tra 0 e
1.
Figura 4: grafico di distribuzione del valore y0 rispetto alla densità lineare c
22
In Figura 4 è possibile osservare il grafico di distribuzione dell'equazione 28 rispetto al
parametro della densità lineare c: la funzione ha andamento logaritmico e con il crescere di c
si avranno valori di y0 distribuiti vicino a 0.
La seconda legge viene definita da Xenakis attraverso la seguente formula:
2
𝑗
𝑓 𝑗 𝑑𝑗 = 𝑎 1 − 𝑎 𝑑𝑗
[29]
che è utilizzata per determinare quei parametri che costruiscono un intervallo con il
precedente (es. altezza, intensità, ecc.). Ogni intervallo viene considerato un segmento AB i
cui estremi costituiscono rispettivamente i limiti inferiore (A) e superiore (B) della variabile
controllata. Si tratta quindi di definire di un qualsiasi segmento di lunghezza j compreso tra j e
j + dj con j compreso tra 0 ≤ j ≤ AB.
La sua implementazione sarà:
𝑦0 = 𝑎 1 −
1 − 𝑥0
[30]
con x0 compreso fra 0 e a, e a corrispondente al limite massimo ottenibile da questa
distribuzione.
23
Figura 5: grafico di distribuzione del valore y0 con limite superiore a = 10.
La distribuzione denota un andamento esponenziale della variabile y0.
L'algoritmo ST, usato per la composizione dell'opera musicale ST/10, 1-080262, è stato
inoltre impiegato per la scrittura dei seguenti brani: ST/48, 1-24016212, per grande orchestra,
commissionato dalla RTF (Radiodiffusion-Télévision Française); ST/4, 1-08026213, per
quartetto d'archi; Morisma-Amorisma (ST/4, 2-03076214), per quattro strumenti solisti; infine
Atrées (ST/10, 3-06096215), per dieci solisti.
Nel capitolo Free Stochastic Music by Computer, presente nel testo Formalized Music,
Xenakis osserva come lo sviluppo tecnico che ha portato all'invenzione del calcolatore abbia
contribuito ad ampliare la ricerca compositiva nei suoi lavori, sopratutto mediante l'utilizzo
della stocastica che richiedeva un complesso numero di calcoli.
12
Prima opera stocastica per 48 strumenti, elaborata il 24 gennaio 1962.
Prima opera stocastica per 4 strumenti, elaborata l'8 febbraio 1962.
14
Seconda opera stocastica per 4 strumenti, elaborata il 3 luglio 1962.
15
Terza opera stocastica per 10 strumenti, elaborata il 6 settembre 1962.
13
24
«Liberato da calcoli tediosi, il compositore è in grado di dedicarsi ai problemi
che la nuova forma musicale pone ed esplorare le nicchie e gli antri di questa
forma, mentre modifica i valori in entrata dei parametri. Ad esempio, egli può
testare tutte le combinazioni possibili partendo da uno strumento solista fino ad
arrivare ad un'orchestra da camera, o addirittura una grande orchestra. Con
l'ausilio del calcolatore elettronico, il compositore diventa una sorte di pilota:
preme pulsanti, introduce le coordinate e controlla i comandi di una nave cosmica
in uno spazio sonoro, attraverso costellazioni e galassie che poteva intravedere
solo come un sogno lontano. Ora egli può esplorare a suo agio, seduto su una
poltrona.»16
La progettazione dell'algoritmo ST
ha portato Xenakis verso una ulteriore fase
compositiva, in cui egli ipotizza l'utilizzo di un convertitore digitale-analogico (DAC), ossia
un componente elettronico in grado di produrre sul suo terminale di uscita un determinato
livello di tensione o di corrente, in funzione di un valore numerico che viene presentato al suo
ingresso; introducendo anche la sintesi audio nella musica stocastica.
Nel 1991 il primo prodotto di questo pensiero fu il brano elettroacustico GENDY3, derivato
dall'omonimo software di sintesi sonora stocastica, in cui sia la forma musicale che il suono
stesso sono completamente creati dal programma sopracitato, qui approfondito nel capitolo 5.
16
Xenakis, Iannis, Formalized Music, p. 144.
25
4. Nuove proposte formali
4.1. La crisi della serie di Fourier
L'analisi armonica utilizzata nella ricerca musicale degli anni '50 ha sviluppato, nel campo
dell'acustica, lo studio dei suoni naturali, permettendo di effettuare i primi esperimenti di
sintesi sonora, con la conseguente invenzione dell'oscillatore analogico - uno specifico
circuito elettronico in grado di generare frequenze d'onda. La creazione di questi strumenti fu
fondamentale per la verifica degli studi effettuati sull'analisi spettrale dei suoni.
L'analisi armonica è una branca dell'analisi matematica che studia le rappresentazioni di
funzioni complesse come sovrapposizioni di onde fondamentali. Essa è basata sulla serie di
Fourier, che prende il nome dal matematico Jean Baptiste Joseph Fourier: egli, nei primi anni
dell'ottocento, dimostrò che una qualunque funzione continua può essere scomposta come
sommatoria di infinite funzioni sinusoidali. Questa teoria è stata applicata nell'elaborazione
numerica dei segnali ed in particolare nella sintesi sonora di suoni complessi.
Xenakis osserva come l'utilizzo della sintesi audio per mezzo di generatori di forme d'onda
non abbia permesso alla musica elettronica degli anni '60 di ottenere sonorità sufficientemente
espressive, producendo al contrario timbri estremamente semplici che ricordavano i rumori di
fondo della radio o dei circuiti a eterodina. Gli esperimenti compositivi della Musique
Concréte, iniziati dal compositore francese Pierre Schaeffer, permisero alla musica elettronica
"pura", derivata dalla sintesi tramite oscillatori, di acquistare importanza, combinandosi con i
suoni "concreti"17.
A sostegno della critica nei confronti dell'utilizzo della serie di Fourier per la produzione di
suoni sintetici mossa dal compositore greco, durante la metà degli anni '50 il fisico Werner
17
Con il termine concreto si definisce una qualsiasi fonte sonora registrata su supporto e riprodotta elettroacusticamente.
26
Meyer-Eppler si dedicò a una serie studi di acustica focalizzati sull'emissione degli strumenti
orchestrali, in cui egli, attraverso l'analisi spettrale, dimostrò come l'andamento delle
frequenze e delle ampiezze presentassero un lieve grado di aleatorietà nel tempo. La presenza
di tali variazioni rappresenterebbe, dal punto di vista percettivo, la differenza tra un suono
vitale e uno statico.
Xenakis considerava la stocastica come una possibile soluzione al problema dei suoni della
musica elettronica pura: essa richiedeva calcoli molto complessi che, quando il compositore
greco propose questa ipotesi (New Proposals in Microsound structure, 1977), i calcolatori
non erano ancora in grado di effettuare; oltre a questo, sarebbe stato necessario aggiungere
tutte le informazioni relative ai transienti di attacco, parte fondamentale per il riconoscimento
di un timbro. Negli anni '90, Xenakis, riprendendo quest'idea, poté formalizzare una
particolare tecnica di sintesi non-standard, da lui definita sintesi stocastica dinamica.
L'approccio alla serie di Fourier nella sintesi audio di suoni strumentali risultava
un'approssimazione non abbastanza accurata per descrivere la complessità dello spettro
frequenziale di un suono reale e quindi non garantiva quella vivacità espressiva richiesta dal
sistema percettivo umano.
Un esempio di questo approccio può essere riscontrato nell'utilizzo della sintesi additiva
come tecnica di generazione di suoni reali. Partendo da un oscillatore sinusoidale, il quale
rappresenta la componente base di un qualsiasi suono secondo la serie di Fourier, si possono
ottenere suoni di durata x ad un'opportuna frequenza fondamentale f. La sintesi additiva
consiste nella somma di un determinato numero di oscillatori, la cui frequenza viene stabilita
in base al rapporto tra ciascuna componente parziale del suono da riprodurre. La prima
componente parziale viene definita fondamentale.
27
Questa tecnica permette di ottenere qualsiasi tipo di spettro, ma data la complessità di un
suono concreto, si dovrebbe poter controllare ogni singolo istante della frequenza e
dell'ampiezza di ognuna delle parziali che compongono lo spettro - processo questo
difficoltoso e macchinoso.
28
4.2. Microcomposizione e distribuzioni di probabilità
Xenakis, non trovando sufficientemente efficace il cammino perseguito dalla ricerca
musicale nella sintesi sonora mediante l'analisi armonica di suoni complessi, intraprese un
nuovo percorso di ricerca finalizzata alla microcomposizione. Anziché partire dalla
giustapposizione di elementi semplici per generare strutture complesse, il compositore greco
decise di sfruttare il concetto di entropia inteso come grado di disordine di un sistema e di
utilizzare quei mezzi che permettano di aumentarne o di diminuirne il grado di caoticità. I
processi stocastici diventarono così i mattoni fondamentali per la costruzione di strutture
complesse.
Ne sono un esempio le variazioni di pressione di una particella che si sposta in modo
imprevedibile intorno a una posizione d'equilibrio: questo tipo di movimento viene descritto
dal moto Browniano, che è l'analogo della camminata casuale (random walk). Con il termine
"moto browniano" ci si riferisce al moto disordinato delle particelle presenti in fluidi o
sospensioni fluide.
Per comprendere in linea generale in che cosa consiste una camminata casuale, si prenda in
esame una random walk di passo uguale a 1, parametro per cui ciascun valore generato
differirà da quello precedente. Una prova empirica può essere il lancio di una moneta in cui
ciascuna faccia x corrisponde a ±1: testa (T) = +1 e croce (C) = -1.
Prendendo come valore iniziale x0 = 0 e ipotizzando di lanciare la moneta una prima volta
ottenendo testa (T), si incrementerà x:
𝑥1 = 𝑥0 + 1 = 0 + 1 = 1
Effettuando un altro lancio in cui si ottiene croce (C), si decrementerà x:
𝑥2 = 𝑥1 − 1 = 1 − 1 = 0
29
Ripetendo per n volte questa operazione e inserendo i valori in un diagramma cartesiano,
in cui sull'asse ascisse si abbia il valore di xn e su quello delle ordinate il numero di lanci
effettuati, si otterrà un grafico dove ciascun numero generato ruoterà intorno a una posizione
di equilibrio.
Nel grafico in Figura 6 è illustrato un diagramma cartesiano in cui è stato esemplificato
questo procedimento:
14
12
value
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
n°sample
Figura 6: esempio grafico di una random walk monodimensionale di passo uguale a 1
Xenakis, nel capitolo New Proposals in Microsound Structure (pagg. 246-249), propone
una serie di casi:

