Attento a come parli! a cura di Nicoletta Nolli, Silvano Rossetto

Attento a come parli!
a cura di Nicoletta Nolli, Silvano Rossetto, Angela Sclavi, Sergio Toccante
Introduzione ....................................................................................................2
Descrizione dell’attività......................................................................................3
Indicazioni metodologiche................................................................................ 14
Eventuali difficoltà e possibili suggerimenti......................................................... 16
Spunti per un approfondimento disciplinare ........................................................ 19
Elementi per prove di verifica ........................................................................... 20
Spunti per altre attività con gli studenti ............................................................. 22
Bibliografia .................................................................................................... 23
Sitografia ...................................................................................................... 24
Proposta di attività per il corsista ...................................................................... 25
Introduzione
La logica è stata definita autorevolmente “l’arte della deduzione”. La logica descrive,
quindi, le tecniche per ragionare correttamente; per questo motivo viene studiata
nella scuola secondaria superiore, sia in generale come strumento a supporto del
rigore matematico, sia, in alcuni indirizzi di studio, come base teorica per
argomentazioni e dimostrazioni anche impegnative.
Lo studio della logica aiuta così lo studente ad acquisire consapevolezza delle proprie
conoscenze, soprattutto se si ricollega ai diversi argomenti affrontati nell’intero
quinquennio.
Con questa unità intendiamo presentare concetti e strumenti logici utili
nell'insegnamento della matematica e, più in generale, indispensabili per ragionare
correttamente ed esprimersi in modo appropriato.
L'unità si colloca nel corso del primo biennio, quando si approfondiscono le
informazioni sugli insiemi numerici. In continuità con la Scuola media, si intendono
soprattutto esaminare i legami tra logica e linguaggio comune, per poi collegare la
logica con l’attività deduttiva. L'unità può essere utilizzata in parte in questa fase del
curricolo ed essere poi ripresa in anni successivi, per approfondire alcune parti delle
attività 2 e 3, o affrontare alcuni temi presenti in Spunti per altre attività con gli
studenti.
L’unità passa attraverso diverse proposte: scoprire l’esistenza di termini e regole con
contenuto logico nelle condizioni alla base di alcuni giochi (quadrati magici, sudoku,
ecc.), vedere l’importanza della logica in ambito linguistico (frasi che esprimono
concetti equivalenti, ecc.), collegare gli schemi e gli strumenti della logica all’impianto
assiomatico, al ragionamento ipotetico-deduttivo e, in generale, al processo
dimostrativo all'interno di una teoria matematica (geometria euclidea, ecc.).
Infine, vengono illustrate alcune connessioni fra la logica, la teoria degli insiemi, la
probabilità, il calcolo algebrico.
2
Descrizione dell’attività
Attività 1: Colora un quadrato
Fase 1
In questa fase si presenta un’applicazione della logica in un contesto quotidiano, non
necessariamente connesso con la matematica, con lo scopo di far comprendere
l’importanza dell’uso corretto dei quantificatori e delle operazioni logiche nel
linguaggio comune.
Alla classe viene proposto un gioco di enigmistica, attraverso una serie di condizioni
che devono essere tutte verificate per il completamento della tabella raffigurata.
Hai una tabella quadrata di 16 caselle. Devi colorare le caselle
con 3 colori, rosso, nero e bianco, sapendo che:
• c’è una colonna tutta bianca;
• in ogni riga c’è una e una sola casella nera;
• nessuna riga ha più di una casella rossa;
• se una casella è rossa, almeno una attigua è nera (due
caselle sono attigue se hanno un lato in comune);
• se in una colonna una casella è nera, allora in quella
colonna c’è almeno una casella rossa.
I ragazzi sono invitati a risolvere il gioco-problema.
Ci sono varie soluzioni. Il gioco, di per sé, non è particolarmente difficile, ma deve
essere cura dell'insegnante porre l'attenzione su varie espressioni che compaiono nel
testo (c’è una e una sola, nessuna, almeno una, se ... allora, ecc.).
Fase 2
In questa fase è richiesto ai ragazzi di enunciare condizioni reciprocamente coerenti
relative alla colorazione di una tabella. Naturalmente, questo richiede uno sforzo in
più, di rielaborazione e messa in atto di competenze acquisite. Successivamente, si
organizza una sfida all’interno della classe, in cui un gruppo di studenti stabilisce
condizioni che un altro gruppo deve rispettare colorando la tabella.
Si inizia con una richiesta in un certo senso inversa di quella vista nella Fase 1.
Hai a disposizione la tabella seguente, in cui le caselle sono già colorate.
N
R
R
N
R
R
N
R
R
N
N
N
N
B
B
B
3
1) Enuncia almeno 4 condizioni analoghe alle precedenti che siano soddisfatte dalla
colorazione delle caselle nella tabella.
Ecco un possibile soluzione:
- c’è una diagonale tutta nera
- se una casella è bianca, nessuna attigua è rossa
- nessuna casella rossa si trova in un vertice del quadrato
- non è vero che i quattro vertici hanno tutti lo stesso colore
L’insegnante invita a riflettere su altre possibilità, stimolando la discussione e il
confronto tra soluzioni.
2) Inventa un altro gruppo di condizioni, da proporre per sfida ai tuoi compagni,
facendo sempre riferimento allo schema seguente.
Si passa ora ad una configurazione di tipo numerico.
3) Sostituisci numeri ai colori e riproponi la sfida ai tuoi compagni enunciando
opportune condizioni aritmetiche.
Esempio di condizioni relative ad una tabella 3×3.
- Tutti i numeri sono interi;nessun numero è negativo
- tutte le caselle nei vertici contengono un numero dispari (tieni presente che lo 0 si
considera pari)
- solo le caselle nei vertici contengono un numero dispari
- la somma dei numeri di ogni riga dà lo stesso risultato
- la somma dei numeri in ogni colonna è un multiplo di 4
Le condizioni precedenti sono tutte necessarie? Possono dar luogo a soluzioni diverse?
Lo schema seguente, costruito con un quadrato 3x3, rispetta le condizioni date.
3
2
7
8
0
4
5
6
1
4
Ora prova a riproporre ai tuoi compagni uno schema analogo con un quadrato 4x4,
stabilendo un tempo adeguato per la soluzione.
Fase 3: quadrati magici e Sudoku
Le fasi precedenti introducono facilmente due giochi sicuramente già noti: il quadrato
magico e il sudoku.