metodo 1: sfruttare una differente funzione di probabilità, caratterizzandola in base al
proprio comportamento inteso come ―personalità‖, ad esempio una distribuzione di
Cauchy per le durate ed una di Poisson per le altezze;

metodo 2: creare delle combinazioni della variabile x con se stessa;

metodo 3: utilizzare delle variabili aleatorie come altre variabili di una funzione
qualsiasi, ad esempio una funzione logaritmica di cui l'argomento è una variabile
casuale;
30

metodo 4: muovere una variabile aleatoria all'interno di due barriere riflettenti o
elastiche; i valori che ne superano i limiti vengono rispecchiati all'interno di essi;

metodo 5: considerare i parametri di una funzione di probabilità come variabili di altre
funzioni di probabilità;

metodo 6: utilizzare diversi tipi di combinazioni algebriche, ad esempio lineare,
polinomiale, ecc., considerate come funzioni composite. Queste, come per il punto 5,
vengono considerate come misture di distribuzioni;

metodo 7: suddividere le funzioni di probabilità in classi, in famiglie di configurazioni
di curve, creando un livello di astrazioni più elevato.
I processi qui elencati sono validi sia a livello microcompositivo che a un livello
macrocompositivo.
31
4.3. Concetto di variazione poligonale
I principi fondamentali del pensiero compositivo di Xenakis sono le nozioni di ripetizione
e alterazione, ossia la produzione di strutture complesse mediante processi stocastici. Nella
ricerca microstrutturale della sintesi sonora, il processo di variazione di una forma d'onda
viene definito dal compositore come variazione poligonale.
Con questo termine Xenakis si riferisce alla forma d'onda come alla forma di un poligono,
ossia una qualsiasi figura geometrica aperta, in cui i vertici corrispondano ai breakpoints di
una forma d'onda e le linee tracciate tra i punti siano le interpolazioni lineari tra i breakpoints.
La variazione dell'onda poligonale è definita sul piano cartesiano dalle coordinate x e y che
indicano la posizione di ciascuno dei breakpoints: sull'asse delle ascisse si avrà il tempo Δt e
sull'asse delle ordinate l'ampiezza ΔA.
L'utilizzo da parte di Xenakis della geometria nella sua produzione artistica caratterizza
tutta la sua opera: due esempi eclatanti sono la composizione Metastasis e la progettazione del
Padiglione Philips a Bruxelles. L'applicazione dei principi geometrici, specificata come
l'approssimazione di superfici curve mediante un gruppo di rette, ispirò l'utilizzo del glissando
all'interno dei suoi brani come elemento caratteristico, aspetto che è stato altresì fondamentale
nella formalizzazione della tecnica di sintesi audio utilizzata dal compositore greco.
Questa sintesi audio è composta da tabelle dinamiche (dynamic wavetable synthesis), ossia
forme d'onda che mutano stocasticamente nel tempo, ed è stata generalizzata nella Sintesi
Stocastica Dinamica (Dynamic Stochastic Synthesis), dove ogni forma d'onda generata è
indipendente da quella precedente e le variazioni sono controllate mediante processi
stocastici.
32
Figura 7: esempio di "dynamic wavetable synthesis"
La tecnica di sintesi utilizzata da Xenakis è di tipo non-lineare e dipende concettualmente
dal teorema di Nyquist-Shannon. La realizzazione non passa attraverso la progettazione di
modelli acustici riconducibili ai modi di vibrazione di un corpo, ma attraverso l'astrazione di
un modello sonoro ideato ad hoc a seconda dell'esigenza musicale.
Nella storia della musica elettronica, diversi autori si sono serviti di tecniche di sintesi nonlineare, come nella compilazione di SSP, il programma di sintesi sonora scritto dal
compositore tedesco Gottfried Michael Köenig che applicava le tecniche seriali ai segmenti
delle forme d'onda, e SAWDUST, scritto da Herbert Brün, in cui venivano applicate
operazioni astratte alla forma d'onda. A tal proposito, l'esempio più rilevante nella produzione
di Xenakis è l'algoritmo GENDY.
33
5. GENDY
Nel 1971, al CMAM (Center for Mathematical and Automated Music) dell'Università
dell'Indiana, Xenakis sperimentò i suoi studi sulla sintesi stocastica testando diversi tipi di
random walk.
Vent'anni più tardi, nel 1991, Xenakis tornò sulla costruzione di un sistema completamente
governato dalle leggi della stocastica e, grazie alla collaborazione del CEMAMu (Centre
d'Étude de Mathématique et Automatique Musicales) di Parigi, il compositore, insieme
all'assistente Marie-Hélène Serra, scrisse il programma di sintesi stocastica dinamica GENDY,
acronimo che deriva dal francese Génération (GEN) e Dynamique (DY).
Nello stesso anno egli compose due brani sfruttando questo algoritmo: GENDY3, premiato
nell'ottobre del 1991 a Montreal in Canada, in occasione dell'International Computer Music
Conference, e GENDY301, premiato nel novembre del medesimo anno a Metz in Francia, al
Journèes de Musique Contemporaine.
Nel 1994, sfruttando un'estensione dell'algoritmo GENDY, Xenakis scrisse un ulteriore
lavoro dal titolo S709 (sequenza 709), premiato nel dicembre di quell'anno alla Maison de
Radio-France.
Il software GENDY permette il calcolo di una serie di campioni numerici che vengono di
seguito registrati in un file audio: l'ampiezza di ciascun campione è data dalla somma di
ciascun campione di tutte le voci; ciascuna voce calcolata è caratterizzata dai propri parametri
di controllo per la sintesi stocastica dinamica e ci possono essere da una a n voci.
Il processo computazionale è suddiviso in due livelli:

microstrutturale, che comprende l'effettiva sintesi dei suoni;
34

macrostrutturale, in cui sono definiti i parametri per forma e computazione audio.
A livello macroscopico si produce una matrice sul cui piano verticale giace la distribuzione
delle voci generate, mentre sul piano orizzontale si ha la suddivisione temporale in cui viene
collocato un certo numero di sequenze che andranno a costituire l'intera durata del brano.
Ogni voce corrisponde ad una singola sintesi sonora, con determinati parametri stocastici, a
loro volta gestiti da intervalli di tempi tra suono e silenzio, definiti ―campi‖ (fields). La
sovrapposizione di un determinato numero di voci determina la configurazione di una
sequenza, mentre la giustapposizione in successione di ogni sezione andrà a costituire il corpo
stesso della composizione.
Xenakis implementò questa funzione in un programma ausiliario dal nome PARAGn (es.
PARAG001), una macchina di calcolo per la generazione di parametri stocastici e la loro
scrittura in unico file successivamente letto da GENDY per l'effettiva sintesi audio.
35
5.1. Descrizione dell'algoritmo di sintesi stocastica dinamica
Si consideri un piano cartesiano in cui l'asse delle ascisse riporti i campioni della tabella di
sintesi e l'asse delle ordinate i valori dell'ampiezza, che variano tra -1 e 1. Quando Xenakis
scrisse questo algoritmo, la risoluzione dell'ampiezza era di 16-bit integers (±32768).
Figura 8: distorsione di una forma d'onda z.
Si ipotizzi inoltre di avere un numero costante i di breakpoints: per garantire la continuità
tra le successive forme d'onda, l'ultimo breakpoint (i-1) della forma d'onda z corrisponderà al
primo (i=0) della forma d'onda successiva z+1 (Figura 8):
(𝑥0,𝑧+1 , 𝑦0,𝑧+1 ) = (𝑥𝑖−1,𝑧 , 𝑦𝑖−1,𝑧 )
[31]
Se si posizionano casualmente questi punti sul piano cartesiano e si effettua
un'interpolazione lineare, si ottiene così una possibile formulazione iniziale della forma
d'onda per la sintesi.
36
Le coordinate di ciascun breakpoint i delle successive forma d'onda z+1 si ottengono
addizionando o sottraendo un valore aleatorio determinato da un processo stocastico alle
coordinate della forma d'onda z:
𝑥𝑖,𝑗 +1 = 𝑥𝑖,𝑗 + 𝑓𝑥(𝑧)
[32]
𝑦𝑖,𝑗 +1 = 𝑦𝑖,𝑗 + 𝑓𝑦(𝑧)
[33]
dove fx(z) e fy(z) sono funzioni stocastiche che generano valori determinati dall'argomento z.
La durata totale D di una forma d'onda è calcolata sommando i segmenti ni di
interpolazione che si creano tra due breakpoints i e i+1.
Si avrà:
𝑛𝑖 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
con ni = distanza in campioni;
𝑑𝑖 = 𝑛𝑖 /𝑆𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒𝑅𝑎𝑡𝑒
con di = distanza in secondi;
𝐷𝑗 =
𝑖−1
𝑖=0 𝑑𝑖,𝑗
con Dj = durata totale espressa in secondi.
Se le coordinate x non sono soggette a nessun tipo di variazione, si ottiene un'onda variata
non-linearmente nell'ampiezza in un tempo t (Figura 9). Questo comporterà una variazione
delle componenti spettrali e quindi nel timbro ma non nell'altezza.
37
Figura 9: variazione non-lineare dell'ampiezza di una forma d'onda
Nel caso in cui entrambe le coordinate varino nel tempo, si avrà una distorsione sia
dell'intensità che della frequenza: nell'esempio in Figura 10 si avrà un'espansione della forma
d'onda che comporta una riduzione della frequenza; nell'esempio in Figura 11 avviene
l'inverso: contrazione della forma d'onda con incremento della frequenza.
38
Figura 10: variazione non-lineare dell'ampiezza e del tempo, espansione della forma d'onda
Figura 11: variazione non-lineare dell'ampiezza e del tempo, contrazione della forma d'onda
Le funzioni stocastiche che creano la perturbazione dei breakpoints sono gestite da un
sistema di processi stocastici che sfrutta un second order random walk18 costituito da tre
elementi: una distribuzione di probabilità e due random walk. La distribuzione di probabilità
18
Luque, Sergio, Stochastic Synthesis: Origin and Extensions, Institute of Sonology, Royal Conservatory,
Amsterdam, 2006, p. 25.
39
(Poisson, Lehmer, Cauchy, logistica, ecc.) genera lo step size di una random walk primaria; il
valore prodotto dalla random walk primaria è compreso in un range prestabilito e diventa a
sua volta step size di una random walk secondaria; il valore qui generato è poi circoscritto in
un intervallo definito che è l'effettivo prodotto della second order random walk.
I limiti vengono definiti da Xenakis come ―barriere elastiche‖ o ―specchi‖. Queste
variazioni stocastiche devono essere comprese in un intervallo finito: l'andamento
completamente libero di tali sistemi comporterebbe infatti sonorità molto rumorose, vicine al
rumore bianco; è quindi necessario trovare un giusto compromesso tra stabilità (variazioni
lievi) e instabilità (variazioni estese).
Per questa ragione è stata utilizzata una specifica procedura di ―rispecchiamento‖, in modo
da contenere gli eccessi e avere un controllo musicalmente ragionevole dei parametri
stocastici.
Questo metodo viene definito come funzione MIR19; esso richiede tre argomenti: un valore
in ingresso e i limiti delle due barriere. Il valore restituito è contenuto all'interno
dell'intervallo prestabilito.
Il suo funzionamento è analogo all'effetto di "aliasing", dove i valori eccezionali vengono
rispecchiati all'interno del range (vedi Figura 12).
19
Serra, Marie H., ―Composition and Stochastic Timbre: GENDY3 by Iannis Xenakis‖, Perspective of New
Music, Vol. 31, N°1, Winter 1993, p. 245.
40
Figura 12: funzionamento delle barriere elastiche sull'asse delle ampiezze
Per il calcolo di ciascun breakpoint sono stati predisposti quattro differenti limiti: due di
questi vengono utilizzati per le funzioni stocastiche fx(z) e fy(z) prima che tali valori vadano a
sommarsi con le coordinate xi e yi. Gli altri due limiti vengono utilizzati per controllare la
lunghezza dei segmenti tra i breakpoint ni ed i valori di ampiezza yi sull'asse delle ordinate.
Il limite dell'ampiezza era stato inserito a causa del limite fisico su quale veniva eseguita la
macchina (16-bit integer) anche se venne utilizzato per il controllo timbrico, come gli altri
parametri.
Per quanto riguarda la lunghezza dei segmenti, il suo controllo era direttamente collegato
al range frequenziale riferito alla sintesi sonora.
Per esempio:
sample rate (n° campioni/sec.):
44100
range frequenziale (Hz):
300 – 800
conversione da Hz a campioni:
sample rate/Hz
range frequenziale (campioni):
147 – 55
41
Questi limiti sono stati utilizzati principalmente per il controllo del suono, influenzando
direttamente parametri come l'altezza, l'intensità e sopratutto il timbro.
I parametri del modello di sintesi sono suddivisi in due gruppi:
1. controllo dell'altezza:

numero dei breakpoints xi;