Un quadrato magico è costituito da una tabella quadrata di ordine n in cui
compaiono una e una sola volta i numeri interi da 1 ad n2; i numeri sono disposti in
modo tale che la somma di ogni riga, di ogni colonna e di entrambe le diagonali dia
sempre lo stesso risultato; tale risultato è detto costante magica del quadrato.
È facile dimostrare, ma non è l’obiettivo attuale, che in un quadrato magico di ordine
n (e quindi con n2 caselle) la costante magica c(n) è
somma di tutti i numeri della tabella è
(
)
c ( n) =
(
)
1
n n 2 + 1 . [Infatti, la
2
1 2 2
n n + 1 ; basta dividere questa somma per il
2
numero delle righe (o delle colonne).] Ad esempio, un quadrato magico di ordine 3
(cioè di 9 caselle) ha costante magica 15.
Alla classe viene quindi proposto questo esercizio:
• Costruisci un quadrato magico di 9 caselle
• Confronta la tua soluzione con altre individuate dai tuoi compagni
Il Sudoku è un gioco molto attuale, solitamente composto da una tabella quadrata di
ordine 9, divisa in 9 quadrati 3×3. Si chiede di collocare in ogni casella un numero
compreso fra 1 e 9, in modo che in ogni riga, in ogni colonna e in ogni quadrato 3×3
ciascun numero compaia una e una sola volta. Si parte da alcuni numeri già scritti.
•
Risolvi un sudoku come quello proposto e prova a descrivere il
procedimento
• Confronta la tua soluzione con altre possibili individuate dai tuoi compagni
(in genere, i sudoku ammettono una sola soluzione)
tuo
5
3
2
1
4
7
6
7
5
9
6
8
1
3
4
7
5
1
3
5
6
3
8
1
7
2
5
6
4
9
4
3
8
2
4
2
7
6
9
4
5
1
6
Attività 2: Frasi equivalenti
In questa seconda attività si vuole porre l’attenzione sul concetto di proposizioni
logicamente equivalenti, esplorando le proprietà dei connettivi, fino ad arrivare ad un
esempio di dimostrazione per assurdo.
Fase 1
La riflessione su frasi equivalenti in vari contesti (vita quotidiana, geometria,
aritmetica) consente un approccio ai principali connettivi e alle loro proprietà.
L’insegnante propone un compito alla classe, divisa in piccoli gruppi: individuare le
proposizioni equivalenti all’interno di ciascuno dei tre gruppi seguenti, motivando la
risposta.
VITA QUOTIDIANA
1. Al gioco si vince o si perde
2. Al gioco si vince o si perde, e non è vero che si vince e si perde nello stesso
tempo
3. Non è vero che al gioco si vince e si perde nello stesso tempo
4. Al gioco si vince o non si perde
5.
6.
7.
8.
Giovanni non abita a Forlì e non
Non è vero che Giovanni abita a
Giovanni non abita a Forlì o non
Non è vero che Giovanni abita a
lavora a Cesena
Forlì o lavora a Cesena
lavora a Cesena
Forlì e lavora a Cesena
Per le ultime quattro proposizioni la risposta non è immediata, ma non si presentano
particolari ambiguità (5 e 6 sono equivalenti, come pure 7 e 8); può essere opportuno
6
enunciare la 5 anche nella forma "Non è vero che Giovanni abita a Forlì, né che lavora
a Cesena".
Più complessa è l'analisi delle prime quattro proposizioni, dove le risposte sono meno
oggettive (se ne potrà discutere in classe, proprio per osservare che il linguaggio
comune è ambiguo). La 1 e la 2 sono equivalenti se la "o" della 1 è intesa come "aut"
(cioè ha valore esclusivo). La 3 ha un significato analogo, ma a rigore non è
equivalente: se si pensa a un gioco in cui è una partita può finire in parità, la 3 è vera,
mentre la 1 e la 2 non sono corrette. Infine, la 4 è diversa dalle precedenti.
GEOMETRIA
1. Se la figura F è un rettangolo allora F è un quadrilatero
2. Se la figura F è un quadrato allora F è un rettangolo
3. Condizione necessaria e sufficiente affinché la figura F abbia tre lati è che abbia
tre angoli
4. Se la figura F non è un rettangolo allora non è un quadrato
5. Condizione sufficiente perché F sia un quadrilatero è che sia un rettangolo
6. La figura F ha tre lati se e solo se ha tre angoli
7. Se la figura F non è un quadrilatero allora non è un rettangolo
8. Condizione necessaria perché F sia un rettangolo è che sia un quadrilatero
9. Se la figura F ha tre lati allora ha tre angoli e se la figura F ha tre angoli allora
ha tre lati
In questo secondo blocco il linguaggio non presenta ambiguità, ma la situazione è
complicata dalla presenza delle condizioni necessarie e condizioni sufficienti.
L'insegnante deve mettere in evidenza che sono sempre equivalenti le proposizioni:
A → B,
non B → non A
Per esempio, sono equivalenti la 2 e la 4; l'implicazione "non B → non A" è
detta contronominale di "A → B". Invece, l'implicazione "A → B" non equivale
all'implicazione "B → A" (detta inversa della precedente).
Sono equivalenti fra loro anche le proposizioni
A → B,
A è condizione sufficiente per B,
B è condizione necessaria per A.
(per esempio, sono equivalenti le proposizioni 1, 5, 7, 8).
Nell'esercizio, sono fra loro equivalenti anche le proposizioni 3, 6, 9.
NUMERI
1. Se un numero è multiplo di 4, allora è pari
2. Un numero che non è multiplo di 4 è dispari
3. Se un numero è dispari non è multiplo di 4
4. Tutti i multipli di 4 sono pari
5. Condizione sufficiente perché un numero sia multiplo di 4 è che sia pari
6. Se un numero è pari non è detto che sia multiplo di 4
7. Fra i numeri pari alcuni sono multipli di 4
8. Fra i numeri pari alcuni non sono multipli di 4
9. Fra i multipli di 4 nessuno è dispari
10. Un numero è pari se e solo se è multiplo di 4
7
Questo terzo blocco presenta nuove difficoltà. In primo luogo, le affermazioni non
sono tutte vere: è quindi necessario distinguere le affermazioni vere e quelle false
(naturalmente, due proposizioni equivalenti sono entrambe vere o entrambe false).
Inoltre, compaiono in forma implicita le due locuzioni: "per ogni", "esiste almeno un",
che sono chiamate “quantificatori”. Si chiederà quindi di riscrivere le frasi, sempre nel
linguaggio naturale, ma usando i quantificatori.