tipo di distribuzione stocastica fx(z);

limiti barriere elastiche xMin e xMax;
2. controllo dell'ampiezza e del timbro:

tipo di distribuzione stocastica fy(z);

limiti barriere elastiche yMin e yMax.
42
5.2. Architettura stocastica
Il livello macroscopico della composizione viene anch'esso gestito attraverso processi
stocastici. Come per Achorripsis e i brani derivati dall'algoritmo ST, anche per il brano
GENDY3, si ritrova una struttura distribuita in uno spazio bi-dimensionale: dove sull'asse
orizzontale si ha la scansione temporale e sull'asse verticale la distribuzione delle voci.
In GENDY3, la suddivisione temporale è definita da una serie di sequenze giustapposte in
cui ciascuna sequenza comprende un numero n di voci.
Sull'asse temporale, ogni sequenza è caratterizzata da porzioni temporali tra suono e
silenzio, definiti da Xenakis ―campi temporali‖ (time-fields) 20. Un campo temporale è definito
da due parametri: la durata (sec.) e l'indicatore silenzio/suono (0/1).
Figura 13: estratto del grafico dei "campi temporali" dei primi due minuti della prima sessione di GENDY321
La scelta tra suono e silenzio viene determinata computazionalmente tramite una
simulazione del processo di Bernoulli che permette di stabilire il successo o il fallimento di un
20
21
Op. cit., p. 253.
Ibidem.
43
processo aleatorio, dove p è la probabilità di successo che corrisponde ad un numero tra 0 e 1,
e q corrisponde al fallimento di probabilità uguale a 1-p. L'esempio più comune è il gioco
della moneta ―testa o croce‖.
In GENDY viene eseguita una simulazione tramite computer di questo processo con il
seguente metodo: data la probabilità di successo p e un numero aleatorio z equi-distribuito tra
0 e 1, si avrà esito positivo se z sarà minore o uguale a p. In GENDY, se z ≤ p, l'indicatore
suono/silenzio sarà uguale a 1, quindi suono, viceversa (z > p) si avrà un silenzio.
Tornando all'esempio di ―testa o croce‖, se si utilizza una moneta non truccata, si avrà p
uguale a 1/2; con un numero di lanci tendente all'infinito, il numero di volte in cui usciranno
testa o croce sarà equivalente. Il parametro p in GENDY viene definito arbitrariamente per
ciascuna voce.
La durata dei campi temporali viene stabilita automaticamente attraverso una distribuzione
esponenziale:
1
𝑑 = − 𝐷 log(1 − 𝑧)
[34]
dove z è un numero equi-distribuito tra 0 e 1, d è la durata di ciascun campo sonoro e D è
la media delle durate. Quest'ultimo parametro viene stabilito per ogni voce in ciascuna
sequenza.
44
5.3. Implementazione GENDY
La prima versione del programma Gendy fu scritta da Xenakis nel 1991 in linguaggio
BASIC (eseguito in MS-DOS); una trascrizione in C++ di tale algoritmo, chiamata The New
GENDYN Program (eseguibile in Microsoft Windows), fu poi realizzata nel 2000 dal
musicologo tedesco Peter Hoffmann.
Di seguito ho riprodotto l'algoritmo di Xenakis con il software Pure Data: un linguaggio di
programmazione grafica sviluppato da Miller Puckette nel 1990 dedicato alla produzione di
applicazioni multimediali, open-source e disponibile per Microsoft Windows, MAC OS X,
iOS, Android e GNU/Linux.
L'implementazione di GENDY ha avuto come punto di partenza la ricostruzione in Pure
Data di un sintetizzatore stocastico basato sull'algoritmo di Xenakis, da parte di Gordan
Kreković e Davor Petrinović.22 Allo scopo di ottenere una versione più fedele rispetto al
software originale ideato da Xenakis, sono stati modificati due aspetti fondamentali: la
gestione delle tabelle di sintesi e il controllo dei parametri.
Nella sezione dedicata alla gestione delle tabelle di sintesi, come funzione stocastica, ho
riprodotto il sistema di perturbazione utilizzato da Xenakis (second order random walk),23 che
consiste nell'utilizzo di una funzione di distribuzione e una coppia di random walk; le funzioni
di distribuzione inserite sono le medesime utilizzate dal compositore greco in origine, che
sono:
1
o Cauchy:
𝑓 𝑦 = 𝛼 tan 𝜋 𝑧 − 2
o arcoseno:
𝑓 𝑦 = 𝛼
1
2
1
− 2 sin
1
2
[35]
−𝑧 𝜋
[36]
22
KREKOVIĆ, Gordan e PETRINOVIĆ, Davor, A versatile toolkit for controlling dynamic stochastic synthesis,
Proceedings of the Sound and Music Computing Conference, Stockholm, Sweden, 2013.
23
Cfr. pp. 39 - 41 del presente lavoro.
45
o coseno iperbolico:
𝑓 𝑦 = 𝛼 ln tan
o esponenziale:
𝑓 𝑦 = −
o logistica:
𝑓 𝑦 = −
𝑧𝜋
2
ln 1−𝑧
[38]
𝛼
ln
1−𝑧
𝑧
[37]
+𝛽
𝛼
[39]
dove α e β sono i coefficienti delle funzioni e z è una variabile aleatoria equidistribuita tra
0 e 1. In Figura 14 è illustrato il funzionamento di tale algoritmo:
Figura 14: diagramma a blocchi del funzionamento della second order random walk.
46
I parametri di controllo per la second order random walk sono:
o function: permette di selezionare il tipo di distribuzione desiderata (Cauhy, arco
seno, coseno iperbolico, logistica, esponenziale e uniforme);
o coefficent: controlla il coefficiente della funzione di distribuzione;
o max: imposta il limite superiore della funzione mirror collegata alla random walk
secondaria (RW2), ossia il valore massimo generato dall'algoritmo;
o min: indica il limite inferiore della funzione mirror, come per la variabile max,
determina quindi il valore minimo che può essere generato;
o ratio RW2/RW1: è una variabile che varia tra 0 e 1, definisce il rapporto tra il range
della RW2 e quello della RW1. Determina il limite superiore e inferiore della
funzione mirror connessa alla random walk primaria (RW1);
o ratio RW1/DISTR: è una variabile che varia tra 0 e 1, definisce il rapporto tra il
range della RW1 e quello della funzione di distribuzione f(x). Questo parametro
circoscrive la funzione di distribuzione all'interno del range calcolato.
47
Figura 15: patch in Pure Data "updateDuration".
La funzione mirror, citata nel capitolo 5.1 e rappresentta in Figura 14 e 15, ha il compito di
mantenere i valori all'interno dell'intervallo stabilito. In Figura 16 è illustrato il suo
funzionamento: viene verificato che il valore x, generato dalla RW1 o dalla RW2, sia
contenuto nell'intervallo; nel caso in cui questa condizione non viene soddisfatta, si procede al
ribaltamento di x all'interno di esso. Nel caso ulteriore in cui l'operazione di ribaltamento
abbia posto il valore al di fuori dei limiti, viene assegnato a x il valore del limite più vicino;
questa approssimazione è necessaria in quanto un'iterazione della stessa funzione,
48
rischierebbe di causare una ricorsione con profondità eccessiva o addirittura infinita24,
innescando quindi un'oscillazione paradossale che causerebbe l'interruzione dell'intero
programma.
Figura 16: digramma di flusso della funzione mirror.
Figura 17: patch in Pure Data "mirror".
Individuata la posizione di ciascun breakpoint, i campioni che vengono a trovarsi tra i due
breakpoint sono calcolati tramite una funzione di interpolazione lineare, attraverso la formula:
24
Questo fenomeno in informatica viene definito stack overflow, avviene quando è richiesto una quantità troppo
elevata di memoria nello stack, può essere causato da una ricorsione infinta di una funzione o da una variabile
eccessivamente grande
49
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑎 + 𝑥𝑛
𝑦 𝑏 −𝑦𝑎
𝑥 𝑏 −𝑥 𝑎
con
𝑥𝑎 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑏
[40]
Figura 18: esempio di interpolazione lineare
L'implementazione in Pure Data di questo procedimento ha richiesto la costruzione di uno
specifico generatore di una rampa di valori che funzioni alla velocità della frequenza di
campionamento. Per fare questo è stato utilizzato il seguente approccio: una linea di ritardo
con feedback infinito produce una serie di impulsi (bang) alla velocità della frequenza di
campionamento, quindi avremo che la distanza Δt tra un impulso e il successivo sarà:
∆𝑡 =
1 (𝑠𝑒𝑐 .)
𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑡𝑒 (𝑛° 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜𝑛𝑖 )/(𝑠𝑒𝑐 .)
.
[41]
Per mantenere la sincronizzazione tra la produzione degli impulsi e la computazione dei
campioni audio, è stato utilizzato l'oggetto bang~, il quale invia un impulso all'inizio di ogni
blocco di computazione (block size), in modo da annullare il possibile sfasamento tra i vari
impulsi.
Figura 19: sequenza della computazione dei campioni audio.
50
Gli impulsi generati vengono utilizzati per incrementare un contatore (counter), i cui
parametri di minimo (min) e massimo (max) indicano gli estremi di ogni interpolazione e
vengono aggiornati per ciascun intervallo fra i breakpoints di ogni forma d'onda. In Figura 20
è illustrato il funzionamento di questo procedimento. In Figura 21 viene mostrata
l'implementazione in Pure Data di tale algoritmo.
Figura 20: diagramma a blocchi della computazione dei campioni audio.
51
Figura 21: patch in Pure Data "update_table".
I valori ricavati dalla formula di interpolazione lineare vengono raccolti in un array di 64
elementi (serialize) e convertiti da lista di valori a segnale audio (unpack~).
In Figura 22 è rappresentato un estratto della patch "sub.GendyN" in cui vengono gestiti i
parametri di controllo della sintesi, in particolare si evidenzia la manipolazione del range
frequenziale, il quale viene poi convertito in durate calcolate in campioni. Tale range indica
l'intervallo di durata possibile tra i breakpoints, e la formula utilizzata è:
𝐷𝑢𝑟. 𝑚𝑖𝑛 =
𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑡𝑒
𝐷𝑢𝑟. 𝑚𝑎𝑥 =
𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑡𝑒
𝐹𝑟𝑒𝑞 . 𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑟𝑒𝑞 . 𝑚𝑖𝑛
1
∗ 𝑛° 𝑏𝑟𝑒𝑎𝑘𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠
1
∗ 𝑛° 𝑏𝑟𝑒𝑎𝑘𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠
[42]
[43]
52
Figura 22: estratto della patch in Pure Data "sub.GendyN".
Figura 23: patch in Pure Data "sub.GendyN".
Il controllo dei campi sonori (field), suono o silenzio di una voce, è stato assegnato ad un
processo esterno all'algoritmo di Gendy qui implementato, tale processo consiste in:
53
o una random walk che genera la durata del campo sonoro;
o un processo di Bernoulli che determina il suo stato (suono/silenzio).
In Figura 24 viene illustrata la sua implementazione in Pure Data.
.
Figura 24: patch in Pure Data "RWdur".
La Figura 25 include un diagramma guida che riproduce un'astrazione al livello più alto
possibile del ―motore‖ di sintesi stocastica di GENDY.
Il grafico è suddiviso in due sezioni:

Architettura:
54

o
Duration random walk;
o
DSP on/off.
Sintesi audio:
o
Time random walk;
o
Amplitude random walk;
o
Linear interpolation;
o
DAC~.
55
Figura 25: diagramma globale del funzionamento dell'algoritmo GENDY
56
5.4. GENDY nel live electronics
L'implementazione in Pure Data di GENDY mi ha portato a pensare a come si potesse
riconsiderare il suo utilizzo nel live electronics, vale a dire a come controllare i parametri
della sintesi stocastica in tempo reale. Da questa riflessione sono passato alla progettazione di
un'interfaccia per l'algoritmo GENDY, intesa come se fosse un vero e proprio "strumento
musicale", denominato 8Voices.
Oltre alla possibilità di controllare i parametri interagendo direttamente con il software,
che però non garantisce una efficace manipolazione dei dati ai fini di un'esecuzione musicale,
ho
aggiunto
un'unità
di
controllo
MIDI,
implementata
attraverso
l'interfaccia
nanoKONTROL2 KORG (Figura 26).
Figura 26: controller MIDI KORG nanoKONTROL2.
Ho inoltre scelto di ridurre il gran numero di parametri utilizzati dal sintetizzatore GENDY:
il totale controllo da parte dell'esecutore costituirebbe infatti un impedimento ad una compiuta
interpretazione musicale. Basti pensare che per ciascuna voce, solo per quanto riguarda la
sintesi, esistono 15 parametri.
Il passo successivo è stato quello di suddividere le variabili manipolabili in tre gruppi
principali, definiti per:
o altezza: comprende il range frequenziale e i coefficienti delle due random walks;
57
o dinamica: include l'intervallo di distribuzione dell'ampiezza e i coefficienti delle
due random walk;
o attivazione delle voci: gestisce il funzionamento delle voci, ossia quando una voce
deve o non deve entrare in funzione.
L'interfaccia nanoKONTROL2 include tre tipologie di controlli: un fader, una manopola
rotativa e tre pulsanti per ogni voce. A ogni fader è stato associato il controllo dell'ampiezza
di una voce. A differenza dell'algoritmo di Xenakis che utilizzava sedici voci, ho preferito
matenerne il controllo per ciascuna; in questo caso l'hardware MIDI selezionato permette la
gestione contemporanea di otto istanze del sintetizzatore.
Due pulsanti del controller variano le altezze e le dinamiche di ogni voce (tasto "R" per le
altezze, tasto "M" per le dinamiche). Ogni parametro è derivato da un processo casuale, i cui i
limiti sono stati precedentemente definiti, prodotto tramite la pressione dei tasti sopracitati. Al
pari in quanto accadeva nell'algoritmo composto da Xenakis, anche qui non interessa avere
una definizione microscopica per ogni singolo parametro, ma il controllo dell'insieme dei
parametri. Infine, una manopola rotativa regola il tempo di interpolazione tra un valore
generato e l'altro di ogni singola voce; il suo range è stabilito a priori.
Figura 27: descrizione dei parametri controllabili per ogni voce nel controller MIDI nanoKONTROL2.
58
In Figura 28 è illustrato un estratto della patch in Pure Data "randomize", in cui vengono
inseriti i parametri di controllo per la gestione dell'altezza e della dinamica.
Figura 28: estratto della patch in Pure Data "randomize"
A livello macroscopico, l'attivazione delle voci è affidata a un'ulteriore serie di tasti: "S"
per la singola voce, "Play", "Stop" e "Rec" per controllare le otto voci in contemporanea. I
"Play" e "Stop" attivano o disattivano tutte le istanze; il tasto "Rec", invece, attiva l'algoritmo
responsabile della durata dei campi sonori (sound fields)25, ossia l'attivazione o disattivazione
casuale delle voci per una durata x.
25
Cfr. pag. 45 del presente lavoro.
59
Figura 29: descrizione dei parametri di controllo per l'attivazione delle voci nel controller MIDI
nanoKONTROL2.
Il tasto "Cycle", in combinazione con il pulsante "S" della voce desiderata, permette di
decorrelare la relativa voce dall'interazione con l'algoritmo sopra citato, consentendole di
rimanere fissa (freeze) mentre le altre conservano la loro mobilità (gestita dall'algoritmo).
Da ultimo, i tasti "Fast forward" e "Rewind" variano le cues dei preset dell'intero software.
Alla spazializzazione del suono (è prevista una diffusione su sistema ottofonico), è poi
dedicata, in aggiunta all'algoritmo di GENDY, un'apposita sezione del software (esterna
all'implementazione di GENDY) che permette di controllare i movimenti stabilendo dei preset
(una possibile "partitura" dell'ambiente esecutivo). Questa sezione è stata affidata all'oggetto
denominato vbap, scritto specificamente per Pure Data, che utilizza il metodo Vector Base
Amplitude Panning26 ideato dal finlandese Ville Pulkki, per il posizionamento virtuale di una
sorgente sonora in un ambiente con n altoparlanti.
26
Pulkki, Ville, "Virtual Sound Source Positioning Using Vector Base Amplitude Panning", Journal of the
Audio Engineering Society, vol. 45, n° 6, June 1997, pp. 456-466.
60
6. Conclusione
Nell'arco della sua produzione musicale, Xenakis mostrò una spiccata inclinazione alla
riflessione sui problemi fondamentali della composizione, mettendoli in correlazione con
quelli che incontra chiunque si dedichi seriamente alla sua disciplina, sia essa artistica o
scientifica. L'eterno dilemma tra determinismo e caso fu da lui dapprima risolto con
l'applicazione della stocastica alla musica, in seguito col ricorso alla musica "simbolica" e alla
teoria dei gruppi, attraverso il passaggio da un determinismo più rigoroso al recupero di una
dimensione più intuitiva.
Nel presente elaborato ho ripercorso in breve la parabola della stocastica partendo dalla sua
teorizzazione ne La crise de la musique sérielle (1955) e analizzando successivamente alcuni
dei brani più significativi composti con questa tecnica, ossia, per quanto riguarda la
produzione orchestrale, Metastasis (composto tra il 1953 e il 1954 e realizzato nel 1955) e
Pithoprakta (1955-1956), mentre per quanto concerne quella elettroacustica, Gendy3 (1991),
Gendy301 (1991) e S709 (1994).
Se nelle prime opere di questo tipo il calcolo "a mano" era ancora sufficiente per la
composizione, l'aumentare della complessità suggerì a Xenakis di creare un automatismo,
dapprima l'algoritmo ST, poi GENDY. Si passò dunque dalla produzione di partiture con ST
alla sintesi stocastica vera e propria del suono con GENDY.
Lo studio che ho effettuato su quest'ultimo algoritmo ideato dal compositore greco si è
concretizzato nella sua implementazione in Pure Data, con l'obbiettivo di produrne una
versione fruibile e aperta a nuove modifiche e/o migliorie.
La ricostruzione di GENDY mi ha portato a pensare a come può essere reinterpretata la