Per esempio, la 1 e la 7 possono essere scritte rispettivamente nella forma:
"Qualunque numero si consideri, se è multiplo di 4, allora è pari", "esiste un numero
pari che è multiplo di 4". La 9 equivale a "non esiste un multiplo di 4 dispari", ovvero
"un qualunque multiplo di 4 non è dispari".
Sono equivalenti fra loro le proposizioni 2 e 5 (anche la cosa non è immediata), come
pure le proposizioni 6 e 8. Anche le proposizioni 1, 3, 4, 9 sono equivalenti, mentre la
7 e la 10 non sono equivalenti né fra loro né ad alcuna delle altre.
Nel caso l'insegnante lo ritenga opportuno, potrà premettere qualche semplice
esercizio sui quantificatori, come il seguente.
Nell’insieme N dei numeri naturali, considera la proposizione P(x): x+1>5
• È vero o falso che " ∀x ∈ Ν vale P(x)"?
• È vero o falso che " ∃x ∈ Ν tale che vale P(x)"?
• Determinare, se possibile, un sottoinsieme A di N in cui risulta vero che " ∀x ∈ A
vale P(x)"
• Determinare, se possibile, un sottoinsieme B di N in cui risulta falso che " ∃x ∈ B
tale che vale P(x)".
Fase 2
La classe, eventualmente divisa in piccoli gruppi, deve risolvere il seguente problema.
Il re di un lontano paese ha condannato a morte tre uomini. Concede però loro una
possibilità di salvezza: da un gruppo di tre cappelli bianchi e due cappelli neri sceglie
tre cappelli e ne fa mettere uno ad ognuno di loro. Nessuno è in grado di vedere il
proprio cappello, ma tutti, tranne uno che è cieco, vedono quello degli altri due. Chi
indovina il colore del proprio cappello viene liberato, chi non risponde è condannato,
ma chi risponde in modo errato viene torturato prima di essere condannato. Sono
interrogati uno alla volta: il primo e il secondo, i due non ciechi, non rispondono
perché non sono sicuri e temono di essere torturati. Può il cieco dare una risposta
logica in modo da salvarsi?
L’insegnante deve favorire la discussione e l’esplicitazione delle strategie di
risoluzione. con particolare attenzione alle catene di deduzioni messe in atto dai
ragazzi.
Importante è anche la fase in cui vengono spiegate e discusse le soluzioni dei gruppi;
se la classe non arriva ad una soluzione logicamente coerente, sarà compito
dell’insegnante indurre una soluzione passo dopo passo come quella che segue.
Il cieco può ragionare nel modo seguente: “Se il primo uomo avesse visto due cappelli
neri, avrebbe saputo di averne uno bianco e avrebbe potuto rispondere. Il secondo
uomo sa quindi che il primo non ha visto due cappelli neri; se il secondo avesse visto
che io ho un cappello nero, avrebbe saputo che il suo cappello non è nero e quindi
8
avrebbe potuto rispondere, salvandosi. Ma anche il secondo uomo non ha parlato,
quindi io ho un cappello bianco!”
L’insegnante deve sottolineare la struttura del ragionamento e far capire che questo
modo di collegare i dati logicamente non è tipico solo delle dimostrazioni, ma di varie
situazioni della vita corrente.
L’attività introduce alla dimostrazione per assurdo che verrà esplicitata e chiarita con
una lettura tratta dagli “Elementi” di Euclide: la Proposizione 6 del libro I.
Proposizione 6
Se in un triangolo due angoli sono tra loro uguali. allora sono uguali anche i lati
opposti a quegli angoli.
Dimostrazione:
Sia ABC un triangolo avente l’angolo ABC uguale all’angolo ACB; dobbiamo dimostrare
che il lato AB è uguale al lato AC
Supponiamo che AB non sia uguale ad AC; allora uno dei due è maggiore dell’altro.
Sia AB il lato maggiore.
È quindi possibile individuare su AB un segmento BD lungo quanto AC e poi
congiungere i punti C e D.
Ora i due triangoli ABC e DBC hanno: due lati uguali, DB e AC, il lato BC in comune, e
gli angoli DBC e ACB uguali; quindi per la Proposizione I-4 i due triangoli sono uguali.
Ma questo significa affermare che la parte è uguale al tutto, in contraddizione con
l’Assioma 5. Quindi AB non può essere diverso da AC; in conclusione AB = AC.”
Dopo un’attenta lettura della dimostrazione viene richiesto di rispondere alle seguenti
domande:
• Individua l’ipotesi e la tesi del teorema
•
Quale ipotesi aggiuntiva viene fatta?
•
Spiega come la Proposizione 1-4 viene usata nella dimostrazione
•
Spiega perché l’assioma 5 è in contraddizione con una deduzione della
dimostrazione
•
Spiega in base a quale ragionamento si perviene alla tesi del teorema
Nella scheda di lavoro n. 2, che va consegnata ai gruppi, sono esplicitati la
Proposizione I-4 e l’Assioma 5.
Attività 3 – Che c’entra la logica?
Scopo di questa attività è quello di mettere in luce alcune fra le applicazioni più
comuni della logica ad argomenti che si incontrano nei programmi di matematica delle
Superiori, nei vari indirizzi di studio. Sarà cura dell’insegnante individuare, a seconda
della classe cui l’unità viene presentata, gli esempi da proporre agli studenti, fra quelli
qui riportati.
9
Fase 1: logica ed insiemi
Analizza attentamente il testo di questi problemi e prova a tradurne la risoluzione nel
linguaggio degli insiemi, sia con i diagrammi di Eulero-Venn, sia usando scritture del
tipo A = {x∈U | x pratica la pallavolo}.
PROBLEMA 1
1) Fra gli 870 studenti iscritti in una scuola, 460 praticano la pallavolo, 420 il
calcio, 80 nessuno dei due sport; quanti studenti praticano entrambi gli sport?
2) Fra gli 870 studenti iscritti in una scuola, 360 praticano solo la pallavolo, 320
solo il calcio, 80 nessuno dei due sport; quanti studenti praticano entrambi gli
sport?
3) Fra gli 870 studenti iscritti in una scuola, 460 praticano la pallavolo, 90
pallavolo e calcio, tutti gli studenti praticano almeno uno dei due sport; quanti
studenti praticano calcio?
4) Fra gli 870 studenti iscritti in una scuola, 460 praticano la pallavolo, 90
pallavolo e calcio, tutti gli studenti praticano almeno uno dei due sport; quanti
studenti praticano solo calcio?
U
Indica con U l’insieme degli studenti
iscritti alla scuola, con A il
sottoinsieme di U contenente gli
studenti che praticano la pallavolo,
con B quelli che praticano il calcio.
Le risposte ai quattro problemi sono: 90, 110, 500, 410. Da notare che, nell'ultimo
problema, il dato "90" è superfluo.
Il prossimo problema è più impegnativo ed è adatto a ragazzi che accettano una
sfida.
PROBLEMA 2
In un laboratorio di analisi si controllano i valori ematici di 100 persone.
Dalle analisi risulta:
- pazienti che rientrano nella norma per valori di glicemia (G), colesterolo (C),
azotemia (A): 7
- pazienti che rientrano nella norma solo per A: 12
- pazienti che rientrano nella norma almeno per G e A: 27
- pazienti che rientrano nella norma almeno per G: 52
- pazienti che rientrano nella norma almeno per A: 45
- pazienti che rientrano nella norma solo per C: 20
- pazienti che rientrano nella norma per G e C ma non per A: 8
Preso un referto a caso, qual è la probabilità che:
10
1) appartenga ad una persona che non rientra nella norma per alcun parametro
(G, C o A)?
2) appartenga ad una persona che rientra nella norma almeno per A e C
3) appartenga ad una persona che rientra nella norma solo per G?
4) appartenga ad una persona che rientra nella norma solo per C?
(Le risposte sono, rispettivamente: 10%, 13%, 17%, 20%).
Fase 2: logica e algebra
In algebra si trovano di frequente strette connessioni con la logica.
Qui vogliamo porre all'attenzione degli studenti la logica sottostante al calcolo delle
equazioni e delle disequazioni. È evidente che tali proposte sono possibili dopo che
gli alunni hanno affrontato i relativi argomenti, o al più contemporaneamente.
Consideriamo questi argomenti:
a. equazioni risolte mediante legge di annullamento del prodotto o disequazioni
risolte con la regola dei segni
b. sistemi di equazioni
c. equazioni con valore assoluto
d. equazioni irrazionali
e. casi b e c con disequazioni
Ognuno dei punti elencati si presta a:
− scrivere una formula
disequazioni più semplici;
equivalente,
usando
connettivi,
con
equazioni
o
− descrivere l'insieme S delle soluzioni a partire dagli insiemi S1, S2,... delle
soluzioni delle singole equazioni/disequazioni di cui al punto precedente, usando gli
operatori fra insiemi (unione, intersezione, ecc.);
− rappresentare sulla retta numerica (nel caso di una variabile) o nel piano
cartesiano (nel caso di due variabili) gli insiemi soluzione.
Esempio 1: x (x+2) = 0
(x = 0) ∨ (x+2 = 0)
S = S1 ∪ S2
Esempio 2: x (x+2) > 0
[(x > 0) ∧ (x+2 > 0)] ∨ [(x < 0) ∧ (x+2 < 0)]
S = (S1 ∩ S2) ∪ (S3 ∩ S4)
Ecco un elenco di proposte esemplificative; ogni insegnante può usare con questo
scopo gli usuali esercizi del manuale in adozione.
a.
x (x2 – 9) = 0
xy=0
11
x2 – 4 < 0
xy>0
b.
⎧⎪ x 2 − 1 = 0
⎨
⎪⎩ x − 1 = x 2 − 1
⎧x 2 − y = 0
⎨
⎩x + 1 = y
c.
x − 1 = 4 − 2x
x − 1 = 3 − 2x
x −1 < 4
x − 1 ≥ 3 − 2x x − 1 ≥ 3 − 2x
d.
x − 1 = 4 − 2x
x − 1 > 4 − 2x
x − 1 = 4 − 2x
x − 1 < 4 − 2x
La situazione relativa a quest'ultimo caso è un po' più complicata. Per esempio, la
prima equazione equivale a [ x − 1 = (4 − 2 x ) ] ∧ (4 − 2 x ≥ 0 ) .
2
Fase 3: logica, deduzioni e sillogismi
Uno dei pilastri dell’insegnamento della logica è che, in generale, un’implicazione non
si può "rovesciare", cioè non equivale alla sua inversa. L’insegnante propone questo
esempio:
(A) “ho fame”
(B) “mangio”
(A
B)
(C) “sono goloso”
(B) “mangio” (C
B)
(D) “voglio assaggiare un cibo nuovo”
(B) “mangio” (D
B)
Accettando le implicazioni precedenti, è lecito concludere:
mangio
ho fame ?
mangio
sono goloso ?
mangio
voglio assaggiare un cibo nuovo ?
Cosa posso dedurre dalla verità di B? Quale delle tre proposizioni (A, C, D) è vera?
È molto importante insistere su questo punto, intervenendo con numerosi esempi e
sollecitando la classe a produrne altri.
12
La tipica forma di ragionamento deduttivo in cui interviene l’implicazione è il modus
ponens, costrutto logico alla base delle dimostrazioni dirette:
A
A
B
B
(ammesso che A implichi B)
(ed ammesso A)
(allora segue B)
L’insegnante propone il seguente esempio:
A = nevica
B = fa freddo
Se ammettiamo A
B (se nevica, fa freddo) e che “nevica”, allora si deduce che “fa
freddo”.
Si chiede poi se si può invertire l’implicazione; precisamente:
in presenza di A
B, ammessa B, è possibile dedurre A?
È molto importante insistere su questo punto, eventualmente sottolineando che
l’ammissione di verità di B può solo aumentare la probabilità che sia vera A.
L’insegnante sollecita gli studenti a produrre altri esempi di modus ponens.
Un’altra forma di ragionamento deduttivo che si incontra facilmente è il modus
tollens, costrutto logico alla base delle dimostrazioni per assurdo:
A
B
Non B
Non A
(ammesso che A implichi B)
(ammesso che non sia vera B)
(allora segue che non è vera A)
L’insegnante riprende l’esempio precedente:
A = nevica
B = fa freddo
Se ammettiamo A
B (se nevica, fa freddo) e che “non fa freddo”, allora si deduce
che “non nevica”.
L’insegnante a questo punto può riprendere con maggiore chiarezza l’equivalenza
logica delle due implicazioni:
A
B
e
non B
non A
L’insegnante può far osservare che sia il modus ponens sia il modus tollens sono legati
a particolari sillogismi; in un sillogismo, mediante un'opportuna combinazione dei
termini che ricorrono in due premesse, si giunge ad una conclusione.