sintesi stocastica ideata da Xenakis. Da quest'idea è nato 8Voices: uno "strumento
elettroacustico" composto da un'interfaccia fisica (un controller MIDI) per l'immediata
61
manipolazione dei parametri di sintesi e da un'interfaccia grafica che controlla nel dettaglio la
produzione dei suoni.
Dal punto di vista musicale, la configurazione dei parametri di 8Voices richiede un
ulteriore perfezionamento per calibrare in maniera più equilibrata quelli variati dall'esecutore
e quelli da mantenere fissi (oppure semplicemente variati da una possibile partitura).
È poi necessaria una riscrittura di GENDY nel linguaggio C, per ottenere un external27
utilizzabile in Pure Data e con una maggiore velocità di calcolo.
Sul piano esecutivo, l'utilizzo di controlli multifunzionali amplierebbe l'originalità dei
movimenti eseguibili sul controller MIDI, consentendo di modificare più parametri con un
singolo gesto e includendo nell'interfaccia fisica un feedback (in questo caso tattile) coerente
con l'utilizzo, o meglio ancora, con la musicalità del gesto. L'interfaccia inoltre farà sì che il
sistema di sintesi sonora si comporti come una sorta di strumento musicale, permettendo
all'esecutore di interpretare una composizione e di non limitarsi ad interagire passivamente
con i parametri.
In futuro intendo poi progettare e realizzare un'interfaccia di controllo ad hoc per 8Voices,
affinché sia il più possibile adatta a una performance musicale.
Lo studio del lavoro di Xenakis mi ha indotto a riflettere sull'aspetto esecutivo nella
composizione algoritmica, ossia come poter ampliare il dialogo tra uomo e macchina.
Mi sono quindi ritrovato a interrogarmi su come preservare l'originalità dell'interpretazione
di una composizione algoritmica, così da non ridurre l'esecutore a semplice "supervisore" del
processo musicale. Il confronto con questa parte della produzione del compositore greco è
stato per me ricco di spunti e penso che possa giovare altrettanto a chiunque voglia
approfondire la musica stocastica.
27
Un external è una classe che non è costruita in Pure Data ma scritta nel linguaggio C, la quale è caricata in
memoria durante l'esecuzione del software.
62
Appendice: Creare dal "nulla"
La riflessione filosofica sulla musica ha accompagnato Xenakis nell'arco di tutta la sua
produzione musicale: prendendo come punto di riferimento in particolare i filosofi ionici
Talete, Anassimandro, Anassimene, ma sopratutto Pitagora e Parmenide.
Il compositore greco sottolinea che i numeri stanno alla base non solo della musica ma di
tutta la realtà. Il pitagorismo infatti afferma che le cose sono numeri o che tutte le cose sono
provviste di numeri, ad esempio Pitagora si basò sullo studio degli intervalli musicali per
ottenere la catarsi orfica.
«Il pitagorismo ha impregnato poi tutto il pensiero occidentale, compreso quello
musicale: tutti i teorici della musica, da Aristosseno28 fino a Hucbald29, Zarlino30 e
Rameau31 hanno ripreso le stesse tesi colorandole con le espressioni dell'epoca,
ma la cosa più sorprendente è il ritorno della scienza moderna al pitagorismo: non
è lontano il giorno in cui la genetica, forse, grazie alla struttura geometrica e
combinatoria del DNA, potrà metamorfizzare la Ruota della nascita a volontà,
come lo desideriamo e come preconizzava Pitagora.»32
Xenakis fu poi molto influenzato dal pensiero di Parmenide, in particolare dal
principio del terzo escluso e della tautologia logica dell'essere: l'essere è, il non essere
non è; l'essere è immutabile, per cui il mondo sensibile è solo apparenza. La fisica, in
particolare gli studi sulla conservazione dell'energia, lo attestano: infatti l'energia
presente in tutto l'universo non può né essere distrutta né creata ma può solamente
trasformarsi. Anche nella logica l'assunto parmenideo, ripreso da Wittgenstein nel suo
Tractatus logico-philosophicus, risulta valido: la verità è tautologica, tutto ciò che è
affermato è una verità di cui non esiste un'alternativa concepibile.
28
Aristosseno (IV sec. a.C.), compositore, filosofo dell'antica Grecia e teorico musicale.
Hucbald (840 o 850 - 930), compositore, teorico musicale, scrittore e agiografico.
30
Gioseffo Zarlino (1517 - 1590), compositore e teorico musicale italiano.
31
Jean-Philippe Rameau (1683 - 1764), compositore, clavicembalista, organista e teorico della musica francese.
32
Xenakis, Iannis, Musique. Architecture, Casterman, Tournai, 1976 (tr. it. di Letizia Lionello, Giancarlo Secco
e Angelo Varese, Musica. Architettura, Milano, Spirali, 1982, p. 56). Forse la realizzazione del sogno di Pitagora
non è oggi così lontana. Nell'epoca digitale alcune importanti riflessioni in questo senso hanno interessato
discipline tra loro diverse, come ad esempio il cinema (Matrix, The Cell, Transcendence, ecc.), letteratura (J.
Ballard, Philip K. Dick, ecc.), e in particolare l'arte visiva (si vedano a questo proposito i contributi teorici di
Alessandro Amaducci).
29
63
I due principi essenziali enunciati rispettivamente da Parmenide (il principio gerarchico:
l'essere è immutabile e i fenomeni sono solo apparenza) e da Pitagora (il principio dei numeri:
tutto è numero o è riconducibile a un numero) - continua il compositore greco - furono inoltre
di fondamentale importanza non solo nella storia del pensiero ma anche in campo artistico.
«Nel corso dei secoli le arti hanno avuto conversioni parallele a quelle delle due
creazioni essenziali del pensiero umano: il principio gerarchico (Parmenide) e il
principio dei numeri (Pitagora). Di fatto questi hanno dominato la musica, in
particolare dal Rinascimento fino agli attuali procedimenti di composizione.
Quando a scuola si sottolinea l'unità e la si raccomanda per i temi e i loro
svolgimenti, quando il sistema seriale impone una gerarchia differente con la sua
differente unità tautologica incarnata dalla serie e dal principio di variazione
perpetua ma interno a questa tautologia.»33
Il principio della tautologia dell'essere espresso da Parmenide implica il determinismo
(tutto ciò che è non può non essere così com'è) e quindi l'esclusione del caso. Tale
affermazione è alla base della moderna teoria della probabilità, che porta a cercare di
prevedere il caso costringendolo entro leggi deterministiche. Nella storia del pensiero solo
l'atomismo di Epicuro accetta un certo grado di indeterminismo nella struttura dell'universo,
contrapponendo la caduta inesorabile e parallela degli atomi alla possibilità che le loro
traiettorie possano essere modificate dall'incontro causale di resistenze (enklisis). Epicuro