Lo schema del sillogismo più noto è:
Tutti gli uomini (u) sono mortali (m)
Socrate (S) è un uomo (u)
Ergo:
Socrate (S) è mortale (m)
Si suggerisce una rappresentazione grafica con i diagrammi di Eulero-Venn (ci sono
due insiemi, uno contenuto nell'altro: se S appartiene al primo, appartiene anche al
secondo).
13
Indicazioni metodologiche
È importante che l’insegnante accerti una sufficiente padronanza dei prerequisiti
necessari per affrontare l’unità, che si concretizzano essenzialmente nel possesso delle
conoscenze di base dei connettivi (congiunzione, disgiunzione, negazione,
implicazione, doppia implicazione), dei quantificatori (esistenziale ed universale) ed
eventualmente dei costrutti logici elementari (tautologie e contraddizioni). Nel caso,
invece, l'insegnante usi questa unità per introdurre connettivi e quantificatori, dovrà
presentarli nei momenti opportuni, in modo che gli studenti possano fare quanto
richiesto.
Attività 1
L’attività si pone l’obiettivo di avvicinare la classe ai contenuti proposti dall’intera unità
attraverso il completamento di quadrati e di quadrati magici, giochi già noti a molti
studenti. La fase 1 chiede il completamento di un quadrato rispettando certe
condizioni, mentre la fase 2 richiede all’allievo la messa in atto di competenze proprie,
cioè la scrittura di condizioni che devono essere rispettate nella colorazione del
quadrato. La modalità di lavoro può essere individuale o a coppie nella fase 1, mentre
nella fase 2 è preferibile suddividere la classe in piccoli gruppi (2-3 allievi) per favorire
il confronto sulle condizioni da individuare e per stimolare la sfida fra i gruppi.
Anche per la fase 3 si ritiene importante una modalità di lavoro in piccoli gruppi, per
produrre più rapidamente le condizioni di completamento e per confrontare soluzioni
differenti.
Si ritiene importante che gli allievi siano sollecitati a scrivere le condizioni in modo
chiaro e corretto, dimostrando di saper utilizzare i quantificatori in modo appropriato:
eventuali ambiguità e incongruenze possono diventare poi oggetto di discussione con
l’intera classe.
Attività 2
Fase 1
Attraverso l’analisi di proposizioni equivalenti si vogliono mettere in evidenza le
proprietà di alcuni connettivi.
Due proposizioni si dicono logicamente equivalenti quando hanno lo stesso valore di
verità in corrispondenza di ogni caso possibile. Nell’attività non è necessario far ricorso
alle tavole di verità.
Nel primo blocco di proposizioni si pone l’attenzione sulle leggi di De Morgan, mentre il
secondo blocco riguarda soprattutto l’implicazione e i diversi modi nei quali, anche nel
linguaggio comune, viene espressa.
L’analisi del primo blocco di proposizioni permette anche di richiamare che la doppia
implicazione è un modo abbreviato di scrivere la proposizione composta "A implica B e
B implica A"; e che con lo stesso significato si parla nel linguaggio matematico di
condizione necessaria e sufficiente.
Fase 2
La dimostrazione della Proposizione 6 del libro I è la prima dimostrazione per assurdo
degli “Elementi”. In questa dimostrazione per provare che AB è uguale ad AC, Euclide
suppone che siano diversi e deriva una contraddizione: il triangolo ACB è uguale ad
una parte di se stesso, il triangolo DBC, e questo contraddice l’assioma 5 che dice che
il tutto è maggiore della parte. La contraddizione sta nel fatto che il triangolo ACB è
nello stesso tempo uguale e diverso al triangolo DBC.
14
Nella discussione in classe si deve mettere in evidenza che:
-
in generale, per concludere una dimostrazione per assurdo si deve arrivare a una
contraddizione, a negare cioè una proposizione che si sa essere vera (come
accade appunto nella dimostrazione della Proposizione 6 di Euclide);
-
molto spesso, in un teorema che ha la forma ipotesi ⇒ tesi, la dimostrazione per
assurdo avviene dimostrando che, negando la tesi (supponendo cioè che non sia
vero ciò che si vuole dimostrare), si giunge alla negazione dell’ipotesi. Ma
l’ipotesi è data per vera, quindi è sbagliato aver negato la tesi: pertanto, la tesi
è vera;
-
nel caso appena citato, una dimostrazione per assurdo si basa quindi
sull’equivalenza logica tra un’implicazione e la sua contronominale, come visto
nella fase 1 dell’attività.
Se si vuole consolidare in anni successivi quanto visto, facendo riflettere gli alunni sul
concetto di dimostrazione, si può far riferimento al percorso Dimostrazioni e metodi di
dimostrare presente in Matematica 2004.
Attività 3
L’obiettivo di questa attività è quello di presentare, in diversi contesti, applicazioni
della logica di interesse “matematico”. È importante che l’allievo riconosca la validità e
l’importanza dei costrutti logici, delle regole di deduzione, dei quantificatori in
differenti ambiti incontrati nel corso del curricolo di matematica.
È anche necessario che le conoscenze siano già acquisite, perché le applicazioni che
qui sono presentate servono non a rendere edotto l’allievo sulle regole teoriche (che si
ritengono fra i prerequisiti), ma a inquadrare tali regole in un contesto più generale.
Sarà cura dell’insegnante individuare il momento opportuno in cui presentare l’attività
3, che può essere proposta in tempi successivi, non necessariamente contigui rispetto
alle prime due attività. Il livello di approfondimento degli argomenti sarà ancora una
volta stabilito dall’insegnante, che potrà selezionare gli esercizi nelle fasi proposte ed
eventualmente integrarli con compiti contenuti nelle sezioni Elementi per prove di
verifica e Spunti per altre attività con gli studenti.
In tutte le fasi è possibile far lavorare gli studenti individualmente, per meglio
accertare le competenze acquisite a partire dalle conoscenze iniziali. Particolare
attenzione va posta alla fase 1, per l’importanza (anche da un punto di vista storico e
culturale) del legame fra logica e teoria degli insiemi.
A questo proposito, l’insegnante può ritenere opportuno richiamare, a seconda dei
prerequisiti posseduti dalla classe, la definizione di funzione ("si chiama funzione da
un insieme A ad un insieme B una corrispondenza che ad ogni elemento di A associa
uno e un solo elemento di B"). Si rafforza così la connessione fra la teoria degli insiemi
e l’uso dei quantificatori logici.
Risulta immediata l’applicazione all’ambito probabilistico, basato in gran parte sulla
rappresentazione di eventi mediante insiemi.
La fase 2 può essere proposta per gradi, contestualmente all’introduzione algebrica di
equazioni e disequazioni, anche rappresentabili sul piano cartesiano; oppure può
essere presentata come un utile ripasso di argomenti già trattati da un punto di vista
algebrico e rivisitati in chiave “logica”. In questo caso suggeriamo un lavoro
individuale nella risoluzione degli esercizi.
15
Eventuali difficoltà e possibili suggerimenti
Attività 1
In questa attività il ruolo del linguaggio come strumento di apprendimento è
assolutamente centrale. Questo può creare una serie di problemi a studenti non di
madre lingua italiana, ma anche a coloro che non abbiano avuto, nei segmenti
scolastici precedenti, occasione di consolidare sufficientemente questo argomento.
L’insegnante avrà cura di accentuare l’importanza in particolare di alcuni termini
presenti negli esercizi (“uno”, “almeno uno”, “solo uno”, “uno e uno soltanto”), la cui
corretta interpretazione è indispensabile per far emergere i quantificatori nascosti in
alcuni esercizi. Questa puntualizzazione si rende necessaria già dalla fase 1
dell’attività 1; il lavoro in piccoli gruppi può certamente favorire la messa a fuoco e il
superamento di alcuni punti nodali. Eventualmente si possono anteporre all’attività (se
del caso in collaborazione con l’insegnante di lingua) esercizi che focalizzino il
significato di queste espressioni: questo accorgimento potrebbe essere indispensabile
con studenti di altre nazionalità. Si potrà anche costruire una specie di “dizionario –
Stele di Rosetta” che riporti i termini equivalenti nei diversi linguaggi presenti in
classe, corredati da esempi opportuni: la costruzione di tale strumento offrirà a tutti
l’occasione di rielaborare il significato dei termini.
Per alcuni studenti può essere utile anche premettere agli esercizi della Fase 1 della
Attività 1 una serie di attività che usino elementi concreti (gettoni colorati, carte da
gioco, ecc.) da sistemare al’interno di certe griglie secondo regole verbali che via via
si possono complicare: il primo esercizio delle Prove di Verifica proposte ne fornisce un
esempio. La fase in cui si rappresenterà sul quaderno la griglia così costruita darà
l’occasione per passare a griglie “con simboli o lettere”. Resterà, per alunni che
abbiano particolare bisogno di concretezza, la possibilità di ricorrere allo strumento
“reale” per testare la soluzione di casi più complessi che possano presentarsi o per
chiarire il proprio punto di vista in discussioni collettive, quando il linguaggio non si
riveli sufficiente a spiegare bene il pensiero.
Analogamente, potrebbe essere utile disporre per la Fase 2 dell’Attività 1 di Quadrati
Magici già costruiti (su cui lo studente in difficoltà potrebbe essere invitato a
“controllare” la regola, prima di collaborare alla costruzione di un quadrato nuovo…) o
di schemi di Sudoku più elementari, come sono presenti in quasi tutte le riviste del
genere e che possono servire come introduzione e occasione di “sperimentare” sul
campo le regole.
Si consiglia anche di far esplicitare e scrivere su un cartellone o su un quaderno le
strategie che i ragazzi via via metteranno in campo per scoprire i numeri che
occupano le varie caselle. Da un lato questa attività propone un rinforzo alla tipologia
di apprendimenti di cui ci stiamo occupando; dall’altro, la possibilità di avere scritte
davanti a sé regole e strategie già sperimentate può offrire un metodo di lavoro e
guidare tutti alla scoperta di passi verso la soluzione.
Attività 2
L’Attività 2 richiede una comprensione non banale del linguaggio (naturale e
matematico) che vi interviene. Essa può perciò essere utilizzata didatticamente a più
livelli: stimolare l’attenzione alla lettura completa delle frasi (molti ragazzi “saltano” le
16
parole chiave, come il NON…); comprendere il senso reale della frase (eventualmente
riformulandola); riflessione sull’equivalenza logica delle diverse frasi. Come è ovvio i
primi due aspetti sono propedeutici al terzo: si raccomanda all’insegnante di osservare
attentamente i propri ragazzi, in modo da guidare questa attività verso il massimo
profitto per tutti.
La discussione collettiva, nel piccolo gruppo o nella totalità della classe, è certamente
un motore potente nella direzione che ci interessa.
Naturalmente nell’attività 2 occorre spiegare con cura il significato di “frasi
equivalenti”, chiarendo che l'equivalenza va sempre intesa in senso logico. Sarà forse
necessario un lavoro non breve su frasi che riguardano situazioni di vita reali (del tipo
suggerito nella proposta oppure ancora più generali) in modo da chiarire bene il
concetto di “equivalenza logica”, prima di affrontare il significato matematico. Ad
esempio, matematicamente le frasi
tutti i multipli di 4 sono pari
se un numero non è multiplo di 2 non può essere un multiplo di 4
sono equivalenti anche se la cosa non è evidente a priori e, da un punto di vista
strettamente linguistico, si potrebbe sostenere che esprimono concetti diversi.
La Fase 2 dell’Attività 2 parte con un problema molto divertente, ma che potrebbe
essere ostico per non pochi studenti. Problemi con analoga valenza formativa, ma più
semplici linguisticamente e con soluzioni più brevi e dirette, possono essere trovati in
comuni riviste di enigmistica o in libri come il classico “Qual è il titolo di questo libro ?”
di R. Smullyan, ed. Feltrinelli (il libro è esaurito ma è presente sicuramente nelle
biblioteche), dove i quesiti vengono presentati in ordine crescente di difficoltà logica.
Nell’attività 2 viene infine proposta una dimostrazione per assurdo: fra i
ragionamenti deduttivi, è certamente fra quelli che creano maggiori difficoltà agli
studenti. Per poter affrontare questo passaggio con ragionevoli probabilità di
successo, l’insegnante dovrà aver insistito a lungo non solo sull’importanza dei
processi dimostrativi, ma proprio sul fatto che, passando da un’implicazione alla sua
inversa (con lo scambio fra ipotesi e tesi) NON si ottiene un’espressione equivalente a
quella iniziale.
È però probabile che, se il lavoro sui quesiti logici sarà stato condotto per un tempo
sufficiente e con il concorso di tutti, questa specifica modalità dimostrativa sia già
stata (magari inconsapevolmente) usata da qualcuno: l’insegnante potrà in tal caso
citarla come esempio per chiarire i ragionamenti geometrici coinvolti.