ammise quindi l'idea di aleatorio che gettò le basi per la moderna stocastica, ossia l'utilizzo
del caso come principio o modo di essere. La teoria delle probabilità accetta l'incertezza
inquadrandola in due modi: l'uno ipotetico (l'ignoranza della traiettoria produce l'incertezza) e
l'altro deterministico (le leggi dei grandi numeri riducono l'incertezza studiandola in relazione
alle variabili spazio e tempo). Si arriva così al fulcro della riflessione di Xenakis:
«Determinismo o alea, unità di stile o eclettismo, calcolo o no, intuizione o
costruttivismo, apriorismo o no, una metafisica attraverso la musica o
semplicemente la musica come mezzo di divertimento e così via. Ma ecco gli
interrogativi che dovremmo porre:
1. che conseguenza avrà per la composizione musicale la cosciente
assunzione del campo pitagorico-parmenideo?
33
Op. cit., p. 58.
64
2. Per quali vie?»
Egli applica infatti la polarità determinismo-indeterminismo alla composizione musicale,
evidenziandone due aspetti: il primo, "in tempo", è riservato alla creazione istantanea, il
secondo, "fuori tempo", a lungo assente dalla composizione occidentale e reintrodotto da
Debussy e Messiaen, include elementi quali punti, distanze e funzioni che appartengono
all'asse del tempo, ripresi a sua volta da Xenakis per mezzo della stocastica.
«La polifonia ha rimosso nell'inconscio dei musicisti dell'occidente europeo la
categoria fuori tempo, reintrodotta in musica con Debussy e Messiaen. Infatti
l'atonalità sopprime le gamme e accetta la neutralità fuori tempo della gamma per
semitoni. Del resto questa situazione non è praticamente cambiata da
cinquant'anni. Per supplire a questo impoverimento, essa introduce con Schönberg
l'ordinamento in tempo. In seguito, con l'introduzione che mi sono permesso dei
processi stocastici, l'ipertrofia della categoria in tempo diviene opprimente e
giunge a una strada senza uscita dove ancora oggi si agitano le musiche chiamate
abusivamente "aleatorie".»34
Con l'introduzione della matematica nel processo creativo, l'autore greco evidenzia come
l'interpretazione originale della regola compositiva da parte dell'artista diventi parte essenziale
dell'opera stessa. Il formalismo, ossia l'applicazione di una teoria qualunque, confermata
attraverso uno specifico meccanismo logico-deterministico, escludendo quindi l'intuizione e
l'esperienza sensibile a priori, come invece poteva essere nelle musiche definite "aleatorie",
diventa pertanto un punto cruciale nel pensiero di Xenakis.
«Le regole possono essere imposte dall'opera stessa. [...] Ogni possibile riflessione
filosofica, ogni possibile regola viene restituita in modo originale da chi agisce,
dall'artista [...] Che cos'è l'originalità? [...] Quanto più rare e simboliche sono le
azioni dell'uomo tanto più profonda sarà la loro originalità.
Parlare dell'originalità dell'uomo è come parlare della sua costituzione e quindi
come parlare di quella dell'universo, e del suo svolgersi. Quello che vale per l'arte
vale per il destino degli esseri umani e dell'universo. Le preoccupazioni che ha il
musicista sono le stesse che ha l'astrofisico. Per secoli la tradizione scientifica ha
predicato che nulla può venire dal nulla. Si è visto l'universo come un automa che
continua a esistere senza creare nulla di nuovo. [...] Da molto tempo penso che la
musica sia uno dei molti percorsi che permetta al genere umano di guidare
l'universo esistente verso un universo altro. Ancora oggi gli astrofisici non sono in
34
Op. cit., p. 62.
65
grado di rispondere a questo interrogativo di un universo aperto alla creazione
spontanea, che si forma e svanisce senza tregua. Dal nulla. Svanendo al nulla.»35
Dato il grande rilievo del determinismo nella riflessione del compositore greco, si pone
dunque il problema di quale margine rimanga per l'originalità della creazione artistica. Essa è
intesa da Xenakis come la ricerca del più alto grado di astrazione (o simbolismo) e
dell'unicità: si giustifica così la centralità della matematica — appunto il linguaggio più
simbolico di tutti e l'unico capace di spiegare sia la costituzione dell'uomo sia quella
dell'universo — nella sua produzione musicale. La ricerca dell'unicità, dal momento che,
come affermato dal pensiero filosofico greco e confermato dalla scienza, l'universo continua a
esistere senza creare nulla di nuovo sarà dunque da intendersi anche in musica come la
combinazione originale di elementi già esistenti. Si risolve dunque la contraddizione tra
determinismo e casualità a favore del primo? Si riportano di seguito due passi che gettano
luce su questo punto, tratti l'uno da La regola e la legge, l'altro da Sulla creatività dell'uomo.
«Nel cammino successivo mi sono accorto di certe falle inerenti quel discorso (la
stocastica). Bisogna pur ammettere che, sebbene il calcolo delle probabilità sia di
enorme utilità per poter gestire grandi quantità di suoni, è necessario poi trovare
altri sistemi, altri principi da mettere in gioco per far sì che questi suoni prendano
una direzione che non sia una certa media statistica. Insomma entrano in gioco
principi di tipo più intuitivo: si può decidere di andare verso la rarefazione, o
verso una maggiore complessità, o verso un colore differente... e ciò che si poteva
realizzare in modi diversi! Inoltre, mi sono imposti problemi logici fondamentali,
anche relativi alla percezione: per esempio, quando Beethoven negli ultimi
Quartetti passa dalla tonalità di do maggiore a quella di do# maggiore, si usa dire
che egli modula a un tono "lontano", ma a me questo passaggio sembra molto
vicino, in fondo c'è solo un semitono di distanza... Perché questo scarto tra quello
che ascoltiamo e la terminologia specializzata? In realtà i musicisti pensano sulla
base dell'intersezione di due scale: una tonalità "vicina" è una tonalità che ha
un'ampia porzione di intersezione con quella di partenza (ecco un esempio in cui
la logica fa parlare i musicisti senza che essi lo sappiano!). Di fronte a questo tipo
di problemi ho pensato, seguendo la logica simbolica del XIX secolo, di
introdurre la "musica simbolica" e di utilizzare la teoria dei gruppi. [...]»36
«Paleontologia, genetica, biologia, fisica, matematica, chimica, storia e scienze
umane: queste sono le discipline che determineranno la formazione del musicista
di domani. Cioè di colui che definiscono "artista-ideatore", di colui che è alla
ricerca dell'ordine nascosto dietro ciò che appare un disordine universale, di colui
35
36
"Sulla creatività dell'uomo", in A. Di Scipio, Xenakis - Universi del suono, pp. 119-120