Può anche essere utile fornire un altro esempio di dimostrazione per assurdo, magari
in campo aritmetico, come quella di Euclide sull’infinità dei numeri primi.
Attività 3
Uno dei punti più importanti dell’attività 3 è la connessione fra logica
ed insiemi. Sfruttando il concetto di sottoinsieme, si può illustrare con i
diagrammi di Venn il fatto che un’implicazione non equivale alla sua
inversa. Ad esempio si considerino le frasi:
A) Se un numero è multiplo di 4, allora lo è anche di 2
B) Non è detto che un numero che sia multiplo di 2 lo sia anche di 4
B
Queste non sono equivalenti. Infatti, sia A l’insieme dei multipli di 2
e sia B il sottoinsieme di A dei multipli di 4.
È evidente che un numero appartenente a B appartiene anche
17
ad A, mentre non è sempre vero che un numero che appartiene ad
anche a B.
A appartenga
A
Ovviamente questa spiegazione risulta convincente se gli studenti hanno chiaro il
concetto di insieme e sottoinsieme e l’uso del diagramma di Venn. Va però detto che
solitamente questi argomenti sono stati trattati nella scuola primaria in modo
adeguato: pertanto potranno bastare alcuni richiami (meglio se precedenti al nucleo
centrale del discorso…) per riprenderli in mano.
Purtroppo, altrettanto comunemente, questo non può dirsi degli argomenti legati ai
concetti di unione, intersezione, complementazione di insiemi,…: spesso gli studenti
escono dalla scuola secondaria di I grado con una discreta confusione in testa su
questi punti. Se l’insegnante ritiene che tali temi siano effettivamente centrali, dovrà
dedicare tempo ed energie a sistemarli, prima di passare all’Attività 3; altrimenti
questa risulterà probabilmente incomprensibile a molti.
Forti difficoltà possono infatti emergere nella soluzione degli esercizi relativi alla fase
1; in questo caso è preferibile un approccio semplificato, per poi affrontare gli esercizi
di questa fase in un secondo momento quando la maggior parte degli alunni si trovi
ormai su un terreno solido. Ad esempio, possono essere proposti quesiti del tipo
seguente
“Su 100 bambini frequentanti un asilo, 30 usano il pulmino sia per l'andata sia per il
ritorno, 45 solo per una corsa al giorno; fra questi ultimi, 25 usano il pulmino solo al
ritorno.
Quanti sono i bambini che non usufruiscono mai del servizio scuola-bus? E quanti i
bambini che la mattina vanno all'asilo con il pulmino?”
(Si suggerisce una rappresentazione grafica con i diagrammi di Venn).
Di pari passo si potrà guidare l’applicazione all’ambito probabilistico, con l’introduzione
delle opportune definizioni e il richiamo (non scontato !) al significato di percentuale e
alle modalità di calcolarla.
18
Spunti per un approfondimento disciplinare
Chi voglia approfondire questi temi, può utilmente vedere:
F. Bellissima, P. Pagli: La verità trasmessa, Sansoni, Firenze (1993)
Batini M., Cannizzaro L., Cavallaro B., De Santis C., Lombardi V., Menghini M.,
Percario L. (2004), Figure Geometriche e Definizioni. ISBN: 1123-7570. Centro
Ricerche Didattiche Ugo Morin (Paderno del Grappa), Quaderni della rivista
L´insegnamento della Matematica e delle Scienze integrate.
Gabriele Lolli, QED Fenomenologia della dimostrazione, Bollati Boringhieri, Torino,
2005
oppure trovare on-line:
Margherita D´Aprile Pier Luigi Ferrari, Linguaggi e rappresentazioni nella formazione
degli insegnanti di matematica
http://www.mat.unical.it/~daprile/pubblicazioni/Traccia%206.pdf
Gabriele Lolli, Esperimenti e dimostrazioni
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/lolli/articoli/Esperimenti.pdf
Altre utili indicazioni si trovano negli articoli segnalati in Documentazioni e
materiali.
19
Elementi per prove di verifica
1. In un quadrato 4x4 sistema nelle caselle i 4 re, le 4 regine, i 4 fanti e i 4 assi di un
mazzo di carte, facendo in modo che in nessuna riga e in nessuna colonna compaia
due volte una stessa figura. Descrivi poi alcune condizioni che definiscono la
configurazione che hai trovato.
2. Esprimi ciascuna delle seguenti proposizioni nella forma “se P allora Q”
a) “i cittadini di età superiore ai 18 anni possono sostenere l’esame per la patente”
b) “i piemontesi e i toscani sono italiani”
c) “il prodotto di un numero pari e di un numero dispari è un numero pari”
d) “il quadrato di un multiplo di 3 è un multiplo di 9”
e) “i quadrati sono parallelogrammi”
f) “le diagonali di un rombo sono perpendicolari”
3. Riscrivi le seguenti proposizioni usando nell'ordine i termini “condizione necessaria”,
“condizione sufficiente”, “condizione necessaria e sufficiente”:
a) “se un numero è multiplo di 6, allora è pari”
b) “se un triangolo è equilatero, allora è isoscele”
c) “avrò il motorino se e solo se sarò promosso”
[Per esempio, nel primo caso si può scrivere: "essere pari è condizione necessaria
perché un numero sia ..."]
4. Riscrivi le seguenti proposizioni nella forma A ⇒ B ovvero A ⇔ B
a) “avere le diagonali perpendicolari è condizione necessaria perché un quadrilatero
sia un rombo”
b) “condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia un
parallelogramma è che abbia i lati opposti uguali”
c) “dieci centimetri di neve sono una condizione sufficiente per chiudere le scuole”
5. Riscrivi, usando l’espressione “essere sufficiente”
a) “essere nati a Milano implica essere italiani”
b) “se P allora Q”
c) “A è condizione necessaria per B”
6. Costruisci la contronominale e l’inversa delle seguenti implicazioni. Le implicazioni
seguenti sono tutte vere; che cosa si può dire delle implicazioni contronominali e
inverse?
a) “se un numero è negativo allora è minore di 2”
b) “se due segmenti giacciono su due distinte rette parallele, allora la loro intersezione
è vuota”
c) “se un numero è divisibile per 5 allora termina con lo 0 o con il 5”
d) “se non ho i soldi allora non posso andare al cinema”
7. Nei due casi seguenti una proposizione vera è seguita da altre quattro proposizioni
quantificate in modo diverso. Quali di esse risultano equivalenti a quella iniziale?