"La regola e la legge", in A. Di Scipio, Xenakis - Universi del suono, p. 116.
66
che stabilisce un nuovo rapporto tra arte e scienza, e particolarmente tra arte e
matematica. Dall'antica Grecia a oggi, certe conquiste in ambito musicale sono
avvenute nello stesso momento in cui venivano compiuti importanti avanzamenti
in matematica.»37
Xenakis tematizza qui i limiti del determinismo: "Sebbene il calcolo della probabilità sia di
enorme utilità per gestire enormi quantità di suoni, è necessario poi trovare altri sistemi... per
far si che questi suoni prendano una direzione che non sia una certa media statistica. Insomma
entrano in gioco principi di tipo più intuitivo." La soluzione che egli adotta è la musica
"simbolica" e l'applicazione della teoria dei gruppi alla musica. Questo consente di restituire
importanza anche alla percezione dei suoni da parte dei musicisti, ad esempio tonalità
"vicine" e "lontane". L'evoluzione — continua il compositore greco — non solo non denota
un errore precedente, ma è coerente con la natura dell'universo stesso e quindi anche
dell'uomo:
«Ma allora, perché trasformare anche le leggi? L'uomo è fatto per modificare le
cose, lo sappiamo dall'antichità. In apparenza l'universo è costituito come se si
ripetesse, ma le stagioni, gli anni, la morte, il ciclo di nascita e di morte, tutte
queste cose non si ripetono, in alcun modo, identiche. La non-evoluzione
postulata a priori è di conforto solo ai pigri, a coloro che hanno la ripetitività del
quotidiano la loro fonte di certezza. Lo stesso avviene per l'artista i cui gesti e
modi di pensare diventano cliché mentre, invece, c'è una montagna di domande
fondamentali da porsi: come? perché? Certo, alla lunga, queste domande gli
impedirebbero di andare avanti col lavoro, di scrivere. Però questa contraddizione,
che si incontra anche nel pensiero scientifico, è soltanto necessaria.»38
L'artista, come gli scienziati, è alla continua ricerca di nuove leggi che rispondano in modo
più soddisfacente alle domande fondamentali (come? perchè?); le certezze raggiunte sono
sempre temporanee.
«Dovremmo fare sempre come se fossimo su un ponte traballante: dovremmo
provare ad attraversarlo senza poter sapere se così facendo andiamo incontro alla
caduta o alla continuità.»39
37
"Sulla creatività dell'uomo", in A. Di Scipio, Xenakis - Universi del suono, p. 123.
"La regola e la legge", in A. Di Scipio, Xenakis - Universi del suono, p. 117.
39
Ibidem.
38
67
Non si può dunque sorprendersi del fascino che la musica e il pensiero di Xenakis
continuano ad esercitare.
68
Bibliografia
AAVV, ―Xenakis‖, a cura di Enzo Restagno, Torino, EDT, 1988, pp. XII-315.
ANTONOPOULOS, Antonios, Phitoprakta: The Historical Measures 52-59 – New Evidence
in Glissando Speed Formalization – Theory & Theoretical Applications, Proceedings of the
Xenakis International Symposium, London, 1-3 Aprile 2011.
BELLO, Angelo, ―Extending GENDYN‖, in AAVV, Xenakis. La musique électroacoustique /
Xenakis. The electroacoustic music, Proceedings of the International of the Xenakis
Symposium, Paris, 8 Maggio 2012, a cura di Makis Solomos.
COLLINS, Nick, Implementing Stochastic Synthesis for SuperCollider and iPhone,
Proceedings of the Xenakis International Symposium, London, 1-3 Aprile 2011.
DI SCIPIO, Agostino, ―Da Concret PH a Gendy301 – Modelli compositivi nella musica
elettroacusitca di Xenakis‖, Sonus – Materiale per la musica contemporanea, Fascicolo N°14,
Dicembre 1995, pp. 61-92.
DI SCIPIO, Agostino, ―Compositional Models in Xenakis's Electroacoustic Music‖,
Perspective of New Music, Vol.36 , N°2, Summer 1998, pp. 201-243.
DI SCIPIO, Agostino, ―System of Embers, Dust, and Clouds: Observations after Xenakis and
Brün‖, Computer Music Journal, 26:1, Spring 2002, pp. 22-32.
DI SCIPIO, Agostino (a cura di), Iannis Xenakis – Universi del Suono – Scritti e interventi
1955-1994, Milano, Ricordi LIM, 2003, pp. 260.
HARLEY, James, ―Iannis Xenakis in Conversation: 30 May 1993‖, Contemporary Music
Review, Vol. 21, 2002, pp. 11-20.
69
HARLEY, James, ―The Electroacoustic Music of Iannis Xenakis‖, Compute Music Journal,
26:1, Spring 2002, pp 33-57.
HOFFMANN,
Peter,
“Xenakis
Alive!”
Explorations
and
Extension
of
Xenakis'
Electroacoustic Thought by Selected Artists, Proceedings of the Xenakis International
Symposium, London, 1-3 Aprile 2011.
HOFFMANN, Peter, ―The New GENDYN Program‖, Computer Music Journal, 24:2,
Summer 2000, pp 32 – 38.
HOFFMANN, Peter, Music Out of Nothing? A Rigorous Approach to Algorithmic
Composition by Xenakis, PhD dissertetion, Technischen Universität Berlin, Berlin, 2009, pp.
344.
IKESHIRO, Ryo, GENDYN and Merzbow: a noise theory critique of Xenakis’s dynamic
stochastic synthesis and its relevance on noise music today, Proceedings of the Xenakis
International Symposium, London, 1-3 Aprile 2011.
KREKOVIĆ, Gordan e PETRINOVIĆ, Davor, A versatile toolkit for controlling dynamic
stochastic synthesis, Proceedings of the Sound and Music Computing Conference, Stockholm,
Sweden, 2013.
LUQUE, Sergio, Stochastic Synthesis: An Overview, Proceedings of the Xenakis International
Symposium, London, 1-3 Aprile 2011.
LUQUE, Sergio, Stochastic Synthesis: Origin and Extensions, Institute of Sonology, Royal
Conservatory, Amsterdam, 2006, pp. 38.
LUQUE, Sergio, ―The Stochastic Synthesis of Iannis Xenakis‖, Leonardo Music Journal,
Vol. 19, 2009, pp. 77-84.
70
MERIT, Renaud, “Music is not a Language...” Listening to Xenakis's Electroacoustic Music,
Proceedings of the Xenakis International Symposium, London, 1-3 Aprile 2011.
ORCALLI, Angelo, Fenomenologia della musica sperimentale, Potenza, Sonus Edizioni
Musicali, 1993, pp. 328.
PAPE, Gerard, ―Iannis Xenakis and the 'Real' of Musical Composition‖, Computer Music
Journal, 26:1, Spring 2002, pp. 16-21.
PULKKI, Ville, "Virtual Sound Source Positioning Using Vector Base Amplitude Panning",
Journal of the Audio Engineering Society, vol. 45, n° 6, June 1997, pp. 456-466.
SERRA, Marie H., ―Composition and Stochastic Timbre: GENDY3 by Iannis Xenakis‖,
Perspective of New Music, Vol. 31, N°1, Winter 1993, pp. 236-257.
XENAKIS, Iannis, Musique. Architecture, Casterman, Tournai, 1976 (tr. it. di Letizia
Lionello, Giancarlo Secco e Angelo Varese, Musica. Architettura, Milano, Spirali, 1982, pp.
214).
XENAKIS, Iannis, Formalized Music – Thought and Mathematics in Composition,
―Harmonologia Series N°6‖, revised edition, Stuyvesant NY, Pendragon Press, 1992, pp. XII387.
XENAKIS, Iannis, ―Determinacy and Indeterminacy‖, Organised Sound, Vol. 1, N° 3, 1996,
pp. 143-155.
71