a) Non ogni x ∈ N è un quadrato perfetto
20
•
•
•
•
Nessun x ∈ N è un quadrato perfetto
Esiste un x ∈ N che è un quadrato perfetto
Esiste un x ∈ N che non è un quadrato perfetto
Non esiste un x ∈ N che è un quadrato perfetto
b) Esiste qualche italiano che non è romano
• Non esiste un italiano che non è romano
• Non è vero che ogni italiano è romano
• Non è vero che ogni romano è italiano
• Non tutti gli italiani sono romani
• Non tutti i romani sono italiani
• Nessun italiano è romano
8. In ciascun caso, scrivi una proposizione equivalente a quella data usando il
quantificatore “per ogni” al posto del quantificatore “esiste” e viceversa.
a) Tutti sono andati al cinema
(Suggerimento: Non esiste uno che non sia …)
b) Esiste qualche maggiorenne che non ha la patente
c) Non tutti sono romanisti
d) Non esiste qualcuno che non legga i giornali
e) Ogni rettangolo ha due diagonali
f) Esistono numeri primi
(Suggerimento: Non tutti i numeri sono ...)
9. Di un gruppo di giovani italiani si sa che:
21 parlano inglese
24 parlano tedesco
5 conoscono sia l’inglese che il tedesco
Stabilisci quanti, oltre all’italiano, parlano
a) almeno una lingua (ossia inglese o tedesco)
b) soltanto una lingua
c) l’inglese e non il tedesco
d) il tedesco e non l’inglese
10. E data la funzione y = 2 x − 3 − 2 . Stabilisci per quali valori di x i punti del grafico
hanno ordinata positiva.
Alla soluzione si può pervenire o con metodo grafico, disegnando il grafico della
funzione (eventualmente per punti) e quindi “leggendo” la risposta, oppure per via
algebrica risolvendo la disequazione modulare 2 x − 3 − 2 > 0 , il cui insieme delle
soluzioni è l’unione degli insiemi della soluzioni delle due disequazioni 2 x − 3 < −2 ,
2x − 3 > 2 .
21
Spunti per altre attività con gli studenti
Al termine della scuola secondaria si può approfondire il concetto di dimostrazione
illustrando in modo rigoroso il procedimento che si usa nelle dimostrazione per
induzione. A questo proposito si veda l’attività “0; n, n+1, … ∞” che si trova negli
Approfondimenti di Matematica 2004.
Per un approfondimento sui sistemi assiomatici partendo dalla definizione di sistema
formale e ponendo attenzione alle regole di deduzione, si veda l’attività “Maiuscole e
minuscole” che si trova negli Approfondimenti di Matematica 2004.
Logica e informatica
La logica trova applicazioni diffuse e importanti in informatica. In particolare, tutte
le condizioni logiche devono essere esplicitate quando si descrivono i singoli passi
di un algoritmo nel linguaggio di progetto o di programmazione.
22
Bibliografia
AAVV, Matematica 2001. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con
suggerimenti per attività e prove di verifica (scuola elementare e scuola media).
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
AAVV, Matematica 2003. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con
suggerimenti per attività e prove di verifica (ciclo secondario).
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
AAVV, Matematica 2004. La matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove di
verifica per un nuovo curricolo di matematica (Quinta classe del ciclo secondario di
secondo grado).
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2004/UMI_2004.zip
PISA 2003 Valutazione dei quindicenni a cura dell’OCSE, Roma, Armando Armando,
2004
Ciarrapico, L. & Mundici, D. (a cura di): 1995, L’insegnamento della logica, atti
seminario AILA-MPI.
Batini M., Cannizzaro L., Cavallaro B., De Santis C., Lombardi V., Menghini M.,
Percario L. (2004), Figure Geometriche e Definizioni. ISBN: 1123-7570. Centro
Ricerche Didattiche Ugo Morin (Paderno del Grappa), Quaderni della rivista
L´insegnamento della Matematica e delle Scienze integrate.
F. Bellissima, P. Pagli: La verità trasmessa, Sansoni, Firenze (1993).
C. Bernardi, "La Logica nella Scuola Secondaria", L'insegnamento della Matematica e
delle Scienze integrate, vol. 16 (1993), n. 11-12, pag. 1041-1060.
C. Bernardi, "Problemi per la logica (ovvero, la logica per problemi)", L'insegnamento
della Matematica e delle Scienze integrate, vol. 17A-B (1994), n. 5, pag. 507-521
Ciceri, C., Furinghetti, F. & Paola, D.: 1996, Analisi logica di dimostrazioni per entrare
nella logica della dimostrazione, L’insegnamento della matematica e delle scienze
integrate, vol 19B, n.3, 209-234
G Lolli, QED Fenomenologia della dimostrazione, Bollati Boringhieri, Torino, 2005
R. Pagnan, G. Rosolini,” Il gioco della logica di Lewis Carroll e i sillogismi”
Archimede, n. 2, vol. LXII (2010), pag. 82-91
M. D´Aprile, P.L Ferrari, Linguaggi e rappresentazioni nella formazione degli
insegnanti di matematica
http://www.mat.unical.it/~daprile/pubblicazioni/Traccia%206.pdf
G. Lolli, Esperimenti e dimostrazioni
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/lolli/articoli/Esperimenti.pdf
23
Sitografia
AA.VV. Didattica
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Didattica/didattica.html
Matematica 2001
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
Matematica 2003
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
Matematica 2004
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2004/UMI_2004.zip
Sito Invalsi
http://www.invalsi.it/invalsi/ric.php?page=ocsepisa06
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Proposta di attività per il corsista
Da condividere e discutere in rete.
Leggere l’attività, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti:
individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento; esporli
sinteticamente per scritto.
Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e conoscenze.
Sperimentare l’unità proposta:
− fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà l'attività;
− esplicitare gli adattamenti necessari;
− formulare il progetto didattico relativo;
− preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità relative
alla situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e
INVALSI).
Scrivere un diario di bordo (narrazione e documentazione del processo di
sperimentazione vissuta in classe: l’insegnante dovrà elaborare un diario con
l’esposizione dell’esperimento svolto, di come gli studenti hanno reagito alla proposta
didattica, delle difficoltà incontrate in particolare nel processo di costruzione di
significato e di procedura di soluzione e di come sono state superate le difficoltà.
Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi sono stati
responsabilizzati all'apprendimento.
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